Chuyên đề Chứng minh hệ thức hình học của học sinh lớp 9

Chuyên đề : Chứng minh hệ thức hình học của học sinh lớp 9 Một vấn đề nhiều học sinh thấy sợ khi gặp các bài toán chứng minh hệ thức hình học như A2 = B.D ; A.B = C.D .Vậy làm thế nào để dạy học sinh làm tốt phần này, tôi mạnh dạn đưa ra phương pháp dạy như sau . Để hướng dẫn học sinh giải một bài hình giáo viên cần tuân theo các nguyên tắc nhất định ,nghĩa là phải qua các bước cơ bản sau : 1) Tìm hiểu đề Trong bước này giáo viên cần làm nổi bật cho học sinh các khái niệm chủ yếu trong đề ,cho nên giáo viên cần đặt các câu hỏi như : Bạn đã hiểu toàn bộ khái niệm chủ yếu trong đề chưa? Khái niệm này được phát biểu như thế nào ?Khai niệm này còn hiều như thế nào ?.... sáu đó giáo viên yêu cầu học sinh vẽ một hình vẽ thoả mãn các điều kiện của bài toán đã cho . 2) Tìm lời giải của bài toán Giáo viên đặt các câu hỏi như: GT của bài toán này là gì ? Từ GT này suy thêm được gì ? từ những dự kiện của bài toán ta có thể rút ra được gì ?Kết quả này có dùng để làm gì không ? .. KL của bài toán này nói gì ? KL này còn hỏi theo cách nào khác khồng? KL này còn biến đổi được ở dạng nào khác không ?KL của bài toán này có giống kết luận của một bài toán hay định lí nào mà bạn đã gặp không ? Từ đó giáo viên dần hướng dẫn h0ọc sinh các thao tác tư duy tìm đến lời giải của bài toán . Trong những bài toán không quá phức tạp ta có thể hướng dẫn học sinh tìm lời giải theo các phép suy luận - Phân tích đi lên - Phân tích đi xuống - Phép suy diễn 3) Trình bày lời giả 4) Kiểm tra lời giải và nghiên cứu sâu lời giải Sau đây tôi xin trình bày một nội dung cụ thể “Chứng minh hệ thức hình học của học sinh lớp 9 ” Bài 1:Từ một điểm A bên ngoài đường tròn (O), ta vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD Vẽ dây BM vuông góc với phân giác của góc BAC, dây cung này cắt CD tại E. Chứng minh : a) AB2 = AC.AD b) MD2 = ME.MB Hoạt động của GV Hoạt động của HS - GV yêu cầu học sinh đọc đề - GT nói gì ? - Từ giả thiết BM vuông góc với phân giác của góc BAC,ta có thể rút ra được gì không ? - Từ giả thiết AB là tiếp tuyến của đường tròn (O),cho ta biết them gì ? - Em có nhận xét gì về số đo góc BDM và góc ABM ? - KL của bài toán nói gì ? - KL này còn viết được ở dạng nào khác không ? - Muốn có hệ thức hai ta cần chứng minh điều gì ? - GV yêu cầu học sinh lên bảng làm - GV nhận xét lời giải của học sinh - GV yêu cầu học sinh tìm hiểu câu b của bài toán - Ta có thể phân tích kết luận này như thế nào ? - GV yêu cầu học sinh theo sơ đồ nên trình bày HS: GT nói AB là tiếp tuyến của đường tròn(O) BM vuông góc với đường phân giác của góc BAC HS: Tam giác ABE cân tại A HS: AB OB ; ABM = Sđ AB HS: BDM = ABM ( vì cùng chắn cung BM) HS: AB2 = AC.AD HS: AB .AB = AC.AD = (2) HS: ABC đồng dạng với ADB HS: MD2 = ME.MB MD.MD = ME.MB = MDB MED *Qua bài toán này ta thấy để chứng minh hệ thức dạng A2 = B.D,ta cần biến đổi về dạng tỉ lệ thức để tìm ra các tam giác đồng dạng. Bài 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A,B .Trên đường thẳng AB lấy điểm M ( M không thuộc đoạn AB) .Vẽ tiếp tuyến MT của đường tròn (O) cát tuyến MCD của đường tròn (O’) Chứng minh rằng : MT2 = MC.MD Hoạt động của GV Hoạt