Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi - Phân tích đa thức thành nhân tử

CHUYÊN ĐỀ 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ. Œ. Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và đa thức. v. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường: - Đặt nhân tử chung (thừa số chung). - Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ. - Nhóm nhiều hạng tử. Ž. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng vài phương pháp khác (bổ sung) - Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. - Thêm bớt cùng một hạng tử. - Đặt ẩn phụ (còn gọi là đổi biến số). - Dùng phương pháp hệ bất định. - Tìm nghiệm của đa thức. - Quy tắt HORNER (Hót - Nơ). B. MỘT SỐ BÀI TOÁN: I. PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT, TÁCH, NHÓM HẠNG TỬ Bài1. Phân tích đa thức thành nhân tử.. A = x2y2(y - x) + y2x2(z - y) - z2x2(z - x) Cách 1: Khai triển hai trong ba số hạng, chẳng hạn khai triển hai số hạng đầu rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung z - x A = x2y3 – x3y2 + y2z3 – y3z2 – z2x2(z – x) = y2(z3 – x3) – y3(z2 – x2) – z2x2(z – x) = y2(z – x)(z2 + zx + x2) – y3(z – x)(z + x) – z2x2(z – x) = (z – x)(y2z2 + y2zx + x2y2 – y3z – y3x – z2x2) = (z – x)[y2z(z – y) – x2(z – y)(z + y) + y2x(z – y) = (z – x)(z – y)(y2z – x2z – x2y + y2x) = (z – x)(z – y)[z(y – x)(y + x) + xy(y – x)] = (z – x)(z – y)(y – x)(xy + xz + yz). Cách 2: Để ý rằng: (z – y) + (y – x) = (z – x). Do vậy ta có: A = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2[(z – y) + (y – x)] = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2(z – y) – z2x2(y – x) = (y – x)(x2y2 – z2x2) + (z – y)(y2z2 – z2x2) = (y – x)x2(y – z)(y + z) + (z – y)z2(y – x)(y + x) = (y – x)(z – y)(- x2y – x2z +yz2 + xz2) = (y – x)(z – y)[xz(z – x) + y(z – x)(z + x)] = (y – x)(z – y)(z – x)(xz + yz +xy) Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử a3 + b3 + c3 -3abc (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Lời giải: a) Các hạng tử của đa thức đa thức đã cho không chứa thừa số chung, không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các số hạng. Do vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử để có thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết. a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc) = (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) b) Cách 1: Đặt x – y = a , y – z = b, z – x = c thì a + b + c = 0. Khi đó theo câu a ta có: a3 + b3 + c3 – 3abc = 0 hay a3 + b3 +c3 =3abc Vậy: (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) Cách 2: Để ý rằng: (a + b)3 = a3 + 3ab(a + b) + b3 và (y – z) = (y – x) + (x – z) (x – y)3 + (y –z)3 + (z – x)3 = = [(y – x) + ( x – z)]3 + (z – x)3 + (x – y)3 = (y – x)3 + 3(y – x)(x – z){(y – x) + (x – z)] + (x – z)3 – (x – z)3 – (y – x)3 Bài 3: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. X3 – 7x – 6 Cách 1: Tách số hạng -7x thành – x – 6x, ta có: X3 – 7x – 6 = x3 – x – 6x – 6 = x(x – 1)(x + 1) – 6(x + 1) = (x + 1)( x2 – x – 6) = (x + 1)(x + 2)(x – 3) Cách 2: Tách số hạng – 6 = 8 – 14 ,ta có: X3 – 7x – 6 = x3 + 8 – 7x – 14 = (x + 2)(x2 – 2x + 4) – 7( x + 2) = (x + 2)(x2 – 2x + 3) = (x + 2)(x + 1)(x – 3) II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHU. Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử. (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 4x(x + y)(x + y + z) (x + z) + y2z2 Giải: a) Đặt x2 + x + 1 = y ta có x2 + x + 2 =y +1 Ta có: (x2 + x + 1)(x2 + x +2) – 12 = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = ( y – 3)(y + 4) Do đó: (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x +5) b) 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) +y2z2 = 4x(x + y +z)(x + y)( x + z) +y2z2 = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2 Đặt: x2 + xy + xz = m, ta có 4x(x + y)(x + y + z)(x + y) + y2x2 = 4m(m + yz) + y2z2 = 4m2 + 4myz + y2z2 = ( 2m + yz)2 Thay m = x2 +xy +xz, ta được: 4x(x +y)(x + y +z)(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 * DẠNG ĐẶC BIỆT Xét Q(x) = ay2 + by + c. Nếu có các số m, n sao cho m.n = a.c, m + n = b thì ay2 + by + c = ay2 + (m + n)y + m.n/a hay ay2 + by + c =a(y + m/a)(y + n/a) (*) nói riêng a = 1 thì y2 + by +c = ( y + m)(y +n).Trong trường hợp này a, b, c nguyên thì trước hết phân tích hai số nguyên m.n sao cho giá trị tuyệt đối của m và n nhỏ hơn b sau đó chọn m, n thoả mãn m + n = b. Œ Da thức dạng: P(x) = ax4 + bx2 + c Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 và áp dụng HĐT (*). Ví dụ: Phân tích P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 thành nhân tử. Giải: Đặt y = x2 ,có Q(y) = 6y2 + 19y + 15 Tìm m, n sao cho m.n = 90 và m + n = 19 với m < 19, n < 19 Vì 90 = 6.15 = 9.10 nên chọn m = 9, n = 10, ta có: 6y2 + 19y + 15 = 6y2 + 9y + 10y + 15 = 3y(2y + 3) + 5(2y +3) = (2y + 3)(3y + 5) Do dó P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 = ( 2x2 + 3)(3x2 + 5) v Đa thức dạng P(x) = (x +a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d Cách giải: Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) có thể y = (x + c)(x + d) hoặc y2 = x2 + (a + b) x Ví dụ: Phân tích P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x +4) – 15 thành nhân tử. Giải: Với a = 1, b = 4, c = 2, d = 3 thì a + b = 5 =c + d. Biến đổi: P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 15 Đặt y = x2 + 5x + 4 thì P(x) trở thành Q(y) = y(y + 2) – 15 = y2 +2y – 15 = y2 – 3y + 5y – 15 = y(y – 3) + 5( y – 3) = (y – 3)(y +5) Do dó . P(x) = (x2 +5x + 1)(x2 + 5x + 9) Tổng quát: Nếu đa dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) thoả mãn a1b1 = c1d1 và a1b2 + a2b1 = c1d2 +c2d1 thì đặt y =(a1x + a2)(b1x + b2) rồi biến đổi như trên. Ž Đa thức dạng: P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) với a1b1 = c1d1 và a2b2 = c2d2 Ví dụ: Phân tích P(x) = (3x +2)(3x – 5)(x – 9)(9x + 10) + 24x2 thành nhân tử. Giải: Dễ thấy a1b1 =3.3 = 9.1 = c1d1 và a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2 P(x) = (9x2 – 9x – 10)(9x2 + 9x – 10) + 24x2 Đặt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x2 – 9x – 10 thì P(x) trở thành: Q(y) = y(y + 10x) = 24x2 Tìm m.n = 24x2 và m + n = 10x ta chọn được m = 6x , n = 4x Ta được: Q(y) = y2 + 10xy + 24x2 = (y + 6x)(y + 4x) Do dó P(x) = ( 9x2 – 3x – 10)(9x2 – 5x – 10).  