Chuyên đề Bất đẳng thức véctơ và ứng dụng

I.lý thuyết. 1. Độ dài véctơ. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, véctơ có độ dài là Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, véctơ có độ dài 2. Các phép toán véctơ biểu thị qua tọa độ. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, hai véctơ Khi đó ta có Chú ý: Trong không gian các phép toán giữa các véctơ tương tự như trong mặt phẳng. 3. Bất đẳng thức véctơ. Cho hai véctơ (Trong mặt phẳng hoặc không gian). Khi đó ta có Dấu “=” xảy ra hoặc một trong hai véctơ bằng . Tổng quát: Dấu “=” xảy ra hoặc một trong hai véctơ bằng . Dấu “=” thứ nhất xảy ra hoặc một trong hai véctơ bằng . Dấu “=” thứ hai xảy ra hoặc một trong hai véctơ bằng . II. ứng dụng của bất đẳng thức véctơ. 1. ứng dụng để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình. 1.1.Phương pháp: Ta biến đổi phương trình đã cho sau đó xét các véctơ có tọa độ thích hợp rồi áp dụng một trong ba BĐT véctơ trên và xét trường hợp dấu bằng xảy ra để đưa ra nghiệm của phương trình đã cho. 1.2. Ví dụ. Ví dụ 1: Giải phương trình sau Giải ĐK: Khi đó ta có xét hai véctơ Ta có Mà theo BĐT (3 ) ta có Vì cả ha véctơ đều khác véctơ nên dấu “=” xảy ra Cả hai nghiệm trên đều thoả mãn phương trình đã cho. Vậy phương trình (1.1) có hai nghiệm phân biệt . Ví dụ 2: Giải phương trình sau Giải Phương trình đã cho xác định với mọi x. Ta có xét hai véctơ Khi đó Mà theo BĐT (1 ) ta có Vì hai véctơ ta xét đều khác véctơ nên dấu “=” xảy ra Ta thấy thoả mãn phương trình đã cho. Vậy phương trình (1.2) có một nghiệm duy nhât . Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Giải ĐK: Xét hai véctơ Ta có Mà theo BĐT (3) ta có từ đây và phương trình đã cho ta suy ra phương trình (1.3) có nghiệm . Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau Giải Ta xét hai véctơ Khi đó ta có Từ trên ta thấy Kết hợp với hệ đã cho ta có nghiệm duy nhất của hệ (1.4) là x =y =z=1. Ví dụ 5: Giải bất phương trình sau Giải ĐK: Xét hai véctơ Khi đó ta có Từ trên và bất phương trình (1.5) ta thấy Mà theo BĐT (3) ta có Từ (*) và (2*) suy ra (Vì hai véctơ ta xét đều khác véctơ ). Vậy x =5 là nghiệm duy nhất của bất phương trình (1.5). 1.3. Bài tập tự luyện. Bài 1. Giải phương trình sau Bài 2. Giải phương trình sau Bài 3. Giải phương trình sau Bài 4. Giải phương trình sau Bài 5. Giải bất phương trình sau Bài 6. Giải bất phương trình sau Bài 7. Giải hệ phương trình sau Bài 8. Chứng minh rằng hệ phương trình sau vô nghiệm Bài 9. Giải hệ phương trình sau Bài 10. Giải hệ phương trình sau 2. ứng dụng trong bài toán chứng minh bất đẳng thức. 2.1. Phương pháp: Ta biến đổi BĐT đã cho sau đó xét các véctơ có tọa độ thích hợp rồi áp dụng một trong ba BĐT véctơ trên và xét trường hợp dấu bằng xảy ra để chứng minh BĐT đã cho. 2.2. Ví dụ. Ví dụ 1: Chứng minh rằng ta có Giải Xét hai véctơ Khi đó ta có Mà theo BĐT (1) ta có Vậy BĐT (2.1) được chứng minh. Ví dụ 2: Chứng minh rằng ta có Giải Ta có xét hai véctơ Khi đó ta có Mà theo BĐT (1) ta có Vậy BĐT (2.2) được chứng minh. Ví dụ 3: Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng Giải Ta có xét ba véctơ Khi đó ta có Vì Mà theo BĐT (1) ta có Vì ba véctơ ta xét đều khác véctơ nên dấu “=” xảy ra mà ab + bc + ca =abc suy ra a = b = c =3. Vậy BĐT (2.3) được chứng minh và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =3. 2.3. Bài tập tự luyện. Bài 1. Chứng minh rằng ta có Bài 2. Chứng minh rằng ta có Bài 3. Chứng minh rằng ta có Bài 4. Chứng minh rằng ta có a) b) c) Bài 5. Chứng minh rằng ta có (Đề thi ĐH năm 2003) Bài 6. Cho ba số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng Bài 7. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta luôn có a) b) Bài 8. Chứng minh rằng ta có Bài 9. Chứng minh rằng ta có (Đề thi ĐH NNI_2000) Bài 10. Cho . Chứng minh rằng Bài 11. Chứng minh rằng ta có a) b) Bài 12. Chứng minh rằng ta có Bài 13. Chứng minh rằng ta có a) b) Bài 14. Chứng minh rằng ta có Bài 15. Cho . Chứng minh rằng Bài 16*. Chứng minh rằng ta có Bài 17*. Chứng minh rằng ta có Bài 18*. Cho n số thực . Chứng minh rằng 3. ứng dụng trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. 3.1. Phương pháp: Phương pháp chủ yếu là ta xét các véctơ có tọa độ thích hợp sử dụng một trong ba BĐT véctơ trên để tìm giá trị lớn nhất, giái trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. 3.2. Ví dụ. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau đây Giải TXĐ: Ta có Xét hai véctơ Khi đó ta có Mà theo BĐT (1) ta có Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) đã cho là 2 đạt được tại x = 0. Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số Giải Xét hai véctơ Khi đó ta có Mà theo BĐT (1) ta có Dấu “=” xảy khi và chỉ khi hoặc Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) đã cho là 5 đạt được tại hoặc . Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất trên khoảng của hàm số Giải Xét hai véctơ Khi đó ta có Mà theo BĐT (1) ta có Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Xét trên đoạn ta có k = 1000; 1001 tương ứng với Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) đã cho trên đoạn là đạt được tại . 3.3.Bài tập tự luyện. Bài 1. Cho hàm số a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên. b) Dùng câu a chứng minh rằng Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau