Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - Phần số chính phương

SỐ CHÍNH PHƯƠNG I. ĐỊNH NGHĨA: Số chớnh phương là số bằng bỡnh phương đỳng của một số nguyờn. II. TÍNH CHẤT: 1. Số chớnh phương chỉ cú thể cú chữ số tận cựng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; khụng thể cú chữ số tận cựng bằng 2, 3, 7, 8. 2. Khi phõn tớch ra thừa số nguyờn tố, số chớnh phương chỉ chứa cỏc thừa số nguyờn tố với số mũ chẵn. 3. Số chớnh phương chỉ cú thể cú một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Khụng cú số chớnh phương nào cú dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N). 4. Số chớnh phương chỉ cú thể cú một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Khụng cú số chớnh phương nào cú dạng 3n + 2 (n N). 5. Số chớnh phương tận cựng bằng 1 hoặc 9 thỡ chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chớnh phương tận cựng bằng 5 thỡ chữ số hàng chục là 2 Số chớnh phương tận cựng bằng 4 thỡ chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chớnh phương tận cựng bằng 6 thỡ chữ số hàng chục là chữ số lẻ. 6. Số chớnh phương chia hết cho 2 thỡ chia hết cho 4. Số chớnh phương chia hết cho 3 thỡ chia hết cho 9. Số chớnh phương chia hết cho 5 thỡ chia hết cho 25. Số chớnh phương chia hết cho 8 thỡ chia hết cho 16. III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyờn x, y thỡ A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chớnh phương. Ta cú A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thỡ A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 V ỡ x, y, z Z nờn x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z Vậy A là số chớnh phương. Bài 2: Chứng minh tớch của 4 số tự nhiờn liờn tiếp cộng 1 luụn là số chớnh phương. Gọi 4 số tự nhiờn, liờn tiờp đú là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n N). Ta cú n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1 = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*) Đặt n2 + 3n = t (t N) thỡ (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2 = (n2 + 3n + 1)2 Vỡ n N nờn n2 + 3n + 1 N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chớnh phương. Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2) Chứng minh rằng 4S + 1 là số chớnh phương . Ta cú k(k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2).4 = k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)] = k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1) S =.1.2.3.4 -.0.1.2.3 + .2.3.4.5 -.1.2.3.4 +…+ k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1) = k(k+1)(k+2)(k+3) 4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 Theo kết quả bài 2 k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chớnh ph ương. Bài 4: Cho dóy số 49; 4489; 444889; 44448889; … Dóy số trờn được xõy dựng bằng cỏch thờm số 48 vào giữa số đứng trước nú. Chứng minh rằng tất cả cỏc số của dóy trờn đều là số chớnh phương. Ta cú 44…488…89 = 44…488..8 + 1 = 44…4 . 10n + 8 . 11…1 + 1 n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1 = 4. . 10n + 8. + 1 2 = = = Ta thấy 2.10n +1=200…01 cú tổng cỏc chữ số chia hết cho 3 nờn nú chia hết cho 3 2 n-1 chữ số 0 Z hay cỏc số cú dạng 44…488…89 là số chớnh phương. Bài 5: Chứng minh rằng cỏc số sau đõy là số chớnh phương: A = 11…1 + 44…4 + 1 2n chữ số 1 n chữ số 4 B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 8 2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6 C = 44…4 + 22…2 + 88…8 + 7 2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8 2 2 2 Kết quả: A = ; B = ; C = Bài 6: Chứng minh rằng cỏc số sau là số chớnh phương: a. A = 22499…9100…09 n-2 chữ số 9 n chữ số 0 b. B = 11…155…56 n chữ số 1 n-1 chữ số 5 A = 224.102n + 99…9.10n+2 + 10n+1 + 9 = 224.102n + ( 10n-2 – 1 ) . 