Chuyên đề Bất đẳng thức và cực trị - Luyện thi đại học cao đẳng

1 I.Sử dụng một số BĐT cơ bản: Các BĐT cơ bản ở đây là BĐT Cô-Si: Với n số không âm bất kì: 1 2; ;... ( 2)na a a n ³ ta luôn có: 1 2 1 2 ... ... ( )n n n a a a a a a I n + + + ³ ; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 ... na a a= = = . BĐT Bunhiacôpxki: Với hai bộ số thực bất kì 1 2 1 2( ; ;... ),( ; ;... )n na a a b b b ta luôn có: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ... ) ( ... )( ... )( )n n n na b a b a b a a a b b b II+ + + £ + + + + + + ; dấu bằng xảy ra khi và chỉ Khi: 1 2 1 2 ... n n aa a b b b = = = . BĐT: 2 2 2 ( )a b c ab bc ca III+ + ³ + + ; dấu bằng xảy ra khi .a b c= = BĐT: 2 1 2 1 2 1 1 1 ... ( ) ...n n n IV a a a a a a + + + ³ + + + ; trong đó 1 2, ,... na a a là các số dương; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các số này bằng nhau. Bài 1: Cho 0a b> > . Chứng minh: 2 2 1 4 1 / 3; / 3; / 2 2. ( ) ( )( 1) ( ) a a b a c a b a b a b b b a b + ³ + ³ + ³ - - + - Giải: a/ Theo BĐT (I) ta có: 31 1( ) 3 .( ). 3 ( ) ( ) b a b b a b b a b b a b + - + ³ - = - - (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi 1; 2.b a= = Bài 2: Cho a > 1; b > 1. Chứng minh: 1 1 .a b b a ab- + - £ http:/ /laisa c.pag e.tl 2 Giải: Theo BĐT (I) ta có: ( 1) 11 ( 1).1 . 2 2 b ab a b a b a - + - = - £ = ; tương tự ta cũng có: 1 2 ab b a - £ . Cộng các vế của các BĐT này lại ta sẽ được đpcm. Dấu bằng xảy ra khi a = b = 2. Bài 2’: a,b,c là ba số không âm có tổng bằng 1. Chứng minh: 8/ 27ab bc ca abc+ + - £ . Giải: Theo BĐT (I) ta có: 3 (1 ) (1 ) (1 ) 2(1 )(1 )(1 ) 3 3 a b c a b c - + - + - - - - £ = 1 8/ 27a b c ab bc ca abc ab bc ca abcÛ - - - + + + - = + + - £ (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =1/3. Bài 3: Cho ba số không âm a,b,c. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2a b c a bc b ca c ab+ + ³ + + . Giải: Theo BĐT (I) ta có: ( )43 3 3 3 3 3 264 6 6a b c a b c a bc+ + ³ = ; tương tự ta cũng có: 3 3 3 2 3 3 3 24 6 ;4 6b c a b ca c a b c ab+ + ³ + + ³ cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Bài 3’: Cho ba số dương x,y,z. Chứng minh: 6 2 3( ) / 432x y z xy z+ + ³ . Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức 9 3 6( ) /P x y x y= + trong đó x,y là các số dương. Giải: Theo BĐT (I) ta có: 3 6 9 9 9 9 3 6 3 6 6 ( ) 9 3 3. 6. 9. 3 6 3 6 3 6 2 x y x y x y x y P x y +æ ö æ ö+ = + ³ Û = ³ =ç ÷ ç ÷ è ø è ø Vậy GTNN của P bằng 9 63 / 2 khi y = 2x. Bài 5: Ba số thực a,b,c thỏa mãn hệ thức: 6 6 6 3a b c+ + = . Hãy tìm GTLN của biểu thức 2 2 2S a b c= + + Giải: Theo BĐT (I) ta có: 6 2 6 2 6 21 1 3 ; 1 1 3 ; 1 1 3 9 3 3a a b b c c S S+ + ³ + + ³ + + ³ Þ ³ Û ³ Vậy GTLN của S bằng 3 khi a = b = c = 1. Bài 6: x,y là các số thực thỏa mãn các điều kiện: 0 3;0 4x y£ £ £ £ . Tìm GTLN của biểu thức: 3 (3 )(4 )(2 3 )A x y x y= - - + . Giải: Theo BĐT (I) ta có: 3 (6 2 ) (12 3 ) (2 3 ) 2(3 ).3(4 ).