Chuyên đề Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Bất đẳng thức - ducduyspt 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bất đẳng thức - ducduyspt 2 PHƯƠNG PHÁP 1: Sử dụng định nghĩa và biến đổi tương đương. 1.Cơ sở lí thuyết: Ta sử dụng một số biến đổi sơ cấp để đưa bất đẳng thức cần phải chứng minh về một bất đẳng thức mới mà bất đẳng thức mới luôn đúng hoặc có thể chứng minh được đúng. 2.Một số ví dụ minh họa Ta có thể biến đổi tương đương trực tiếp hoặc đặt ẩn phụ rồi biến đổi tương đương A.Biến đổi tương đương trực tiếp VD1: Cho a,b,c>0.Cmr: 22 2 22 2 22 2 ba c ac b cb a ba c ac b cb a            (1) Giải (1)  0)()()( 22 2 22 2 22 2             ba c ba c ac b ac b cb a cb a  0 ))(())(())(( 22 2222 22 2222 22 2222          baba cbcabcac acac babcabcb cbcb acabcaba  0 ))(( )()( ))(( )()( ))(( )()( 222222          baba bccbacca acac ababcbbc cbcb caacbaab                     ))(( 1 ))(( 1 )( ))(( 1 ))(( 1 )( 22222222 babaacac cbbc acaccbcb baab 0 ))(( 1 ))(( 1 )( 2222           cbcbbaba acca (2) Do a,b,c>0 nên nếu ba  thì:           0 ))(( 1 ))(( 1 0 2222 acaccbcb ba  0 ))(( 1 ))(( 1 )( 2222           acaccbcb baab Nếu ba  thì:           0 ))(( 1 ))(( 1 0 2222 acaccbcb ba  0 ))(( 1 ))(( 1 )( 2222           acaccbcb baab Như vậy ta luôn có: 0 ))(( 1 ))(( 1 )( 2222           acaccbcb baab Bất đẳng thức - ducduyspt 3 Tương tự: 0 ))(( 1 ))(( 1 )( 2222           babaacac cbbc 0 ))(( 1 ))(( 1 )( 2222           cbcbbaba acca Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên  (2) luôn đúng với a,b,c>0  đpcm. VD2: Cho  1;0,, cba .Cmr: 1)1)(1)(1( 111       cba ba c ac b cb a Giải: Do vai trò của a,b,c như nhau nên có thể giả sử: 1,,0  cba Đặt 1 cbaS  cS a aS a cb a      1 (1)  cS b bS b ac b      1 (2) Ta cm cho: 1 1 )1)(1)(1(    ba c cba (3)  0 1 1 )1)(1()1(       ba bac  0 1 1)1)(1( )1(     ba baabba c  0 1 11 )1( 2222     ba ababbabbabaababa c  0 1 )1( 2222     ba abbaabba c  0 1 ))(1( )1(     ba baab c .Điều này luôn đúng vì  1;0,, cba . Từ (1),(2),(3)  1 1 )1)(1)(1( 111                cS c cS c cS b cS a cba ba c ac b cb a  đpcm. VD3: Cho nn nn axaxaxaxp    1 1 10 ...)( có n nghiệm phân biệt,  nn ,2 . Chứng tỏ: 20 2 1 2)1( nnan  (1) Giải (1)  0 2 2 0 1 2)1( n n a a n        (2) Bất đẳng thức - ducduyspt 4 Do đa thức p(x) có n nghiệm phân biệt nên theo định lí Viet ta có: 0 1 21 ...: a a xxxA n   và 0 2 13221 ...: a a xxxxxxB nn   Ta có: BxxxxxA n i i n ji ji ji n i i n i i 2 1 2 1,1 2 2 1 2            (2)  nBAn 2)1( 2   nBBxn n i i 2)2)(1( 1 2        n i i Bxn 1 2 2)1(       n i n i ii ABxxn 1 1 222 2             n i n i ii xxn 1 2 1 2 .Điều này luôn đúng theo bđt Bunhiacopski với 2 bộ số ),...,,( 21 nxxx và )1,...,1,1( .Dấu bằng không xảy ra vì: 1 ... 11 21 nxxx  (các nghiệm của p(x) phân biệt).  (1) luôn đúng  đpcm. B.Đặt ẩn phụ sau đó biến đổi tương đương VD1: CMR: cba ,, ta có 333333444666666 )(23 cbacbacbaaccbba  (1) Giải (1)  )(23 222 4 22 4 22 4 22 ab c ca b bc a b ac a cb c ba  (2) Đặt ca b z bc a y ab c x 222 ,,  .Ta có: xyz=1 Khi đó (2) trở thành: )(23111 222 zyx zyx   0)1()1)(1(2)11( 22  xyyx yx (3) Vì xyz=1 nên tồn tại 2 số nhỏ hơn hay bằng 1 hoặc 2 số lớn hơn hay bằng 1  0)1)(1(  yx  (3) luôn đúng Vậy bất đẳng thức đã cho đã được chứng minh. VD2: CMR: CBACBA coscoscos)cos1)(cos1)(cos1(  (1) Giải Ta luôn có: 1cos,cos,cos CBA  0)cos1)(cos1)(cos1(  CBA Nếu ABC vuông hoặc tù thì 0coscoscos CBA .Khi đó (1) luôn đúng. Nếu ABC nhọn  0coscoscos CBA Khi đó (1)  1 cos cos1 cos cos1 cos cos1   C C B B A A (2) Bất đẳng thức - ducduyspt 5 Đặt 2 tan, 2 tan, 2 tan C z B y A x  Ta có (1)  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                 z z z z y y y y x x x x  1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2   z z y y x x  xyzz z y y x x 1 1 2 1 2 1 2 222    2 tan 2 tan 2 tan 1 tantantan CBA CBA   2 cot 2 cot 2 cottantantan CBA CBA  (3) Mặt khác: ABC luôn có: CBACBA tantantantantantan  2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot CBACBA  Từ đó (3)  2 cot 2 cot 2 cottantantan CBA CBA   2 tan 2 tan 2 tantantantan CBA CBA  (4) Ta có bổ đề sau: 2 ,0:,   yxyx  2 tan2tantan yx yx   ABC nhọn  2 ,,0   CBA . Áp dụng bổ đề: 2 cot2 2 tan2tantan CBA BA    2 cot2 2 tan2tantan ACB CB    2 cot2 2 tan2tantan BAC AC    Cộng vế với vế ta có: ) 2 tan 2 tan 2 (tan2)tantan(tan2 CBA CBA   2 tan 2 tan 2 tantantantan CBA CBA  (đpcm) Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh. 3.Bài tập áp dụng Bài 1: Với mọi a,b cùng dấu và m,n là các số tự nhiên cùng chẵn hoặc cùng lẻ. CMR: 222 nmnmnnmm bababa     (1) HD: Bất đẳng thức - ducduyspt 6 (1)  0))((  mmnn baba luôn đúng do a,b cùng dấu và m,n là các số tự nhiên cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Bài 2: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: 1,,0  cba .Cmr: accbbacba 222222 1  (1) HD: (1)  1)1()1()1( 222  accbba Mà )1()1()1()1()1()1( 222 accbbaaccbba  cabcabcba  11)1)(1)(1(  abccba (do 1,,0  cba ) Bài 3: Cho a,b >0.Cm: )(4))()(( 663322 babababa  (1) HD: (1)  ))(1(4))(1)()(1)(1( 632 a b a b a b a b  Đặt a b t  khi đó )1(4)1)(1)(1( 632 tttt  Bài 4: Cho cab ab ab ab cab ab ab ab 22         Cmr:       cba cbaf 1 , 1 , 1 max4),,( Bài 5: Cho a,b,c>0.Cm bất đẳng thức: )(2 222222 cba c ba b ac a cb       HD: áp dụng vd1.A PHƯƠNG PHÁP 2:Sử dụng tam thức bậc hai 1.Cơ sở lí thuyết: Xét )0()( 2  acbxaxxf , : acb 42  Xuất phát từ đồng nhất thức      2 2 4 ) 2 ()( aa b xaxf ta có các kết quả sau: Định lí 1:       0 0 0)( a xxf Định lí 2:       0 0 0)( a xxf Định lí 3:       0 0 0)( a xxf Bất đẳng thức - ducduyspt 7 Định lí 4:       0 0 0)( a xxf