10n+2 + 10n+1 + 9 = 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + 9 = 225.102n – 90.10n + 9 = ( 15.10n – 3 ) 2 A là số chớnh phương b. B = 111…1555…5 + 1 = 11…1.10n + 5.11…1 + 1 n chữ số 1 n chữ số 5 n chữ số 1 n chữ số 1 = . 10n + 5. + 1 = 2 = = là số chớnh phương ( điều phải chứng minh) Bài 7: Chứng minh rằng tổng cỏc bỡnh phương của 5 số tự nhiờn liờn tiếp khụng thể là một số chớnh phương Gọi 5 số tự nhiờn liờn tiếp đú là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ≥2 ). Ta cú ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2) Vỡ n2 khụng thể tận cựng bởi 3 hoặc 8 do đú n2+2 khụng thẻ chia hết cho 5 5.( n2+2) khụng là số chớnh phương hay A khụng là số chớnh phương Bài 8: Chứng minh rằng số cú dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đú nN và n>1 khụng phải là số chớnh phương n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ] = n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ] = n2( n+1 )2.( n2–2n+2) Với nN, n >1 thỡ n2-2n+2 = (n - 1)2 + 1 > ( n – 1 )2 và n2 – 2n + 2 = n2 – 2(n - 1) < n2 Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + 2 < n2 n2 – 2n + 2 khụng phải là một số chớnh phương. Bài 9: Cho 5 số chớnh phương bất kỡ cú chữ số hàng chục khỏc nhau cũn chữ số hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng cỏc chữ số hàng chục của 5 số chớnh phương đú là một số chớnh phương Cỏch 1: Ta biết một số chớnh phương cú chữ số hàng đơn vị là 6 thỡ chữ số hàng chục của nú là số lẻ. Vỡ vậy chữ số hàng chục của 5 số chớnh phương đó cho là 1,3,5,7,9 khi đú tổng của chỳng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chớnh phương Cỏch 2: Nếu một số chớnh phương M = a2 cú chữ số hàng đơn vị là 6 thỡ chữ số tận cựng của a là 4 hoặc 6 a2 a2 4 Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thỡ hai chữ số tận cựng của M chỉ cú thể là 16, 36, 56, 76, 96 Ta cú: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chớnh phương. Bài 10: Chứng minh rằng tổng bỡnh phương của hai số lẻ bất kỳ khụng phải là một số chớnh phương. a và b lẻ nờn a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m N) a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1 = 4(k2 + k + m2 + m) + 2 = 4t + 2 (Với t N) Khụng cú số chớnh phương nào cú dạng 4t + 2 (t N) do đú a2 + b2 khụng thể là số chớnh phương. Bài 11: Chứng minh rằng nếu p là tớch của n số nguyờn tố đầu tiờn thỡ p-1 và p+1 khụng thể là cỏc số chớnh phương. Vỡ p là tớch của n số nguyờn tố đầu tiờn nờn p2 và p khụng chia hết cho 4 (1) a. Giả sử p+1 là số chớnh phương . Đặt p+1 = m2 (m N) Vỡ p chẵn nờn p+1 lẻ m2 lẻ m lẻ. Đặt m = 2k+1 (k N). Ta cú m2 = 4k2 + 4k + 1 p+1 = 4k2 + 4k + 1 p = 4k2 + 4k = 4k(k+1) 4 mõu thuẫn với (1) p+1 là số chớnh phương p = 2.3.5… là số chia hết cho 3 p-1 cú dạng 3k+2. Khụng cú số chớnh phương nào cú dạng 3k+2 p-1 khụng là số chớnh phương . Vậy nếu p là tớch n số nguyờn tố đầu tiờn thỡ p-1 và p+1 khụng là số chớnh phương Bài 12: Giả sử N = 1.3.5.7…2007. Chứng minh rằng trong 3 số nguyờn liờn tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 khụng cú số nào là số chớnh phương. 2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 – 1 Cú 2N 3 2N-1 khụng chia hết cho 3 và 2N-1 = 3k+2 (k N) 2N-1 khụng là số chớnh phương. 2N = 2.1.3.5.7…2007 Vỡ N lẻ N khụng chia hết cho 2 và 2N 2 nhưng 2N khụng chia hết cho 4. 2N chẵn nờn 2N khụng chia cho 4 dư 1 2N khụng là số chớnh phương. 2N+1 = 2.1.3.5.7…2007 + 1 2N+1 lẻ nờn 2N+1 khụng chia hết cho 4 2N khụng chia hết cho 4 nờn 2N+1 khụng chia cho 4 dư 1 2N+1 khụng là số chớnh phương. Bài 13: Cho a = 11…1 ; b = 100…05 2008 chữ số 1 2007 chữ số 0 Chứng minh là số tự nhiờn. Cỏch 1: Ta cú a = 11…1 = ; b = 100…05 = 100…0 + 5 = 102008 + 5 2 2008 chữ số 1 2007 chữ số 0 2008 chữ số 0 ab+1 = + 1 = = 2 = = Ta thấy 102008 + 2 = 100…02 3 nờn N hay là số tự nhiờn. 