Chuyên đề Bồi dưỡng Toán máy tính Casio

1 Phần I: Các bài toán về đa thức 1. Tính giá trị của biểu thức: Bài 1: Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1 Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P( 31 4 ) H.Dẫn: - Lập công thức P(x) - Tính giá trị của đa thức tại các điểm: dùng chức năng CALC - Kết quả: P(1,25) = ; P(4,327) = P(-5,1289) = ; P( 31 4 ) = Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 tại x = 0,53241 Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 tại x = -2,1345 H.Dẫn: - áp dụng hằng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b +...+ abn-2 + bn-1). Ta có: P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 = 2 9 10( 1)(1 ... ) 1 1 1 x x x x x x x - + + + + - = - - Từ đó tính P(0,53241) = T−ơng tự: Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 +...+ x8) = 9 2 1 1 x x x - - Từ đó tính Q(-2,1345) = Bài 3: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25. Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn: B−ớc 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho: + Bậc H(x) nhỏ hơn bậc của P(x) + Bậc của H(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ hơn 5, nghĩa là: Q(x) = P(x) + a1x 4 + b1x 3 + c1x 2 + d1x + e B−ớc 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 16 8 4 2 4 0 81 27 9 3 9 0 256 64 16 4 16 0 625 125 25 5 25 0 a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e + + + + + =  + + + + + = + + + + + =  + + + + + =  + + + + + = ⇒ a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1 Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x2 2 Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 là nghiệm của Q(x), mà bậc của Q(x) bằng 5 có hệ số của x5 bằng 1 nên: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) ⇒ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2. Từ đó tính đ−ợc: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Bài 4: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11. Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn: - Giải t−ơng tự bài 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3). Từ đó tính đ−ợc: P(5) = ; P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Bài 5: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10. Tính (5) 2 (6) ?(7) P PA P - = = H.Dẫn: - Giải t−ơng tự bài 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + ( 1) 2 x x + . Từ đó tính đ−ợc: (5) 2 (6) (7) P PA P - = = Bài 6: Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x3 là k, k ˛ Z thoả mãn: f(1999) = 2000; f(2000) = 2001 Chứng minh rằng: f(2001) - f(1998) là hợp số. H.Dẫn: * Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b). Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 0 1999 2000 0 1 2000 2001 0 1 a b a a b b + + = = -  Û Û  + + = = -  ⇒ g(x) = f(x) - x - 1 * Tính giá trị của f(x): - Do bậc của f(x) là 3 nên bậc của g(x) là 3 và g(x) chia hết cho: (x - 1999), (x - 2000) nên: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) ⇒ f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + 1. Từ đó tính đ−ợc: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) là hợp số. 3 Bài 7: Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số của bậc cao nhất là 1 và thoả mãn: f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27. Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ? H.Dẫn: - Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. Tìm a, b, c sao cho g(1) = g(3) = g(5) = 0 ⇒ a, b, c là nghiệm của hệ ph−ơng trình: 3 0 9 3 11 0 25 5 27 0 a b c a b c a b c + + + =  + + + =  + + + = ⇒ bằng MTBT ta giải đ−ợc: 1 0 2 a b c = -  =  = - ⇒ g(x) = f(x) - x2 - 2 - Vì f(x) bậc 4 nên g(x) cũng có bậc là 4 và g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), do vậy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) ⇒ f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x 2 + 2. Ta tính đ−ợc: A = f(-2) + 7f(6) = Bài 8: Cho đa thức f(x) bậc 3. Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1. Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức) H.Dẫn: - Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1 nên: 10 12 8 4 2 4 27 9 3 1 d a b c d a b c d a b c d =  + + + =  + + + =  + + + = lấy 3 ph−ơng trình cuối lần l−ợt trừ cho ph−ơng trình đầu và giải hệ gồm 3 ph−ơng trình ẩn a, b, c trên MTBT cho ta kết quả: 5 25 ; ; 12; 10 2 2 a b c d= = - = = ⇒ 3 2 5 25( ) 12 10 2 2 f x x x x= - + + ⇒ (10)f = Bài 9: Cho đa thức f(x) bậc 3 biết rằng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) đều đ−ợc d− là 6 và f(-1) = -18. Tính f(2005) = ? H.Dẫn: - Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = 6 và có f(-1) = -18 - Giải t−ơng tự nh− bài 8, ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x Từ đó tính đ−ợc f(2005) = 4 Bài 10: Cho đa thức 9 7 5 3 1 1 13 82 32( ) 630 21 30 63 35 P x x x x x x= - + - + a) Tính giá trị của đa thức khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4. b) Chứng minh rằng P(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên Giải: a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 thì (tính trên máy) P(x) = 0 b) Do 630 = 2.5.7.9 và x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 là nghiệm của đa thức P(x) nên 1( ) ( 4)( 3)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 3( 4) 2.5.7.9 P x x x x x x x x x x= - - - - + + + + Vì giữa 9 só nguyên liên tiếp luôn tìm đ−ợc các số chia hết cho 2, 5, 7, 9 nên với mọi x nguyên thì tích: ( 4)( 3)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 3( 4)x x x x x x x x x- - - - + + + + chia hết cho 2.5.7.9 (tích của các số nguyên tố cùng nhau). Chứng tỏ P(x) là số nguyên với mọi x nguyên. Bài 11: Cho hàm số 4( ) 4 2 x x f x = + . Hãy tính các tổng sau: 1 1 2 2001) ... 2002 2002 2002 a S f f f     = + + +            2 2 2 2 2 2001) sin sin ... s in 2002 2002 2002 b S f f fp p p     = + + +            H.Dẫn: * Với hàm số f(x) đã cho tr−ớc hết ta chứng minh bổ đề sau: Nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1 * áp dụng bổ đề trên, ta có: a) 1 1 2001 1000 1002 1001 ... 2002 2002 2002 2002 2002 S f f f f f            = + + + + +                          1 1 1 11 ... 