Chuyên đề Đa thức

BIỂU THỨC ĐẠI SỐ 1. Định nghĩa Biểu thức đại số là một tập hợp các số hoặc viết rõ hẳn hoặc biểu thị bằng chữ được nối liền với nhau bởi dấu của các phép tính, ( cộng, trừ, nhân, chia và luỹ thừa). Chẳng hạn : 9 hoặc 9a hoặc hoặc ... Các chữ đại diện cho một số xác định được gọi là hằng số. Các chữ đại diện cho một số không xác định được gọi là biến số. 2. Giá trị của biểu thức Giá trị của biểu thức đại số là kết quả khi thay các chữ trong biểu thức đại số bằng giá trị cụ thể và thực hiện các phép tính. Chẳng hạn : Biểu thức 9a khi thì . Biểu thức khi , thì Biểu thức khi , , , , thì ĐƠN THỨC 1. Định nghĩa : Đơn thức là một biểu thức đại số gồm một số, hoặc một biến, hoặc tích giữa các số và các biến. Chẳng hạn : 3 hoặc hoặc hoặc ... Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức. Số thực khác 0 là đơn thức bậc không. Số 0 được gọi là đơn thức không, không có bậc. 2. Đơn thức đồng dạng : Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0, có cùng phần biến và mỗi biến có cùng phần số mũ. Chẳng hạn : và ; và ... Muốn cộng ( trừ ) các đơn thức đồng dạng ta cộng ( trừ ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến. Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính a) c) b) d) Bài giải a) b) c) d) Ví dụ 2 : Tìm đơn thức biết a) b) c) d) Bài giải a) Û b) Û c) Û Û d) Û Û Ví dụ 3 : Rút gọn rồi tính trị của biểu thức biết a) với b) với , c) với , d) với , , . Bài giải a) Û với b) với , c) với , d) với , , . 3. Nhân đơn thức Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau và nhân phần biến với nhau. ( với số mũ bằng tổng các số mũ ). Muốn chia hai đơn thức, ta nhân đơn thức bị chia với nghịch đảo đơn thức chia. Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính a) c) b) d) Bài giải a) b) c) d) Ví dụ 2 : Tìm đơn thức biết a) b) c) d) Bài giải a) b) c) Û. d) Û Û Û . Ví dụ 3 : Rút gọn rồi tính trị của biểu thức biết a) với b) với , c) với , d) với , , . Bài giải a) Û Û ; với thì . b) Û Û với , thì . c) với , d) Û Û Û với , , thì . ĐA THỨC 1. Định nghĩa : Đa thức là tổng của nhiều đơn thức. Chẳng hạn : hoặc hoặc hoặc Bản thân đơn thức cũng là một đa thức. Mỗi đơn thức trong đa thức gọi là một hạng tử của đa thức. Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức đó. 2. Cộng trừ đa thức Muốn cộng hai đa thức với nhau ta viết đa thức nọ sau đa thức kia với dấu của chúng. Muốn trừ hai đa thức với nhau ta viết đa thức bị trừ và đa thức trừ với dấu ngược lại. 3. Nhân đơn thức với đa thức Quy tắc : Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau. Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính a) b) c) d) Bài giải a) b) c) d) Ví dụ 2 : Rút gọn, rồi tính giá trị của biểu thức a) với ; . b) với ; . c) với . Bài giải a) với ; thì . b) với ;thì c) , với thì . Ví dụ 3 : Tìm x biết a) b) c) d) Bài giải a) Û Û Û . b) Û Û Û . c) Û Û Û Û ; . d) Û Û Û vô nghiệm. 4. Nhân đa thức với đa thức Quy tắc : Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau. Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính a) b) c) d) Bài giải a) . b) . c) . d). Ví dụ 2 : Tìm x biết a) b) c) d) Bài giải a) Û Û Û . b) Û Û Û Û ; . c) Û Û Û Û ; ; . d) Û Û vô nghiệm . HẰNG ĐẲNG THỨC “ ĐÁNG NHỚ ” 1. Bình phương của một tổng Vì nên Bình phương của tổng hai số bằng bình phương số thứ nhất, cộng hai lần tích số thứ nhất với số thứ hai, cộng bình phương số thứ hai. Ví dụ 1 : Áp dụng tính a) b) c) d) e) f) g) h) Bài giải a) . b) c) d) e) f) g) h) Ví dụ 2 : Áp dụng tính a) b) c) d) e) f) g) h) i) Bài giải a) . b) c) d) e) f) g) h) i) Ví dụ 3 : Tính . . Ví dụ 4 : Tính . Muốn bình phương một số có tận cùng là 5 ta nhân số hàng chục với số tự nhiên kề sau nó, được bao nhiêu gán thêm vào số 25. , ..., , ..., . 