động của HS - GT của bài toán là gì ? - Từ Gt ta thấy MT là tiếp tuyến của đường tròn (O) và MAB là cát tuyến của (O) ,từ điều này cho biết thêm được gì không ? - KL của bài toán là gì ? - Ta thấy MT là tiếp tuyến của đường tròn (O) mà MCD lại là tiếp tuyến của đường (O’) cho nên ta không vận dụng được tính chất như câu a bài toán một . - Một giả định thoả mãn yêu cầu bài toán nghĩa là MT2 = MC.MD .Từ đó ta suy ra được gì ? - Hệ thức (3) còn có thể viết ở dạng nào khác không ? - Hệ thức này gợi cho ta điều gì ?Làm thế nào để có các tỉ lệ thức bằng nhau ? - Hai tam giác này có những yếu tố về góc nào bằng nhau và những yếu tố về cạnh tỉ lệ với nhau chưa ? - Những điều kiện đã có đã đủ chứng minh hai tam giác đó đồng dạng chưa ? -GV yêu cầu học sinh lên bảng chứng minh Nhận xét : Trong trường hợp AB cắt tiếp tuyến chung ngoài EF tại điểm I ,ta sẽ chứng minh được I là trung điểm của EF và IA + IB EF HS: (O) và (O’) cắt nhau tại A,B ; MT là tiếp tuyến của đường tron (O) và (O’) ,MAB là cát tuyến chung của hai đường tròn ; MCD là tiếp của (O’) HS: MT2 = MA.MB (1) HS: MT2 = MC.MD (2) HS: MD.MC = MA.MB (3) = (4) HS: MAD MCB HS: M chung ; MBC = MDA *Bài toán này yêu cầu ta chứng minh hệ thức dạng A2 = B.C ,nhưng chứng minh trực tiếp thì không thanh công nên ta đã phải sử dung tích D.E = A2 ,sau đó chứng minh B.C = D.E và từ đó suy ra kết luận .Như vậy ta đã mượn một tích khác làm trung gian . Bài 3 : Cho đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A,B .Vẽ dây cung BC của đường tròn (O) tiếp xúc với (O’) , vẽ dây cung BD của đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O’) . Chứng minh :AB2 = AC.AD Hoạt động của GV Hoạt động của HS - GT của bài toán nói gì ? - KL của bài toán nói gì ? - KL này còn biến đổi được như thế nào ? - Hệ thức hai gợi cho ta được gì ? - Hai tam giác này đã có các yêu tố nào quan hệ với nhau rồi ? - Bạn đã khai thác hết GT của bài toán chưa ? - GT cho BC là tiếp tuyến của đường tròn (O’) ,từ Gt này cho ta biết thêm được gì ? - Em có nhận xét gì về hai ABC và ADB - Tương tự như trên ta cũng chứng minh được ACB = ABD - Các điều kiện trên đã đủ để chứng minh ADB ABC chưa ? - GV yêu cầu học sinh lên trình bày HS: (O) và (O’) cắt nhau tại A,B ; BC là tiếp tuyến (O’) ; DB là tiếp tuyến của (O) . HS: AB2 = AC.AD (1) HS: AB .AB = AC.AD = (2) HS: ADB ABC HS:ABC = SđAB ( của đường tròn (O’) ) HS: ABC = ADB ( vì cùng chắn cung AB) * Qua bài toán trên ta đã vận dụng các kiến thức : Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau . Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính BC, dây cung AD BC tại H .Gọi E,F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I) và (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HBE và HCF .Chứng minh rằng : AE.AB = AF.AC Hoạt động của GV Hoạt động của HS - GT cho A nằm trên đường tròn đường kính BC,em có nhận xét gì về dạng của tam giác ABC ? - GT cho AD vuông góc với BC, từ Gt này cho ta thêm gì ? - Đường thẳng HE, HF là gì của tam giác ABH và AHC? - Từ những kết quả trên ta có thể rút ra được gì không ? - Các bạn đã chứng minh được bài toán chưa ? - GV yêu cầu học sinh lên bảng làm - Nhận xét : Từ hệ thức chứng minh được trên ta có thể chứng