Chuyên đề bồi dương giáo viên - Phương pháp hệ số bất định

Chuyên đề bồi dương giáo viên PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT Đ̣NH Phương pháp giải toán dựa trên cơ sở tính toán và biến đổi hệ số của đa thức người ta gọi là phương pháp hệ số bất đ̣nh. Phương pháp này được sử dụng rất tiện lợi khi giải toán về chia hết , phân tích thành nhân tử và rút gọn biểu thức .Nhưng do tŕnh độ có hạn nên tôi xin tŕnh bày một số hiểu biết của ḿnh về việc vận dụng phương pháp hệ số bất đ̣nh để giải một số dạng toán thông thường . Vậy tôi rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để chuyên đề này phát huy tác dụng trong việc dạy cho học sinh và bồi dươơng học sinh giỏi .Sau đây là một số nội dung chủ yếu I ) KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ) Đ̣nh lý : a) Nếu đa thức bằng 0 với mọi giá tṛ của các biến th́ hệ số của các hạng tử đều bằng 0 Nếu đa thức f(x) = an xn+an-1xn-1 +.....+ a1x + a0 = 0 với mọi x Ỵ Q th́ ai = 0 ( i = 0;1;2;3;... n) b) Nếu hai đa thức cùng bậc mà hằng đẳng với nhau với mọi giá tṛ của các biến th́ hệ số của các hạng tử đồng dạng bằng nhau . cho hai đa thức f(x) = an xn+an-1xn-1 +.....+ a1x + a0 và g(x) = bnxn+ bn-1xn-1 + ....+ b1x+ b0 Nếu f(x) = g(x) th́ ai = bi ( i = 0;1;2;3;.....n ) 2 ) Đ̣nh lý Bơzu : a) Đ̣nh lý : Nếu đa thức f(x) chia cho nḥ thức ( x - a ) có số dư r th́ r = f(a) b) Hệ quả : Nếu đa thức f(x) chia hết cho ( x- a) th́ f(a) = 0 Từ hệ quả ta suy ra nếu đa thức f(x) chia hết cho (x - a) th́ khi phân tích đa thức f(x) thành nhân tử th́ có chứa thừa số là x-a . Điều này có nghĩa f(x) M ( x - a) th́ f(x) = (x - a ) .q(x) II ) LOẠI TOÁN VỀ TÍNH TOÁN HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC Bài 1 : Không làm phép tính , haơy viết đa thức sau dưới dạng chính tắc (x - 2)(x + 1)(2x - 3) + 4x - 3 Giải : đa thức trên sau khi biến đổi là đa thức bậc 3 đối với biến x , do vậy sau khi biến đổi có dạng A x3 + Bx2 +Cx + D . Theo bài ra ta có (x - 2)(x + 1)(2x - 3) + 4x - 3 = A x3 + Bx2 +Cx + D với mọi x§Q cho x = 0 th́ D = 3 cho x = 1 th́ A + B + C + D = 3 Þ A + B + C = 0 (1) ; cho x = - 1 th́ -A + B - C + D = -7 Þ -A + B - C = - 10 (2) cho x= 2 th́ 8A + 4B + 2C + D = 2 Þ 4A + 2B + C = 1 (3) Lấy (1) + (2) ta được 2B = - 10 Þ B = - 5 Þ A + C = 5 Từ (3) ta có 4A + C = 11 ; cho nên ( 4A + c) - ( A + C ) = 3A = 6 Þ A = 2 và C = 3 Vậy đa thức cần t́m là 2x3 - 5x2+ 3x + 3 hay (x - 2)(x + 1)(2x - 3) + 4x - 3 = 2x3 - 5x2+ 3x + 3 Bài 2 ) Viết đa thức 3x3 + 4x - 5 dưới dạng luơy thừa giảm dần của x - 1. Giải Cách 1: Ta có 3x3 + 4x - 5 = a(x - 1)3 + b(x - 1)2 + c(x - 1) + d = a x3 + ( b - 3a)x2 + (3a - 2b + c)x -a + b - c + d cho nên a = 3 b - 3a = 0 3a - 2b + c = 4 Þ a = 3 ; b = 9 ; c = 13 ; d = 6 -a + b - c + d = -1 cách 2 : cho x = 1 th́ d = 6 cho x = 0 th́ -a + b - c + d = -1 Þ -a + b - c = -7(1) cho x = -1 th́ -8a + 4b - 2c + 6 = -8 Þ -8a + 4b - 2c = -14 hay -4a + 2b - c = -7(2) cho x = 2 th́ a + b + c + d = 31 Þ a+ b + c = 25 (3) Từ (1) và (3) ta được 2b = 18 Þ b = 9 ; a + c = 16 (4) ; từ (2) và (4) ta có 4a + c = 25 v́ vậy a = 3 ; c = 13 Vậy 3x3 + 4x - 5 = 3(x - 1)3 + 9(x -1)2 + 13(x -1) + 6 Bài 3 : Cho đa thức x3 + mx + n = (x - 1)(x - 2)(x + a) Tính a; m;n Giải : Vế phải = x3 + (a - 3)x2 + (2 - 3a)x + 2a Cho nên a - 3 = 0 ; 2 - 3a = m ; 2a = n Þ a = 3 ; n = 6 ; m = 4 Bài 4 : T́m a , b để đa thức x4 + 4x3 - 8x2 + ax +b bằng b́nh phương của đa thức x2 + mx + n . Giải :ta có x4 + 4x3 - 8x2 + ax +b = (x2 + mx + n)2 = x4 + m2x2 + n2 + 2mx3 + 2nx2 + 2mnx = x4 + 2mx3 + (m2 + 2n)x2 + 2mnx + n2 Û Bài 5 : Với giá tṛ nào của a và b để đa thức x4 + 2x3 - a x2 + 3x + b chia hết cho đa thức x2 + 3x - 1 Giải : Thực hiện phép chia đa thức x4 + 2x3 - a x2 + 3x + b x2 + 3x - 1 x4 + 3x3 - x2 x2 - x + (4 - a) - x3 + (1 - a)x2 + 3x + b - x3 - 3x2 + x (4 - a)x2 + 2x + b ( 4 - a)x2 + ( 12 - 3a)x -(4 - a) (3a - 10)x + (b - a + 4) Để đa thức x4 + 2x3 - a x2 + 3x + b M (x2 + 3x - 1 ) Û (3a - 10)x + (b - a + 4) = 0 với mọi cho nên Þ a = Bài 6 : Xác đ̣nh a , b để cho đa thức 2x4 - 6x3 + a x2 - 7x + 3 chia hết cho đa thức x2 - x + b. Giải : Thực hiện phép chia 2x4 - 6x3 + a x2 - 7x + 3 x2 - x + b 2x4 - 2x3 + 2bx2 2x2 - 4x + a - 2b - 4 - 4x3 + (a - 2b)x2 - 7x +3 - 4x3 + 4x2 - 4bx (a -2b -4)x2 + (4b-7)x +3 (a -2b - 4)x2 - (a-2b-4)x + b(a-2b-4) (a+2b-11)x +3-b(a-2b-4) Để đa thức 2x4 - 6x3 + a x2 - 7x + 3 chia hết cho đa thức x2 - x + b. (a+2b-11)x +3-b(a-2b-4) = 0 với mọi x Û Từ a+2b - 11 =0 Þ a = 2b + 11(1) Từ 3 - b(a-2b-4) = 0 Þ 3 - ab + 2b2 + 4b = 0 (2) . Thay (1) vào (2) ta được 3 - b( -2b + 11) +2b2 +4b = 0 hay 4b2 - 7b + 3 = 0 Û (b - 1)(4b - 3) = 0 Þ b = 1 hoặc b = 3/4 do vậy ta có hai cặp số ( a,b) = ( 9 ; 1) ; ( 19/2 ; 3/4) Bài 7 ) Chứng minh rằng không tồn tại các số a, b,c ,m , n ,p sao cho với mọi x , y , t th́ (a x + by + ct )(mx + ny + pt ) = x2 + y2 + t2 Giải Giả sử tồn tại các số a,b,c,m,n,p sao cho x2 + y2 + t2 = (a x + by + ct )(mx + ny + pt ) = am x2 + bny2 + cpt2 + (an + mb)xy + (ap +mc)xt + (bp + nc)yt Û am = bn = cp = 1 (1) và an + bm = ap + cp = bp + nc = 0 (2) Từ (1) ta có am = bn Þ (3) Từ (2) ta có an = -mb Þ (4) , nhân từng vế (3) với (4) ta được . điều này vô lí v́ b́nh phương của một số là số không âm . Vậy không tồn tại các số a, b,c ,m , n ,p sao cho với mọi x , y , t