Định lí 5: 0)( xf có nghiệm 021  xx Khi đó ))(()( 21 xxxxaxf  và          a c xx a b xx 21 21 Để chứng minh BA  ta viết biểu thức BA thành tam thức bậc hai theo một biến số nào đó .Sau đó dựa vào các định lí về dấu của tam thức bậc hai suy ra điều phải chứng minh. 2.Các ví dụ minh họa VD1: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: 363 a và 1abc Cmr: cabcabcba  22 2 3 (1) Giải (1)  0 3 3)()( 2 2  a bccbacb (2) Từ 1abc  a bc 1  . Thế vào (2) ta có: 0 3 1 3)()( 2 2  a a cbacb (3) 0 3 12 3 412 222  a a a a a (do 363 a ). Theo định về dấu tam thức bạc hai (3) luôn đúng.  (1) luôn đúng.  đpcm. VD2: Giả sử CBA ,, là 3 góc của một tam giác không cân tai C.Biết rằng phương trình : 0sinsin)sin(sin)sin(sin 2  CBxACxBA (1) Có đúng một nghiệm thực.Cmr: 060B Giải Vì ABC không cân tại C nên BA   BA sinsin  .Vậy (1) là pt bậc hai. Mặt khác 0sinsinsinsinsinsin  ACCBBA nên (1) có 1 nghiệm 11 x  nghiệm kia là: BA CB a c x sinsin sinsin 2    Vì (1) có đúng một nghiệm thực nên 21 xx   1 sinsin sinsin    BA CB  BCA sin2sinsin   2 cos 2 sin4 2 cos 2 sin2 BBCACA    2 sin2 2 cos BCA    1 2 sin20  B  2 1 2 sin0  B  030 2  B  060B  đpcm. VD3: Cho ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c và diện tích S.Khi đó ta có: Bất đẳng thức - ducduyspt 8 0,34)12()12( 222  xScb x ax (1) Giải: (1)  0,3422 222222  xSxxcxbbxaxa  02)34(2 222222  bxScbaxa 0x (2) Có 22222 )4()34( abScba  )434)(434( 222222 abScbaabScba  Theo định lí côsin: Cabbac cos2222   Cabcba cos2222  Xét SCabScba 34cos234222  CabSCab sin 2 1 34cos2  )sin3(cos2 CCab  áp dụng Bunhiacopski ta có: 4)sin3(cos 2  CC  2sin3cos2  CC  abCCabab 4)sin3(cos24  Nên 0)434)(434( 222222  abScbaabScba  0 Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai  (2) luôn đúng (1) được cm. Dấu ‘=’ xảy ra  3 sin 1 cos   CC  3tan C  0120C VD4: Cho ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c.Cmr: )(12)(15)(2012152050 222222333 bacacbcbacbaabc  (1) Giải: Theo định lí hàm số cos ta có: Abcacb cos2222  Bacbac cos2222  Cabcba cos2222  (1)  CabcBabcAababc cos24cos30cos4050   CBA cos24cos30cos4050   025cos245)cos6cos8(25  CBA  025cos245)cos6cos8(52  CBA (2) Coi 5 là ẩn có: 100)cos(96cos36coscos9664 22  BABBAAsos 100sinsin96coscos96cos36coscos96cos64 22  BABABBAA 100sinsin96sin36sin64100 22  BABA 0)sin6sin8( 2  BA  (2) luôn đúng.  (1) được cm. Dấu bằng xảy ra khi 0  4 3 sin sin  B A Bất đẳng thức - ducduyspt 9 VD5: Cho a,b,c thỏa mãn 022  ba và x,y thay đổi thỏa mãn cbyax  (1) CMR: 22 2 22 ba c yx   Giải Từ giả thiết 022  ba       0 0 b a Không mất tính tổng quát ta giả sử: 0b Từ (1)  b axc y   .Do đó 2 222        b axc xyx  2222 2 2)( 1 cacxxba b  Đặt 2222 2)()( cacxxbaxf  Có 022  ba  22 22 22 )()( ba cb ba ac fxf      22 2 22 22 2 22 1 ba c ba cb b yx      đpcm. VD6: Cho 122  ba và 3 dc với cba ,, CMR: 4 269   cdbdac Giải Đặt cdbdacS  Từ 3 dc  cd  3 .Nên )3()3( cccbacS  bcbac 3)3(2  (*) Xét tam thức CBxAxxf  2)( Nếu 0A thì A BAC A B fxf 4 4 ) 2 ()( 2    (*) 4 )3(12 2    bab S  4 11)(6)( 2   baba S Đặt bat   2)(2)( 2222  babat  22  t Trên  2;2 hàm 116)( 2  tttf tăng  269)2()(  ftf Do đó 4 269  S  đpcm. 3.Bài tập áp dụng: Bài 1: Với n là số nguyên dương cho 2n số bất kì: nn bbbaaa ,...,,,,...,, 2121 . Cmr:    n i ii n i i n i i baba 1 2 1 2 1 2 )())(( .Dấu bằng xảy ra khi nào? (Bất đẳng thức Bunhiacopski) Bất đẳng thức - ducduyspt 10 HD: Xét xbxaxf n i ii   0)()( 1 2 Viết lại: xbxbaxaxf n i i n i ii n i i    0)(2)()( 1 2 1 2 1 2 Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai  0 .  đpcm. Bài 2: Cho ABC .Cmr x ta đều có: )cos(coscos 2 1 2 CBxA x  (1) HD: (1)  xAxCBx  0)cos1(2)cos(cos22 Cm: 0 2 sin4 2 cos 2 cos4 222'    ACBCB Bài 3: Cmr nếu b,c,d là 3 số thực thỏa mãn bcd  ,thì với mọi số thực a ta có bất đẳng thức: )(8)( 2 bdacdcba  (1) HD Đưa (1) về bất đẳng thức bậc 2 ẩn a và chứng minh cho 0'  Bài 4: Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn: )( 2 1 444222222 cbaaccbba  Cmr có thể dựng được một tam giác có độ dài 3 cạnh là a,b,c. Bài 5: Cho x,y,z là 3 nghiệm của hệ:      4 4 zxyzxy zyx (1) Cmr: 3 8 ,,0  zyx HD: (1)       )(4 4 zyxyz xzy       44 4 2 xxyz xzy  y,z là hai nghiệm của phương trình: )2(044)4( 22  xxXxX Do x,y,z tồn tại nên (2) có nghiệm  0 Bài 6: Cmr : xyz zyx C z B y A x 2 cos 1 cos 1 cos 1 222   (1) với 0,, zyx HD: Đưa (1) về bất phương trình bậc hai với ẩn là x và chứng minh cho 0 Bài 7: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.Cmr nếu 0 czbyax thì 0 cxybzxayz Bài 8: Cho ABC với 3 cạnh a,b,c và 3 đường cao cba hhh ,, với 2 cba p   ta có:                             cba cba hc bac hb acb ha cba ba hcc ac hbb cb haap 2 )( 2 )( 2 )()2()2()2( 2 )21( 22 Bất đẳng thức - ducduyspt 11 PHƯƠNG PHÁP 3: Sử dụng các bất đẳng thức cổ điển A.Bất đẳng thức Cauchy 1.Cơ sở lí thuyết: Với n số không âm naaa ,...,, 21 ta luôn có: n aaa aaa nn n   ... ... 2121 .Dấu bất đẳng thức xảy ra khi naaa  ...21 2.Các ví dụ minh họa VD1. Cho a,b,c>0 và 4 3  cba .CMR: a, 3333 333  accbbaT b, 3333 23777  accbbaS Giải a, Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số dương a+3b,1,1: Ta có: 3 113 33   ba ba Tương tự: 3 113 33   cb cb 3 113 33   ac ac Cộng các vế bất đẳng thức trên ta được: 3 3 6)(4 333 333    cba accbbaT vì 4 3  cba theo giả thiết. Dấu bằng xảy ra  4 1  cba b, Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số dương a+7b,2,2 Ta có: 3 227 47 33   ba ba Tương tự: 3 227 47 33   cb cb 3 227 47 33   ac ac Cộng các vế bất đẳng thức trên ta được: 6 3 12)(8 4)777( 3333    cba accbba (vì 4 3  cba )  3 3 333 23 4 6 777  accbbaS .Dấu bằng xảy ra  4 1  cba VD2: Cho a,b,c là 3 số dương.Cmr 2 