Chuyên đề Cực trị hình học

Phaàn 1: Vaän duïng quan heä ñöôøng xieân – ñöôøng vuoâng goùc ; ñöôøng xieân – hình chieáu vaø qui taéc caùc ñieåm (baát ñaúng thöùc tam giaùc) ----------o0o---------- Bài 1 (8): Cho tam giác ABC nhọn ,đường cao AH. Điểm M di động trên cạnh BC. Chứng minh : Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài ngắn nhất. Bài 1 (8): Cho tam giác ABC nhọn (AB>AC),đường cao AH. Điểm M di động trên cạnh BC. Chứng minh: . Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài lớn nhất. Bài 1 (8): Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC),đường cao AH. Điểm M di động trên cạnh BC. Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài nhỏ nhất. Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài lớn nhất. Bài 2 (8): Cho tam giác ABC có và đường cao AH. Điểm M di động trên cạnh BC, kẻ tại E và tại F. Chứng minh: vuông tại A và tính AH. Chứng minh: tứ giác AEMF là hình chữ nhật và . Chứng minh: . Tìm vị trí của điểm M để EF có độ dài nhỏ nhất. Bài 3 (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Điểm M di động trên nửa đường tròn, kẻ MH vuông góc với AB tại H. Chứng minh: Tìm vị trí của điểm M để MH có độ dài lớn nhất. Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại B và C. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh: và b) Tìm vị trí của đường thẳng d để AB+AC đạt giá trị lớn nhất. Bài 4 (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm M di động trên nửa đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn và tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với (O) tại M cắt Ax tại D, cắt By tại E. Chứng minh: và . Chứng minh: tam giác DOE vuông tại O và . Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 5 (8): Cho tam giác ABC nhọn () và đường cao AH. Điểm M di động trên cạnh BC. Kẻ BI và CK lần lượt vuông góc với đường thẳng AM tại I và K. Chứng minh: Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị lớn nhất. Bài 6 (8): Cho tam giác ABC nhọn () và đường cao AH. Điểm M di động trên cạnh BC. Chứng minh: Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài nhỏ nhất. Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài lớn nhất. Bài 7 (8): Cho tam giác ABC nhọn () có đường cao AH và BL. Điểm M di động trên cạnh BC. Kẻ BI và CK lần lượt vuông góc với đường thẳng AM tại I và K. Chứng minh: Chứng minh: Chứng minh: Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị lớn nhất. Bài 8 (8): Cho tam giác ABC nhọn () có đường cao AH và CK. Điểm M di động trên cạnh BC. Kẻ BD và CE lần lượt vuông góc với đường thẳng AM tại D và E. Chứng minh: Chứng minh: Chứng minh: Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị lớn nhất. Bài (8): Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Đường thẳng d quay quanh điểm A nhưng không cắt các cạnh của hình bình hành. Kẻ lần lượt vuông góc với đường thẳng d tại Chứng minh: Tìm vị trí của đường thẳng d để đạt giá trị lớn nhất. Bài (8): Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo AC và BD và một điểm I cố định nằm ngoài hình bình hành. Đường thẳng d quay quanh điểm I nhưng không cắt các cạnh của hình bình hành. Kẻ lần lượt vuông góc với đường thẳng d tại Chứng minh: Tìm vị trí của đường thẳng d để đạt giá trị lớn nhất. Bài (8): Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB=2R. Điểm M di động trên nửa đường tròn, qua M vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn. Gọi C và D lần lượt là hình chiếu của A và B trên tiếp tuyến ấy. Chứng minh: Chứng minh: Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ACDB đạt giá trị lớn nhất. Bài (8): Cho đường tròn (O) và dây cung AB không qua tâm O. Điểm M di động trên cung lớn AB, qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn. Gọi C và D lần lượt là hình chiếu của A và B trên tiếp tuyến ấy. Chứng minh: . Tìm vị trí của điểm M để CD có độ dài lớn nhất. Tìm vị trí của điểm M để CD có độ dài nhỏ nhất. Bài (8): Cho đường tròn (O) và dây cung AB không qua tâm O. Điểm M di động trên cung lớn AB, qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn. Gọi I là trung điểm của AB.Kẻ AC,BD,IE lần lượt vuông góc với tiếp tuyến ấy tại C,D,I. Chứng minh: . Chứng minh: Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị lớn nhất. Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ nhất. Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại B và C. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh: và Tìm vị trí của đường thẳng d để AB+AC đạt giá trị lớn nhất. ----------Qui taéc caùc ñieåm---------- Bài (8): Cho A và B là hai điểm cố định nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau có bờ là đường thẳng d cố định. Điểm M di động trên đường thẳng d. Chứng minh: Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ nhất. Bài (8): Cho A và B là hai điểm cố định cùng nằm ở một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d cố định. Điểm M di động trên đường thẳng d.Gọi C là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng d. Chứng minh: . Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMB đạt giá trị nhỏ nhất. Bài (8): Cho điểm A cố định nằm trong góc xOy cố định. Gọi B và C lần lượt là các điểm đối xứng của A qua các tia Ox và Oy. Điểm M di động trên Ox, điểm N di động trên Oy.Kí hiệu: là chu vi tam giác AMN. Chứng minh: . Chứng minh: Tìm vị trí của điểm M và điểm N để chu vi tam giác AMN đạt giá trị nhỏ nhất. Bài (9): Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, C là điểm cố định nằm giữa A và O. Điểm M di động trên đường tròn (O). Chứng minh: Tìm vị trí của điểm M để CM có độ dài lớn nhất. Tìm vị trí của điểm M để CM có độ dài nhỏ nhất. Bài (9): Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) ngoài nhau. Gọi P,Q,R,S lần lượt là giao điểm của đường thẳng OO’ với (O) và (O’) (theo thứ tự P,O,Q,R,O’,S). Điểm A di động trên (O), điểm B di động trên (O’). Chứng minh: Chứng minh: Tìm vị trí của điểm A và điểm B để AB có độ dài lớn nhất. Tìm vị trí của điểm A và điểm B để AB có độ dài nhỏ nhất. Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB không qua tâm. Điểm M di động trên cung lớn AB, kẻ MH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Chứng minh: Tìm vị trí của điểm M để MH có độ dài lớn nhất. Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB không qua tâm. Điểm M di động trên cung nhỏ AB, kẻ MH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của đoạn AB và K là giao điểm của OM và AB. Chứng minh: Tìm vị trí của điểm M để MH có độ dài lớn nhất. Tìm vị trí của điểm M để diện tích tam giác AMB đạt giá trị lớn nhất. Bài (8): Cho hình vuông ABCD . M,N,P,Q là bốn đỉnh của tứ giác MNPQ lần lượt là các điểm di động trên các cạnh AB,BC,CD,DA. Gọi H,I,K lần lượt là trung điểm của các đoạn QM,MP,PN. Chứng minh: Chứng minh: Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ nhất. Bài (8): Cho hình vuông ABCD cạnh a. M,N,P,Q là bốn đỉnh của tứ giác MNPQ lần lượt là các điểm di động trên các cạnh AB,BC,CD,DA. Chứng minh: Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ nhất. Bài (8): Cho hình chữ nhật ABCD. D,E,G,H là bốn đỉnh của tứ giác DEGH lần lượt di động trên các cạnh AB,BC,CD,DA. Chứng minh: Tìm điều kiện của tứ giác DEGH để tứ giác DEGH có chu vi nhỏ nhất. Bài (8): Cho tam giác ABC có và một điểm M nằm trong tam giác.Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ là đường thẳng AM dựng tam giác đều AMD và trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ là đường thẳng AC dựng tam giác đều ACE. Chứng minh: Chứng minh: Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ nhất. ----------o0o--------- Vaän duïng baát ñaúng thöùc trong ñöôøng troøn. *** Bài (9): Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M di động trên đường tròn. Tìm vị trí của điểm M để độ dài AM đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho đường tròn tâm O đường kính AB và dây cung CD vuông góc với AB. Tìm điều kiện của dây cung CD để diện tích tứ giác ACBD đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định. CD là dây cung di động nhưng luôn vuông góc với AB. Tìm điều kiện của dây cung CD để diện tích tứ giác ACBD đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho đường tròn tâm O và dây cung AC cố định. Điểm B di động trên cung lớn AB, điểm D di động trên cung nhỏ AB . Tìm vị trí các điểm B và D để diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho đường tròn tâm (O;R) và hai dây cung AC và BD vuông góc với nhau. Tìm điều kiện của hai dây cung AB và CD để diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho đường tròn tâm (O;R) và tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Điểm M di động trên cung nhỏ BC. Trên đoạn AM lấy điểm D sao cho Chứng minh: là tam giác đều và Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm C di động trên nửa đường tròn. Gọi D là điểm trên tia đối tia CA sao cho Tính và chứng minh: điểm D di động trên một cung tròn cố định. Tìm vị trí của điểm C trên nửa đường tròn để AD đạt giá trị lớn nhất. Tìm vị trí của điểm C trên nửa đường tròn để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung cố định. Điểm C di động trên cung lớn AB. Gọi D là điểm trên tia đối tia CA sao cho Tính và Chứng minh: điểm D di động trên một cung tròn cố định. Tìm vị trí của điểm C trên cung lớn AB để AD đạt giá trị lớn nhất. Tìm vị trí của điểm C trên cung lớn AB để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung cố định. Điểm C di động trên cung nhỏ AB. Gọi D là điểm trên tia đối tia CA sao cho Tính và Chứng minh: điểm D di động trên một cung tròn cố định. Tìm vị trí của điểm C trên cung nhỏ AB để AD đạt giá trị lớn nhất. Tìm vị trí của điểm C trên cung nhỏ AB để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB cố định. Gọi C là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Điểm M di động trên cung lớn AB. Chứng minh: (đẳng thức Ptolémée). Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị lớn nhất. Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn. Chứng minh: (đẳng thức Ptolémée). Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B. Kẻ đường kính BC của (O) và đường kính BD của (O’). Một đường thẳng quay quanh A cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N. Chứng minh: A,C,D thẳng hàng. Chứng Vminh: hai tam giác BMN và BCD đồng dạng. Tìm vị trí của đường thẳng d để chu vi tam giác BMN đạt giá trị lớn nhất. Vaän duïng baát ñaúng thöùc ñaïi soá *** Bài (*): Chứng minh các bất đẳng thức đại số sau và tìm dấu bằng xảy ra: với mọi a,b. b) với c) với mọi a,b. d) với e) với f) với g) với h) với Bài (8): Cho đoạn thẳng và điểm M di động trên đoạn AB. Chứng minh: Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị lớn nhất. Chứng minh: . Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị lớn nhất. Bài (8): Cho đoạn thẳng và điểm M di động trên đoạn AB . Chứng minh: . Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị giá trị nhỏ nhất. Bài (8): Cho đoạn thẳng AB và điểm M di động trên đoạn AB . Chứng minh: . Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị giá trị nhỏ nhất. Bài (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Điểm M di động trên nửa đường tròn. Chứng minh: Chứng minh: Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMB đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Điểm M di động trên nửa đường tròn. Chứng minh: Chứng minh: . Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMB đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm M di động trên nửa đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn và tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với (O) tại M cắt Ax tại D, cắt By tại E. Chứng minh:. Chứng minh: Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ nhất. Bài (8): Cho góc .Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho (không đổi). Chứng minh: Tìm vị trí của điểm A và điểm B để chu vi tam giác AOB đạt giá trị nhỏ nhất. Bài (9): Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định. Điểm M di động trên cung lớn AB. Gọi H là trực tâm và K là chân đường cao vẽ từ đỉnh M của tam giác AMB. Chứng minh: Chứng minh: . Tìm vị trí của điểm M để MK.HK đạt giá trị lớn nhất. Bài (8): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M thuộc miền trong tam giác. Kẻ MD,ME,MF lần lượt vuông góc với BC,CA,AB tại D,E,F. a) Chứng minh: . b) Chứng minh: . Chứng minh: . Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ nhất. Bài (8): Cho tam giác nhọn ABC và điểm O nằm trong tam giác. Các đường thẳng AO,BO,CO lần lượt cắt các cạnh BC,CA,AB tại D,E,F. Đặt Chứng minh: . Chứng minh: và . Chứng minh: Dấu “=” xảy ra khi nào? Chứng minh: Dấu “=” xảy ra khi nào? Chứng minh: Dấu “=” xảy ra khi nào? Chứng minh: Dấu “=” xảy ra khi nào? Chứng minh: Dấu “=” xảy ra khi nào? Chứng minh: Dấu “=” xảy ra khi nào? Bài (9): Cho tam giác ABC đều nội tiếp trong đường tròn (O;R). Điểm M di động trên cung nhỏ BC. Chứng minh: . Chứng minh: . Tìm vị trí của điểm M để tổng đạt giá trị nhỏ nhất. Bài (9): Cho tam giác ABC đều nội tiếp trong đường tròn (O;R) và điểm M di động trên đường tròn.Tìm vị trí của điểm M để: a) đạt giá trị lớn nhất. b) đạt giá trị nhỏ nhất. Bài (9): Cho tam giác ABC có diện tích là S, nửa chu vi là p và I là tâm đường tròn nội tiếp.Gọi D,E,F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ I xuống BC,CA,AB và lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AI,BI,CI với BC,CA,AB. Đặt Chứng minh: và . Chứng minh: Dấu “=” xảy ra khi nào? Chứng minh: Dấu “=” xảy ra khi nào? Bài (9): Cho tam giác ABC nhọn có và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh: Chứng minh: .Dấu “=” xảy ra khi nào? Chứng minh: . Dấu “=” xảy ra khi nào? Chứng minh: Dấu “=” xảy ra khi nào? Chứng minh: . Dấu “=” xảy ra khi nào? Bài (9): Cho đường tròn cố định (O) bán kính bằng 2006.Tam giác ABC luôn thay đổi nhưng luôn ngoại tiếp đường tròn (O). Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác ABC. Bài (9): Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M,N,PQ là các đỉnh của tứ giác MNPQ lần lượt thuộc các cạnh AB,BC,CD,DA. Chứng minh: . Chứng minh: Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để tổng bình phương các cạnh đạt giá trị nhỏ nhất. Bài (9): Cho tam giác ABC vuông tại A. Ta dựng hai nửa đường tròn đường kính AB và AC ở bên ngoài tam giác ấy. Một đường thẳng d qua A cắt các nửa đường tròn ở D và E. Chứng minh: .Dấu “=” xảy ra khi nào? Chứng minh: .Dấu “=” xảy ra khi nào? Tìm vị trí của đường thẳng d để chu vi tứ giác BDEC đạt giá trị lớn nhất. Bài (8): Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh a. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm M,N sao cho chu vi tam giác AMN là 2a. Đặt Chứng minh: . Chứng minh: . Tìm vị trí của các điểm M và N để diện tích tam giác AMN đạt giá trị lớn nhất. Bài (8): Cho tam giác ABC có Điểm M nằm trong tam giác . Kẻ MD,ME,MF lần lượt vuông góc với BC,CA,AB tại D,E,F. Đặt Chứng minh: Chứng minh: . Dấu “=” xảy ra khi nào? Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ nhất. Baøi toång hôïp