2007 chữ số 0 Cỏch 2: b = 100…05 = 100…0 – 1 + 6 = 99…9 + 6 = 9a +6 2007 chữ số 0 2008 chữ số 0 2008 chữ số 9 ab+1 = a(9a +6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a+1)2 = = 3a + 1 N DẠNG 2: TèM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài1: Tỡm số tự nhiờn n sao cho cỏc số sau là số chớnh phương: a. n2 + 2n + 12 b. n ( n+3 ) c. 13n + 3 d. n2 + n + 1589 Giải a. Vỡ n2 + 2n + 12 là số chớnh phương nờn đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N) (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n+1)2 = 11 (k+n+1)(k-n-1) = 11 Nhận xột thấy k+n+1 > k-n-1 và chỳng là những số nguyờn dương, nờn ta cú thể viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 k+n+1 = 11 k = 6 k – n - 1 = 1 n = 4 b. Đặt n(n+3) = a2 (n N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2 (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2 (2n + 3)- 4a2 = 9 (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9 Nhận xột thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chỳng là những số nguyờn dương, nờn ta cú thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1 2n + 3 + 2a = 9 n = 1 2n + 3 – 2a = 1 a = 2 c. Đặt 13n + 3 = y2 ( y N) 13(n – 1) = y2 – 16 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4) (y + 4)(y – 4) 13 mà 13 là số nguyờn tố nờn y + 4 13 hoặc y – 4 13 y = 13k 4 (Với k N) 13(n – 1) = (13k 4 )2 – 16 = 13k.(13k 8) n = 13k2 8k + 1 Vậy n = 13k2 8k + 1 (Với k N) thỡ 13n + 3 là số chớnh phương. Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m N) (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2 (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355 Nhận xột thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > 0 và chỳng là những số lẻ, nờn ta cú thể viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy ra n cú thể cú cỏc giỏ trị sau: 1588; 316; 43; 28. Bài 2: Tỡm a để cỏc số sau là những số chớnh phương: a2 + a + 43 a2 + 81 a2 + 31a + 1984 Kết quả: a. 2; 42; 13 b. 0; 12; 40 c. 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728 Bài 3: Tỡm số tự nhiờn n ≥ 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là một số chớnh phương . Với n = 1 thỡ 1! = 1 = 12 là số chớnh phương . Với n = 2 thỡ 1! + 2! = 3 khụng là số chớnh phương Với n = 3 thỡ 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 32 là số chớnh phương Với n ≥ 4 ta cú 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 cũn 5!; 6!; …; n! đều tận cựng bởi 0 do đú 1! + 2! + 3! + … + n! cú tận cựng bởi chữ số 3 nờn nú khụng phải là số chớnh phương . Vậy cú 2 số tự nhiờn n thỏa món đề bài là n = 1; n = 3. Bài 4: Tỡm n N để cỏc số sau là số chớnh phương: n2 + 2004 ( Kết quả: 500; 164) (23 – n)(n – 3) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23) n2 + 4n + 97 2n + 15 Bài 5: Cú hay khụng số tự nhiờn n để 2006 + n2 là số chớnh phương. Giả sử 2006 + n2 là số chớnh phương thỡ 2006 + n2 = m2 (m N) Từ đú suy ra m2 – n2 = 2006 (m + n)(m - n) = 2006 Như vậy trong 2 số m và n phải cú ớt nhất 1 số chẵn (1) Mặt khỏc m + n + m – n = 2m 2 số m + n và m – n cựng tớnh chẵn lẻ (2) Từ (1) và (2) m + n và m – n là 2 số chẵn (m + n)(m - n) 4 Nhưng 2006 khụng chia hết cho 4 Điều giả sử sai. Vậy khụng tồn tại số tự nhiờn n để 2006 + n2 là số chớnh phương. 