3       ba c ac b cb a Giải Đặt ba c ac b cb a S       Ta có: 1113        ba c ac b cb a S Bất đẳng thức - ducduyspt 12  ba cba ac cba cb cba S          3  ) 111 )((3 baaccb cbaS       (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Cho 3 số dương: a+b,b+c,c+a có: 3 ))()((3 accbbaaccbba  Cho 3 số dương accbba  1 , 1 , 1 có: 3 ))()(( 1 3 111 accbbaaccbba        Nhân 2 vế bất đẳng thức trên ta có: ))()(( 1 3))()((3) 111 )(()3(2 33          accbba accbba accbba accbbaS  2 9 3 S  2 3 S  đpcm. Dấu bằng xảy ra  cba  . VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 3 2 2)( x xxf  trên khoảng  ;0 Giải: Với 0x ta có: 5 5 2 3 32 33 222 27 5 ) 2 () 3 1 (5 11 333 )(  x x xx xxx xf Dấu “=” xảy ra  3 2 1 3 x x   5 3x Vậy  ;0 )(min xf = 5 27 5 khi 5 3x VD4: cho a,b,c>0.Cmr: 33 1))()(( abcb a c a c b c b a  (1) Giải: (1)  33 )1())()(( abcb a c a c b c b a  (2) Ta có VT(1)= ))(( 2 b a c cab b a c a  abccb a bc a b ac c ab  2221 Áp dụng bđt cauchy cho 0,0,0  a bc b ac c ab và 0,0,0 222  cba  33 abc a bc b ac c ab  và 3 222222 3 cbacba   abcabcabcVT  3 23 )(331  33 )1( abcVT  .đpcm Dấu bằng xảy ra khi a=b=c. VD5: Cho 0,, cba , 3 cba . CMR: cbac c b b a a            1 1 1 1 1 1 111 222 (1) Bất đẳng thức - ducduyspt 13 Giải (1)  ) 111 (111 111 222 c c b b a a c c b b a a             3 111111 222             c c b b a a c c b b a a (2) Xét 4 1 2 1 1 1. 1 1 11 2          a a a a a a a a a Tương tự 4 1 2 1 11 2      b b b b b , 4 1 2 1 11 2      c c c c c Vậy 44 3 2 3 111111 222 cba c c b b a a c c b b a a               3 4 3 4 3 2 3 111111 222             c c b b a a c c b b a a (do a+b+c=3) Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 VD6: Cho a,b,c>0. Cmr: 1 888 222        abc c acb b bca a T Giải Ta có: ))(()()( 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 23 4 23 4 3 4 3 4 acbaacbaacba  bcacbacba 3 2 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 8))((   23 4 3 2 23 4 3 4 3 4 )(8)( abcacba   )()( 23 2 23 4 3 4 3 4 abcacba   3 4 3 4 3 4 3 4 2 8 cba a bca a    Tương tự: 3 4 3 4 3 4 3 4 2 8 cba b acb b    3 4 3 4 3 4 3 4 2 8 cba c abc c    Vậy 1 888 222        abc c acb b bca a T . Dấu bằng xảy ra khi a=b=c VD7: Cho n số dương naaa ,...,, 21 . Cmr: nn aaa n aaa   ... 1 ... 11 21 2 21 Giải Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho n số dương Ta có: 0...... 2121  n nn aaanaaa Bất đẳng thức - ducduyspt 14 0 ... 1 ... 11 2121  n nn aaa n aaa  2 21 21 ) 1 ... 11 )(...( n aaa aaa n n   nn aaa n aaa   ... 1 ... 