th́ (a x + by + ct )(mx + ny + pt ) = x2 + y2 + t2 Bài 8 : Xác đ̣nh a , b để đa thức a x4 + bx3 + 1 chia hết cho đa thức (x - 1)2 . Giải : Đặt f(x) = a x4 + bx3 + 1 Theo hệ quả đ̣nh lý Bơ Zu ta có : f(x) = a x4 + bx3 + 1 M (x - 1)2 , nên f(x) = a x4 + bx3 + 1 M (x - 1) Þ f(1) = a + b + 1 = 0 Þ b = -a -1 thay vào f(x) ta có f(x) = a x4 + bx3 + 1 = a x4 - a x3 - x3 + 1 = a x3(x - 1) - (x - 1)(x2 + x + 1 ) = (x - 1)(a x3 - x2 - x - 1) Đặt g(x) = a x3 - x2 - x - 1 . Mà f(x) M (x - 1)2 nên g(x) M (x - 1) Vậy g(1) = a -1 -1 -1 = 0 Þ a = 3 và b = -4 Vậy a = 3 , b = - 4 th́ đa thức a x4 + bx3 + 1 chia hết cho đa thức (x - 1)2 Bài 9 : Xác đ̣nh a,b,c sao cho đa thức 2x4 + a x2 + bx + c chia hết cho x - 2 , khi chia cho x2 - 1 th́ dư 2x + 5 . Giải Đặt f(x) = 2x4 + a x2 + bx + c , v́ f(x) M (x - 2) nên f(2) = 32 + 4a + 2b +c = 0 hay 4a + 2b + c = -32 (1) Theo bài ra f(x) chia cho (x2 - 1) dư 2x + 5 nên ta có f(x) = 2x4 + a x2 + bx + c = (x2 - 1).q(x) + 2x +5 theo đ̣nh lý Bơ Zu th́ f(1) = 2 + a + b + c = 7 Þ a + b + c = 5(2) f(-1) = 2 + a - b +c = 3 Þ a - b + c = 1 (3) Lấy (2) - (3) ta được 2b = 4 Þ b = 2 , a + c = 3(4) Lấy (1) - (4) ta được 3a = -39 Þ a = -13 và c = 16 Vậy đa thức cần t́m là 2x4 -13 x2 + 2x + 16 Bài 10 ) T́m số dư của phép chia đa thức x1998 + x998+ x199 + x19 + x + 3 chia cho đa thức x2 - 1 Giải Đặt f(x) = x1998 + x998+ x199 + x19 + x + 3 và ta có x2 - 1 = (x - 1)(x + 1) là đa thức bậc hai nên phép chia f(x) cho đa thức x2 - 1 có dư là đa thức bậc nhất , đa thức dư có dạng mx + n Vậy f(x) = (x2 - 1).q(x) + mx + n Áp dụng đ̣nh lý Bơ Zu : f(1) = m + n = 8 (1) ; f(-1) = -m +n = 2 (2) Cộng và trừ từng vế của (1) với (2) ta được m = 3 , n = 5 Vậy đa thức dư của x1998 + x998+ x199 + x19 + x + 3 cho x2 - 1 là 3x + 5 Bài 11 ) Xác đ̣nh a,b để Giải Vế Phải = Nên a = 1 2a + b = 0 Þ b = -2 a - 2b = 5 III) SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT Đ̣NH ĐỂ GIẢI TOÁN Loại phân tích thành nhân tử Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : ( a + b + c )3 - a3 - b3 - c3 Giải Đa thức trên sau khi khai triển và thu gọn ta được đa thức bậc 3 đối với tập hợp các biến , các biến a ,b ,c có vai trò như nhau trong đa thức . Nếu a = -b hoặc a = -c hoặc b = -c th́ đa thức có giá tṛ bằng 0 . V́ vậy khi phân tích đa thức trên thành nhân tử thí có chứa các thừa số a + b ; b+ c ; c + a Vậy ( a + b + c )3 - a3 - b3 - c3 = k(a + b) (a + c)(b + c) Lấy a = b = c = 1 th́ 8k = 24 Þ k = 3 Vậy ( a + b + c )3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b) (a + c)(b + c) Bài 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử : a2b2(b - a) + b2c2(c - b) - a2c2(c - a) Giải Đa thức trên sau khi khai triển và thu gọn ta được đa thức bậc 5 đối với tập hợp các biến , các biến a ,b ,c có vai trò như nhau trong đa thức . Nếu a = b ; b = c ; a = c th́ đa thức có giá tṛ bằng 0. Nên sau khi phân tích thành nhân tử đa thức có chứa các nhân tử b - a ; c - b , c - a Vậy đa thức có dạng a2b2(b - a) + b2c2(c - b) - a2c2(c - a) = k(b - a)(c - b)(c - a)(ba + ac + bc) Lấy a =0 , b = 1 , c = -1 th́ k = 1 Vậy a2b2(b - a) + b2c2(c - b) - a2c2(c - a) = (b - a)(c - b)(c - a)(ba + ac + bc) Bài 3 : Phân tích thành nhân tử x3 - 3x - 2 Giải đa thức x3 - 3x - 2 sau khi phân tích thành nhân tử se chứa ít nhất một nhân tử là đa thức bậc nhất , nên . Mà với x = 2 th́ x3 - 3x - 2 = 8 - 6 - 2 = 0 cho nên theo hệ quả đ̣nh lý Bơ Zu sau khi phân tích x3 - 3x - 2 thành nhân tử có chứa nhân tử (x - 2) Vậy x3 - 3x - 2 = (x -2 )(x2 +mx + n ) Cho x = 1 Þ - (1 + m + n) = -4 hay m + n = 3 Cho x = -1 Þ -3(1 - m + n) = 0 hay - m + n = -1 . Từ đó m = 2 , n = 1 Vậy x3 - 3x - 2 = (x -2 )(x2 +2x + 1 ) = (x - 2)(x + 1)2 Bài 4 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử với hệ số nguyên M = x2 - 5xy + y2 + x + 2y - 2 Giải V́ M là đa thức bậc hai đối với tập hợp các biến x và y nên M chỉ có thể viết dưới dạng M = (x + ay + b)(x + my + n) ( a,b,m,n Ỵ Z ) = x2 + (m + a)xy + amy2 + (n + b)x + (na + bm)y + bn Û từ bn = -2 Þ b = -1 và n = 2 hoặc b = 2 và n = -1 Nếu b = -1 , n = 2 Þ a = -1 , m = -4 Nếu b = 2 , n = -1 Þ a = -4 , m = -1 V́ 2 bộ số trên chỉ cho ta một kết quả nên M = (x - y - 1)(x - 4y + 2) Vậy : x2 - 5xy + y2 + x + 2y - 2 = (x - y - 1)(x - 4y + 2) Bài 5 ) Phân tích thành nhân tử ( x + y)5 - x5 - y5 Giải Đa thức trên sau khi khai triển và thu gọn ta được đa thức bậc 5 đối với tập hợp các biến , các biến x ,y, có vai trò như nhau trong đa thức . Đặt P = ( x + y)5 - x5 - y5 Khi cho x = y = 0 hoặc x = -y th́ đa thức có giá tṛ bằng 0 . V́ vậy khi phân tích P thành nhân tử th́ P có chứa các nhân tử là x , y , x + y , mà tích xy(x + y) là đa thức bậc 3 đối với tập hợp các biến x,y cho nên P có dạng là kxy(x + y)(x2 + xy + y2) cho x = y = 1 th́ 6k = 30 Þ k = 5 Vậy ( x + y)5 - x5 - y5 = 5xy(x + y)(x2 + xy + y2) Bài 6 ) Chứng minh rằng : Không thể phân tích đa thức x3 - x + a thành tích của hai đa thức có bậc nhỏ hơn với hệ số nguyên ( a Ỵ Z và a không chia hết cho 3 ) Giải Giả sử đa thức x3 - x + a phân tích được thành tích của hai đa thức có bậc nhỏ hơn với hệ số nguyên , v́ x3 - x + a là đa thức bậc 3 nên khi phân tích thành nhân tử se có dạng x3 - x + a = (x + m)(x2 + bx + c ) ( m , b , c Ỵ Z ) = x3 + ( b + m)x2 + (c + mb)x + mc Û từ b + m = 0 Þ m = -b và c +mb = -1 