2. Bình phương của một hiệu Mặt khác ta có thể tính . Hoặc nên Bình phương của hiệu hai số bằng bình phương số thứ nhất, trừ hai lần tích số thứ nhất với số thứ hai, cộng bình phương số thứ hai. Ví dụ 1 : Áp dụng tính a) b) c) d) e) f) g) h) Bài giải a) b) c) d) e) f) g) h) . Ví dụ 2 : Áp dụng tính a) b) c) d) e) f) g) h) Bài giải a) b) c) d) e) f) g) h) Ví dụ 3 : Áp dụng tính . 3. Hiệu các bình phương của hai số Vì nên Hiệu các bình phương hai số bằng hiệu hai số đó nhân với tổng của chúng. Ví dụ 1 : Áp dụng tính a) b) c) d) e) f) g) h) Bài giải a) b) c) d) e) f) g) h) Ví dụ 2 : Áp dụng tính a) b) c) d) e) f) g) h) Bài giải a) b) c) d) e) f) g) h) 4. Lập phương của tổng hai số Vì nên Lập phương của tổng hai số bằng lập phương số thứ nhất, cộng ba lần tích của bình phương số thứ nhất với số thứ hai, cộng ba lần tích của số thứ nhất với bình phương số thứ hai, cộng lập phương số thứ hai. Ví dụ 1 : Áp dụng tính a) b) c) d) e) f) g) h) Bài giải a) b) c) d) e) f) g) h) . Ví dụ 2 : Áp dụng tính a) b) c) d) e) f) g) h) Bài giải a) b) c) d) e) f) g) h) 5. Lập phương của hiệu hai số Vì nên Lập phương của hiệu hai số bằng lập phương số thứ nhất, trừ ba lần tích của bình phương số thứ nhất với số thứ hai, cộng ba lần tích của số thứ nhất với bình phương số thứ hai, trừ lập phương số thứ hai. Ví dụ 1 : Áp dụng tính a) b) c) d) e) f) g) h) . Bài giải a) b) c) d) e) f) g) h) . Ví dụ 2 : Áp dụng tính a) b) c) d) e) f) g) h) Bài giải a) b) c) d) e) f) g) h) 6. Tổng các lập phương của hai số Vì nên Tổng các lập phương của hai số bằng tổng hai số đó nhân với bình phương thiếu của hiệu. Ví dụ 1 : Áp dụng tính a) b) c) d) e) f) g) h) Bài giải a) b) c) d) e) f) g) h) Ví dụ 2 : Áp dụng tính a) b) c) d) e) f) g) h) Bài giải a) b) c) d) e) f) g) h) 7. Lập phương của hiệu hai số Vì nên Hiệu các lập phương của hai số bằng hiệu hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng. Ví dụ 1 : Dùng hằng đẳng thức phân tích thành tích a) b) c) d) e) f) g) h) . Bài giải a) b) c) d) e) f) g) h) Ví dụ 2 : Áp dụng tính Bài giải a) b) c) d) e) f) g) h) 8. Bình phương của một đa thức nên Bình phương của một đa thức bằng tổng các bình phương của từng hạng tử, cộng với hai lần tích của mỗi hạng tử với từng hạng tử đứng sau nó. Ví dụ 1 : Áp dụng tính a) c) . LUYỆN TẬP Ví dụ 1 : Chứng minh rằng a) b) c) Bài giải a) C1 : C2 : . b) C1 : C2 : c) C1 : C2 : . Ví dụ 2 : Rút gọn biểu thức a) b) c) d) Bài giải a) . b) c) d) . Bài toán : Tìm giá trị lớn nhất ( hoặc giá trị nhỏ nhất ) của tam thức bậc hai Bài giải Ta có . thì suy ra nên giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai là : . thì suy ra nên giá trị lớn nhất của tam thức bậc hai là : . Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của biểu thức a) b) Bài giải a) Nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 5. b) Nên giá trị lớn nhất của biểu thức là 7. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ a) Phương pháp đặt thừa số chung Ví dụ 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) b) c) d) e) f) g) h) Bài giải a) b) c) d) e) f) g) Û h) . Ví dụ 2 : Chứng minh rằng : chia hết cho 79. Bài giải Ta có chia hết cho 78. Ví dụ 3 : Tìm biết a) b) Bài giải a) Û Û Û ; ; . b) Û Û Û . LUYỆN TẬP Ví dụ 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) d) e) f) g) h) Bài 2 : Chứng minh rằng : chia hết cho 30. Bài 3 : Tìm biết : a) b) b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức Ví dụ 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) b) c) d) Bài giải a) b) c) . d) . Ví dụ 2 : Chứng minh rằng : chia hết cho 4. Bài giải Ta có chia hết cho 4. Ví dụ 3 : Tìm biết a) b) Bài giải a) Û Û Û Û . b) Û Û Û Û Û Û . LUYỆN TẬP Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) b) c) d) Bài 2 : Chứng minh rằng : chia hết cho 4. Bài 3 : Tìm biết a) b) c) Phương pháp nhóm các số hạng Ví dụ 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) b) c) d) Bài giải a) b) c) d) . Ví dụ 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) b) c) d) e) f) Bài giải a) . b) . c) . d) . e) . f) . Ví dụ 3 : Tìm biết a) b) Bài giải a) Û Û Û Û Û ; . b) Û Û Û Û Û ; ; . LUYỆN TẬP Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) b) c) d) Bài 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) b) c) d) e) f) Bài 3 : Tìm biết a) b) ĐA THỨC 1. Chia đơn thức cho đơn thức Quy tắc : Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B ta làm như sau : Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B. Chia từng biến của đơn thức A cho biến cùng tên với nó trong đơn thức B. Nhân các kết quả tìm được với nhau. . . , . Ví dụ 1 : Tính giá trị của biểu thức biết a) ; với ; ; . b) ; với ; ; . c) ; với ; ; . Bài giải a) Ta có ; với ; thì . b) Ta có ; với ; ; thì . c) ; với ; ; thì . 2. Chia đa thức cho đơn thức, đa thức Quy tắc : Muốn chia đa thức A cho đơn thức B ta chia mỗi hạng tử của đa thức A cho đơn thức B, rồi cộng các kết quả với nhau. Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính a) b) c) Bài giải a) . b) . c) Ví dụ 2 : Thực hiện phép tính a) b) c) Bài giải a) 0 Vậy . b) 0 Vậy c) 0 Cho hai đa thức và tìm các đa thức và : Với bậc của đa thức bao giờ cũng nhỏ hơn bậc của đa thức . Ta gọi là đa thức bị chia; là đa thức chia; là đa thức thương; là đa thức dư. Khi thì ta bảo đa thức chia hết cho đa thức . Ví dụ 3 : Cho hai đa thức; tìm đa thức ;: a) và b) và c) và . Bài giải a) và Đa thức thương ; đa thức dư . b) và 0 Đa thức thương ; đa thức dư . c) và . 0 Đa thức thương ; đa thức dư . Ví dụ 4 : Tìm m để đa thức chia hết cho đa thức a) và Bài giải a) muốn thì Û : Vậy thì . Ví dụ 5 : Tìm các giá trị nguyên của n để đa thức chia hết cho đa thức và Bài giải Ta có và Þ Û Û . Û ; Û ; Û ; Û . Ví dụ 6 : Tìm đa thức dư trong phép chia đa thức cho đa thức và Bài giải Định lý : Nếu đa thức nhận là một nghiệm thì chia hết cho . Ta có , (*) vì Û ; . Thay ; vào (*) ta có : Þ Þ . LUYỆN TẬP Bài 1 : Thực hiện phép tính a) b) c) Bài 2 : Thực hiện phép tính a) b) c) Bài 3 : Cho hai đa thức; tìm đa thức ;: a) và b) và c) và . Bài 4 : Tìm m để đa thức chia hết cho đa thức a) và . b) và . Bài 5 : Tìm các giá trị nguyên của n để đa thức chia hết cho đa thức và Bài 6 : Tìm đa thức dư trong phép chia đa thức cho đa thức và . PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 1. Định nghĩa : Một phân thức đại số là một biểu thức có dạng , trong đó A, B là những đa thức và đa thức B khác đa thức O. A thường gọi