Chuyên đề Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Phơng pháp 1: Đặt nhân tử chung 1. Lí thuyết: a) Phơng pháp đặt nhân tử chung đợc dùng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung. Cụ thể: AB + AC + AD = A(B + C + D) b) Các bớc tiến hành: Bớc 1: Phát hiện nhân tử chung và đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc. Bớc 2: Viết các hạng tử trong ngoặc bằng cách chia từng hạng tử của đa thức cho nhân tử chung. 2. Bài tập: Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : A = 2x2 + x => A = x(2x + 1) B = 17x3y - 34x2y2 + 51xy3 ị B = 17xy( x2 - 2xy + 3y2 C = 16x2(x - y) -10y(y - x) ị C = (x - y)(16x2 + 10y) D = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) => D = 2x2(ax + 2by + ax - by) = 2x2(2ax + by). Bài 2: Phân tích A và B thành nhân tử: Phơng pháp 2: Dùng hằng đẳng thức 1. Lí thuyết: a) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức đợc dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức. b) Các hằng đẳng thức quan trọng a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 a2 – b2 = (a + b).(a – b) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 an + bn =(a + b)(an-1 - an-2b + ... - abn-2 + bn-1). an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + ... + abn-2 + bn-1). a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 2. Bài tập: Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x2 - 4 = x2 - 22 = (x - 2)(x + 2). b) x2 + 2xy + y2 - 25 = (x + y)2 - 52 = (x + y + 5)(x + y - 5). Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : P =(a2+ 4)2- 16a2 =(a2+ 4)2- (4a)2 = [(a2 + 4) - 4a][(a2 + 4) + 4a] = (a - 2)2(a + 2)2 Q = (x + y)2 - 2(x + y) + 1 = ( x + y - 1)2 R = a3+ 6a2 + 12a + 8 = (a + 2)3 Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) (x - y)2 - (y - z)2. b) x3 - 36x2y + 54xy2 - 27y3. c) 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2. Bài 4: Phân tích M, N, P thành nhân tử : M = N = P = Phơng pháp 3: Nhóm các hạng tử 1. Lí thuyết Phơng pháp này thờng đợc dùng cho những đa thức cần phân tích thành nhân tử cha có nhân tử chung hoặc cha áp dụng ngay đợc hằng đẳng thức mà sau khi nhóm các hạng tử đó hoặc biến đổi sơ bộ rồi nhóm lại thì xuất hiện hằng đẳng thức hoặc có nhân tử chung, cụ thể: Bớc 1: Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm. Bớc 2: Nhóm để áp dụng phơng pháp hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung. Bớc 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức. 2. Bài tập Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) xy - xz - y + z = (xy - xz) - (y - z ) = x(y - z) - (y - z) = (y - z)(x - 1) b) x2 + y2 - z2 + 2xy + 2z - 1 = (x2 + 2xy + y2) - (z2 - 2z + 1) = (x + y)2- (z - 1)2 = (x + y - z + 1)(x + y + z - 1). Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 5x2 - 5xy - 10x + 10y. b) x3 - x2y - x2z - xyz. c) 2x2 + 2y2 - x2z + z - y2z - 2. d) (a2 + b2)xy + (x2 + y2)ab. Bài 3: Phân tích D, E thành nhân tử : D = E = Phơng pháp 4: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử 1. Lí thuyết *) Lí thuyết chung: Phơng pháp này nhằm biến đổi đa thức để tạo ra những hạng tử thích hợp để nhóm hoặc sử dụng hằng đẳng thức: *) Các trờng hợp: a, Trờng hợp đa thức dạng ax2 + bx + c ( a, b, c ẻ Z; a, b, c ạ 0) Tính : = b2 - 4ac: - Nếu = b2 - 4ac < 0: Đa thức không phân tích đợc. - Nếu = b2 - 4ac = 0: Đa thức chuyển về dạng bình phơng của một nhị thức bậc nhất - Nếu = b2 - 4ac > 0 +) = b2 - 4ac = k2 ( k ẻ Q) đa thức phân tích đợc trong trờng Q. +) = b2 - 4ac ạ k2 đa thức phân tích đợc trong trờng số thực R. b, Trờng hợp đa thức từ bậc 3 trở lên: - Nhẩm nghiệm của đa thức: +) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bằng 0 ị đa thức có nghiệm bằng 1. +) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ ị đa thức có nghiệm bằng - 1. - Lu ý định lý: " Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ớc của hạng tử tự do. Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ dạng thì p là ớc của hạng tử tự do, q là ớc dơng của hệ số của hạng tử có bậc cao nhất". - Khi biết một nghiệm của đa thức ta có thể dùng phép chia đa thức, hoặc dùng sơ đồ Hooc – ne để hạ bậc của đa thức. 2. Bài tập Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x2 + 6xy + y2. Cách 1: Tách 6xy thành 5xy + xy có: 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2 ) = 5x(x + y) + y(x + y) = (5x + y)(x + y). Cách 2: Thêm 4x2 vào 5x2 rồi bớt 4x2 ta có : 5x2 + 6xy + y2 = 9x2 + 6xy + y2- 4x2 = (9x2 + 6xy + y2)- 4x2 = (3x + y)2 - (2x)2= (5x + y)(x + y). Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3 + 3x2 - 4 Cách 1: x3 + 3x2 - 4 = x3 + 4x2 - x2 - 4x + 4x - 4 = x2(x - 1)+ 4x( x - 1) + 4(x - 1) = (x - 1)(x + 2)2 Cách 2: x3 + 3x2 - 4 = x3 - x2 + 4x2 – 4 = ... = (x - 1)(x + 2)2 Cách 3: x3 + 3x2 - 4 = x3 - 1 + 3x2 – 3 ... = (x - 1)(x + 2)2 Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) A = 3x3 + 2x2 + 2x – 1 b) B = x4 + 4 c) C = x2 - 6x + 8 Giải: a) Nhẩm đợc nghiệm x = A = 3x3 + 2x2 + 2x – 1 = 3x3 - x2 + 3x2 + 3x - x - 1 = x2( 3x - 1) + 3x( x + 1) - (x +1) = x2(3x - 1) + (x + 1)( 3x - 1) = (3x - 1) ( x2 + x + 1) b) B = x4 + 4 = x4 + 4 + 4x2 - 4x2 = (x2 + 2)2- (2x)2 = (x2 + 2x + 2)(x2 – 2x + 2) c) C = x2 - 6x + 8 = x2- 6x + 8 + 1 - 1= (x - 3)2- 1 = (x - 3 - 1)( x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2) Hoặc C = x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8 = x( x - 2) - 4 ( x - 2) = (x - 2)( x - 4) Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : P = x2 - 7xy + 12y2 = x2 - 3xy - 4xy + 12y2 P = x(x - 3y) - 4y(x - 3y) = (x - 3y)(x - 4y) Q = x3 - 3x + 2 = x3 - 1 - 3x + 3 = (x - 1)(x2 + x + 1) - 3(x - 1) = (x - 1)(x2 + x - 2) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Q = x4 + 64 = x4 + 16x2 + 64 - 16x2 = ( x2 + 8)2 - (4x)2 = (x2 + 8 - 4x)(x2 + 8 + 4x) Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (4x4 + 36x2 + 81) - (6x)2 = (2x2 + 9)2- (6x)2 = (2x2 + 9 - 6x)(2x2 + 9 + 6x) b) x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = (x7 - x) + (x2 + x + 1) = x(x6 - 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1) = x(x - 1)(x3 + 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x - 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 – x + 1) *) Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+1 + x3m+2 + 1 đều chứa thừa số x2 + x + 1 Bài 7: Phân tích Q, K thành nhân tử : Q = K = Phơng pháp 5: Dùng phép chia đa thức (nhẩm nghiệm) 1. Lí thuyết: - Đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) khi và chỉ khi: f(x)= g(x).q(x) (q(x) là thơng của phép chia) *) Đặc biệt : f(x) chia hết cho x - a f(a) = 0 2. Bài tập: Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 - 2x3 + x2 - 4. Đa thức trên nếu có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm sẽ là ớc của 4. Ư(4) = Thấy x = - 1 là nghiệm nên : x4 - 2x3 + x2 - 4= (x + 1)(x3 - 3x2 + 4x - 4). Mà g(x) = x3 - 3x2 + 4x - 4 có x = 2 là nghiệm . Do vậy g(x) = (x - 2)(x2 – x + 2). Với đa thức : x2 – x + 2 có D = 1- 8 = - 7 < 0 nên đa thức này không phân tích đợc trên R. Do vậy: x4 - 2x3 + x2 - 4 = (x + 1)(x - 2)(x2 – x + 2). Phơng pháp 6: Phơng pháp đặt ẩn phụ (đổi biến) 1. Lí thuyết: - Dựa vào đặc điểm của đa thức đã cho ta đa vào 1 hoặc nhiều biến mới để đa thức trở thành đơn giản .Phơng pháp này thờng đợc sử dụng để đa một đa thức bậc cao về đa thức bậc 2 mà ta có thể phân tích đợc dựa vào tìm nghiệm của đa thức bậc 2 . - Cần phát hiện sự giống nhau của các biểu thức trong đa thức để chọn và đặt ẩn phụ cho thích hợp 2. Bài tập: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử . A = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x -12 = (x2 + x)2 + 4(x2 + x)2- 12 Đặt (x2 + x)2 = X. Ta có: A = X2 + 4X - 12 = X2 + 4X + 4 - 16 = (X+ 2)2 - 42 = (X + 6)(X - 2) Thay X = x2 + x. Ta có: A = (x2 + x + 6)(x2 + x - 2) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử . f(x) = (2x2 + 3x + 5)2 + 5(2x2 + 3x + 5) + 6. Đặt : 2x2 + 3x + 5 = t ta có f(t) = t2 + 5t + 6. Dễ dàng phân tích đợc f(t) = (t + 2)(t + 3), từ đó ta có : f(x) = (2x2 + 3x + 7)(2x2 + 3x + 8) Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử . f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x +7 ) - 9 = [(x + 1)(x + 7)][(x + 5)(x + 3)] - 9 = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) - 9 Đặt : x2 + 8x + 11 = t, ta có f(t) = (t - 4)(t + 4) - 9. Suy ra f(t) = t2 -16 - 9 = t2 - 25 = (t - 5)(t + 5) Do vậy : f(x) = (x2 + 8x + 6) (x2 + 8x + 16). Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử . a) P = (x2 + x) + 3(x2 + x) + 2 Đặt x2 + x = y ta có: P = y2 + 3 y + 2 = y2 + y + 2y + 2 P = y(y +1) + 2(y + 1) = (y + 1)(y + 2) Thay x2 + x = y ta có: P = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) b) Q = x2 - 2xy + y2 + 3x - 3y – 10 = (x - y)2 + 3(x - y) - 10 Đặt x - y = t ta có: Q = t2 + 3t - 10 = t2 - 2t + 5t - 10 = t(t - 2) + 5(t - 2) =(t - 2)(t + 5) Thay x - y = t ta có: Q = (x - y - 2)(x - y + 5) Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 b) B = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 Hớng dẫn: a) A =(x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y => Đa thức có dạng A = (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16= (y + 4)(y - 4) => A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) b) B = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 - 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + 1 B = x4 + (6x3 - 2x2) + (9x2 - 6x + 1) = x4 + 2x2(3x - 1)+ (3x - 1)2 Đặt y = 3x – 1 => B = (x2 )2+ 2x2y + y2 = (x2 + y)2 Vậy B = (x2 + 3x - 1)2 Phơng pháp 6: Phơng pháp hệ số bất định 1. Lí thuyết: Trên cơ sở bậc của đa thức phải phân tích, ta xác định các dạng kết quả, phá ngoặc rồi đồng nhất hệ số và giải. 2. Bài tập: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử . B = 2x3 - 5x2 + 8x - 3 (1) Nếu đa thức B phân tích thành nhân tử thì B có dạng B = (ax + b )(cx2 + dx + m) B = acx3 + (ad + bc)x2 + (am + bd)x + bm (2) Đồng nhất hệ số của (1) và (2) ta có hệ sau: Vậy B = 2x3 - 5x2 + 8x - 3 = (2x - 1)(x2 - 2x + 3) Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số bất định a) P = 3x2 - 22xy - 4x + 8y + 7y2 + 1. b) Q = 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3. Giải: a) P = 3x2 - 22xy - 4x + 8y + 7y2 + 1. (1) Nếu đa thức P phân tích đợc thì: P = (3x + ay + b)( x + cy + d) P = 3x2 + (3c + a )xy + (3d + b)x + (ad + bc)y + acy2 + bd (2) Đồng nhất hệ số của (1) và (2) ta có: ị P = (3x - y - 1)( x - 7y - 1) b, Q = 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 (3) Nếu đa thức Q phân tích đợc thì: Q = (ax + by + 3)(cx + dy - 1) Q = cax2 + ( ad + bc)xy + (3c - a)x + (3d - b)y +bdy2 - 3 (4) Đồng nhất hệ số của (3) và (4) ta có: ị ị Q = (4x - 6y + 3)(3x + 2y -1) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số bất định x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 Thử: x = ± 1; ± 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Đa thức trên phân tích đợc thành thừa số thì phải có dạng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3+ (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd = x4 -6x3 +12x2 -14x + 3 => a + c = - 6; ac + b + d = 12; ad + bc = - 14; bd = 3 bd = 3 mà b,d ẻ Z => b ẻ {±1; ±3} Với b = 3 => d = 1 => a + c = - 6 ; ac = 8; a + 3c = -14 => a = - 2; c = - 4 Vậy: a = - 2; b = 3; c = - 4; d = 1 => x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Phơng pháp 7: Phương pháp vận dụng định lí về nghiệm của tam thức bậc hai 1. Lí thuyết: - áp dụng định lý: Nếu đa thức P = ax2 + bx + c có nghiệm x1, x2 thì : P = a(x - x1)(x - x2) 2. Bài tập: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử . P = 2a2 - b2 + ab - 5a + b + 2 P = 2a2 + (b - 5)a - (b2 - b - 2) P là tam thức bậc hai biến a D= (b - 5)2 + 4.2(b2 - b - 2) Tam thức bậc hai P có nghiệm ị P = 2(a - a1)(a - a2) = 2 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử . P = x2 + y2 - 2xy + 2x - 2y - 3 P = x2 - 2xy + 2x + y2 - 2y - 3 P = x2 - 2(y - 1)x + (y2 - 2y - 3) D'= b'2 - ac =[- (y - 1)]2 - (y2 - 2y - 3) = 4 ị Tam thức có hai nghiệm x1 = y + 1 , x2 = y - 3 ị P = (x - y - 1)(x - y + 3) các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử 1. Giải phơng trình bậc cao: Bài 1: Giải phơng trình: x3 + 3x2 - 4 = 0. - Đa thức: x3 + 3x2 - 4 tổng các hệ số bằng 0 nên có một nghiệm x = 1 tức là đa thức x3 + 3x2 - 4 chia hết cho x - 1. Thực hiện phép chia: x3 + 3x2 - 4 cho x-1 ta đợc thơng là x2 + 4x + 4 hay (x + 2)2. - Nên phơng trình: x3 + 3x2 – 4 = 0 Û (x - 1)(x + 2)2 = 0 x = 1 hoặc x = - 2 - Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm x1 = 1 và x2 = - 2 Bài 2: Giải phơng trình: (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12 = 0 - Đặt: x2 + x = t ta có phơng trình: t2 + 4t – 12 = 0. - Phân tích đa thức t2 + 4t - 12 thành nhân tử ta đợc: t2 + 4t – 12 = (t + 6)(t - 2) , ta có phơng trình : (x2 + x + 6)( x2 + x - 2) = 0. - Tiếp tục phân tích đa thức x2 + x – 2 thành nhân tử ta đợc: x2 + x – 2 = (x - 1)(x + 2). - Do đó phơng trình cho đợc viết nh sau: (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 6) = 0 Û x = 1 hoặc x = - 2. (vì x2 + x + 6 > 0, với mọi x) - Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm x1 = 1 và x2 = - 2 2. Giải bất phơng trình bậc cao: Bài 1: Giải bất phơng trình: x2 + 5x + 6 > 0 - Ta phân tích đa thức x2 + 5x + 6 thành nhân tử x2 + 5x + 6 = (x2 + 2x) + (3x + 6)= x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3). - Ta có bất phơng trình : (x + 2)(x + 3) > 0. - Vậy nghiệm của bất phơng trình là x - 2 Bài 2: Giải bất phơng trình: x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 < 0 Ta có : x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 = x4 - 5x3 + 6x2 + x2 - 5x + 6 = x2(x2 - 5x + 6) + (x2 - 5x + 6) = (x2 - 5x + 6)(x2 + 1). Phân tích đa thức x2 - 5x + 6 thành nhân tử ta đợc : (x2 - 5x + 6) = (x - 2)(x - 3) Do đó bất phơng trình đã cho tơng đơng với bất phơng trình sau: (x - 2)(x - 3)(x2 + 1) 0, "x) Vậy bất phơng trình đã cho có nghiệm là : 2 < x < 3. 3. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức: Bài 1: Chứng minh rằng: (a + b + c)3- (a3 + b3 + c3) = 3(a + b)(b + c)(a + c). Ta biến đổi vế trái bằng cách phân tích thành nhân tử : (a + b + c)3 - (a3 + b3 + c3) = (a + b)3 + c3 + 3(a + b)c (a + b + c)- a3- b3- c3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(b + a) + 3(a + b)(a + b + c)c - a3- b3- c3 = 3(a + b)(ab + bc + ac + c2) = 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)] = 3(a + b)(b + c)(a + c). Vậy: (a + b + c)3 - (a3 + b3 + c3) = 3(a + b)(b + c)(a + c) Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu a + b + c = 0 thì: a3 + b3 + c3 = 3abc. Giải Do a + b + c = 0 => c = - (a + b) nên a3 + b3 + c3 = a3 + b3- (a + b)3 Ta phân tích đa thức a3 + b3- (a + b)3 thành nhân tử . Ta có a3 + b3 - (a + b)3 = a3 + b3 - a3 - 3a2b - 3ab2 - b3 = - 3ab(a + b) = - 3ab(- c) = 3abc Vậy : a3 + b3 + c3 = 3abc với a + b + c = 0. Bài 3: Chứng minh rằng nếu a,b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì : A = (b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 luôn âm. Chứng minh : Ta phân tích đa thức A thành nhân tử Ta có: A = (b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = (b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = (b2 + c2 - a2 - 2bc) (b2 + c2 - a2 + 2bc) = [(b2 - 2bc + c2) - a2][(b2 + 2bc + c2) - a2] = [(b - c)2 - a2][(b + c)2 - a2]2 = (b – c - a)(b – c + a)(b + c - a)(b + c + a). Vậy A = ( b – c - a)(b – c + a)(b + c - a) (b + c + a). Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên b - c - a < 0 b – c + a > 0 b + c - a > 0 ị A < 0 (ĐPCM). b + c + a > 0 Bài 4: Chứng minh rằng: P = (x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) + 9 luôn không âm, " xẻ R Giải : Ta có : P = (x - 1)(x - 6)(x - 4)(x - 3) + 9 . = (x2 - 7x + 6) (x2 - 7x + 12) + 9 Đặt: x2 - 7x + 9 = t Ta có P = (t - 3)(t + 3) + 9 = t2 – 9 + 9 = t2 ³ 0 , " t Vậy: P= (x2-7x + 9)2 ³ 0 với "x (ĐPCM). 4. Chứng minh một biểu thức là số chính phơng Bài 1: Chứng minh rằng " x ẻ Z thì biểu thức: P = (x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) + 9 là số chính phơng . Giải. Ta phân tích đa thức P thành nhân tử P = (x - 1)(x - 6)(x - 3)(x - 4) + 9. = (x2 - 7x + 6) (x2 - 7x + 12) + 9. = [(x2 - 7x + 9) - 3][ (x2 - 7x + 9) + 3] + 9. = (x2 - 7x + 9)2 – 9 + 9 = (x2 - 7x + 9)2 Do x ẻ Z nên (x2 - 7x + 9) ẻ Z => (x2 - 7x + 9)2 là bình phơng của một số nguyên .Vậy P là số chính phơng "x ẻ Z. Bài 1: Chứng minh rằng với x , y nguyên thì biểu thức: M = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phơng. Giải: M = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)(x2 + 5xy + 6y2) + y4 = [(x2 + 5xy + 5y2) - y2][(x2 + 5xy + 5y2) + y2] + y4 = (x2 + 5xy + 5y2)2 - y4 + y4 = (x2 + 5xy + 5y2)2. Do x, y ẻ Z nên x2 + 5xy + 5y2ẻ Z Suy ra M = (x2 + 5xy + 5y2)2 là số chính phơng. 5. Chứng minh tính chia hết Bài 1: Chứng minh A = n3 - n chia hết cho 3 , " n ẻ Z . Giải: Ta có n3 - n = n(n2 - 1) = n(n -1)(n + 1) do n ẻ Z nên A là tích của 3 số nguyên liên tiếp do đó A chia hết cho 3 . Bài 2: Chứng minh M = m3(m2 - 7)2 - 36m chia hết cho 5040 với " m là số nguyên Giải : Ta có M = m3(m2 - 7)2 - 36m = m {[m(m2-7)]2 - 62} = m[m(m2-7) - 6] [m(m2 - 7) + 6] = m(m3- 7m - 6)(m3 - 7m + 6). Ta có (m3 - 7m - 6)= m3 - 9m + 2m - 6 = m(m2 - 9) + 2(m - 3) = (m - 3)[m(m + 3) + 2] =( m - 3)(m2 + 3m + 2) = (m - 3)[m(m + 2) + (m + 2)] = (m+1)(m + 2)(m - 3) Tơng tự ta có: m3 - 7m + 6 = (m - 1)(m - 2)(m + 3) Vậy M = (m + 1)(m + 2)(m + 3)m(m - 1)(m - 2)(m - 3). Do m ẻ Z nên M là tích của 7 số nguyên liên tiếp do đó M chia hết cho: 1.2.3.4.5.6.7 = 5040. Vậy M chia hết cho 5040. Bài 3: Chứng minh rằng x Z ta có: Giải: P = ( 4x + 3)2 - 25 = ( 4x + 3)2 – 52 = ( 4x + 3 - 5)( 4x + 3 + 5) = ( 4x - 2)(4x + 8) = 8( 2x - 1)(x + 2) Vì x Z ị ( 2x - 1)( x + 2) Z ị P = 8( 2x - 1)( x+2) 8 Û 6. Rút gọn, Tính giá trị biểu thức a) Lí thuyết Vận dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số để thu gọn biểu thức. Ta phải tiến hành phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử sau đó rút gọn các nhân tử chung. b) Bài tập Bài 1: Rút gọn biểu thức với Hớng dẫn: Bài 2: Tính giá trị của biểu thức P = với x = 2005 Bài 3: Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau, hãy rút gọn : Hớng dẫn: Ta phân tích các mẫu thành nhân tử: a2 + ac - b2 – bc = (a2 - b2) + (ac - bc) = (a - b)(a + b) + c(a -b) = (a - b)(a+b+c) Tơng tự: b2 + ab - c2 – ac = (b - c)(a + b + c) c2 + bc - a2 - ab = (c - a)(a + b + c). Do đó mẫu chung là : MC = (a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c). 7. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: N = (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) + 2003. Giải: Trớc hết phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x2 + 3x + 2) và (x2 + 7x + 12) Ta có x2 + 3x + 2 = (x2 + 2x) + (x + 2) = x(x + 2) + (x + 2) = (x + 2)(x + 1). x2 + 7x + 12 = x2 + 4x + 3x + 12 = x(x + 4) + 3(x + 4) = (x + 3)(x + 4). Khi đó N = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 2003 = (x + 1)(x + 4)(x + 3)(x + 2) + 2003 = (x2 + 5x + 4) (x2 + 5x + 6) + 2003. Đặt x2 + 5x + 5 = t. Ta có N = (t - 1)(t + 1) + 2003 = t2 - 1 + 2003 = t2+2002 Vậy do t2 ³0 với "t ị N ³ 2002. Vậy biểu thức N đạt giá trị nhỏ nhất là 2002 t = 0 x2 + 5x + 5 = 0 8. Giải phơng trình nghiệm nguyên Bài 1: Tìm cặp số nguyên (x , y) thoả mãn : x + y = xy Giải : Ta có xy = x + y Û xy – x – y + 1 = 1Û x(y - 1) - (y - 1) = 1 Û (x - 1)(y - 1) = 1. Do x,y nguyên nên ta có : x – 1 = 1 hoặc x – 1 = - 1 y – 1 = 1 y – 1 = - 1 Suy ra (x = 2 ; y = 2) hoặc (x = 0 ; y = 0). Vậy cặp số nguyên (x , y) cần tìm là (2 ; 2) và (0 ; 0). 9. Tìm giá trị của biến số để biểu thức đạt giá trị nguyên 1. Lí thuyết: Cách làm: Ta tách phần nguyên và phần phân thức của biểu thức f(x) đã cho. Phần lớn các bài toán sau khi rút gọn thì kết quả chỉ còn phân thức tiếp theo ta tìm giá trị cuả biến để phân thức ấy có giá trị nguyên. Muốn vậy tử thức phải chia hết cho mẫu thức hay mẫu thức phải là ớc của tử thức. Từ đó tìm ra các giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị nguyên, cụ thể: f(x) = với a, b f(x) 2. Bài tập: Bài 1: Tìm giá trị của x để biểu thức có giá trị nguyên. Có Vậy P nguyên x + 7 là ớc của 5 Hay x + 7 { -1; 1; - 5; 5} Có ị Vậy khi biến số nhận một trong các giá trị x { -12; - 8, -6, -2} thì P đạt giá trị nguyên Luyện tập chung Bài 1: Cho biểu thức A = a4 - 6a3 + 27a2 - 54a + 32. a) Phân tích đa thức A thành nhân tử b) Chứng minh rằng A luôn là một số chẵn ("a ẻ Z) Hớng dẫn: a) A = a4 - 6a3 + 27a2 - 54a + 32 = a4 - a3 - 5a3 + 22a2 + 5a2 - 22a - 32a - 32 = a3(a - 1) - 5a2(a - 1) + 22a(a - 1) - 32(a - 1) = (a - 1)(a3 - 5a2 + 22a - 32) Mà a3 - 5a2 + 22a – 32 = a3 - 2a2 - 3a2 + 6a + 16a - 32 = a2(a - 2) - 3a(a - 2) + 16a(a - 2) = (a - 2)(a2 - 3a + 16) Xét a2 - 3a + 16 có D = 9 - 4.6= - 15 < 0 do đó a2 - 3a + 16 không phân tích đợc trên R. Vậy A = (a - 1)(a - 2)(a2 - 3a + 16). b) Do a ẻ Z nên (a - 1)(a - 2) là tích hai số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 2. Suy ra A chia hết cho 2 ị A = 2k (k ẻ Z) Vậy A là số chẵn với "a ẻ Z Bài 2: Chứng minh rằng với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: N = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 - a4 - b4 - c4 luôn dơng . Hớng dẫn : Có N = 4a2b2 - (a4 + 2a2b2 + b4) + 2b2c2 + 2a2c2 - c4 = 4a2b2- (a2 + b2)2+ 2c2(b2 + a2) - c4 = (2ab)2- (a2 + b2 - c2)2 = (2ab- a2 - b2 + c2)(2ab + a2 + b2 - c2) =[c2 - (a - b)2][(a + b)2 - c2] =(c – a + b)(c + a - b)(a + b - c)(a + b + c). Ta thấy a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác theo bất đẳng thức tam giác suy ra bốn nhân tử đều dơng . Vậy N > 0. Bài 3: Trong mặt phẳng cho ba điểm A, B, C phân biệt đặt AB = c; AC = b; BC = a . Chứng minh rằng nếu phơng trình ẩn x sau: b2x2 + (b2 + c2 - a2)x + c2 = 0 có nghiệm kép thì ba điểm A, B, C thẳng hàng Hớng dẫn : Do A, B, C phân biệt suy ra AC ạ 0 ị b => Hệ số b2 ạ 0 . Có D = (b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2. Phơng trình có nghiệm kép Phân tích D thành nhân tử ta đợc: D= (a + b + c)(b + c - a)(a + b - c)(b – c - a) Do a + b + c ạ 0 nên xảy ra ba trờng hợp : Hoặc b + c – a =0 ị a = b + c Û BC=AC+AB ị A nằm giữa B, C. hoặc a + b - c = 0 ị c = a + b Û AB = BC + AC ị C nằm giữa B, A hoặc b – c – a = 0 ị b = a + c Û AC = BC + AB ị B nằm giữa A, C. Vậy A, B, C thẳng hàng. Bài 4: Cho đa thức P = (x + y)(y + z)(x + z) + xyz a) Phân tích đa thức P thành nhân tử b) Chứng minh rằng nếu x, y, z nguyên và (x + y + z) chia hết cho 6 thì Q = P - 3xyz chia hết cho 6. Hớng dẫn: a) Có P = [(x + y + z) - z][ (x + y + z) - y][ (x + y + z) - x] + xyz = (x + y + z)3- (x + y + z)2(x + y + z) + (x + y + z)(xy + yz + xz)- xyz + xyz = (x + y + z)(xy + yz + xz). b) Do (x + y + z) 6 ị P 6 (1) Để chứng minh Q 6 ta Chứng minh 3xyz 6 ị xyz 2. Thật vậy: (x + y + z) 6ị (x + y + z) 2 ị (x + y + z) là số chẵn ị không thể x, y, z cùng lẻ ị ít nhất một trong ba số x, y, z là chẵn ị xyz là số chẵn ị xyz 2 => 3xyz 6 (2) Từ (1) và (2)=> Q = P - 3xyz chia hết cho 6 Bài 5: Chứng minh rằng : (n5 - 5n3 + 4n) chia hết cho 120 , " n ẻ Z Hớng dẫn: Ta có: n5 - 5n3 + 4n = n(n4 - 5n2 + 4) = n[(n4 - 4n2) - (n2 - 4)] = n[n2(n2 - 4) - (n2 - 4)] = n(n2 - 4)(n2 - 1) = n(n -1)(n - 2)(n + 1)(n + 2). Do n ẻ Z ị n(n- 1)(n - 2)(n + 1)(n + 2) là tích của năm số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 1. 2.3.4.5 = 120. Vậy: n5 - 5n3 + 4n chia hết cho 120. Bài 6: Chứng minh rằng nếu a + b + c + d = 0 thì : a3 + b3 + c3 + d3 = 3(ac - bd)(b + d). Hớng dẫn: Từ giả thiết : a + b + c + d = 0ị a + c = - (b + d) ị (a + c)3 = - (b + d)3 ị a3 + c3 + 3(a + c)ac = - b3 - d3 - 3(b + d)bd , thay a + c = - (b + d) ta đợc : a3 + c3 - 3(b + d)ac = - b3- d3 - 3(b + d)bd. Hay: a3 + b3 + c3 + d3 = 3ac(b + d)- 3(b + d)bd = 3(b + d)(ac - bd). IV. Hớng dẫn về nhà - Xem lại các dạng bài tập đã chữa - Giải tiếp các bài tập sau: Bài 1: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: (x + 1)(x + 2)(x + 5)(x + 6) + 15. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: (1 - x)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - 3. Bài 2: Tìm các cặp số nguyên (x , y) thoả mãn các phơng trình sau: a) x2 = y2 + 2. b) xy - 3x - 2y – 7 = 0. c) xy + 2x + y = - 2. *******************************