nên c = -mb-1 = b2 –1 thay vào mc = a ta được b(b2 - 1) = -a , mà b(b2 - 1) =b(b-1)(b+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp mà vế trái chia hết cho 3 nên a 3 . Điều này là vô lý vi a không chia hết cho 3 Vậy Không thể phân tích đa thức x3 - x + a thành tích của hai đa thức cvó bậc nhỏ hơn với hệ số nguyên ( a Ỵ Z và a không chia hết cho 3 ) Cách 2 : V́ x3 - x + a là đa thức bậc 3 có hệ số cao nhất là 1 cho nên khi phân tích thành nhân tử se phải có nhân tử có dạng x + m ( m Ỵ Z) , theo hệ quả đ̣nh lý Bơ Zu khi thay x = - m th́ m3 - m + a = 0 Þ a = - m(m - 1)(m + 1) 3 Þ a 3 . điều này vô lí vi a không chia hết cho 3 Vậy không thể phân tích x3 - x + a thành tích của hai đa thức có bậc nhỏ hơn với hệ số nguyên trong đó a không chia hết cho 3 Bài 7 ) T́m số nguyên a sao cho (x - a)(x - 1999 ) + 3 được phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất với hệ số nguyên . Theo bài ra ta có (x - a)(x - 1999 ) + 3 = (x - m)(x - n) , m ,n Ỵ Z Thay x = m th́ (m - a)(m- 1999 ) + 3 = 0 Þ (m - a)(m - 1999 ) = - 3 Þ m - a = 3 và m - 1999 = -1 Þ a = 1995 , cho nên (x - 1995)(x - 1999 ) + 3 = ( x - 1998)(x - 1996) hoặc m -a = -1 và m - 1999 = 3 Þ a = 2003 , cho nên (x - 2003)(x - 1999 ) + 3 = (x - 2000)(x - 2002) Vậy a = 1995 ; 2003 Bài 8 ) Phân tích ( x + y + z )5 - x5 - y5 - z5 thành nhân tử Giải Đa thức trên sau khi khai triển và thu gọn ta được đa thức bậc 5 đối với tập hợp các biến , các biến x , y , z có vai trò như nhau trong đa thức . Nếu x = - y ; x = - z ; y = - z th́ đa thức trên có bía tṛ bằng 0 do vậy đa thức chia hết cho tích (x + y)(x + z)(y + z) và thương của phép chia là đa thức bậc hai đối với tập hợp các biến . V́ vậy đa thức trên khi phân tích thành nhân tử có dạng là ( x + y + z )5 - x5 - y5 - z5 = (x + y)(x + z)(y + z)[ M(x2 + y2 + z2) + N(xy + xz + yz)] cho x = 0 , y = z = 1 thi 2(2M + N ) = 30 Þ 2M + N = 15 (1) x = y = z= 1 thi 8(3M + 3N ) = 240 Þ M + N = 10 (2) Từ (1) và (2) Þ M = 5 , N = 5 Vậy ( x + y + z )5 - x5 - y5 - z5 = 5(x + y)(x + z)(y + z)[ (x2 + y2 + z2) + (xy + xz + yz)] Bài 9 ) Phân tich đa thức (b - c)(b + c)4 + (c - a)(c + a)4 + (a - b)(a + b)4 thành nhân tử Lời giải sơ lược Tŕnh bày tương tự như trên ta có (b - c)(b + c)4 + (c - a)(c + a)4 + (a - b)(a + b)4 = (b - c)(a - b)(c - a)[M(a2 + b2 + c2) + N(ab + bc + ca)] cho a = 0 , b = 2 , c = 1 Þ 5M + 2N = -25 a = -1 , b = 2 , c = 1 Þ 6M - N = -13 Þ M = -3 , N = - 5 Vậy (b - c)(b + c)4 + (c - a)(c + a)4 + (a - b)(a + b)4 = - (b - c)(a - b)(c - a)[3 (a2 + b2 + c2) + 5(ab + bc + ca)] Loại rút gọn biểu thức Bài 1 ) Rút gọn biểu thức sau với a, b,c đôi một khác nhau Giải Biểu thức trên sau khi rút gọn là đa thức bậc hai đối với biến x . Do vậy sau khi biến đổi có dạng mx2 + nx + p cho x = -a ta được ma2 - na + p = 1 (1) x = -b ta được mb2 - nb + p = 1(2) x = -c ta được mc2 - nc + p = 1(3) Lấy (1) - (2) Þ m(a + b) - n = 0(4) va a ¹ b (1) -(3) Þ m(a + c) - n = 0(5) va a ¹ c (4) - (5)Þ m( b - c) = 0 Þ m = 0 va b ¹ c Từ đó n = 0 , p = 1 Vậy = 1 Bài 2 ) Rút gọn biểu thức sau với a, b,c đôi một khác nhau Biểu thức sau khi biến đổi có dạng Biểu thức trong ngoặc sau khi biến đổi có dạng mx2 + nx + p cho x = a Þ ma2 + na + p = a (1) x = b Þ mb2 + nb + p = b(2) x = c Þ mc2 + nc + p = c(3) Lấy (1) - (2) Þ (a - b)[(a + b)m + n ] = a - b Þ (a + b).m + n = 1(4) (1) - (3) Þ (a - c )[(a + c).m + n ] = a - c Þ (a +c ).m + n = 1(5) (4) - (5) Þ m(b - c) = 0 Þ m = 0 , n = 1 và p = 0 Vậy = Bài 3) Rút gọn biểu thức với a , b , c đôi một khác nhau Giải : Biểu thức sau khi quy đồng có dạng Đặt P = a3(b - c) + b3(c - a) + c3(a - b) Đa thức P trên sau khi khai triển và thu gọn ta được đa thức bậc 4 đối với tập hợp các biến , các biến a ,b ,c có vai trò như nhau trong đa thức . Với c = b ; a = c ; a= b th́ P = 0 , V́ vậy khi phân tích P thành nhân tử th́ đa thứ P chứa các nhân tử a - b , c - a , b - c , mà tích (a - b)(c - a)(b - c) là đa thức bậc 3 đối với tập hợp các biến a,b,c , nên nhân tử còn lại là đa thức bậc nhất đối với các biến . V́ vậy đa thức P = k(a -b)(c - a)(b - c)(a + b +c ) Cho a = 0 , b = 1 , c = 2 L k = 1 ; nên P = (a -b)(c - a)(b - c)(a + b +c ) Vậy = a + b + c Bài 5 ) T́m các chươ số x , y ,z để có đẳng thức 2 đúng với mọi n Ỵ N Giải Đặt Pn = 111..11 = Từ điều kiện của bài ta có x.111.....11 - y.1111...11 = z2.111...112 Þ x(Pn.10n + Pn) - y.Pn = z2.Pn2 với mọi Pn mà 10n = 9Pn + 1 Þ x[ Pn.(9Pn + 1) + Pn] - y.Pn = z2 . P2n x.9P2n + 2x.Pn - y.Pn = z2 . P2n x.9Pn + 2x - y - z2 . Pn = 0 với mọi Pn Þ (9x - z2)Pn + (2x - y) = 0 với mọi Pn Þ 9x - z2 = 0 Þ 9x = z2 Þ x là số chính phương 2x - y = 0 Þ y = 2x Þ x < 5 do vậy suy ra x = 1 ; 4 Nếu x = 1 thi y = 2 và z = 3 Nếu x = 4 thi y = 8 và x = 6 Bài 6) Cho đa thức f(x) = x2 +a x + b thỏa man ê f(x) ê £ 1/2 với mọi êx ê £ 1 Chứng minh : f(x) = x2 - 1/2 Giải Cho x = 0 ; 1 ; -1 , ta có êb ê £ 1/2 (1) ê1 + a + b ê £ 1/2 (2) ê1-a+b ê £ 1/2 (3) Từ (1) Þ -1/2 £ b £ 1/2 Þ 1 + b > 1/2 (4) Thay (4) vào (3) và (2) ta được 1/2 > ê1- a + b ê > ê1/2 - a ê Þ a ³ 0 1/2 > ê1 + a + b ê > ê1/2 + a ê Þ a £ 0 do đó a = 0 Thay a = 0 vào (2) ê1 + b ê £ 1/2 Þ 1 + b £ 1/2 (5) vi 1 + b > 0 từ (4) và (5) ta có 1 + b = ½ Þ b = -1/2 Vậy f(x) = x2 - 1/2 Bài 7 ) Xác đ̣nh đa thức bậc 3 f(x) = a x3 + bx2 + cx + d thỏa man f(x) - f(x - 1) = x2 Áp dụng : Tính 12 + 22 + 32 + .......