Chuyên đề Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

a- nhận thức cũ - giải pháp cũ Trong thực tế từ những năm 60 cho đến nay phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông nước ta phổ biến là cách dạy học truyền thụ kiến thức trong SGK " thầy đọc , trò chép".Với thói quen dạy học theo chương trình cũ : quá coi trọng lí thuyết chặt chẽ mà ít quan tâm đến thực hành ứng dụng,thiên về dạy mà coi nhẹ hoạt động học của học sinh. Do đó học sinh tiếp thu kiến thức một cách thụ động ,học sinh ít được thực hành nên không phát huy tính tích cực học tập .Chính vì lẽ đó mà nhiều dạng bài toán học sinh chỉ tiếp thu một chiều nên không vận dụng vào thực hành giải các baì tập cùng dạng . Bên cạnh đó SGK ,các sách tham khảo không hướng dẫn cụ thể các phương pháp giải các dạng toán . Từ khi vào ngành đén nay tôi đã dạy hết toàn cấp chương trình toán THCS ,tôi nhận thấy nhiều học sinh khi giải một dạng toán nào đó vẫn chưa định được hướng giải quyết hoặc do hổng kiến thức ở lớp dưới .Có nhiều dạng toán mà học sinh gặp khó khăn khi giải , nhưng tôi thấy dạng toán:"chứng minh 3 điểm thẳng hàng " thì rất nhiều học sinh còn rất lúng túng khi làm bài . b- nhận thức mới - giải pháp mới Đặc trưng cơ bản của đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là : Dạy học thông qua tổ chức các hoạt động của học sinh.Dạy học Toán thực chất là dạy hoạt động Toán ,học sinh là chủ thể của hoạt động học - cần phải cuốn hút vào những hoạt động học tập do giáo viên tổ chức chỉ đạo ,thông qua đó học sinh tự khám phá những điều mình chưa biết chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã sắp đặt sẵn . Do đó khi tổ chức cho học sinh hoạt động giải một số dạng toán nào đó thì giáo viên phải chỉ đạo và tổ chức cho học sinh tiến hành các hoạt động học tập : Tìm tòi phát hiện kiến thức mới , cũng cố kiến thức cũ ,vận dụng kiến thức vào các tình huống khác nhau.Từ đó học sinh rút ra được cách giải cho từng dạng toán . Đối với dang toán : chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong chương trình toán THCS rất nhiều bài và chủ yếu ở các lớp 7,8,9 .Qua quá trình giảng dạy, nghiên cứu tìm hiểu các tài liệu , tôi đã rút ra một số phương pháp chứng minh điểm thẳng hàng như sau: 1)Phương pháp chứng minh hai đường thẳng xác định bởi hai cặp điểm trong ba điểm đang xét vuông góc với một dường thẳng nào đó cùng nằm trong một mặt phẳng Ví dụ 1: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB ,kẻ tiếp tuyến tại A và trên đó lấy điểm P sao cho AP >R .Từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M ,đường vuông góc với AB tại O cắt BM ở N ;AN cắt OP tại K; PM cắt ON tại I;PN cắt OM kéo dài tại J . Chứng minh : Ba điểm I, K, J thẳng hàng . Phân tích bài toán:Đối với bài toán này GV không nên truyền đạt cho HS một cách thụ động mà yêu cầu HS phân tích,suy luận tìm ra cách chứng minh : - Nếu ta chứng minh được I là trực tâm OPJ suy ra JI PO,vậy ta chỉ cần IK PO nữa là bài toán đã được giải quyết. - Để đi chứng minh bài toán này ta dựa vào các kiến thức đã học về: T/c tiếp tuyến ,góc nội tiếp ,cặp góc so le trong , t/c 3đường cao trong tam giác…….. P N J B O K I A Chứng minh: + Xét AOP và OBN có : = (T/c tiếp tuyến ) =( Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm) Suy ra =OP// BN. Mặt khác ==900 (gt) ;) OA=OB (=R) AOP = OBN (g-c-g) OP = BN Ta có OP// BN và OP = BN tứ giác OPNB là hình bình hành PN // OB ==900 hay ON PJ mà PM OJ (T/c tiếp tuyến) I là trực tâm của OPJ JI PO (1) + Ta có AONP là hình chữ nhật K là trung điểm OP. Mặt khác =(T/c tiếp tuyến); =(cặp góc so le trong bằng nhau) =PIO cân tại I IK PO (2) Từ (1) và (2) K,I,J thẳng hàng. Bài tập :Cho hình thoi ABCD ; O là giao điểm của AC và BD , vẽ DE là đường cao của BDC (E BC) ,ED cắt AC tại K,vẽ KF DC (F DC) .Chứng minh rằng 3 điểm B,K,F thẳng hàng. 2) Phương pháp chứng minh hai đường thẳng xác định bởi hai cặp điểm trong 3 điểm đang xét cùng song song với một đường thẳng nào đó. Ví dụ 2: Trên các cạnh AB và AC của tam giác ABC cân tại A lần lượt lấy các điểm M,N sao cho AM + AN = AB.Gọi I,J,K lần lượt là 3 trung điểm của 3 đoạn thẳng MN,AB và AC .Chứng minh rằng : Ba điểm I,J,K thẳng hàng. A B C M N Q I J K Phân tích bài toán: Qua hình vẽ ta thấy: Để chứng minh 3 điểm I,J,K thẳng hàng thì ta phải chứng minh được IK//BC và JK//BC. Chứng minh: Vì ABC cân tại A AB =AC mà AM + AN = AB MB = AN. Kẻ đường thẳng qua M song song với BC cắt AC tại Q ,ta có BM=CQ hay AN = QC, Vì K là trung điểm của AC K là trung điểm của NQ, mà I là trung điểm của MN IK là đường trung bình của NMQ IK // MQ hay IK // BC (1) + Mặt khác JK là đường trung bình của ABC JK // BC (2) Từ (1) và (2) J, I , K thẳng hàng. Bài tập : 1) Cho hình bình hành ABCD ; gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và DC .Gọi E là điểm đối xứng của A qua H . Chứng minh D,C, E thẳng hàng. 2) Cho hình chữ nhật ABCD ; O là giao điểm 2 đường chéo ,trên đường chéo AC lấy điểm M bất kỳ (M không trùng O) .Gọi N là điểm đối xứng của B qua M . Từ N kẻ đường thẳng song song với AD ,cắt đường thẳng CD tại F ,vẽ NE vuông góc với AD tại E.Chứng minh : E, F và M thẳng hàng . 3) Phương pháp chứng minh các điểm cùng thuộc một đường thẳng nào đó của hình * Cách 1 : Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường chéo của hình : Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD sao cho hai tam giác ACD và ABC đều là tam giác nhọn .Gọi H và H' lần lượt là trực tâm của tam giác ACD và tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của AC .Chứng minh 3 điểm H, I, H' thẳng hàng. Phân tích bài toán:Qua hình vẽ ta thấy : Nếu chứng minh được tứ giác AH'CH là hình bình hành , mà I là trung điểm của AC I là trung điểm của HH' bài toán được giải quyết. B A C D H'' H I Chứng minh : Ta có CH AD,AH' BC mà AD // BC (gt) AH' //CH (1) Tương tự ta có CH' // AH (2) Từ (1) và (2) AH'CH là hình bình hành .Với AC và HH' là 2 đường chéo Mà I là trung điểm AC I là trung điểm HH'( t/c 2 đường chéo của hình bình hành) Vậy H , I , H' thẳng hàng. *Cách 2: Phương pháp chứng minh các điểm lần lượt thuộc trung trực của một đoạn thẳng Ví dụ 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) , AB BC .Trung tuyến AM,phân giác AD .Gọi E là giao điểm của AD với (O) .Chứng minh rằng :Ba điểm O,M,E cùng thuộc một đường thẳng. Phân tích bài toán : Ta thấy OB = OC , BM = MC O,M trung trực của BC ta chỉ cần chứng minh E trung trực của BC thì bài toán được giải quyết. A B C O M E Chứng minh :Vì AE là phân giác của = Sđ cung BE = Sđ cung EC BE = EC , Mà OB = OC (=bán kính đường tròn ),MB=MC (gt) O,M, E thuộc trung trực của BC Hay O,M ,E thẳng hàng. * Cách 3 : Phương pháp chứng minh các điểm cùng thuộc phân giác của một góc Ví dụ 5: Gọi AH là đường cao thuộc cạnh huyền của tam giác vuông ABC .Gọi O,I,J lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp trong các tam giác ABC,ABH và AHC Chứng minh : O,I , B thẳng hàng ;O,J,C thẳng hàng Chứng minh:A B C O I J H O là tâm của đường tròn nội tiếp ABC O phân giác của (1) I là tâm của đường tròn nội tiếp ABH I phân giác của (2) Từ (1) và (2) O,I, B thẳng hàng.Tương tự ta chứng minh được O,J,C thẳng hàng. * Cách 4 : Phương pháp chứng minh các điểm cùng thuộc đường trung tuyến của tam giác Ví dụ 6: Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM ,gọi N là trung điểm của AC.Trên AM lấy điểm I sao cho AI = 2MI .Chứng minh B,I ,N thẳng hàng . A B C N M I G Phân tích bài toán :Ta có BN là trung tuyến của ABC ,ta chỉ cần chỉ ra I là trọng tâm ABC thì bài toán được giải quyết. Chứng minh : Vì N là trung điểm của AC BN là trung tuyến của ABC Gọi G là trọng tâm của ABC Theo tính chất trung tuyến tam giác ta có AG = 2GM mà theo gt : I AM và AI = 2IM I trùng với G. Vậy B, I, N thẳng hàng. 4) Phương pháp chứng minh tổng các góc kề bằng 1800 Ví dụ 7:Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng miền ngoài tam giác ABC các hình vuông ABHK và ACDE .Chứng minh H,A,D thẳng hàng. Chứng minh: A B C H K E D + Theo gt ABHK là hình vuông ABH vuông cân ở B =450 + Tương tự ACDE là hình vuông ACD vuông cân ở C =450 =++ = 450 + 900 + 450= 1800 Vậy H,A và D thẳng hàng. Bài tập: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) ; I là điểm thuộc cung BC không chứa A .Vẽ đường tròn (O1) đi qua I và tiếp xúc với AB tại B.Vẽ đường tròn (O2) đi qua I và tiếp xúc với AC tại C .Gọi K là giao điểm thứ 2 của hai đường tròn (O1) và (O2) .Chứng minh rằng ba điểm B,K,C thẳng hàng. 5) Phương pháp chứng minh hai đường thẳng xác định bởi hai cặp điểm trong 3 điểm đang xét cùng tạo với một đường thẳng cùng một góc.(Hoặc hai đường thẳng song song các góc bằng nhau) Ví dụ 8: Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau kẻ các tiếp tuyến chung ngoài AB và A'B' .Các tiếp tuyến chung trong CD và EF ( A,A',C,E (O),B,B',D,F (O').Gọi M là giao điểm của AB và EF .N là giao điểm của A'B' và CD .H là giao điểm của MN và OO'.Chứng minh rằng H,D,B thẳng hàng. . O . O' A A' M N E C F B B D H Chứng minh : Do tính chất đối xứng ta có = (1) Mặt khác MH OO'; BM BO' MF O'F (t/c tiếp tuyến) B,O',F,H và M cùng thuộc một đường tròn đường kính MO' Mà O'B = O'F (bán kính của (O')) = (2) Từ (1) và (2) = H,D và B thẳng hàng. Bài tập: Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau , kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong EF ( A,E (O), B,D (O') ).AB cắt EF tại M,AE cắt BF tại N. Chứng minh : O, N , O' thẳng hàng. 6) Phương pháp sử dụng định lí Ta lét để chứng minh thẳng hàng: Ví dụ 9: Cho hai đường tròn (O;R) và (O';R') ngoài nhau (R R').Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài AB và CD, một tiếp tuyến chung trong EF (A,C,E(O);B,D,F (O')).Hai tiếp tuyến ngoài cắt nhau tại I,EO cắt (O) tại K.Chứng minh rằng : I,K,F thẳng hàng. Chứng minh: Ta có O,O' cùng thuộc phân giác góc I O' ,O,I thẳng hàng. +OC ID ,O'D ID(t/c tiếp tuyến) OC // O'D . . B D A C E F K I O' O Theo hệ quả của định lí Ta lét ta có: = mà OC = OK ,O'D = O'F =(1) Mặt khác OK EF ; O'F EF KO // FO' (2) Từ (1) và (2) suy ra F,K,I thẳng hàng. 7 Phương pháp chứng minh hai góc đối đỉnh Ví dụ 10: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) sao cho AB CD. AC là phân giác của góc BAD. Gọi H,I,K lần lượt là hình chiếu của điểm C trên AB,BD,AD.Chứng minh H,I,K thẳng hàng. A B H D C I K . Chứng minh: +Ta có : = = 900 Tứ giác CIKD nội tiếp đường tròn đường kính CD = (cùng chắn một cung) (1) + Ta có : = = 900 Tứ giác CHBI nội tiếp đường tròn đường kính BC = (cùng chắn một cung) (2) Vì AC là phân giác của CH = CK (3) và cung nhỏ BC = cung nhỏ CD BC = CD (4) Từ (3) và (4) BHC = DKC = (5) Từ (1) ,(2) và (5) = Ba điểm H,I,K thẳng hàng. 8) Phương pháp sử dụng toạ độ của điểm đang xét Ta viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm sau đó chứng minh điểm còn lại thuộc đường thẳng mới tìm được. Ví dụ 11:Cho ba điểm có toạ độ A(1;2), B(-3;-1), C(0;). Chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng. Chứng minh: Gọi đường thẳng qua A,B có dạng y= ax + b (d) Vì (d) đi qua A(1;2) a + b = 2 Vì (d) đi qua B(-3;-1) -3a + b = -1 Giải hệ a=, b= Phương trình đường thẳng qua A,B là y = x + (*) Thay toạ độ C(0; ) vào (*) ta thấy toạ độ điểm C thoả mãn phương trình. Vậy ba điểm A,B ,C thẳng hàng. c kết quả sau khi áp dụng: Đề tài này rất khó có thể thực hiện được ở giờ học chính khoá vì thời gian có hạn do đó tôi đã triển khai đề tài này trong các buổi học tự chọn và phụ khóa ,hướng dẫn học sinh đọc kỹ đề bài ,phải vẽ được hình ,phân tích được bài toán. Qua quá trình tổ chức học sinh học tập đề tài " Điểm thẳng hàng " ở khối lớp 8 và lớp 9 - Trường THCS Diễn Đồng tôi thấy đây là dạng toán khó đối với HS (đặc biệt là HS trung bình và HS yếu ) nhưng tôi thấy kết quả rất khả quan.Từ chỗ có 20% HS biết cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng ,nay đã tăng lên đến 45-50%.Đặc biệt phương pháp này tôi thấy rất bổ ích trong quá trình bồi dưỡng HS khá giỏi. D bài học kinh nghiệm: - Đây là một dạng toán trong phân môn Hình học nên khi học một số HS yếu và trung bình còn chưa hứng thú .Vì vậy khi dạy chuyên đề này trước hết phải gây hứng thú cho HS qua những tình huống thực tế , qua đó học sinh vận dụng được vào trong cuộc sống .Giáo viên cần có sự quan tâm đúng mức đối với học sinh ,nắm được năng lực và tâm lý của từng học sinh ,từ đó đề ra phương pháp giáo dục thích hợp. - Đối với các dạng toán về hình học , muốn HS làm được phải rèn luyện cho HS kỹ năng vẽ hình ,phân tích được bài toán ,nắm được những kiến thức cơ bản để vận dụng vào giải bài tập. - Trong quá trình tổ chức giáo viên phải cần kết hợp nhiều phương pháp dạy học linh hoạt, nhưng phương pháp "nêu vấn đề - giải quyết vấn đề " là phương pháp chính kết hợp hình thức dạy học hợp tác nhóm nhỏ là ình thức dạy học có hệu quả ,nó tạo điều kiện cho HS có thể thảo luận, trao đổi , đóng góp ý kiến xây dựng bài . - Tuy vậy đề tài vận chưa đáp ứng được hết mong muốn của giáo viên và học sinh.Vì vậy rất mong sự góp ý chân thành của đồng nghiệp,các cấp chuyên môn để đề tài này được hoàn thiện hơn và thêm phong phú ,góp phần rèn luyện và giáo dục thế hệ tương lai của đất nước một cách có hiệu quả.