Chuyên đề Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Phần I . Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử * Các phương pháp cơ bản I. Phương pháp đặt nhân tử chung 1. Phương pháp + Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử. + Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một hạng tử. + Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc. (Dựa và tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng). 2. Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. 5xy - x2y2 + 2x2y 2x(x-y) + 3y(y-x) 20xy(y+z) - 5(2y+2z)z2 Bài làm 5xy - x2y2 + 2x2y = xy(5-xy+2x) b) 2x(x-y) + 3y(y-x) = 2x(x-y) - 3y(x-y) = (x-y)(2x-3y) c) 20yz(y+z) - 5(2y+2z)z2 = 20yz(y+z) - 10(y+z)z2 = 10z(y+z)(2y-z) 3. Bài tập Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. 12xy2 - 3xy + 3y 15x + 10y - 20z x(y-2008) - 3y(y-2008) x(y+1) + 3(y2+2y+1) Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau. 85.12,7+5.3.12,7 x(x-y) + y(y-x) Với x=53 và y=3 2x3(x-y) + 2x3(y-x) + 2x3(z-x) Với x=2008; y=2009; z=2010 II. Phương pháp dùng hằng đẳng thức. Phương pháp Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc dưới dạng luỹ thừa của một đa thức đơn giản. * Môt số hằng đẳng thức 1. (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 2. (A-B)2 = A2 - 2AB + B2 3. A2-B2 = (A-B).(A+B) 4. (A+B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5. (A-B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 6. A3+B3 = (A+B)(A2-AB+B2) 7. A3-B3 = (A-B)(A2+AB+B2) 8. (A+B+C)2 = A2 + B2 + C2 +2AB + 2BC + 2AC 9. An-Bn = (A-B)(An-1+An-2B+…+ABn-2+Bn-1) 10. A2k-B2k = (A+B)(A2k-1-A2k-2B+…-B2k-1) 11. A2k+1+B2k+1 = (A+B)(A2k-A2k-1B+A2k-2B2-…+B2k) 12. (A+B)n = An + nAn-1B - An-2B2 +…+A2Bn-1 + Bn 13. (A-B)n = An-nAn-1B + An-2B2 -…+(-1)nBn 2. Ví dụ 2.1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a) x6 - y6 b) 9x2 + 6xy + y2 c) (3x+1)2 – (x+1)2 d) x3 - 3x2 + 3x – 1 Bài làm x6 - y6 = (x3)2-(y3)2 = (x3-y3)(x3+y3) = [(x-y)(x2+xy+y2)][(x+y)( x2-xy+y2)] 9x2 + 6xy + y2 = (3x)2 + 2.(3x)y + y2 = (3x+y)2 (3x+1)2 – (x+1)2 = [(3x+1)-(x+1)][(3x+1)+(x+1)] = 2x(4x+2) = 4x(2x+1) x3 - 3x2 + 3x – 1 = (x-1)3 2.2 Phân tích đa thức thành nhân tử. a) a3 + b3 + c3 - 3abc b) (a+b+c)3 - a3 - b3 - c3 Bài làm a3 + b3 + c3 - 3abc = (a+b)3 – 3ab(a+b) + c3 – 3abc = (a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2] – 3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) (a+b+c)3 - a3 - b3 - c3 = (a+b)3 + c3 + 3c(a+b)(a+b+c) – a3 – b3 – c3 = 3(a+b)(ab+bc+ac+c2) = 3(a+b)(b+c)(c+a) Bài tập Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử. (x-24)2 - 25 16 – (3-x)2 (7x-4)2 – (2x+1)2 49(y-4)2 – 9(y+2)2 Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử. 8x3 + 27y3 (x-1)3 + (x+2)3 1 – y3+ 6xy2 – 12x2y +8x3 20082 – 16 III. phương pháP nhóm nhiều hạng tử. Phương pháp Sử dụng cac tích chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử thích hợp vào từng nhóm. áp dụng các phương pháp phân tích đa thức khác để giải toán. Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử. x2 - x – y2 – y 7x2 – 7xy – 4x + 4y x2 – 2xy – z2 + y2 xy(x+y) + yz(y+z) + xz(x+z) + 2xyz Bài làm x2 - x – y2 – y = (x2-y2) – (x+y) = (x+y)(x-y) – (x+y) = (x+y)(x-y-1) Cách 1: 7x2 – 7xy – 4x + 4y = (7x2 – 7xy) – (4x - 4y) = 7x(x-y) – 4(x-y) = (x-y)(7x-4) Cách 2: 7x2 – 7xy – 4x + 4y = (7x2 – 4x) – (7xy - 4y) = x(7x-4) – y(7x-4) = (x-y)(7x-4) x2 – 2xy – z2 + y2 = (x2 – 2xy + y) – z2 = (x-y)2 – z2 = (x-y-z)(x-y+z) xy(x+y) + yz(y+z) + xz(x+z) + 2xyz = [xy(x+y)+xyz)] + [yz(y+z)+xyz)]+xz(x+z) = xy(x+y+z) +yz(x+y+z) + xz(x+z) = y(x+y+z)(x+z) = xz(x+z) = (x+z)(xy+y2+yz+xz) = (x+z)(x+y)(y+z) - Phân tích đa thức thành nhân tử x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz Bài làm x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz = (x2z + y2z + 2xyz) + x2y + xy2 + x2z + yz2 = z(x+y)2 + xy(x+y) + z2(x+y) = (x+y)(xz+yz+xy+z2) = (x+y)[(xz+xy)+(yz+z2)] = (x+y)[x(z+y)+z(y+z)] = (x+y)(x+z)(y+z) x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz = (x2y+ x2z+xyz) + (xy2+y2z+xyz) + (xz2+yz2+xyz) = x(xy+xz+yz) + y(xy+yz+xz) + z(xz+yz+xy) = (x+y+z)( xy+xz+yz) Bài tập Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử x4 + 3x2 – 9x – 27 x4 + 3x3 - 9x – 9 a3 – a2x – ay + xy Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử x(y2 - z2) + y(z2 - y2) + z(x2 - y2) xy(x - y) – xz(x - z) – yz(2x + y - z) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz yz(y + z) + xz(z - x) – xy(x + y) IV. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp Phương pháp Vận dụng linh hoạt các phương pháp đã biết và thương tiến hành theo trình tự sau: Đặt nhân tử chung Dùng hằng đẳng thức Nhóm nhiều hạng tử Ví dụ. Phân tích đa thức thành nhân tử 3x3 – 27x x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y Bài làm 3x3 – 27x = 3x(x2 – 9) = 3x(x - 3)(x + 3) x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 ) – (x + y) = (x + y)3 – (x + y) = (x + y)[(x + y)2 – 1)] = (x + y)(x + y - 1)(x + y + 1) Bài tập Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử. 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc 8x3(x+z) – y3z+2x) – z3(2x-y) [(x2+y2)(a2+b2) + 4abxy]2 – 4[(a2+b2) + ab(x2+y2)]2 Bài 8. Phân tích đa thức thành nhân tử. (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 Hướng dẫn (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x+y+z)3 – x3 ] – (y3 + z3) = (x + y + z - x)[(x + y + z)2 + (x + y + z)x + x2] – (y + z)(y2 – yz + z2) = (y + z)(x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz + xy + xz + x2 + x2 - y2+ yz - z2) = (y + z)(3x2 + 3xy + 3xz + 3yz) = 3(x + y)(y + z)(x + z) V. phương pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử. 1. Phương pháp Trong phương pháp này ta tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử thích hợp, để làm xuất hiện những nhóm số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức… Ví dụ. Phân tích đa thức sau thành nhân tử. x3 – 7x – 6 Bài làm Cách 1: x3 – 7x – 6 = x3 – x – 6x – 6 = x(x2 – 1) – 6(x + 1) = (x + 1)(x2 – x – 6) = (x + 1)(x2 – 4 – x – 2) = (x + 1)[(x – 2)(x + 2) – (x+2)] = (x + 1)(x + 2)(x – 3) Cách 2: x3 – 7x – 6 = x3 – 4x – 3x – 6 = x(x2 – 4) – 3(x + 2) = (x + 2)(x2 – 2x – 3) = (x + 2)(x2 – 1 – 2x – 2) = (x + 2)[(x – 1)(x + 1) – 2(x + 1)] = (x + 2)(x + 1)(x – 3) Bài tập Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử. x2 – 2x – 3 x2 – 6x + 5 x2 – 10x + 16 x2 + 14x + 48 Bài 10. Phân tích đa thức thành nhân tử. x3 + 4x2 – 29x + 24 x3 + 6x2 + 11x + 6 x2 -7xy + 10y x8 + x + 1 VI. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử. Phương pháp. Trong phương pháp này ta thêm hay bớt cùng một hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện các nhóm số hạng mà ta có thể phân tích được thành nhân tử bằng các phương pháp: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đảng thức… Ví dụ – Phân tích đa thức thành nhân tử. x3 – 7x – 6 = x3 + 8 – 7x – 14 = (x + 2)(x2 – 2x + 4) – 7(x + 2) = (x + 2)(x2 – 2x - 3) = (x + 2)(x2 – 2x + 1 – 4) = (x + 2)[(x – 1)2 – 4] = (x + 2)(x – 1 – 2)(x – 1 + 2) = (x + 2)(x – 3)(x + 1) 2.2. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x4 + 4y4 b) x8 + x +1 Bài làm x4 + 4y4 = x4 + 4x2y2 + 4y4 – 4x2y2 = (x2 + 2y2)2 – 4x2y2 =(x2 + 2y2 – 2xy)(x2 + 2y2 + 2xy) x8 + x +1 = x8 – x2 + x2 + x + 1 = x2(x4 – 1) + (x2 + x + 1) = x2(x2 – 1)(x2 + 1) + (x2 + x + 1) = x2(x - 1)(x3 + 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x6 - x5 + x3 – x2 + 1) Bài tập Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử. x5 + x4 + 1 x8 + x7 + 1 x8 + 4 Bài 12. Phân tích đa thức thành nhân tử x3 + 5x2 + 3x – 9 x3 + 9x2 + 11x – 21 x16 + x8 – 2 Bài 13. Phân tích đa thức thành nhân tử. x3 – 5x2 + 8X -4 x3 – 3x = 2 x3 – 5x2 + 3x + 9 x3 + 8x2 + 17x + 10 x3 +3x2 + 6x + 4 * Một số phương pháp khác VII. Phương pháp đặt biến số (đặt biến phụ) Phương pháp Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đã cho có biểu thức xuất hiện nhiều lần. Ta đặt biểu thức ấy là một biến mới. Từ đó viết đa thức thành đa thức dưới biến mới dễ phân tích thành nhân tử hơn. Ví dụ. Phân tích đa thức thành nhân tử. 6x4 – 11x2 + 3 (x2 + x + 1)2(x2 + x + 2) – 12 (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 Bài làm Đặt x2 = y. Đa thức đã cho trở thành: 6y2 – 11y + 3 = (3y – 1)(2y – 3) Trả lại biến cũ: 6y2 – 11y + 3 = (3x2 – 1)(2x2 – 3) = (x – 1)( x + 1)(x - )(x + ) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 = (x2 + 7x + 10)(x2 +7x + 12) -24 Đặt x2 + 7x + 11 = t . Suy ra: x2 + 7x + 10 = t – 1 x2 +7x + 12 = t + 1 (x2 + 7x + 10)(x2 +7x + 12) -24 = (t – 1)(t + 1) – 24 = t2 – 25 = (t – 5)(t + 5) Trả lại biến cũ: (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 = (x2 + 7x + 11 – 5)( x2 + 7x + 11 + 5) = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6)( x2 + 7x + 16) 3. Bài tập Bài 14. Phân tích đa thức thành nhân tử. (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20 (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 Bài 15. Phân tích đa thức thành nhân tử. (4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) – 4 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) – 3x2 (x2 + 1)4 + 9(x2 + 1)3 + 21(x2 + 1)2 – x2 – 31 3x6 – 4x5 + 2x4 – 8x3 + 2x2 – 4x + 3 VIII. Phương pháp hệ số bất định Phương pháp Sử dụng tính chất: Hai đa thức cùng bậc bằng nhau thì hệ số tương ứng của chúng phải bằng nhau. Ví dụ. Phân tích đa thức thành nhân tử. A = x3 + 11x + 30 Vì A là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là 1. Nên nếu A phân tích được thì A có dạng: A = (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac Û x3 + 11x + 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac Đồng nhất hệ số ta có: Chọn a=2 ị c = 15; b = -2 Vậy x3 + 11x + 30 = (x + 2)(x2 -2x + 15) B = x4 – 14x3 + 15x2 – 14x + 1 Vì B là đa thức bậc 4, có hệ số cao nhất là 1. Nên nếu phân tích được thành nhân tử thì B có dạng: B = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) Û B = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng nhất hệ số, ta có: hoặc Do vậy B = (x2 – x + 1)(x2 -13x + 1) Hoặc B = (x2 – 13x + 1)(x2 – x + 1) Bài tập Bài 16. Phân tích đa thức thành nhân tử. x3 + 4x2 + 5x + 2 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8 5x4 + 9x3 – 2x2 – 4x – 8 Bài 17. Tìm các số a, b, c. x4 - 2x3 + 2x2 – 2x + a = (x2 – 2x + 1)(x2 + bx + c) x3 + 3x2 – x – 3 = (x – 2)(x2 + bx + c) + a 4x3 + 7x2 + 7x – 6 = (ã + b)(x2 + x + 1) + c IX. Phương pháp xét giá trị riêng 1. Phương pháp Khi các biến có vai trò như nhau trong đa thức thì ta xét giá trị riêng. 