(2 3 ) 6 3 x y x y x y x y - + - + + - - + £ = 36 6 36A AÛ £ Û £ . Vậy GTLN của A bằng 36 khi x = 0 và y = 2. Bài 7: x,y,z là các số không âm có tổng bằng 1. Tìm GTLN của biểu thức: ( )( )( )P xyz x y y z z x= + + + . Bài 8: a,b,c là các số dương. Chứng minh: *( , ) m n m n m n n n n m m m a b c a b c m n N b c a + + + + + ³ + + Î Giải: Theo BĐT (I) ta có: ( ) ( ) ( ) nm n m n n n m nm n m m a a n mb m n b m n a b b + + + æ ö + ³ + = +ç ÷ è ø . Tương tự ta cũng có: ( ) ; ( ) m n m n n n n n m m b c n mc m n b n ma m n c c a + + + ³ + + ³ + . Cộng các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Chú ý: Nếu 1m n= = thì ta được BĐT: 2 2 2 . a b c a b c b c a + + ³ + + Bài 9: Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh: 3 3 3 . ( ) ( ) ( ) 2 a b c a b c b c a c a b a b c + + + + ³ + + + Giải: Theo BĐT (I) ta có: 3 3 3 3 3 ( ) 2 4 ( ) 2 4 2 a b c a a b c a a b c a b c a + + + + ³ = + + . Tương tự ta cũng có: 3 33 3 ; ( ) 2 4 2 ( ) 2 4 2 b c a b b c a b c c c a b a b c + + + + ³ + + ³ + + . Cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Bài 10: Các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 6x y z+ + ³ . Tìm GTNN của biểu thức: 3 3 3x y z S y z x z y x = + + + + + . 4 Bài 11: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: 6a b c+ + = . Tìm GTNN của biểu thức: 3 3 3 1 1 1 (1 )(1 )(1 )P a b c = + + + . Bài 12: Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn hệ thức: 0x y z+ + = . Chứng minh: 3 4 3 4 3 4 6x y zS = + + + + + ³ Giải: Theo BĐT (I) ta có: 4 / 43 4 1 1 1 4 4 4 2.2x x x x+ = + + + ³ = . Tương tự ta cũng có: 3/ 4 / 4 / 4 / 4 / 4 ( ) / 43 4 2.2 ; 3 4 2.2 2(2 2 2 ) 2.3 2 6y y z z x y z x y zS + ++ ³ + ³ Þ ³ + + ³ = (đpcm) Dấu bằng xảy ra khi 0x y z= = = . Bài 13: Cho hai số thực dương x,y có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức: 1 1 x y S y x = + - - . Giải: Dễ thấy S dương. Theo BĐT (I) ta có: 2 2 2 2 2 x y S x y xy xy y x + + ³ + + + ³ 2 2 2333. 3. 3( ) 2 2 x y xy xy x y S S y x + = + Þ ³ Û ³ . Vậy 2MinS = khi x = y = 1/2. Bài 14: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: 3a b c+ + ³ . Tìm GTNN của biểu thức: a b c S b c a = + + . Bài 15: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: 2 2 2 1.a b c+ + = Chứng minh: 3 ab bc ca S c a b = + + ³ . Bài 16: Cho 3 số dương x,y,z có tổng bằng 1. Chứng minh BĐT: 3 2 xy yz zx xy z yz x zx y + + £ + + + . 5 Giải: Do ( ) ( )( )xy z xy z x y z x z y z+ = + + + = + + nên theo BĐT (I) ta có: 1 . 2 xy x y x y xy z x z y z x z y z æ ö = £ +ç ÷+ + + + +è ø . Tương tự ta cũng có: 1 2 yz y z yz x x y x z æ ö £ +ç ÷+ + +è ø ; 1 2 xz x z xz y x y y z æ ö £ +ç ÷+ + +è ø Cộng các BĐT trên ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi 1/3x y z= = = . Bài 17: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện: 6x y+ ³ . Tìm GTNN của biểu thức: 6 8 3 2P x y x y = + + + . Giải: Theo BĐT (I) ta có: 3 6 8 3 3 3 6 8 3 2. . 