Chuyên đề Bất phương trình

1.Bất phương trình đa thức A-Lý thuyết : Phương pháp giải : *)Vân dụng định lí dấu tam thức bậc 2 (định lí đảo dấu tam thức bậc 2 ) *)Tính chất của hàm số bậc nhất và bậc 2 B-Bài tập : Bài toán 1: Tìm a để bất pt : Đúng với mọi x thỏa mãn điều kiện Bài giải : Đặt f(x) = ax +4 Ta có : Vậy giá trị cần tìm là : Bài toán 2: Cho bpt : (1) 1.Tìm m để bpt vô nghiệm 2. Tìm m để bpt có nghiệm x = 1 Bài giải : 1.TH1: * Với m = -2 : (ktm) Với m = 2 : thỏa mãn . TH2: vô nghiệm Bài giải : Bài toán 4: Đặt : Ta có : Xét hàm số : f(t) = (3) Lập bảng biến thiên của f(t): Suy ra Mìn(t) = -2 Vậy (3) Kết luân : Bài toán 5: Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x: Ta có : Do đó (1) đúng với mọi x Kết luận : Bài tập về nhà : Bài 1: Tìm m để bpt sau nghiệm đúng với mọi x thỏa mãn điều kiên : (1) Bài 2: Tìm m để bpt sau nghiệm đúng với mọi x : Bài 3: Tìm a nhỏ nhất để bpt sau thỏa mãn (1) Bài tập tuyển sinh: Bài 1: Tìm a để hai bpt sau tương đương : (a-1).x – a + 3 > 0 (1) (a+1).x – a + 2 >0 (2) Bài giải : Th1: a = thay trực tiếp vào (1) và (2) thấy không tương đương. Th2: a > 1 : (1) Th3: a < -1 : Để ( loại) Th4: -1 < a < 1 : (1) Và (2) không tương đương Kết luận : a = 5 thỏa mãn bài toán . Bài 2: (ĐHLHN): Cho f(x) = 2x2 + x -2 . Giải BPT f[f(x)] < x (1) Bài giải : Vì f[f(x)] – x = f[f(x)] – f(x) +f(x) – x = [2f2(x) + f(x) -2] – (2x2 + x – 2) + f(x) – x = 2[f2(x) – x2 ] + 2 [f(x) – x ] = 2 [f(x) – x ][f(x) + x +1] = = 2(2x2 – 2)( 2x2 +2x-1) Vậy (1) Bài toán 3: (ĐHKD-2009) Tìm m để đường thẳng (d) : y = -2x + m cắt đường cong (C): y = tại 2 điểm pb A ,B sao cho trung điểm I của đoạn AB thuộc oy Từ 2 trường hợp trên ta thấy giá trị cần tìm là : 2.Bất phương trình (1) có một nghiệm x = 1 Bài toán 3: Định m để bpt : (1) thỏa mãn Bài giải: Cách 1 : Xét f(x) = x2 – 2x trên [1;2] thỏa mãn với mọi x thuộc [1;2] khi và chỉ khi Max f(x) (3) Lập bảng bt của f(x) suy ra Maxf(x) = 0: Vậy (3) Kết luận : Cách 2 : Đặt f(x) = x2 – 2x + 1 – m2, Ta có : f(x) Kết luận : Bài toán 4: Với giá trị nào của a thì bất pt sau nghiệm đúng với mọi giá trị của x : Bài tập về nhà : Bài giải : Bài 1: Đặt f(x) = (m2 + m – 2 )x + m + 2 Bài toán thỏa mãn: Bài 2: Do a = 1 > 0 Vậy bt tm : Bài 3: Đăt : = f(x) Lập bbt f(x) trên [0;1] Suy ra f(x) Đặt f(t) = t2 – at + 2a Suy ra a cần tìm là : a = -1 Bài giải : Xét pt hoành độ : Để (d) cắt (C) tại 2 điểm pb có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 0 Do a .c = -3 <0 ,f(0) = -1 Vậy (1) luôn có 2 nghiệm phân biêt khác 0 . Để I thuộc oy Bài toán 4:(ĐHKB-2009) Tìm m để (d) : y = -x + m cắt (C )y = tại 2 điểm pb A , B sao cho AB = 4. Bài giải : Xét pt hoành độ :(1) Để (d) cắt (C ) tại 2 điểm pb có 2 nghiệm pb khác 0 có 2 nghiệm pb khác 0. Do a.c = -2 < 0 , f(0) = -1 Vậy (1) luôn có 2 nghiệm pb x1 , x2 khác 0. Để AB = 4 2.Bất phương trình chứa trị tuyệt đối . A-Lý thuyết Các tính chất : B-Bài tập : Bài 1: Giải các bpt sau : Bài 2:Giải các bpt sau : Bài giải : Bài 2: Kết luận: Bài giải : Bài 3 : Bảng xét dấu : x 0 4 5 X2 – 4x + - + + X - 5 - - - + +) Xét : (do ) +) Xét : +) Xét : (ktm) Vậy nghiệm bpt là : 2. Đặt t = : Bài tập về nhà : Bài 1: Giải các bpt sau : Bài 2: Giải các bpt Sau : Bài 3: Giải và biện luận bpt sau theo tham số m . Bài 4: Với giá trị nào của m thì bpt sau thỏa mãn với mọi x : Bài 5: Với giá trị nào thì bpt sau có nghiệm: Bài giải : Bài1 : Kết quả : 1.) 