2 Bài 6: Biết x N và x>2. Tỡm x sao cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1) Đẳng thức đó cho được viết lại như sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1) Do vế trỏi là một số chớnh phương nờn vế phải cũng là một số chớnh phương . Một số chớnh phương chỉ cú thể tận cựng bởi 1 trong cỏc chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nờn x chỉ cú thể tận cựng bởi 1 trong cỏc chữ số 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1) Do x là chữ số nờn x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta cú x N và 2 < x ≤ 9 (2) Từ (1) và (2) x chỉ cú thể nhận 1 trong cỏc giỏ trị 5; 6; 7. Bằng phộp thử ta thấy chỉ cú x = 7 thỏa món đề bài, khi đú 762 = 5776 Bài 7: Tỡm số tự nhiờn n cú 2 chữ số biết rằng 2n+1 và 3n+1 đều là cỏc số chớnh phương. Ta cú 10 ≤ n ≤ 99 nờn 21 ≤ 2n+1 ≤ 199. Tỡm số chớnh phương lẻ trong khoảng trờn ta được 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84. Số 3n+1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ cú 121 là số chớnh phương. Vậy n = 40 Bài 8: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiờn sao cho n+1 và 2n+1 đều là cỏc số chớnh phương thỡ n là bội số của 24. Vỡ n+1 và 2n+1 là cỏc số chớnh phương nờn đặt n+1 = k2 , 2n+1 = m2 (k, m N) Ta cú m là số lẻ m = 2a+1 m2 = 4a (a+1) + 1 n = = = 2a(a+1) n chẵn n+1 lẻ k lẻ Đặt k = 2b+1 (Với b N) k2 = 4b(b+1) +1 n = 4b(b+1) n 8 (1) Ta cú k2 + m2 = 3n + 2 2 (mod3) Mặt khỏc k2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1, m2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1. Nờn để k2 + m2 2 (mod3) thỡ k2 1 (mod3) m2 1 (mod3) m2 – k2 3 hay (2n+1) – (n+1) 3 n 3 (2) Mà (8; 3) = 1 (3) Từ (1), (2), (3) n 24. Bài 9: Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chớnh phương . Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N) thỡ 2n = a2 – 482 = (a+48)(a-48) 2p.2q = (a+48)(a-48) Với p, q N ; p+q = n và p > q a+48 = 2p 2p – 2q = 96 2q (2p-q -1) = 25.3 48 = 2q q = 5 và p-q = 2 p = 7 n = 5+7 = 12 Thử lại ta cú: 28 + 211 + 2n = 802 C.DẠNG 3: TèM SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Cho A là số chớnh phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thờm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thỡ ta được số chớnh phương B. Hóy tỡm cỏc số A và B. Gọi A = abcd = k2. Nếu thờm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thỡ ta cú số B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2 với k, m N và 32 < k < m < 100 a, b, c, d N ; 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤ 9 Ta cú A = abcd = k2 B = abcd + 1111 = m2 m2 – k2 = 1111 (m-k)(m+k) = 1111 (*) Nhận xột thấy tớch (m-k)(m+k) > 0 nờn m-k và m+k là 2 số nguyờn dương. Và m-k < m+k < 200 nờn (*) cú thể viết (m-k)(m+k) = 11.101 Do đú m – k == 11 m = 56 A = 2025 m + k = 101 n = 45 B = 3136 Bài 2: Tỡm 1 số chớnh phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau 1 đơn vị. Đặt abcd = k2 ta cú ab – cd = 1 và k N, 32 ≤ k < 100 Suy ra 101cd = k2 – 100 = (k-10)(k+10) k +10 101 hoặc k-10 101 Mà (k-10; 101) = 1 k +10 101 Vỡ 32 ≤ k < 100 nờn 42 ≤ k+10 < 110 k+10 = 101 k = 91 abcd = 912 = 8281 Bài 3: Tỡm số chớnh phương cú 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau. Gọi số chớnh phương phải tỡm là aabb = n2 với a, b N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9 Ta cú n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1) Nhận xột thấy aabb 11 a + b 11 Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nờn 1 ≤ a+b ≤ 18 a+b = 11 Thay a+b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a+1) do đú 9a+1 là số chớnh phương . Bằng phộp thử với a = 1; 2; …; 9 ta thấy chỉ cú a = 7 thỏa món b = 4 Số cần tỡm là 7744 Bài 4: Tỡm một số cú 4 chữ số vừa là số chớnh phương vừa là một lập phương. Gọi số chớnh phương đú là abcd . Vỡ abcd vừa là số chớnh phương vừa là một lập phương nờn đặt abcd = x2 = y3 Với x, y N Vỡ y3 = x2 nờn y cũng là một số chớnh phương . Ta cú 1000 ≤ abcd ≤ 9999 10 ≤ y ≤ 21 và y chớnh phương y = 16 abcd = 4096 Bài 5: Tỡm một số chớnh phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyờn tố, căn bậc hai của số đú cú tổng cỏc chữ số là một số chớnh phương. Gọi số phải tỡm là abcd với a, b, c, d nguyờn