2. . .6 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y P x y x y = + + + + + ³ + + 6 4 9 19= + + = . Vậy MinP = 19 khi x = 2 và y = 4. Bài 18: Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 2 1xy xz+ = . Tìm GTNN của biểu thức: 3 4 5yz xz xy S x y z = + + . Giải: Theo BĐT (I) ta có: 2 3 2 4 6 yz xz yz xy xy xz S z y x x y x z z y æ ö æ öæ ö= + + + + + ³ + + =ç ÷ç ÷ ç ÷ è øè ø è ø 2( ) 4( ) 4 8 4x z x y xz xy+ + + ³ + = . Vậy MinS = 4 khi x = y = z = 1/3. Bài 19: Cho hai số thực không âm x,y thỏa mãn các điều kiện: 4;3 6x y x y+ £ + £ . Tìm GTLN của biểu thức: 39. 4P x y= + . Giải: Theo BĐT (I) ta có: 3 2 23.3 .1.1 .2 .3 3( 2) ( 3) 3 3 P x y x y= + £ + + + 6 2 3 3 9 2 3 ( ) (3 ) 6 2 3 4 6 6 2 3 4. 6. 6 2 3 2 6 a x y b x y a b - - = + + + + + £ + + + = + + + 9 4 3= + . ( Do 3 3& 2/ 3 (2 3 3) / 2 & (9 2 3) / 6a b a b a b+ = + = Þ = - = - ). Vậy 9 4 3MaxP = + khi 1& 3x y= = . Bài 20: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh BĐT: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4a b c a b c a b c a b c æ ö+ + £ + +ç ÷+ + + + + + è ø . Giải: Theo BĐT (IV) ưng với n =2 ta có: 1 1 1 1 1 2 ( ) ( ) 4a b c a b a c a b a c æ ö= £ +ç ÷+ + + + + + +è ø 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 4 4 4 16a b a c a b c é ùæ ö æ ö æ ö£ + + + = + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ê úè ø è ø è øë û . Tương tự ta cũng có: 1 2a b c+ + 1 1 2 1 16 a b c æ ö£ + +ç ÷ è ø ; 1 2a b c+ + 1 1 1 2 16 a b c æ ö£ + +ç ÷ è ø .Cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi .a b c= = Bài 21: Cho hai số dương a,b có tổng bằng 1. Chứng minh các BĐT sau: 2 2 2 2 1 1 2 3 / 6; / 14.a b ab a b ab a b + ³ + ³ + + Giải: a/ Theo BĐT (IV) ứng với n =2 ta có: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2ab a b ab ab a b + = + + ³ + + 2 2 2 2 4 2 4 6 ( ) 2a b ab a b + = + = + + + (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi 1/ 2.a b= = 1/ 2.a b= = Bài 22: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: 3/ 2.a b c+ + £ Chứng minh: 1/ 1/ 1/ 15/ 2.a b c a b c+ + + + + ³ Bài 23: Ba số dương x,y,z có tích bằng 1. Chứng minh: 2 2 2x y z x y z+ + ³ + + . 7 Giải: Áp dụng BĐT (II) và (I) ứng với n = 3 ta có: 2 2 2 2 ( ) ( ). 3 x y z x y z x y z + + + + ³ = + + 3( ). 3 x y z x y z xyz x y z + + ³ + + = + + (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi 1x y z= = = . Chú ý: Từ BĐT trên ta suy ra BĐT: 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a + + ³ + + với a,b,c là các số dương. Bài 24: Cho 0; 0a c b c> > > > . Chứng minh: ( ) ( )c b c c a c ab- + - £ . Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số ( ; ) & ( ; )c a c b c c- - ta được: 2( ( ) ( )) ( )( )c b c c a c c a c b c c ab- + - £ + - - + = từ đó suy ra BĐT ccm. Dấu bằng xảy ra khi ( )ab c a b= + Bài 25: Cho 4 số dương x,y,a,b thỏa man các điều kiện: ;a x a b x y> + > + . Chứng minh: 2 2 2( )x a x a x y a b x y a b - + ³ + + - - + . Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số ; & ( ; ) x a x x y a b x y x y a b x y æ ö- + + - -ç ÷ç ÷+ + - -è ø ta được: 2 2 2( ) ( ) ( ) x a x x y a b x y x a x x y a b x y æ ö- + + + + - - ³ + -ç ÷+ + - -è ø từ đó suy ra BĐT ccm. Dấu bằng xảy ra khi bx = ay. Bài 26: Bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn hệ thức: 2 2 2 2 1a b c d+ + + = ; x là số thực bất kì. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2( ) ( ) (2 1)x ax b x cx d x+ + + + + £ + Giải: Áp dụng BĐT (II) ứng với n = 3 ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( 1 )( );x ax b x x x a b+ + £ + + + + 8 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( 1 )( )x cx d x x x c d+ + £ + + + + Þ 2 2 2 2( ) ( )x ax b x cx d+ + + + + £ 2 2 2 2 2 2 2 2 2(2 1)( ) (2 1)x x a b x c d x+ + + + + + = + (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi b=d=1&x=a=c. Bài 27: Cho 5 số dương x,y,z,p,q bất kì. Chứng minh: 3x y z py qz pz qx px qy p q + + ³ + + + + . Giải: Theo BĐT (III) ta có: ( ) ( ) ( ) ( )( )x py qz y pz qx z px qy p q xy yz zx+ + + + + = + + + £ 2( )( ) /3p q x y z+ + + (*). Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số ; ; x y z py qz pz qx px qy æ ö ç ÷ + + +è ø và ( ( ); ( ); ( ))x py qz y pz qx z px qy+ + + ta được: [ ] 2( ) ( ) ( ) ( )x y z x py qz y pz qx z px qy x y z py qz pz qx px qy æ ö + + + + + + + ³ + +ç ÷+ + +è ø Kết hợp với BĐT (*) ta sẽ được BĐT ccm. Dấu bằng xảy ra khi; py qz pz qx px qy+ = + = + . Bằng cách giải tương tự ta sẽ chứng minh được các BĐT sau: 1/ 3 2 a b c b c a c b a + + ³ + + + với a,b,c là các số dương bất kì. 2/ 2 a b c d b c d c d a a b + + + ³ + + + + với a,b,c,d là các số dương bất kì. 3/ 2 2 2 2 a b c a b c b c a c b a + + + + ³ + + + với a,b,c là các số dương bất kì. 4/ 2 2 2a b c a b c b c a a c b b a c + + ³ + + + - + - + - với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. 9 5/ 3 a b c b c a a c b b a c + + ³ + - + - + - với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Bài 28: Cho các số thực x,y,u,v thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 2 1x y u y+ = + = . Chứng minh: ( ) ( ) 2u x y v x y- + + £ Giải: Theo BĐT (II) : [ ]2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) 2u x y v x y u v x y x y x yé ù- + + £ + - + + = + =ë û Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi ( ) ( ).u x y v x y+ = - Bài 29: Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 1.a b c+ + ³ Chứng minh: 3 3 