2.) 3.) 4.) Kết luận : Kết luân : 4. Đk: x Bài 3:Giải các bpt sau : Bài 4: Giải và biện luận bpt sau : vậy Bài 4: Ta có : +) Nếu 2m < 0 : Có trục xác định dấu: Kết luận : Nếu 2m = 0 Kết luận: +) Nếu Kết luận: +)Nếu 2m = Kết luận: +)Nếu Kết luận: Bài 2: 1.Đặt : Ta được : Vậy 2.Đk : Th1 : (tm) 2.Th2: ( tm ) Kết luận : 3. Đặt : Ta được : Vậy ( tm ): Kết luận : Bài 3: Nếu : Nếu : Nếu Nếu Nếu m < 0: Kết luận : Bài 4: Đặt : Ta được : t2 + 2t + 2 – m2 > 0 (5) Để tmbt Lập bbt của f(t) : Suy ra Minf(t) = 0 : Vậy Bài 5: (5) có nghiệm khi và chỉ khi (I) có nghiệm Hoặc (II) có nghiệm: Có f(m) = m2 + 2m có nghiệm (II)có nghiệm Kết luận : Cách 2: Đặt : ,phải tìm m để f(t) = có nghiệm .Parabôn y = f(t) quay bề lõm lên trên và có hoanh độ đỉnh là t = -1< 0 nên phải có f(0) = 2mx + m - 1.Khi t = 0 thì x = m suy ra Bài tập về nhà : Bài 1 : Tìm a để với mọi x : Bài 2: Tìm a để bpt : Ax + 4 > 0 (1) đúng với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện Bài 3: Tìm a để bpt sau nghiệm đúng với mọi x : Bài giải : Bài 1: Bài toán thỏa mãn : (3) Vậy để thỏa mãn bài toán : Bài 2: Nhận thấy trong hệ tọa độ xoy thì y = ax + 4 với -4 0 Bài 3: Đặt : Bài toán thỏa mãn : Xét f(t) với tSuy ra Min f(t) = -2 Vậy bttm 3.Bất phương trình chứa căn thức A-Lý thuyết : Phương pháp 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương : Bài toán 1: Giải các bpt sau : Bài giải : 1. 2. 3. 4. Bài toán 2: Giải các bpt sau : Bài giải : .1 . 2. Kết luận : 3. Đk: (2) +) Xét : luôn đúng. +) Xét : Do nên nghiệm của bpt là : Kết luận : 4.Đk: Nhận xét x = 3 là nghiệm bpt . +) Xét x > 3 : Suy ra x > 3 là nghiệm bpt +) Xét : (tm ) Vậy kêt luận : Bài tập về nhà : Bài 1: Giải các bpt sau : Bài 2: Giải các bpt sau : Bài giải : Bài 1: 1. 2. 3. Tương tự : 4.Đk: Kết luận : 2.Đk : Khi đó : Kết luận : 3. Đk: Nhận xét : x = 0 là nghiệm của bpt +) Xét : Kết luận : Chú ý : Dạng : Bài tập về nhà : Bài 1 : Giải các bpt sau : Nhân xét x = 1 là nghiệm +) Xét x <1 : Ta có : Suy ra x < 1 bpt vô nghiệm . +) Xét : Ta có : Suy ra : , bất pt luôn đúng . Vậy nghiệm của bpt là : 2. Điều kiện: Nhận xét x = 3 là nghiệm của bpt : +) Xét : : 5. Đkiện : Kết luận : Bài 2: 1. Bài 2: Bài giải : Bài 1: Đk :: Xét : : Vậy (1) có nghiệm : Xét : (1) luôn đúng Kết luận nghiệm của bpt: Bài 2: 1. Đk: Suy ra : là nghiệm của bpt +) Xét : Suy ra : Là nghiệm của bpt . Kết luận : Nghiệm của bpt đã cho là : 3. Đk:: Khi đó : Vậy nghiệm của bpt là : Phương pháp 2: Đặt ẩn số phụ : Bài toán 1:Giải bpt sau : Bài giải : Đặt : ( Do Khi đó : ( do t> 0 ) Kết luận : -9 < x < 4 Bài toán 2 : Đk:: Đặt : Khi đó : Kết luận : Bài toán3: Đk : x > 0: Đặt : Khi đó : Đặt : Kết luận : Bài tập về nhà : Bài 1: Giải các bpt sau : Bài 2: Bài 3: Bài giải : Bài 1: 1.Đặt : Khi đó : 2. Đặt : Khi đó : 3. Đặt : Ta được : Bài 2: 1. Đk : : Đặt : Khi đó : Bài 2: Vậy : Kết luận : 2.Đk : x > 0 Đặt : Khi đó : Do đk:Ta có Đặt : Ta được : 2u2 – 4u + 1> 0 3. Đk: Đặt: Ta được : Bài 3: Đk: +) Xét x < -1 :bpt VN +) x > 1 : Đặt : Còn tiếp !!!