11 21 2 21 . Dấu bằng xảy ra khi naaa  ...21 VD8: Cho x,y,z>0.Cmr: 3 xyz zyx x z z y y x   Giải Áp dụng cauchy cho 3 số dương có: 3 3 3 3 xyz x x z y x y x x z y x y x  3 3 3 3 zzx y x z z y z y x z z y z y  3 3 3 3 xxy z y x x z x z y x x z x z   3 )(3 )(3 xyz zyx x z z y y x   Nhận xét: Ta có thể thêm bớt điều kiện bài tóan trên để có bài toán mới Bài toán 1: Cho x,y,z>0 và xyz=1.Cmr: zyx x z z y y x  Bài toán 2: Cho x,y,z>0 và x+y+z=1.Cmr: 3 1 xyzx z z y y x  Bài toán 3: Chứng minh 0,,  zyx có: 3 2)1)(1)(1( xyz zyx x z z y y x   3.Kĩ thuật Cauchy ngược dấu: Đây là một trong những kĩ thuật khéo léo,mới mẻ và ấn tượng nhất của bất đẳng thức cauchy.Ta hãy xét các ví dụ sau: VD1: Cho x,y,z>0 và x+y+z=3.Cmr: 2 3 1 1 1 1 1 1 222       zyx Giải Ta không thể sử dụng trực tiếp bất đẳng thức cauchy vì dấu đổi chiều: zyxzyx 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 222       Mà 2 3 2 1 2 1 2 1  zyx Tuy nhiên ta có thể sử dụng bất đẳng thức cauchy theo cách sau: 2 2 2 1 1 1 1 x x x    Bất đẳng thức - ducduyspt 15 Vì xx 21 2   221 2 2 2 x x x x x        2 1 1 1 2 2 x x x    .Vậy 2 1 1 1 2 x x   Tương tự ta được: 2 3 2 3 3) 222 (3 1 1 1 1 1 1 222       zyx zyx Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1. VD2: Cmr mọi số dương có tổng bằng 4 thì 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2222             d d c c bb a S Giải Làm tương tự ví dụ trên: 2 1 2 )1( 1 1 )1( 1 1 1 2 2 2 2 bab a b ab a b ba a b a          Tương tự suy ra: 2 1 2 1 2 1 2 1 dda d dcd c cbc b bab aS          2 4)( dcbadacdbcab dcbaS    2 )( 4 dcbadacdbcab S    4 2 )( 4    dacdbcabdcba S Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d=1. 4.Bài tập đề nghị: Bài 1:Cho 0, ba .Cmr: )(4)( 333 baba  Bài 2:Cmr cbazyx ,,,,, ta có: ))(( 2 3 ))(( 222222 zyxcbazyxcbaczbyax  Bài3: Cho a,b,c dương thỏa mãn: abccba 3)(4  Cmr: 8 3111 333  cba HD: Từ giả thiết  4 3111  cabcab Áp dụng b đt cauchy cho 3 số dương: abba 2 3 8 111 33  bccb 2 3 8 111 33  caac 2 3 8 111 33  C ộng vế với vế  đpcm. Bài 4: Cho      1 0,, cba cba Chứng minh rằng: 6 accbba Bất đẳng thức - ducduyspt 16 HD: ) 2 3 ( 22 3 )( 3 2 2 3  bababa Bài 5: Cho  3 0,,   cba cba .Cm: 3 1 1 1 1 1 1 222          a c c b b a HD: Sử dụng kĩ thuật cauchy ngược dấu: 2 1 2 )1( 1 1 )1( 1 1 1 2 2 2 2 bab a b ab a b ba a b a          Bài 6: Cho a,b,c>0 và a+b+c=1.Cmr: 64)11)(11)(11(  cba HD: a bca a cbaa a a a 4 2411 1      Bài 7: Tìm GTLN của hàm số: 53 )2()( xxxf  trên đoạn  2;0 HD: Viết 53 3 3 )2() 3 5 ( 5 3 )( xxxf  Áp dụng bđt cauchy cho 8 số không âm:3 số bằng x 3 5 ,5 số bằng 2-x. Bài 8: Cmr: nếu n số dương naaa ,...,, 21 thỏa mãn 1 1 1 ... 1 1 1 1 21       n aaa n thì phải có: nn n aaa )1( 1 ...21   Bài 9: Cho n số 0ia có tổng 1...21  naaa phải chăng bất đẳng thức sau đây luôn đúng: n n n aaa )1()1 1 )...(1 1 )(1 1 ( 21  B/Bất đẳng thức bunhiacopski: 1.Cơ sở lí thuyết: Với 2 bộ n số ),...,,( 21 naaa và ),...,,( 21 nbbb ta luôn có: )...)(...()...( 222 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa  (1) Dấu đẳng thức xảy ra khi ),...,,( 21 naaa và ),...,,( 21 nbbb là 2 bộ số tỉ lệ. Tức là: n n b a b a b a  ... 