1 1000 1000, 5 2 2 2 2 f f    = + + + + = + =          b) Ta có 2 2 2 22001 1000 1002sin sin , ..., sin sin 2002 2002 2002 2002 p p p p = = . Do đó: 2 2 2 2 2 2 1000 10012 sin sin ... s in sin 2002 2002 2002 2002 S f f f fp p p p        = + + + +                  2 2 2 2 21000 500 5012 sin sin ... sin sin sin 2002 2002 2002 2002 2 f f f f fp p p p p             = + + + + +                            2 2 2 2500 5002 sin cos ... sin cos (1) 2002 2002 2002 2002 f f f f fp p p p           = + + + + +                        [ ] 4 2 22 1 1 ... 1 1000 10006 3 3= + + + + = + = 5 2. Tìm th−ơng và d− trong phép chia hai đa thức: Bài toán 1: Tìm d− trong phép chia đa thức P(x) cho (ax + b) Cách giải: - Ta phân tích: P(x) = (ax + b)Q(x) + r ⇒ 0.b bP Q r a a     - = - +        ⇒ r = bP a -      Bài 12: Tìm d− trong phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - 6 cho (2x - 5) Giải: - Ta có: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r ⇒ 5 5 50. 2 2 2 P Q r r P     = + ⇒ =            ⇒ r = 5 2 P      Tính trên máy ta đ−ợc: r = 5 2 P      = Bài toán 2: Tìm th−ơng và d− trong phép chia đa thức P(x) cho (x + a) Cách giải: - Dùng l−ợc đồ Hoocner để tìm th−ơng và d− trong phép chia đa thức P(x) cho (x + a) Bài 13: Tìm th−ơng và d− trong phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 cho (x + 5) H.Dẫn: - Sử dụng l−ợc đồ Hoocner, ta có: 1 0 -2 -3 0 0 1 -1 -5 1 -5 23 -118 590 -2950 14751 -73756 * Tính trên máy tính các giá trị trên nh− sau: ( )- 5 SHIFT STO M 1 ã ANPHA M + 0 = (-5) : ghi ra giấy -5 ã ANPHA M + - 2 = (23) : ghi ra giấy 23 ã ANPHA M - 3 = (-118) : ghi ra giấy -118 ã ANPHA M + 0 = (590) : ghi ra giấy 590 ã ANPHA M + 0 = (-2950) : ghi ra giấy -2950 ã ANPHA M + 1 = (14751) : ghi ra giấy 14751 ã ANPHA M - 1 = (-73756) : ghi ra giấy -73756 x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 = (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756 Bài toán 3: Tìm th−ơng và d− trong phép chia đa thức P(x) cho (ax +b) 6 Cách giải: - Để tìm d−: ta giải nh− bài toán 1 - Để tìm hệ số của đa thức th−ơng: dùng l−ợc đồ Hoocner để tìm th−ơng trong phép chia đa thức P(x) cho (x + b a ) sau đó nhân vào th−ơng đó với 1 a ta đ−ợc đa thức th−ơng cần tìm. Bài 14: Tìm th−ơng và d− trong phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 cho (2x - 1) Giải: - Thực hiện phép chia P(x) cho 1 2 x   -    , ta đ−ợc: P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = 1 2 x   -    2 5 7 1 2 4 8 x x   + - +    . Từ đó ta phân tích: P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = 2. 1 2 x   -    . 1 2 . 2 5 7 1 2 4 8 x x   + - +    = (2x - 1). 2 1 5 7 1 2 4 8 8 x x   + - +    Bài 15: Tìm các giá trị của m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 + m chia hết cho Q(x) = 3x +2 H.Dẫn: - Phân tích P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m. Khi đó: P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + 2 khi và chỉ khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x) Ta có: 1 1 2 20 3 3 P m m P   - + = ⇒ = - -        Tính trên máy giá trị của đa thức P1(x) tại 2 3 x = - ta đ−ợc m = Bài 16: Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + 5 + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7 + n. Tìm m, n để hai đa thức trên có nghiệm chung 0 1 2 x = H.Dẫn: 0 1 2 x = là nghiệm của P(x) thì m = 1 1 2 P  -     , với P1(x) = 3x 2 - 4x + 5 0 1 2 x = là nghiệm của Q(x) thì n = 1 1 2 Q  -     , với Q1(x) = x 3 + 3x2 - 5x + 7. Tính trên máy ta đ−ợc: m = 1 1 2 P  -     = ;n = 1 1 2 Q  -     = 7 Bài 17: Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n. a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2) b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x). Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ rằng đa thức R(x) chỉ có duy nhất một nghiệm. H.Dẫn: a) Giải t−ơng tự bài 16, ta có: m = ;n = b) P(x) ⋮ (x - 2) và Q(x) ⋮ (x - 2) ⇒ R(x) ⋮ (x - 2) Ta lại có: R(x) = x3 - x2 + x - 6 = (x - 2)(x2 + x + 3), vì x2 + x + 3 > 0 với mọi x nên R(x) chỉ có một nghiệm x = 2. Bài 18: Chia x8 cho x + 0,5 đ−ợc th−ơng q1(x) d− r1. Chia q1(x) cho x + 0,5 đ−ợc th−ơng q2(x) d− r2. Tìm r2 ? H.Dẫn: - Ta phân tích: x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1 q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2 - Dùng l−ợc đồ Hoocner, ta tính đ−ợc hệ số của các đa thức q1(x), q2(x) và các số d− r1, r2: 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 - 1 1 2 - 1 4 1 8 - 1 16 1 32 - 1 64 1 128 - 1 256 1 2 - 1 -1 3 4 1 2 - 5 16 3 16 - 7 64 1 16 - Vậy: 2 1 16 r = - 8 Phần II: Các bài toán về Dãy số Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm −u việt hơn các MTBT khác. Sử dụng MTĐT Casio fx - 570 MS lập trình tính các số hạng của một dãy số là một ví dụ. Nếu biết cách sử dụng đúng, hợp lý một quy trình bấm phím sẽ cho kết quả nhanh, chính xác. Ngoài việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán trong một giờ học mà từ kết quả tính toán đó ta có thể dự đoán, −ớc đoán về các tính chất của dãy số (tính đơn điệu, bị chặn...), dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số, tính hội tụ, giới hạn của dãy...từ đó giúp cho việc phát hiện, tìm kiếm cách giải bài toán một cách sáng tạo. Việc biết cách lập ra quy trình để tính các số hạng của dãy số còn hình thành cho học sinh những kỹ năng, t− duy thuật toán rất gần với lập trình trong tin học. Sau đây là một số quy trình tính số hạng của một số dạng dãy số th−ờng gặp trong ch−ơng trình, trong ngoại khoá và thi giải Toán bằng MTBT: I/ Lập quy trình tính số hạng của dãy số: 1) D"y số cho bởi công thức số hạng tổng quát: trong đó f(n) là biểu thức của n cho tr−ớc. Cách lập quy trình: - Ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ A : 1 SHIFT STO A - Lập công thức tính f(A) và gán giá trị ô nhớ : A = A + 1 - Lặp dấu bằng: = ... = ... Giải thích: 1 SHIFT STO A : ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ A f(A) : A = A + 1 : tính un = f(n) tại giá trị A (khi bấm dấu bằng thứ lần nhất) và thực hiện gán giá trị ô nhớ A thêm 1 đơn vị: A = A + 1 (khi bấm dấu bằng lần thứ hai). * Công thức đ−ợc lặp lại mỗi khi ấn dấu = un = f(n), n ˛ N * 9 Ví dụ 1: Tính 10 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi: 1 1 5 1 5 ; 1, 2,3... 