minh thêm được các kết quả sau : 1) Tứ giác BEFC nội tiếp 2)Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ACB 3)EF là tiếp chung của hai đường tròn (I) và (K) 4) EF vuông góc với AO. HS: Tam giác ABC vuông tại A HS: Tam giác AHB và AHC vuông tại H HS: HE ; HF lần lượt là đường cao của tam giác AHB và AHC . HS: AH2 = AE.AB; AH2 = AF.AC *Qua bài toán trên ta thấy để chứng minh hệ thức A.B = C.D ,ta phải chứng minh A.B = M2 và M2 = C.D . Bài 5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài ( B (O) ; C (O’) ). Tiếp tuyến trong tại A cắt BC tại M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC . a) C/mr: ME.MO = MF .MO’ b) C/mr: BC = 2 ( R;R’ là bán kính của đường tròn (O) và (O’) ) . Hoạt động của GV và HS Hoạt động của HS - GV GT cho (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A từ điều này ta suy ra O, A, O’ thẳng hàng - GT cho BC và MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) ,từ GT này cho ta biết thêm được gì ? - GV Em có nhận xét gì về hai tam giác MAO và MAO’ là các tam giác gì ? - AE là gì của tam giác MOA? - Từ kết quả này ta rút ra được gì ? - Điều này có gợi ý cho ta được gì ? - Ta làm gì để chứng minh được MA2 = MF.MO’ - GV yêu cầu học sinh lên bảng làm - Các em có nận xét gì về Tam giác ABC ? - Tam giác OMO’ là tam giác gì ? - Tại sao ? - Ta thấy MA là đường cao của tam giác vuông MOO’ .nên từ dự kiện này ta suy thêm được gì ? - Đoạn MA và BC có quan hệ gì ? - Từ những kết quả của bài toán ta có thể chứng minh được hệ thức đó không ? HS: MA. MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) và MA.Mc là hai tiếp tuyến của đường tròn (O’) . OM AB ; MO’ AC ; MO và MO’ là phân giác của hai góc kề bù . HS: Hai tam giác này đều vuông tại A HS: AE là đường cao của tam giác MAO HS : MA2 = ME.MO (1) HS: Chứng minh MA2 = MF.MO’(2) HS: Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MAO’. HS: Tam giác ABC vuông tại A HS: Tam giác MOO’ vuông tại A HS: giải thích HS: MA2 = AO.AO’ = R.R’ HS: MA = BC HS: Lên bảng làm B.Bài tập tự luyện Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn có :BC = a ; AC = b ; AB = c, tiếp đường tròn tâm (O;R) .Chứng minh rằng : a) = 2R b)SABC= Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) .Vẽ DM AB( M AB) ; DNBC(N BC) DK AC( K AC) . a) C/mr: M,N,K thẳng hàng b) C/mr: AB.CD + BC.AD = AC.BD c) C/mr: = + Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) .Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại E, hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại F . C/mr: EA.ED + FA.FB = EF2 HD/ Vẽ đường ngoại tiếp tam giác EAB, đường tròn này cắt EF tại M. Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm (O) bán kính R .Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính r ,gọi J là tâm và ra là tâm và bán kính đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC.Chứng minh rằng : a) OI2 = R2 – 2Rr b) OJ2 = R2 + 2Rra HD/ Gọi M là giao điểm của IJ và (O) .Kẻ đường kính MN của (O) .Gọi D,E lần lượt là hình chiếu của I,J trên AB . Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có AD là phân giác, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .AI cắt đường tròn (O) tại E .Chứng minh rằng : AD2 = AB.AC – DB.DC