Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN I/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp . -Kiến thức cần nắm vững : - phân tích đa thức thành nhân tử ta các phương pháp sau : + Đặt nhân tử chung . + Dùng các hằng dẳng thức dáng nhớ . + nhóm các hạng tử một cách thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung mới . + Trong một số trường hợp ta phải biết tách một hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm bớt cùng một hạng tử để có thể áp dụng các phương pháp đã biết . 1/ Một số bài toán áp dụng . Bài 1 : Phân tích các đa thức thành nhân tử : Giải x4 +x2y2 +y4 = x4 + 2x2y2 +y4 – x2y2 = (x2 +y2 )2 - (xy)2 = (x2 +y2 +xy) (x2 +y2 –xy) b) x3 + 3x -4 = x3- 3x2 + 3x -1 + 3x2 -3 = (x-1)3 + 3( x2 – 1 ) =(x-1)3 + 3 ( x -1 )( x + 1) = ( x-1) [ ( x -1 ) 2 + 3( x + 1)] = ( x-1)( x2 + x + 4) c) x3 – 3x2 + 2 = x3 – 3x2 + 3x – 1 – 3x +3 = (x -1 )3 - 3( x -1) = ( x -1) [( x -1)2 – 3] = ( x -1) ( x2 -2x -2) d) 2x3 + x2 - 4x -12 = (x2 - 4x + 4 ) (2x3 -16) = ( x-2 ) 2 + 2( x3 -8) = ( x-2 ) 2 +2[ ( x-2 ) (x2 - 4x + 4 )] =( x-2 )[ ( x-2 ) + 2(x2 - 4x + 4 )] = ( x-2 )(2x2 +5x +6) Bài 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử. giải 2/ Các bài luyện tập Bài 1: : Phân tích đa thức thành nhân tử. Bài 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử. II/RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ . -Phân tích đa thức thành nhân tử để tìm nhân tử chung . - Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung. 1. Một số bài toán áp dụng Bài 1 : Tính giá trị các biểu thức : a) b) Giải . Bài 2: Rút gọn phân thức . a) b) Giải. a) = b)= 2. Các bài toán luyện tập. Bài 1: Rút gọn các phân thức sau. a) b) c) d) e) g) III/Giải bài toán bằng cách lập phương trình. 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN Tóm tắt các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình. Bước 1: Lập phương trình: Chọn ẩn số và đặt biểu điều kiện thích hợp cho ẩn số. Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải phương trình: Bước 3: (Trả lời) Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận. Chú ý: Khi làm bài, ta không cần nói rõ là đang thực hiện bước nào. 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG. Bài 1. Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một ôtô cùng đi từ địa điểm A để đến địa địa điểm B. Họ khởi hành từ A, theo thứ tự nói trên lúc 6 giờ, 7 giơg và 8 giờ. Vận tốc trung bình của họ theo thứ tự nêu trên là 10 km/giờ, 30 km/giờ và 40 km/giờ. Hỏi đến mấy giờ thì ôtô cách đều người đi xe đạp và người đi xe máy. Giải: Cách 1: Gọi x là thời gian ôtô đã đi đến vị trí cách đều người đi xe đạp và người đi xe máy (x tính bằng giờ và x > 0). Trên hình các chữ C (chỉ vị trí người đi xe đạp), chữ D (chỉ vị trí ôtô), chữ E (chỉ vị trí người đi xe máy) thoả mãn điều kiện đầu bài. Ta có bảng tóm tắt: Nhận định kết quả: Ta thấy các kết quả tìm được thoả mãn yêu cầu đầu bài. Trả lời: Đến 9 giờ 15 phút, ôtô cách đều người đi xe đạp và người đi xe máy. Cách 2: gọi x là thời gian người đi xe đạp đã đi hết đến vi trí ôtô cách đều người đi xe máy và xe đạp (x tính bằng giờ và x > 0). Ta có bảng tóm tắt sau: Gời khởi hành Thời gian đã đi để đến vị trí như hình vẽ Vận tốc (km/h) Quãng đường đã đi đến vị trí như hình vẽ (km) Xe đạp 6 giờ x giờ 10 10x Xe máy 7 giờ (x-1) giờ 30 30(x-1) Xe ôtô 8 giờ (x-2) giờ 40 40(x-2) C. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Thùng dầu thứ nhất chứa nhiều dầu gấp đôi thùng thứ hai. Nếu chuyển từ thùng thứ nhất sang thùng thứ hai 25 lít thì lượng dầu hai thùng bằng nhau. Tính lượng dầu trong mỗi thùng lúc đầu. Bài 2: Học sinh khối 8 nhặt được 65 kg kim loại vụn, trong đó đồng nhiều hơn nhôm 15 kg, kẽm ít hơn tổng số khối lượng nhôm và đồng 1 kg. Hỏi khối 8 đã nhặt được bao nhiêu kg mỗi loại ? Bài 3: Một xí nghiệp dệt thảm được giao làm một số thảm xuất khẩu trong 20 ngày. Xí nghiệp đã tăng năng suất 20% nên sau 18 ngày không những đã làm xong số thảm được giao mà còn làm thêm được 24 chiếc nữa. Tính số thảm xí nghiệp đã làm trong 18 ngày. Bài 4: Một lớp học tham gia trồng cây ở một lâm trường trong thời gian đã định với năng suất 300 cây trong một ngày. Nhưng thực tế mỗi ngày đã trồng thêm được 100 cây nên đã trồng thêm được tất cả 600 cây và hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày. Tính số cây dự định trồng Bài 5: Một tàu chở hàng khởi hành từ thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc 36 km/h. Sau đó 2 giờ một tàu chở khách cũng đi từ đó với vận tốc 48 km/h đuổi theo tàu hàng. Hỏi tàu khách đi bao lâu thì gặp tàu hàng? Bài 6: Ga Nam Định cách ga Hà Nội 87km. Một tàu hoả từ Hà Nội đi TP. Hồ Chí Minh, 2 giờ sau một tàu hoả khác tư Nam Định đi TP. Hồ Chí Minh. Sau 3giờ tính từ khi tàu thứ nhất khởi hành thì hai tàu gặp nhau. Tính vận tốc mỗi tàu biết rằng ga Nam Định nằm trên quãng đường Hà Nội – TP. Hồ Chí Minh và vận tốc tàu thứ nhất lớn hơn vận tốc tàu thứ hai là 5 km/h. Bài 7: Một bể có dung tích 5.000 lít. Hai vòi chảy vao bể, vòi thứ nhất nhất mở trước vòi thứ hai 1giờ, nhưng năng suất của nó thấp hơn năng suất vòi thứ hai là 100 km/h. Khi hai vòi cùng khoá thì vòi thứ nhất đã chảy được 4 giờ và còn thiếu 120 lít mới đầy bể. Tính xem mỗi vòi, trong 1 giờ, chảy được bao nhiêu lít nước. IV. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp 1 : Dựa vào định nghĩa Để chứng minh bất đẳng thức A B ta cần chỉ ra rằng A –B 0 Lưu ý các hằng thức :