+ 19982 Giải Ta có f(x - 1) = a(x - 1)3 + b(x - 1)2 + c(x - 1) + d Þ f(x) - f(x - 1) = 3a x2 + (2b - 3a)x + a - b + c mà f(x) - f(x - 1) = x2 Cho nên 3a x2 + (2b - 3a)x + a - b + c = x2 Þ 3a = 1 , 2b - 3a = 0 , a + b + c = 0 Þ a = 1/3 ; b = 1/2 ; c = 1/6 Vậy f(x) = 1/3x3 + 1/2x2 + 1/6 x + d ( d Ỵ R ) Áp dụng : 12 + 22 + 32 + .......+ 19982 = f(1) - f(0) + f(2) - f(1) + f(3) - f(2) + .....+ f(1998) - f(1997) = f(1998) - f(0) = 1/3 .19983 + 1/2 .19982 + 1/6 .1998 = ( 1998 . 1999 . 3997)/6 IV ) MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1 ) Xác đ̣nh f(x) biết f(x - 1) = x3 - 5x2 + 7x + 2 Bài 2 ) a - T́m đa thức bậc 2 f(x) biết f(x) - f(x - 1) = x b - T́m đa thức bậc 3 f(x) biết f(x) - f(x - 1) = x(x + 1) Áp dụng tính tổng 1.2 + 2.3 + 3.4 + .....+ 1998 . 1999 Bài 3 ) T́m các số thực m , n , p , q sao cho x4 + 1 = (x2 + px + q)(x2 + mx + n ) Bài 4) Xác đ̣nh a và b sao cho a) 6x4 - 7x3 + a x2 + 3x + 2 chia hết cho x2 - x + b b) a x4 + bx + 1 chia hết cho (x - 1)2 Bài 5) Giả sử n > 3 , xác đ̣nh a để cho xn - a xn - 1 + a x - 1 chia hết cho (x - 1 )2 Bài 6) Xác đ̣nh a , b , c sao cho f(x) = 2x4 + a x2 + bx + c chia hết cho ( x - 2) , khi chia cho (x2 - 1) thi dư 3x + 2 Bài 7) Bằng phương pháp hệ số bất đinh hay phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 3x3 - 5x + 2 b) x3 - 19x - 30 c) 2x2 - 21xy - 11y2 - x + 34y - 3 Bài 8) Không làm tính nhân hay viết đa thức sau dưới dạng chính tắc (x - 1)(x - 2)(x + 3) + 5x + 4 Bài 9) Xác đ̣nh a , b sao cho x3 + a x2 - 3x + b chia cho x - 2 dư 5 , chia cho x + 1 dư -4 Bài 10) Biết f(x) = 3x3 + 7x2 - 15x + 3 chia cho x - 1 dư 4 , chia cho x + 2 dư 5 . Không làm tính chia hay xác đ̣nh số dư trong phép chia của f(x) cho tích (x - 1)(x + 2) Bài 11) Phân tích thành nhân tử a) a(b2 - c2) + b(c2 - a2) + c(a2 - b2) b) a3(b2 - c2) + b3(c2 - a2) + c3(a2 - b2) c) 8x3(y + z) - y3(z + 2x) - z3(2x - y) d) x3(z - y2) + y3( x - z2) + z3(y - x2) + xyz(xyz - 1) e) (x + y)7 - x7 - y7 Bài 12) a) T́im số nguyên a để có (x - a)(x - 1992 ) + 1 = (x + b)(x + c) với mọi x và b ,c Ỵ Z b) T́im k Ỵ Z sao cho ( x - k)(x - 10) + 5 có thể phân tích thành tích hai đa thức bậc nhất với hệ số nguyên Bài 13) Chứng minh rằng không tồn tại đa thức f(x) với hệ số nguyên có thể có đồng thời các giá tṛ f(7) = 5 và f(15) = 9 Bài 14) Cho đa thức f(x) = x3 + a x2 + bx + c thỏa man ê f(x) ê £ 1/4 với mọi êx ê £ 1 Chứng minh f(x) = x3 - 3/4x Bài 15) Tim số tự nhiên a , b sao cho ( n chu a ; n chu b ; n chu c) vói mọi n là số tự nhiên Bài 16) Rút gọn các biểu thức sau : với a , b , c đôi một khác nhau Bài 17) Xác đ̣nh a , b để