Đa thức dạng: P(x) = ax4 +bx3 + cx2 + kbx + a với k = 1 hoặc k = -1 Cách giải: Đặt y = x2 + k và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử ay2 + bxy rồi sử dụng HĐT (*). Ví dụ: Phân tích P(x) = 2x4 + 3x3 – 9x2 – 3x + 2 thành nhân tử. Giải: Đặt y = x2 – 1 suy ra y2 = x4 – 2x2 + 1 Biến đổi P(x) = 2(x4 – 2x2 + 1) + 3x3 – 5x2 – 3x = 2(x2 – 1)2 + 3x( x2 – 1) – 5x Từ đó Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2 Tìm m, n sao cho m.n = - 10x2 và m + n = 3x chọn m = 5x , n = - 2x Ta có : Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2 = 2y2 – 2xy + 5xy – 5x2 = 2y(y – x) + 5x(y – x) = ( y – x)( 2y – 5x) Do dó , P(x) = (x2 – x – 1 )(2x2 + 5x – 2).  Đa thức dạng: P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e = d2/b2 Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 + d/b và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử y2+ bxy rồi sử dụng HĐT (*). Ví dụ: Phân tích P(x) = x4 - x3 – 10x2 + 2x + 4 thành nhân tử. Giải: Dễ thấy b = 1, d = 2, e =4 đặt y = x2 – 2 suy ra y2 = x4 – 4x2 + 4 Biến đổi P(x) = x4 – 4x2 + 4 – x3 – 6x2 + 2x = (x2 – 2)2 – x(x2 – 2) – 6x2 Từ đó Q(y) = y2 – xy – 6x2 Tìm m, n sao cho m.n = - 6x2 và m + n = - x chọn m = 2x, n = -3x Ta có Q(y) = y2 + 2xy – 3xy – 6x2 = y(y + 2x) – 3x(y + 2x) = (y + 2x)(y – 3x) Do dó, P(x) = (x2 + 2x – 2)(x2 – 3x – 2). * Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 thì có thể xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo cách trên. ‘ Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + ( x + b)4 +c Cách giải: Đặt biến phụ y = x + ( a + b)/2 và biến đổi P(x) về dạng mx4 + nx2 + p Ví dụ: Phân tích P(x) = (x – 3)4 + ( x – 1) 4 – 16 thành nhân tử. Giải: Đặt y = x – 2 lúc dó P(x) trở thành Q(y) = (y – 1)4 + ( y + 1) 4 – 16 = 2y4 + 12y2 – 14 = 2(y2 + 7)( y2 – 1) = 2(y2 + 7)(y – 1)(y + 1) Do dó P(x) = 2(x2 – 4x + 11)(x – 3)(x – 1). BÀI TẬP: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. A(x) = (48x2 + 8x – 1)(3x2 + 5x + 2) – 4 B(x) = (12x – 1)(6x – 1)(4x – 1)(3x – 1) – 330 C(x) = 4(x2 + 11x + 30)( x2 + 22x + 120) – 3x2 D(x) = (7 – x)4 + ( 5 – x)4 – 2 E(x) = x4 – 9x3 + 28x2 – 36x + 16 F(x) = x4 – 3x3 – 6x2 + 3x + 1 IV. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH. Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x3 – 19x – 30 b) x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 Giải: a) Kết quả tìm phải có dạng: (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac. Ta phải tìm a, b, c thoả mãn: x3 – 19x – 30 = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac Vì hai đa thức này đồngnhất , nên ta có: a + b = 0 ab + c = 19 ac = - 30 Vì a,c thuộc số nguyên vá tích ac = - 30, do đó a, c là ước của - 30 hay a,c = ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30 a = 2, c = 15 khi đó b = - 2 thoả mãn hệ trên. Đó là một bộ số phải tìm tức là x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15) b) Dễ thấy ±1 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức không có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỉ. Như vậy nến đa thức đã cho phân tích thành nhân tử thì phải có dạng: (x2 + ax + b)( x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd . Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta có x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd a + c = 6 ac + b + d =7 ad + bc = 6 bd = 1 Từ hệ này tìm được: a = b = d = 1 , c = 5 Vậy: x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 = (x2 + x + 1)(x2 + x + 5). V. TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC. Œ Nếu đa thức P(x) có một nghiệm là x = a thì ta có thể phân tích P(x) thành tích của hai thừa số là (x – a) và Q(x). P(x) = (x – a) Q(x) Muốn tìm thừa số Q(x), ta hãy chia đa thức cho nhị thức (x – a). v Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt là x = a và x = b thì ta có thể phân biệt đa thức P(x) thành tích của ba thừa số là (x – a), (x – b) và Q(x). P(x) = (x – a)(x – b) Q(x) Muốn tìm Q(x), ta chia đa thức P(x) cho tích số (x – a)(x – b) = x2 + (a + b)x +ab, ta có thương đúng của phép chia chính là Q(x). Ž Nếu đa thức P(x) có nghiệm số kép x1 = x2 = a thìsao? Thế nào là nghiệm số kép? Giả sử P(x) có một nghiệm là x = a suy ra P(x) = (x – a)Q(x). Q(x) lại có nghiệm x = a suy ra Q(x) = (x – a) R(x). Do đó, ta có: P(x) = (x – a)2R(x). Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a Vậy: Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép là x1 = x2 = a thì P(x) = (x – a)2R(x). Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = x3 – 2x – 4 thành nhân tử . Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) = x3 – 2x – 4 có số nghiệm là x = 2 Do đó, ta có P(x) = ( x – 2)Q(x) Chia đa trhức P(x) = x3 – 2x – 4 cho nhị thức x – 2 , ta được thương số là Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1 Suy ra P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2) Vậy P(x) = x3 – 2x – 4 = ( x- 2)(x2 + 2x + 2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử. P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – 4 Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) có 2 nghiệm phân biệt là -1 và 2 Vì P(-1) = 0 và P(2) = 0 Do đó P(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x) Chia đa thức P(x) cho tam thức (x + 1)(x – 2) = x2 – x – 2 , ta được thương đúng của phép chia là: Q(x) = x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 Suy ra: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2) Vậy : P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2). VI. QUY TẮT HÓT – NƠ (HORNER) Quy tắt Hót – Nơ giúp chúng ta chia nhanh một đa thức cho một nhị thức bậc nhất. Bài toán: Giả sử chúng ta chia được đa thức. P(x) = a0xn + a1xn -1 + a2xn – 2 + a3xn – 3 + ….. + an chia nhị thức x - a Bậc của đa thức thương Q(x) nhỏ hơn bậc của P(x) một đơn vị. Q(x) = b0xn – 1 + b1xn – 2 + b2xn – 3 + …… + bn - 1 Số dư r là một hằng số vì bậ r < bậc (x – a) Ta có: a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + ….. + an = (x – a)(b0xn -1 + b1xn – 2 + …. + bn – 1) + r Cân bằng các hệ số, ta có: b0 = a0 b1 = a1 + ab0 b2 = a2 + ab1 b3 = a3 + ab2 ………………………….. bn – 1 = an – 1 + abn - 2 r = an + abn -1 Ta sắp xếp thành bảng sau: a0 a1 a2 ……… an - 1 an a b0 = a0 b1 = a1 +ab0 b2 = a2 +ab1 bn – 1 = an -1 + abn - 2 r = an + abn -1 Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = 3x4 – 4x3 + 1 thành nhân tử. Giải: Ta có P(1) = 3 – 4 + 1 = 0 Suy ra, đa thức P(x) chia hết cho (x – 1) P(x) = (x – 1)Q1(x) Ta xác định Q1(x) bằng quy tắt Hót – Nơ . 3 -4 0 0 1 1 3 -1 -1 -1 r = p(1) = 0 Do đó Q1(x) = 3x3 – x2 – x – 1 Nhận xét rằng Q1(x) = 0 suy ra Q1(x) = (x – 1)Q2(x) Ta xác định Q2(x) bằng cách sử dụng quy tắt Hót – Nơ: 3 -1 -1 -1 1 3 2 1 0 Suy ra: Q2(x) = 3x2 + 2x + 1, không phân tích thành nhân tử được nữa. Do đó, ta có: P(x) = 3x4 – 4x3 + 1 = (x – 1)2(3x2 + 2x + 1).