Chuyên đề Các hằng đẳng thức đáng nhớ

Chuyên đề 2: các hằng đẳng thức đáng nhớ. A.Lí thuyết: các hằng đẳng thức đáng nhớ: (A+B)2 = A2+2AB+B2 (A-B)2 = A2-2AB+B2 A2 -B2= (A+B)(A-B) (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3 (A-B)3 = A3-3A2B +3AB2-B3 A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2) A3-B3=(A-B)(A2+AB+B2) Một số hằng đẳng thức khác: VD: (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC (A-B+C)2=A2+B2+C2-2AB+2AC-2BC , n lẻ B. Một số ví dụ minh hoạ: Hằng đẳng thức đáng nhớ được học trong chương trình cho ta kết quả cuối cùng của các phép nhân đa thức với đa thức: Bài toán 1 : Cho đa thức 2x2-5x+3 . Viết đa thức trên dưới dạng một đa thức của biến y trong đó y= x+1. HD : Thay x = y-1 ta được : 2x2-5x+3 = 2.( y-1)2-5.( y-1)+3 = 2.( y2-2y+1)-5y+5+3 = 2.y2-9.y+10. Bài toán 2 : Số nào lớn hơn trong hai số A và B ? A = (2+1).(22+1).(24+1).(28+1).(216+1) B = 232. HD : Nhân hai vế của A với (2-1) ta được: A = (2-1). (2+1).(22+1).(24+1).(28+1).(216+1). áp dụng hằng đẳng thức A2 -B2= (A+B)(A-B) nhiều lần ta được : A= 232-1. Vậy A <B . Bài toán 3 : Rút gọn biểu thức : C = (a+b+c)3+(a-b-c)3-6.a.(b+c)2. HD : C = [a+(b+c)]3+[a-(b-c)]3- 6.a.(b+c)2 = a3+3.a2.(b+c)+3.a.(b+c)2+(b+c)3+a3-3.a2+3.a.(b+c)2-(b+c)3- 6.a.(b+c)2 = 2.a Chuyên đề 2: các hằng đẳng thức đáng nhớ. Bài toán 4 : Tính a). ( 2.x+3)2 ; ( 2.x- 3)2 b). ( x+ )2 ; ( x - )2 c). ( 3.x+ 5.y)2 ; ( 3.x- 5.y)2 d). ( 2.x2.y+.x.y2)2 ; ( 2.x2.y- .x.y2)2 HD : a). Ta có ( 2.x+3)2 = 4.x2 + 12.x +9 ; ( 2.x-3)2 = 4.x2 - 12.x +9. b). Ta có ( x+ )2 = x2+x+ ; ( x- )2 = x2-x+ . c). Ta có ( 3.x+ 5.y)2 =9.x2+30.x.y+25y2 ; ( 3.x- 5.y)2 =9.x2-30.x.y+25y2 . d). Ta có ( 2.x2.y+.x.y2)2 = 4.x4.y2+ x3.y3+ x2.y4 ( 2.x2.y-.x.y2)2 = 4.x4.y2- x3.y3+ x2.y4 Bài toán 5 : Tính a). ( 2.x+3)3 ; ( 2.x- 3)3 b). ( x+ )3 ; ( x - )3 c). ( 3.x+ 5.y)3 ; ( 3.x- 5.y)3 d). ( 2.x2.y+.x.y2)3 ; ( 2.x2.y- .x.y2)3 HD : a). Ta có ( 2.x+3)3 = 8.x3+36.x2.y+54.x.y2+27. Ta có ( 2.x-3)3 = 8.x3-36.x2.y+54.x.y2-27. b). Ta có ( x+ )3 = x3+x2+x + . Ta có ( x- )3 = x3-x2+x - . c). Ta có ( 3.x+ 5.y)3=27.x3+135.x2y+225.xy2+125.y3 Ta có ( 3.x- 5.y)3=27.x3-135.x2y+225.xy2-125.y3 d). Ta có ( 2.x2.y+.x.y2)3 = 8.x6.y3+4.x5.y4+ x4.y5+ x3.y6 Ta có ( 2.x2.y-.x.y2)3 = 8.x6.y3- 4.x5.y4+ x4.y5- x3.y6 Chuyên đề 2: các hằng đẳng thức đáng nhớ. c. Một số bài tập áp dụng: Bài toán 1 : Tính nhanh kết quả các biểu thức sau a). 1272+146.127+732 b). 98.28- (184-1).(184-1). c). 1002-992+982-972+…+22-12 d).( 202+182+…+42+22)-(192+172+..+12) e). f).342+662+68.66 Bài toán 2 : Tính a). (x+2y)2 ; (x-2y)2 ; (x+2y)3; (x-2y)3 ; b). (3x+y)2 ; (3x-y)2 ; (3x+y)3; (3x-y)3 c).(x2-).(x4+.x2+) d). (0,1x+y2).(0,01x2-0,1x.y2+y4) e).3xn-2(xn+2-yn+2) + yn+2(3xn-2-yn-2). f).(a+b- c)2- (a+b+c)2 Bài toán 3 : Rút gọn biểu thức a).(x2+2)2-(x+2).(x2+4) b). 5(x+2).(x-2)-(6-8x)2+17. c).(x2-1)3-(x4+x2+1).(x2-1) d).(x4-3x2+9)(x2+3)- (3+x2)3. Bài toán 4 : Tìm x biết a).(x+2).(x2-2x+4)-x(x2+2)=15 b). (x-2)3-(x-3)(x2+3x+9)+6(x+1)2=15. c).6x2-(2x+5)(3x-2)=7 d).0,6x(x-0,5)-0,3x(2x+1,3)=0,138. Bài toán 5 : So sánh các số sau. a). A=2005.2007 và B = 20062 b).C = và D = d).M = (3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1) và N = 332-1. Bài toán 6 : Tính giá trị các biểu thức a). a3+1+3a+3a2 với a=9. b).x3+3x2+3x với x= 19. c). a3+6+3a+3a2 với a=29. d). a3+1+3a-3a2 với a=101. Bài toán 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức a).x2- 4x+1 b).4x2 +4x+11 c).3x2- 6x-1 d).5x2- 4x+7 Bài toán 8: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức a).5-8x-x2 b). 4x-x2+1 Bài toán 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức a).(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) b).x2-2x+y2-4y+6. Bài toán 10: Chứng minh các hằng đẳng thức a).a3+b3 =(a+b)3-3ab(a+b) b).(a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a) c).(a2-b2)2+(2ab)2=(a2+b2) d). (a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2 Bài toán 11:Hiệu các bình phương của hai số tự nhiên chẵn liên tiếp bằng 36 tìm hai số ấy. Bài toán 12: Hiệu các bình phương của hai số tự nhiên lẻ liên tiếp bằng 40 tìm hai số ấy. Bài toán 13:Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng các tích của hai số trong ba số ấy bằng 74.