3 1 2 a b c b c a c b a + + ³ + + + Giải: Theo BĐT (II) ta có: [ ] 3 3 3 ( ) ( ) ( ) a b c a b c b a c c b a b c a c b a æ ö + + + + + + + ³ç ÷+ + +è ø 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )a b c a b c ab bc ca+ + ³ + + ³ + + . Từ đó ta suy ra BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi 3 /3a b c= = = . Bài 30: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: ( 1) ( 1) ( 1) 4 /3.x x y y z z- + - + - £ Chứng minh: 1 4x y z- £ + + £ . Giải: Từ điều kiện ta suy ra: 2 2 2( 1/ 2) ( 1/ 2) ( 1/ 2) 25/12x y z- + - + - £ . Áp dụng BĐT (II) ta được: [ ]2 2 2 21.( 1/ 2) 1.( 1/ 2) 1.( 1/ 2) 3 ( 1/ 2) ( 1/ 2) ( 1/ 2) 25/x y z x y zé ù- + - + - £ - + - + - £ë û 3/ 2 5/ 2 5/ 2 3/ 2 5/ 2 1 4x y z x y z x y zÞ + + - £ Û - £ + + - £ Û - £ + + £ (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi 4/3x y z= = = . Bài 31: Hai số a,b thỏa mãn điều kiện: 2 2 16 8 6a b a b+ + = + . Chứng minh: /10 4 3 40; / 7 24a a b b b a£ + £ £ Giải: a/ Từ điều kiện ta suy ra: 2 2( 4) ( 3) 9a b- + - = . Áp dụng BĐT (II) ta được: 10 [ ]2 2 2 2 24( 4) 3( 3) ( 4) ( 3) (4 3 ) 9.25 4 3 25 15a b a b a bé ù- + - £ - + - + = Û + - £ë û 15 4 3 25 15 10 4 3 40a b a bÛ - £ + - £ Û £ + £ (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi a = 24/5,b = 24/3 hoặc a = 16/5, b = 6/5. Bài 32: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 4 2 0.x y z x z+ + - + £ Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: 2 3 2 .S x y z= + - Bài 33: Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn hệ thức: 3.a b c+ + = Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 2 2 2 2S a ab b c cb b a ac c= + + + + + + + + . Giải: Theo BĐT (II) ta có: 2 22 2 2 2 2 24 3 1( ). 1 ( ) 3 2 2 2 23 b b b b a ab b a a a b é ù é ùæ ö æ öæ ö æ öê ú+ + = + + + ³ + + = +ê úç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ê úè ø è øè øê úè ø ë ûë û 2 2 3( ) / 2a ab b a bÞ + + ³ + . Tương tự ta cũng có: 2 2 3( ) / 2c cb b c b+ + ³ + ; 2 2 3( ) / 2 3( ) 3c ca a c a S a b c+ + ³ + Þ ³ + + = . Vậy MinS = 3 khi 3 /3a b c= = = . II.Sử dụng phương pháp đánh giá: Bài 34: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh các BĐT sau: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 / ; 1 1 1 / . 2 a a b abc c b abc a c abc abc a b c b a bc b ac c ab abc + + £ + + + + + + + + + + £ + + + Giải:a/Ta có: 3 3 2 2( )( ) ( ) ( ) 0a b abc a b a ab b abc a b ab abc ab a b c+ + = + - + + ³ + + = + + > 11 3 3 1 1 ( ) ( ) c a b abc ab a b c abc a b c Þ £ = + + + + + + . Tương tự ta cũng có các BĐT: 3 3 3 3 1 1 ; ( ) ( ) a b c b abc abc a b c c a abc abc a b c £ £ + + + + + + + + . Cộng các vế của các BĐT này lại rồi giản ước ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi .a b c= = b/ Theo BĐT (I) ta có: 2 2 1 1 2 0 2 42 bc b c a bc a bc a bc abc abca bc + + ³ > Þ £ = £ + . Tương tự ta cũng có: 2 2 1 1 ; 4 4 a c b a b ac abc c ab abc + + £ £ + + . Cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi .a b c= = Bài 35: Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 3.x y z+ + £ Tìm GTNN của biểu thức: 1 1 1 . 