2 25 n n nu n     + -  = - =            Giải: - Ta lập quy trình tính un nh− sau: 1 SHIFT STO A ( 1 ‚ 5 ) ( ( ( 1 + 5 ) ‚ 2 ) Ù ANPHA A - ( ( 1 - 5 ) ‚ 2 ) Ù ANPHA A ) ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + 1 = - Lặp lại phím: = ... = ... Ta đ−ợc kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, u9 = 34, u10 = 55. 2) D"y số cho bởi hệ thức truy hồi dạng: trong đó f(un) là biểu thức của un cho tr−ớc. Cách lập quy trình: - Nhập giá trị của số hạng u1: a = - Nhập biểu thức của un+1 = f(un) : ( trong biểu thức của un+1 chỗ nào có un ta nhập bằng ANS ) - Lặp dấu bằng: = Giải thích: - Khi bấm: a = màn hình hiện u1 = a và l−u kết quả này - Khi nhập biểu thức f(un) bởi phím ANS , bấm dấu = lần thứ nhất máy sẽ thực hiện tính u2 = f(u1) và lại l−u kết quả này. - Tiếp tục bấm dấu = ta lần l−ợt đ−ợc các số hạng của dãy số u3, u4... Ví dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi: 1 n+1 n u = a u = f(u ) ; n N*   ˛ 10 1 1 1 2 , * 1 n n n u u u n N u + =  + = ˛ + Giải: - Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số nh− sau: 1 = (u1) ( ANS + 2 ) ‚ ( ANS + 1 ) = (u2) = ... = - Ta đ−ợc các giá trị gần đúng với 9 chữ số thập phân sau dấu phảy: u1 = 1 u8 = 1,414215686 u2 = 1,5 u9 = 1,414213198 u3 = 1,4 u10 = 1,414213625 u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552 u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564 u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562 u7 = 1,414201183 u14 =...= u20 = 1,414213562 Ví dụ 2: Cho dãy số đ−ợc xác định bởi: ( )3 3 1 3 1 3 , *n n u u u n N+  =  = ˛ Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để un là số nguyên. Giải: - Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số nh− sau: SHIFT 3 3 = (u1) ANS Ù SHIFT 3 3 = (u2) = = (u4 = 3) Vậy n = 4 là số tự nhiên nhỏ nhất để u4 = 3 là số nguyên. 3) D"y số cho bởi hệ thức truy hồi dạng: 1 2 n+2 n+1 n u = a, u b u = Au + Bu + C ; n N* =  ˛ 11 Cách lập quy trình: * Cách 1: Bấm phím: b SHIFT STO A ã A + B ã a + C SHIFT STO B Và lặp lại dãy phím: ã A + ANPHA A ã B + C SHIFT STO A ã A + ANPHA B ã B + C SHIFT STO B Giải thích: Sau khi thực hiện b SHIFT STO A ã A + B ã a + C SHIFT STO B trong ô nhớ A là u2 = b, máy tính tổng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C và đẩy vào trong ô nhớ B , trên màn hình là: u3 : = Au2 + Bu1 + C Sau khi thực hiện: ã A + ANPHA A ã B + C SHIFT STO A máy tính tổng u4 := Au3 + Bu2 + C và đ−a vào ô nhớ A . Nh− vậy khi đó ta có u4 trên màn hình và trong ô nhớ A (trong ô nhớ B vẫn là u3). Sau khi thực hiện: ã A + ANPHA B ã B + C SHIFT STO B máy tính tổng u5 := Au4 + Bu3 + C và đ−a vào ô nhớ B . Nh− vậy khi đó ta có u5 trên màn hình và trong ô nhớ B (trong ô nhớ A vẫn là u4). Tiếp tục vòng lặp ta đ−ợc dãy số un+2 = Aun+1 + Bun + C *Nhận xét: Trong cách lập quy trình trên, ta có thể sử dụng chức năng COPY để lập lại dãy lặp bởi quy trình sau (giảm đ−ợc 10 lần bấm phím mỗi khi tìm một số hạng của dãy số), thực hiện quy trình sau: Bấm phím: b SHIFT STO A ã A + B ã a + C SHIFT STO B ã A + ANPHA A ã B + C SHIFT STO A ã A + ANPHA B ã B + C SHIFT STO B SHIFT COPYD Lặp dấu bằng: = ... = ... * Cách 2: Sử dụng cách lập công thức Bấm phím: a SHIFT 12 A b SHIFT STO B ANPHA C ANPHA = A ANPHA B + B ANPHA A + C ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA B ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C Lặp dấu bằng: = ... = ... Ví dụ : Cho dãy số đ−ợc xác định bởi: 1 2 n+2 n+1 n u = 1, u 2 u = 3u + 4u + 5 ; n N* =  ˛ Hãy lập quy trình tính un. Giải: - Thực hiện quy trình: 2 SHIFT STO A ã 3 + 4 ã 1 + 5 SHIFT STO B ã 3 + ANPHA A ã 4 + 5 SHIFT STO A ã 3 + ANPHA B ã 4 + 5 SHIFT STO B SHIFT COPYD = ... = ... ta đ−ợc dãy: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671... Hoặc có thể thực hiện quy trình: 1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B ANPHA C ANPHA = 3 ANPHA B + 4 ANPHA A + 5 ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA B ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C = ... = ... ta cũng đ−ợc kết quả nh− trên. 13 4) D"y số cho bởi hệ thức truy hồi với hệ số biến thiên dạng: * Thuật toán để lập quy trình tính số hạng của d"y: - Sử dụng 3 ô nhớ: A : chứa giá trị của n B : chứa giá trị của un C : chứa giá trị của un+1 - Lập công thức tính un+1 thực hiện gán A : = A + 1 và B := C để tính số hạng tiếp theo của dãy - Lặp phím : = Ví dụ : Cho dãy số đ−ợc xác định bởi: ( ) 1 n+1 n u = 0 n u = u +1 ; n N* n+1    ˛ Hãy lập quy trình tính un. Giải: - Thực hiện quy trình: 1 SHIFT STO A 0 SHIFT STO B ANPHA C ANPHA = ( ANPHA A ‚ ( ANPHA A + 1 ) ) ã ( ANPHA B + 1 ) ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + 1 ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C = ... = ... ta đ−ợc dãy: 1 3 5 7 , 1, , 2, , 3, ,... 2 2 2 2 II/ Sử dụng MTBT trong việc giải một số dạng toán về dãy số: { }( ) 1 n+1 u = a u = , ; n N*nf n u   ˛ Trong đó { }( ), nf n u là kí hiệu của biểu thức un+1 tính theo un và n. 14 1). Lập công thức số hạng tổng quát: Ph−ơng pháp giải: - Lập quy trình trên MTBT để tính một số số hạng của dãy số - Tìm quy luật cho dãy số, dự đoán công thức số hạng tổng quát - Chứng minh công thức tìm đ−ợc bằng quy nạp Ví dụ 1: Tìm a2004 biết: Giải: - Tr−ớc hết ta tính một số số hạng đầu của dãy (an), quy trình sau: 1 SHIFT STO A 0 SHIFT STO B ANPHA C ANPHA = ANPHA A ( ANPHA A + 1 ) ‚ ( ( ANPHA A + 2 ) ( ANPHA A + 3 ) ) ã ( ANPHA B + 1 ) ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + 1 ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C - Ta đ−ợc dãy: 1 7 2 7 1 1 1 3 9 , , , , , , . . . 6 2 0 5 0 1 5 1 4 8 - Từ đó phân tích các số hạng để tìm quy luật cho dãy trên: a1 = 0 a2 = 1 5 1.5 6 30 3.10 = = ⇒ dự đoán công thức số hạng tổng quát: a3 = 7 2.7 2.7 20 40 4.10 = = a4 = 27 3.9 50 5.10 = * Dễ dàng chứng minh công thức (1) đúng ... ⇒ 2004 2003.4009 20050 a = 1 1 0 ( 1) ( 1) ; *( 2)( 3)n n a n n a a n N n n + =  + = + ˛ + +          ( 1)(2 1) 10( 1)n n n a n - + = + (1) với mọi n ˛ N* bằng quy nạp. 15 Ví dụ 2: Xét dãy số: Chứng minh rằng số A = 4an.an+2 + 