2 2 1 1 hoặc n n a b a b a b  ... 2 2 1 1 Giải Nếu 0... 222 2 1  naaa hoặc 0... 22 2 2 1  nbbb thì (1) hiển nhiên đúng. Do vậy chỉ cần xét trường hợp: 0... 222 2 1  naaa và 0... 22 2 2 1  nbbb Ta có Rx : 0)(2 211 2 111 22 1  bxabxbaxa 0)(2 222 2 222 22 2  bxabxbaxa 0)(2 2222  nnnnnn bxabxbaxa Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta có: Bất đẳng thức - ducduyspt 17 0...)...()...( 222 2 12211 222 2 2 1  nnnn bbbxbababaxaaa Tam thức b ậc hai ở vế trái không âm với mọi x nên 0  0)...)(...()...( 222 2 1 22 2 2 1 2 2211  nnnn bbbaaabababa  )...)(...()...( 222 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa  Dấu bằng xảy ra khi 0x sao cho: nn bxabxabxa  0101001 ...  n n b a b a b a  ... 2 2 1 1 2.Các hệ quả: HQ1: Với 2 dãy số ),...,,( 21 naaa và ),...,,( 21 nbbb , nibi ,...,2,1,0  n n n n bbb aaa b a b a b a    ... )...( ... 21 2 21 2 2 2 2 1 2 1 HQ2: Với 2 dãy số ),...,,( 21 naaa và ),...,,( 21 nbbb , nibi ,...,2,1,0  Ta có: )...()...( 222 2 1 2 21 nn aaanaaa  Bất đẳng thức bunhiacopski thường được áp dụng để chứng minh bất đẳng thức đúng với các số thực và thường có dạng sau: a, cxgxf  )()( với Axgxfxgxf  )()(,0)(),( b, 22 22 )()( ba c xgxf   với cxbgxaf  )()( c, kbaxbgxaf 22)()(  với )0()()( 222  kkxgxf d, )()()(2 xgxfxh  đ, 22sincos baxbxa  e, mdxcxxbxa  22 sincossincos f, M pxnxm cxxbxa    sincos cossincos g, Mxf )( 3.Một số ví dụ: VD1: Cho phương trình 01234  axbxaxx (1) trong đó Rba , Biết (1) có ít nhất 1 nghiệm thực.Cmr: 5 422  ba .Dấu bằng xảy ra khi nào? Giải Giả sử (1) có 1 nghiệm thực 0x .Ta có: 010 2 0 3 0 4 0  axbxaxx (2)  00 x Từ (2)  0)1()1( 0 02 0 2 0  bx xa x x (3) Đặt 0 00 1 x xy  .Từ (3)  02 0 2 0  bayy  2 0 22 0 )()2( bayy  Bất đẳng thức - ducduyspt 18 Áp dụng bunhiacopski cho 2 bộ số (a,b) và )1,( 0y )1)(()( 20 222 0  ybabay  )1)(()2( 20 2222 0  ybay  1 )2( 2 0 22 022    y y ba Mặt khác: 4)1( 2 0 0 2 0  x xy .Đặt 0,420  tty  5 9 5 9 5 4 5 9 1 5 )2( 222         t t t t t t ba 5)5( 9 5 4   t t t 5 4 ) 255 9 1( 5 4    t t Do đó: 5 422  ba Dấu bằng xảy ra khi t=0  420 y  10 x Với 10 x  5 4 , 5 2 , 5 4 22    baba Với 10 x  5 4 , 5 2 , 5 4 22    baba VD2: 0,,  zyx ,Cmr: )(6111 222 zyxzyx  Giải: Giả sử hệ quả 2 với 2 dãy số ),,( zyx và )1,1,1( có: 22222 3)(111  zyxzyx Áp dụng bất đẳng thức cauchy với 2 số dương 2)( zyx  và 23 ta có:  )(6111 222 zyxzyx  Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1. VD3: Trong ABC chứng minh: rh h h h h h a c c b b a 1 222  Giải Ta có cba chbhahS 2 1 2 1 2 1   rpr p cba Shhh cba 1 2 2 )( 2 1111   22 )111()1( cba hhhr   rh h h h h h r b a c b a c 1)() 1 ( 222 2   rh h h h h h b a c b a c 1 222  .Dấu bằng xảy ra khi cba hhh  Bất đẳng thức - ducduyspt 19 VD4: Giả sử 1,, zyx và 2111  zyx . Cmr: 111  zyxzyx Giải Từ 2111  zyx  1111  z z y y x