1 1 1 P xy zy zx = + + + + + Bài 36: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 2. Chứng minh: 1. 2 2 2 ab cb ac S c a b = + + £ - - - Bài 37: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1/ 1/ 1/ 3.a b c+ + = Tìm GTLN của biểu thức: 3 3 3 3 3 3 . ab cb ac S a b c b a c = + + + + + Bài 38: Cho ba số dương x,y,z có tích bằng 8. Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 2 2 2 2log 1 log 1 log 1.S x y z= + + + + + Giải: Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (log 1) (log 1) (log 1) 1 ( log 1 log 1 log 1) 2 2 2 2 x x x S x y z + + + ³ + + = + + + + + 2 1 6 3 log 3 2. 2 2 xyz³ + = = Vậy 3 2MinS = khi 2.x y z= = = 12 Bài 39: Cho 3 số thực x,y,z có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức: 4 4 4 .S x y z xyz= + + - Giải: Theo BĐT (II) ta có: 2 4 4 4 2 2 2 2 21 1 1 1( ) ( ) 3 3 3 27 x y z x y z x y zé ù+ + ³ + + ³ + + =ê úë û . Áp dụng BĐT (I) ta được: 4 4 4 4 4 4 4 3 1 1 1/ 27 3 .4 4 4 3 4.27 4 4 3 xyzx y z S x y z xyz + + æ ö= + + + + - - ³ +ç ÷ è ø 1 0. 4.27 xyz xyz xyz- - = - ³ Vậy 0MinS = khi 1/3.x y z= = = Bài 40: Cho 3 số dương x,y,z bất kì.Tìm GTNN của biểuthức: 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 x y z S x yz y yx z yx = + + + + + Bài 41: Cho 3 số dương x,y,z bất kì. Chứng minh: 4 6 4 6 4 6 4 4 4 2 2 2 1 1 1 . x y z S y z z x x y x y z = + + £ + + + + + III.Chứng minh BĐT hoặctìm cực trị bằng phương pháp đổi biến: Bài 42: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: .ab bc ca abc+ + = Chứng minh BĐT: 2 2 2 2 2 22 2 2 3 b a c b a c S ab cb ac + + + = + + ³ . Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: 1x y z+ + = và BĐT trở thành: 2 2 2 2 2 22 2 2 3S x y y z z x= + + + + + ³ . Theo BĐT (II) ta có: 2 2 2( 2 ) /3 ( 2 ) /3 ( 2 ) /3 3( ) / 3 3S x y y z z x x y z³ + + + + + = + + = (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi 1/3x y z= = = hay 3.a b c= = = 13 Bài 43: Cho 3 số thực dương x,y,z có tích bằng 1. Chứng minh BĐT: 3 3 3 1 1 1 3 . ( ) ( ) ( ) 2 S x y z y x z z y x = + + ³ + + + Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: 1abc = và BĐT trở thành: 2 2 2 3 2 a b c S b c a c b a = + + ³ + + + .Áp dụng BĐT (II)&(I) ta có ngay: 2( ) 3 2( ) 2 2 a b c a b c S a b c + + + + ³ = ³ + + Dấu bằng xảy ra khi 1a b c= = = hay 1.x y z= = = Bài 44: Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 1/ 1/ 1/ 1.x y z+ + = Chứng minh BĐT: x yz y xz z yx xyz x y z+ + + + + ³ + + + . Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: 1a b c+ + = và BĐT trở thành: 1a bc b ac c ab ab bc ca+ + + + + ³ + + + . Ta có: 2 2( ) 2 ( )a bc a a b c bc a a bc bc a bc a bc+ = + + + ³ + + = + = + . Tương tự ta cũng có: ;b ac b ac c ab c ab+ ³ + + ³ + . Cộng các BĐT này lại ta sẽ được BĐT ccm. Dấu bằng xảy ra khi 1/3a b c= = = hay 3.x y z= = = Bài 45: Cho hai số thực x,y khác 0 và thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 22x y x y y x+ = + . Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: 2 / 1/ .S x y= + Giải: Đặt 1/ & 1/u x v y= = thì điều kiện trở thành: 2 2 2 22 ( 1/ 2) ( 1) 5/ 4u v u v u v+ = + Û - + - = . Theo BĐT (II) ta có: [ ]22 2 2 2 2( 2) 2( 1/ 2) 1 (2 1 ) ( 1/ 2) ( 1) 25/ 4 5/ 2 2 5/ 2S u v u v Sé ù- = - + - £ + - + - £ Þ - £ - £ë û 0,5 4,5SÞ- £ £ . Vậy MinS = - 0,5 khi x = - 2; y = 2. MaxS = 4,5 khi x = y = 2/3. Bài 46: Hai số thực x,y thỏa mãn các điều kiện: 20 & 12.y x x y£ + = + Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: 2 17.A xy x y= + + + Giải: Từ điều kiện ta suy ra: 2 12 0 4 3y x x x= + - £ Þ - £ £ ; 14 đồng thời 3 2( ) 3 9 7A f x x x x= = + - - Từ BBT của hàm số ta suy ra: ( ) ( 3) (3) 20MaxA Maxf x f f= = - = = [ ]4;3- ( ) (1) 12MinA Minf x f= = = - [ ]4;3- Bài 47: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: 2 2 1x y+ = . Tìm GTNN của biểu thức: ( 1)(1 1/ ) ( 1)(1 1/ )S x y y x= + + + + + Bài 48: Cho các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: 2 2 1x y+ = . Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: 2 2 4 2 1 2 2 3 x xy T xy y + - = - + Giải: Từ điều kiện ta suy ra: 2 2 2 2 3 2 3 2 x xy y T x xy y + - = + + . Nếu 20 1 1.y x T= Þ = Þ = Nếu 0y ¹ đặt 2 2 2 3 2 1 / (3 3) 2( 1) 1 0(*) 3 2 1 t t t x y T T t T t T t t + - = Þ = Û - + - + + = + + . (*) không có nghiệm khi T=1 Với 1,(*)T ¹ có ' ( 1)( 2 4) 0T TD = - - - ³ khi 2 1T- £ < . Kết hợp với trên ta có: MinT=-2 khi 10 /10; 3 10 /10x y= ± = m . MaxT=1 khi 1x = ± và y = 0. Bài 49: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: 5/ 4x y+ = . Tìm GTNN của biểu thức: 4 / 1/ 4 .S x y= + Bài 50: Cho hai số không âm x,y có tổng bằng 1. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: 2008 20081 1S x y= + + + . x -4 -3 1 3 f’(x) + 0 - 0 + f(x) 20 20 13 -12 15 Giải: Ta có: 2007 2007 2008 2008 2008 2008 1004 1004(1 ) ( ) 1 1 (1 ) . '( ) 1 1 (1 ) x x S f x x x f x x x - = = + + + - = - + + - 2007 2008 2007 2008 4014 2008'( ) 0 1 (1 ) (1 ) 1 1 (1 )f x x x x x x xé ù= Û + - = - + Û + - =ë û 4014 2008 4014 4014 2008 2008 2006 2006(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 0x x x x x x x xé ù é ù- + Û - - + - - - =ë û ë û 2008 2008 1 2(2 1) ( ) (1 ) (2 1) ( ) 0 2 1 0 1/ 2x P x x x x P x x xÛ - + - - = Û - = Û = . ( Vì x và 1 x- không đồng thời bằng 0 nên 1 2( ) 0; ( ) 0P x P x> > ) Do 2008 2008(0) (1) 1 2; (1/ 2) 2 1 1/ 2 1 2; 2 1 1/ 2f f f MaxS MinS= = + = + Þ = + = +