1 là số chính ph−ơng. Giải: - Tính một số số hạng đầu của dãy (an) bằng quy trình: 3 SHIFT STO A ã 2 - 1 + 1 SHIFT STO B ã 2 - ANPHA A + 1 SHIFT STO A ã 2 - ANPHA B + 1 SHIFT STO B SHIFT COPYD = ... = ... - Ta đ−ợc dãy: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,... - Tìm quy luật cho dãy số: 1 1(1 1)1 2 a + = = 2 2(2 1)3 2 a + = = ⇒ dự đoán công thức số hạng tổng quát: 3 3(3 1)6 2 a + = = 4 4(4 1)10 2 a + = = 5 5(5 1)15 2 a + = = * Ta hoàn toàn chứng minh công thức (1) ... Từ đó: A = 4an.an+2 + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n 2 + 3n + 1)2. ⇒ A là một số chính ph−ơng. Cách giải khác: Từ kết quả tìm đ−ợc một số số hạng đầu của dãy,ta thấy: - Với n = 1 thì A = 4a1.a3 + 1 = 4.1.6 + 1 = 25 = (2a2 - 1) 2 - Với n = 2 thì A = 4a2.a4 + 1 = 4.3.10 + 1 = 121 = (2a3 - 1) 2 - Với n = 3 thì A = 4a3.a5 + 1 = 4.6.15 + 1 = 361 = (2a4 - 1) 2 Từ đó ta chứng minh A = 4an.an+2 + 1 = (2an+1 - 1) 2 (*) Bằng ph−ơng pháp quy nạp ta cũng dễ dàng chứng minh đ−ợc (*). 2). Dự đoán giới hạn của d"y số: 1 2 * 2 1, 3 2 1;n n n a a a a a n N+ = =  = - + ˛          ( 1) 2n n n a + = đúng với mọi n ˛ N* (1) 16 2.1. Xét tính hội tụ của dãy số: Bằng cách sử dung MTBT cho phép ta tính đ−ợc nhiều số hạng của dãy số một cách nhanh chóng. Biểu diễn dãy điểm các số hạng của dãy số sẽ giúp cho ta trực quan tốt về sự hội tụ của dãy số, từ đó hình thành nên cách giải của bài toán. Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của dãy số (an): sin( ) ; * 1n n a n N n = ˛ + Giải: - Thực hiện quy trình: 4 2MODE 1 SHIFT STO A sin ( ANPHA A ) ‚ ( ANPHA A + 1 ) ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + 1 = ... = ... ta đ−ợc kết quả sau (độ chính xác 10-9): n an n an n an n an 1 0,420735492 13 0,030011931 25 -0,005090451 37 -0,016935214 2 0,303099142 14 0,06604049 26 0,028242905 38 0,007599194 3 0,035280002 15 0,04064299 27 0,034156283 39 0,024094884 4 -0,151360499 16 -0,016935489 28 0,009341578 40 0,018173491 5 -0,159820712 17 -0,053410971 29 -0,022121129 41 -0,00377673 6 -0,039916499 18 -0,039525644 30 -0,031871987 42 -0,021314454 7 0,082123324 19 0,00749386 31 -0,012626176 43 -0,018903971 8 0,109928694 20 0,043473583 32 0,016709899 44 0,000393376 9 0,041211848 21 0,038029801 33 0,029409172 45 0,018497902 10 -0,049456464 22 -0,000384839 34 0,015116648 46 0,019186986 11 -0,083332517 23 -0,035259183 35 -0,011893963 47 0,00257444 12 -0,041274839 24 -0,036223134 36 -0,026804833 48 -0,015678666 - Biểu diễn điểm trên mặt phẳng toạ độ (n ; an): Dựa vào sự biểu diễn trên giúp cho ta rút ra nhận xét khi n càng lớn thì an càng gần 0 (an fi 0) và đó chính là bản chất của dãy hội tụ đến số 0. an n 17 2.2. Dự đoán giới hạn của dãy số: Ví dụ 1: Chứng minh rằng dãy số (un), (n = 1, 2, 3...) xác định bởi: 1 1 2 2 ; *n n u u u n N+  =  = + ˛ có giới hạn. Tìm giới hạn đó. Giải: - Thực hiện quy trình: 2 = ( 2 + ANS ) = ... = ... ta đ−ợc kết quả sau (độ chính xác 10-9): n un n un 1 1,414213562 11 1,999999412 2 1,847759065 12 1,999999853 3 1,961570561 13 1,999999963 4 1,990369453 14 1,999999991 5 