và 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b,c,d ≤ 9 abcd chớnh phương d{ 0,1,4,5,6,9} d nguyờn tố d = 5 Đặt abcd = k2 < 10000 32 ≤ k < 100 k là một số cú hai chữ số mà k2 cú tận cựng bằng 5 k tận cựng bằng 5 Tổng cỏc chữ số của k là một số chớnh phương k = 45 abcd = 2025 Vậy số phải tỡm là 2025 Bài 6: Tỡm số tự nhiờn cú hai chữ số biết rằng hiệu cỏc bỡnh phương của số đú và viết số bởi hai chữ số của số đú nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chớnh phương Gọi số tự nhiờn cú hai chữ số phải tỡm là ab ( a,b N, 1 ≤ a,b ≤ 9 ) 2 2 Số viết theo thứ tự ngược lại ba Ta cú ab - ba = ( 10a + b ) 2 – ( 10b + a )2 = 99 ( a2 – b2 ) 11 a2 - b2 11 Hay ( a-b )(a+b ) 11 2 2 Vỡ 0 < a - b ≤ 8 , 2 ≤ a+b ≤ 18 nờn a+b 11 a + b = 11 2 2 Khi đú ab - ba = 32 . 112 . (a - b) Để ab - ba là số chớnh phương thỡ a - b phải là số chớnh phương do đú a-b = 1 hoặc a - b = 4 Nếu a-b = 1 kết hợp với a+b = 11 a = 6, b = 5, ab = 65 Khi đú 652 – 562 = 1089 = 332 Nếu a - b = 4 kết hợp với a+b = 11 a = 7,5 ( loại ) Vậy số phải tỡm là 65 Bài 7: Cho một số chớnh phương cú 4 chữ số. Nếu thờm 3 vào mỗi chữ số đú ta cũng được một số chớnh phương. Tỡm số chớnh phương ban đầu ( Kết quả: 1156 ) Bài 8: Tỡm số cú 2 chữ số mà bỡnh phương của số ấy bằng lập phương của tổng cỏc chữ số của nú. 2 Gọi số phải tỡm là ab với a,b N và 1 ≤ a ≤ 9 , 0 ≤ b ≤ 9 Theo giả thiết ta cú : ab = ( a + b )3 (10a+b)2 = ( a + b )3 ab là một lập phương và a+b là một số chớnh phương Đặt ab = t3 ( t N ) , a + b = l 2 ( l N ) Vỡ 10 ≤ ab ≤ 99 ab = 27 hoặc ab = 64 Nếu ab = 27 a + b = 9 là số chớnh phương Nếu ab = 64 a + b = 10 khụng là số chớnh phương loại Vậy số cần tỡm là ab = 27 Bài 9: Tỡm 3 số lẻ liờn tiếp mà tổng bỡnh phương là một số cú 4 chữ số giống nhau. Gọi 3 số lẻ liờn tiếp đú là 2n-1, 2n+1, 2n+3 ( n N) Ta cú A= ( 2n-1 )2 + ( 2n+1)2 + ( 2n+3 )2 = 12n2 + 12n + 11 Theo đề bài ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111.a với a lẻ và 1 ≤ a ≤ 9 12n( n + 1 ) = 11(101a – 1 ) 101a – 1 3 2a – 1 3 Vỡ 1 ≤ a ≤ 9 nờn 1 ≤ 2a-1 ≤ 17 và 2a-1 lẻ nờn 2a – 1 { 3; 9; 15 } a { 2; 5; 8 } Vỡ a lẻ a = 5 n = 21 3 số càn tỡm là 41; 43; 45 Bài 10: Tỡm số cú 2 chữ số sao cho tớch của số đú với tổng cỏc chữ số của nú bằng tổng lập phương cỏc chữ số của số đú. ab (a + b ) = a3 + b3 10a + b = a2 – ab + b2 = ( a + b )2 – 3ab 3a( 3 + b ) = ( a + b ) ( a + b – 1 ) a + b và a + b – 1 nguyờn tố cựng nhau do đú a + b = 3a hoặc a + b – 1 = 3a a + b – 1 = 3 + b a + b = 3 + b a = 4 , b = 8 hoặc a = 3 , b = 7 Vậy ab = 48 hoặc ab = 37. ….………………….. Hết …………………………. Số nguyên tố I. Kiến thức cần nhớ: 1. Dịnh nghĩa: * Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó. * Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước. 2. Tính chất: * Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q thì p = q. * Nếu tích abc chia hết cho số nguyên tố p thì ít nhất một thừa số của tích abc chia hết cho số nguyên tố p. * Nếu a và b không chia hết cho số nguyên tố p thì tích ab không chia hết cho số nguyên tố p . 3. Cách nhận biết một số nguyên tố: a) Chia số đó lần lượt cho các số nguyên tố đã biết từ nhỏ đến lớn. - Nếu có một phép chia hết thì số đó không phải là số nguyên tố. - Nếu chia cho đến lúc số thương nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn còn số dư thì ssó đó là số nguyên tố. b) Một số có 2 ước số lớn hơn 1 thì số đó không phải là số nguyên tố. 4. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố: * Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố. - Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của mỗi số nguyên tố là chính số đó. - Mọi hợp số đều phân tích được ra thừa số nguyên tố. 5. Số các ước số và tổng các ước số của một số: 6. Số nguyên tố cùng nhau: * Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ƯCLN bằng 1. Hai số a và b nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b) = 1. Các số a, b, c nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b, c) = 1. Các số a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, c) = ƯCLN(c, a) =1. II. Các ví dụ: VD1: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn hay số lẻ. HD: Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn duy nhất là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số lẻ. Do đó tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn. VD2: Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nguyên tố nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó. HD: Vì tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó tồn tại ít nhất một số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất. Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó là 2. VD3: Tổng của 2 số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không? Vì sao? HD: Vì tổng của 2 số nguyên tố bằng 2003, nên trong 2 số nguyên tố đó tồn tại 1 số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2. Do đó số nguyên tố còn lại là 2001. Do 2001 chia hết cho 3 và 2001 > 3. Suy ra 2001 không phải là số nguyên tố. VD4: Tìm số nguyên tố p, sao cho p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố. HD: Giả sử p là số nguyên tố. Nếu p = 2 thì p + 2 = 4 và p + 4 = 6 đều không phải là số nguyên tố. Nếu p 3 thì số nguyên tố p có 1 trong 3 dạng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 với k N*. +) Nếu p = 3k p = 3 p + 2 = 5 và p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố. +) Nếu p = 3k +1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) p + 2 3 và p + 2 > 3. Do đó p + 2 là hợp số. +) Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) p + 4 3 và p + 4 > 3. Do đó p + 4 là hợp số. Vậy với p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố. VD5: Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 8 là hợp số. HD: Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, 3k + 2 với k N*. - Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) p + 4 3 và p + 4 > 3. Do đó p + 4 là hợp số ( Trái với đề bài p + 4 là số nguyên tố). - Nếu p = 3k + 1 thì p + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) p + 8 3 và p + 8 > 3. Do đó p + 8 là hợp số. Vậy số nguyên tố p có dạng: p = 3k + 1 thì p + 8 là hợp số. VD6: Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n + 1 hoặc 4n – 1. HD: Mỗi số tự nhiên n khi chia cho 4 có thể có 1 trong các số dư: 0; 1; 2; 3. Do đó mọi số tự nhiên n đều có thể viết được dưới 1 trong 4 dạng: 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3 với k N*. Nếu n = 4k n4 n là hợp số. Nếu n = 4k + 2 n2 n là hợp số. Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4k + 1 hoặc 4k – 1. Hay mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n + 1 hoặc 4n – 1 với n N*. VD7: Tìm ssó nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên tố và bằng hiệu của hai số nguyên tố. HD: VD8: Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: x2 – 6y2 = 1. HD: VD9: Cho p và p + 2 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 16. HD: Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, 3k + 2 với k N*. - Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) p + 2 3 và p + 2 > 3. Do đó p + 2 là hợp số ( Trái với đề bài p + 2 là số nguyên tố). - Nếu p = 3k + 2 thì p + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) (1). Do p là số nguyên tố và p > 3 p lẻ k lẻ k + 1 chẵn k + 12 (2) Từ (1) và (2) p + 16. II. Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố: p + 2 và p + 10. p + 10 và p + 20. p + 10 và p + 14. p + 14 và p + 20. p + 2và p + 8. p + 2 và p + 14. p + 4 và p + 10. p + 8 và p + 10. Bài 2: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố: p + 2, p + 8, p + 12, p + 14. p + 2, p + 6, p + 8, p + 14. p + 6, p + 8, p + 12, p + 14. p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14. p + 6, p + 12, p + 18, p + 24. p + 18, p + 24, p + 26, p + 32. p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16. Bài 3: Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: p + 8 là hợp số. Cho p và 2p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 4p + 1 là hợp số. Cho p và 10p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 5p + 1 là hợp số. Cho p và p + 8 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: p + 4 là hợp số. Cho p và 4p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 2p + 1 là hợp số. Cho p và 5p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 10p + 1 là hợp số. Cho p và 8p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p - 1 là hợp số. Cho p và 8p - 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p + 1 là hợp số. Cho p và 8p2 - 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p2 + 1 là hợp số. Cho p và 8p2 + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p2 - 1 là hợp số. Bài 4: Chứng minh rằng: Nếu p và q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 – q2 24. Nếu a, a + k, a + 2k (a, k N*) là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k 6. Bài 5: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm số dư r. Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư r. Tìm số dư r biết rằng r không là số nguyên tố. Bài 6: Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 3 nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6. Bài 7: Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn số trước là d đơn vị. Chứng minh rằng d chia hết cho 6. Bài 8: Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì ta được một số là lập phương của một số tự nhiên. Bài 9: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục và số đó viết được dưới dạng tích của 3 số nguyên tố liên tiếp. Bài 10: Tìm 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp đều là các số nguyên tố. Bài 11: Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho p2 + q2 + r2 cũng là số nguyên tố. Bài 12: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho a.b.c < a.b + b.c + c.a. Bài 13: Tìm 3 số nguyên tố p, q, r sao cho pq + qp = r. Bài 14: Tìm các số nguyên tố x, y, z thoả mãn xy + 1 = z. Bài 15: Tìm số nguyên tố Bài 16: Cho các số p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c N*) là các số nguyên tố. Chứng minh rằng 3 số p, q, r có ít nhất hai số bằng nhau. Bài 17: Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: x2 – 12y2 = 1. 3x2 + 1 = 19y2. 5x2 – 11y2 = 1. 7x2 – 3y2 = 1. 13x2 – y2 = 3. x2 = 8y + 1. Bài 18: Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng. Bài 19: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để p và 8p2 + 1 là các số nguyên tố là p = 3. Bài 20: Chứng minh rằng: Nếu a2 – b2 là một số nguyên tố thì a2 – b2 = a + b. Bài 21: Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 6n + 1 hoặc 6n – 1. Bài 22: Chứng minh rằng tổng bình phương của 3 số nguyên tố lớn hơn 3 không thể là một số nguyên tố. Bài 23: Cho số tự nhiên n2. Gọi p1, p2, ..., pn là những số nguyên tố sao cho pn n + 1. Đặt A = p1.p2 ...pn. Chứng minh rằng trong dãy số các số tự nhiên liên tiếp: A + 2, A + 3, ..., A + (n + 1). Không chứa một số nguyên tố nào. Bài 24: Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố thì 2.3.4...(p – 3)(p – 2) - 1p. Bài 25: Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố thì 2.3.4...(p – 2)(p – 1) + 1p. Chuyên đề tìm chữ số tận cùng I. Tỡm một chữ số tận cựng Tớnh chất 1: a) Cỏc số cú chữ số tận cựng là 0, 1, 5, 6 khi nõng lờn lũy thừa