2. Ví dụ. Phân tích đa thức thành nhân tử. P = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 . Coi P là một đa thức của biến x. Khi đó nếu x = -y thì P = 0 ị P (x + y) Trong P vai trò của x, y, z như nhau nên: P (x + z) P (y + z) ị P = (x + y)(x + z)(y + z).Q Mà P là đa thức bậc hai đối với biến x, y, z nên Q là hằng số. Với x = 0; y = z = 1, ta có Q = 3 Vậy P = 3(x + y)(x + z)(y + z) b) M = a(b + c)(b2 – c2) + b(c + a)(c2 – a2) + c(a + b)(a2 – b2) - Coi M là đa thức của biến a - Khi a = b thì M = 0 ị M (a – b) - Trong M vai trò của a, b, c như nhau nên: M (b – c) M (c – a) ị M = (a – b)(b – c)(c – a).N Vì M là đa thức bậc 3 đối với biến a nên N là đa thức bậc nhất đói với biến a. Nhưng do a, b, c có vai trò như nhau trong đa thức nên: N = (a + b + c).R (R là hằng số) ị M = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c).R Chọn a = 0; b = 1; c = 2 ị R = 1 Vậy M = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c) Bài tập Bài 18. Phân tích đa thức thành nhân tử. A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) X. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức 1. Phương pháp. Cho đa thức f(x), a gọi là nghiệm của đa thức nếu f(a) = 0. Như vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x – a) thì a phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết nghiệm của đa thức nếu có thì phải là nghiệm của hệ số tự do. 2. Ví dụ Cho đa thức x3 + 3x2 – 4 Nếu đa thức trên có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử x- a) thì nhân tử còn lại có dạng x2 + bx + c. Suy ra –ac = - 4 suy ra a là ước của – 4 Vậy trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phảI là ươc của hạng tử không đổi. Ước của – 4 là: ±1; ±2; ±4. Sau khi kiểm tra ta thấy 1 là nghiệm của đa thức suy ra đa thức đã cho có chứa nhân tử (x – 1). Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung là (x – 1) * Cách 1: x3 + 3x2 – 4 = x3 – 1 + 3x2 – 3 = (x – 1)(x2 + x + 1) + 3(x2 – 1) = (x – 1)(x2 + 4x + 4) = (x – 1)(x + 2)2 * Cách 2: x3 + 3x2 – 4 = x3 – x2 + 4x2 – 4 = x2(x – 1) + 4(x2 – 1) = x2(x – 1) + 4(x – 1)(x + 1) = (x – 1)(x2 + 4x + 4) = (x – 1)(x + 2)2 Chú ý: + Nếu đa thức có tổng cac hệ số bằng 0 thì đ thức đó có chứa nhân tử (x – 1). + Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẽ thì đa thưc có chứa nhân tử (x + 1). Ví dụ: * Đa thức: x3 -5x2 + 7x – 3 có tổng cac shệ số bằng 0 Suy ra đa thức có chứa nhân tử (x – 1). * Đa thức: 5x3 – 3x2 + 6x + 14 có 5 + 6 = - 3 + 14 Suy ra đa thức có chứa nhân tử (x + 1). + Nếu đa thức kgông có nghiệm nguyên nhưng đa thức có nghịêm hữu tỉ thì nghiệm hữu tỉ phải có dạng p/q. Trong đó p là ước của hạng tử không đổi, q là ước dương của hạng tử cao nhất. Ví dụ: Đa thức 2x3 – 5x2 + 8x – 3 Nghiệm hữu tỉ nếu có của đa thưc trên phải là một trong các số: ±1 ; ±1/2; ±3/2; -3. Sau khi kiểm tra ta thấy x =1/2 là nghiệm nên đa thưc chứa nhân tử (x – ẵ) hay (2x – 1). Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung (2x – 1) Ta có: 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = 2x3 – x2 – 4x2 + 2x + 6x – 3 = x2(2x – 1) – 2x(2x – 1) + 3(2x – 1) = (2x – 1)(x2 - 2x + 3) XI. Phương pháp tính nghiệm của tam thức bậc hai 1. Phương pháp Cho tam thức bậc hai: ax2 + bx + c. Nếu b2 – 4ac là bình phương của một số hữu tỉ thì có thể phân tích tam thức thành thừa số bằng một trong các phương páp đã biết. Nếu b2 – 4ac không là bình phương của một số hữu tỉ nào thì không thể phân tích đa thức tiếp được. 2. Ví dụ Tam thức bậc hai: 2x2 - 7x + 3. Xét b2 – 4ac = (-7)2 – 4.2.3 = 49 – 24 = 25 = 52 Suy ra tam thức có thể phân tích thành nhân tử: 2x2 - 7x + 3 = (x – 3)(2x – 1) Chú ý: Nếu P(x) = ax2 + bx + c có nghiệm là x1; x2 thì P(x) = a(x – x1)(x – x2)