1,997590912 15 1,999999998 6 1,999397637 16 1,999999999 7 1,999849404 17 2,000000000 8 1,999962351 18 2,000000000 9 1,999990588 19 2,000000000 10 1,999997647 20 2,000000000 Dựa vào kết quả trên ta nhận xét đ−ợc: 1) Dãy số (un) là dãy tăng 2) Dự đoán giới hạn của dãy số bằng 2 Chứng minh nhận định trên: + Bằng ph−ơng pháp quy nạp ta chứng minh đ−ợc dãy số (un) tăng và bị chặn ⇒ dãy (un) có giới hạn. + Gọi giới hạn đó là a: limun = a. Lấy giới hạn hai vế của công thức truy hồi xác định dãy số (un) ta đ−ợc: limun = lim( 2 nu+ ) hay a = 2 a+ 2 0 2 2 a a a a ‡ Û Û = = + Vậy: lim un = 2 18 Ví dụ 2: Cho dãy số (xn), (n = 1, 2, 3...) xác định bởi: 1 2 2 1 1 1 2 2 sin( ) , * 5 5n n n x x x x x n Np p + + = =   = + ˛ Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn và tìm giới hạn của nó. Giải: - Thực hiện quy trình: 4 2MODE 1 SHIFT STO A ã ( 2 ‚ 5 SHIFT p ) + ( 2 SHIFT p ‚ 5 ) ã sin ( 1 ) SHIFT STO B 2x ã ( 2 ‚ 5 SHIFT p ) + ( 2 SHIFT p ‚ 5 ) ã sin ( ANPHA A ) SHIFT STO A 2x ã ( 2 ‚ 5 SHIFT p ) + ( 2 SHIFT p ‚ 5 ) ã sin ( ANPHA B ) SHIFT STO B SHIFT COPYD = ... = ... ta tính các số hạng đầu của dãy số (xn) và rút ra những nhận xét sau: 1) Dãy số (xn) là dãy không giảm 2) x50 = x51 =... = 1,570796327 (với độ chính xác 10 -9). 3) Nếu lấy xi (i = 50, 51,...) trừ cho 2 p ta đều nhận đ−ợc kết quả là 0. ⇒ dự đoán giới hạn của dãy số bằng 2 p . Chứng minh nhận định trên: + Bằng ph−ơng pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh đ−ợc xn ˛ (0 ; 2 p ) và dãy (xn) không giảm ⇒ dãy (xn) có giới hạn. + Gọi giới hạn đó bằng a, ta có: 22 2 sin( ) , (1). 5 5 a a a p p = + + Bằng ph−ơng pháp giải tích (xét hàm số 22 2( ) sin( ) 5 5 f x x x xp p = + - ) ta có (1) có nghiệm là a = 2 p . Vậy: lim xn = 2 p . 19 3). Một số dạng bài tập sử dụng trong ngoại khoá và thi giải Toán bằng MTBT: Bài 1: Cho dãy số (un), (n = 0, 1, 2,...): ( ) ( )2 3 2 3 2 3 n n nu + - - = a) Chứng minh un nguyên với mọi n tự nhiên. b) Tìm tất cả n nguyên để un chia hết cho 3. Bài 2: Cho dãy số (an) đ−ợc xác định bởi: 2 1 2 4 15 60 , * o n n n a a a a n N+ =  = + - ˛ a) Xác định công thức số hạng tổng quát an. b) Chứng minh rằng số: ( )21 85 nA a= + biểu diễn đ−ợc d−ới dạng tổng bình ph−ơng của 3 số nguyên liên tiếp với mọi n ‡ 1. Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi: 1 2 1 0, 1 1999 , o n n n u u u u u n N+ + = =  = - ˛ Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho un là số nguyên tố. Bài 4: Cho dãy số (an) xác định bởi: 1 2 1 1 5, 11 2 3 , 2,n n n a a a a a n n N+ - = =  = - ‡ ˛ Chứng minh rằng: a) Dãy số trên có vô số số d−ơng, số âm. b) a2002 chia hết cho 11. Bài 5: Cho dãy số (an) xác định bởi: 1 2 2 1 2 1 2 , 3,nn n a a a a n n N a - - = =  + = ‡ ˛  Chứng minh an nguyên với mọi n tự nhiên. Bài 6: Dãy số (an) đ−ợc xác định theo công thức: ( )2 3 , *nna n N = + ˛   ; (kí hiệu ( )2 3 n +   là phần nguyên của số ( )2 3 n+ ). Chứng minh rằng dãy (an) là dãy các số nguyên lẻ. 20 Phần III: Các bài toán về số 1. Tính toán trên máy kết hợp trên giấy: Bài 1: a) Nêu một ph−ơng pháp (kết hợp trên máy và trên