là tử thức; B gọi là mẫu thức. 2. Tình chất : Nếu ta nhân ( hoặc ) cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức O thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho. Nếu ta đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho. 3. Muốn rút gọn phân thức ta làm như sau : Phân tích tử và mẫu thành nhân tủ; Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung. Ví dụ 1 : Tìm tập xác định của phân thức a) b) c) d) Bài giải a) Phân thức xác định khi và chỉ khi mẫu thức hay . b) Phân thức xác định khi và chỉ khi . Vì nên phân thức đã cho xác định . c) Phân thức xác định khi và chỉ khi . Vì Û Û Û . Nên phân thức trên xác định với mọi sao cho . d) Phân thức xác định khi và chỉ khi . Vì Û Û Û Û Û . Nên phân thức trên xác định với mọi sao cho và . Ví dụ 2 : Với giá trị nào của thì phân thức sau triệt tiêu ? a) b) c) d) Bài giải a) Phân thức triệt tiêu khi và chỉ khi Û Û . b) Phân thức triệt tiêu khi và chỉ khi . Vì Û Û Û Û . Suy ra Û . Mặt khác Û Û Û . Vậy phân thức triệt tiêu khi . c) Phân thức triệt tiêu khi và chỉ khi . Vì Û . Suy ra Û . Mặt khác Û Û Û Û . Vậy phân thức triệt tiêu khi ; . d) Phân thức triệt tiêu khi và chỉ khi . Vì Û Û Û Û . Suy ra Û . Mặt khác Û Û Û Û . Vậy phân thức triệt tiêu khi . Ví dụ 3 : Tính giá trị của phân thức a) với b) với ; . c) với d) với . Bài giải a) với thì . b) với thì ; với thì B không xác định. c) với thì . d) với thì . Ví dụ 4 : Chứng minh đẳng thức a) b) Bài giải a) Û . Ví dụ 5 : Tìm biết : với . Bài giải Û Û với thì nên . 4. Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta làm như sau : Phân tích các mẫu thức thành nhân tử và tìm mẫu thức chung; Tìm nhân tử phụ cho mỗi mẫu thức; ( bằng cách chia mẫu thức chung cho từng mẫu thức ); Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng. 5. Muốn cộng ( trừ) hai phân thức : Muốn cộng ( hay trừ ) hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng ( hay trừ ) các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức. Muốn cộng ( hay trừ ) hai phân thức không cùng mẫu thức trước hết ta quy đồng mẫu thức, rồi ta cộng ( hay trừ ) các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức. Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính a) b) c) d) Bài giải a) . b) . c) . d) . Ví dụ 2 : Chứng minh hằng đẳng thức . Áp dụng tính tổng : Bài giải Ta có : . Áp dụng tính tổng : Û Û. 6. Muốn nhân hai phân thức : Muốn nhân hai phân thức với nhau ta nhân tử thức với tử thức; mẫu thức với mẫu thức. 7. Muốn chia hai phân thức : Muốn chia hai phân thức với nhau ta nhân phân thức bị chia với phân thức chia đảo ngược. Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính a) b) c) d) e) f) Bài giải a) . b) c) d) e) . f) . LUYỆN TẬP Bài 1 : Tìm tập xác định của phân thức a) b) c) d) e) Bài 2 : Với giá trị nào của thì phân thức sau triệt tiêu ? a) b) c) d) e) f) g) Bài 3 : Tính giá trị của phân thức a) với b) với ; . c) với . d) với . Bài 4 : Thực hiện phép tính a) b) c) d) e) f) g) h) . CÁC BI TÓAN VỀ ĐA THỨC. Bi 1: Tìm tổng các hệ số của các đa thức: 1. . HD: 2. . HD: Bi 2: 1.Tìm đa thức bậc hai thỏa 2. Từ đó suy ra công thức tính tổng HD: 1.Gọi Nên . Vậy (c là hằng số tuỳ ý). 2. Từ ta có: Cộng tất cả các đẳng thức trên ta có: Vậy Bi tập tương tự: 1.Tìm đa thức bậc hai thỏa và 2. Từ đó suy ra công thức tính tổng HD: Chỉ khác là hằng số c=0 Bi 3: Cho xác định . Giả sử và . Tính (Thi HSG khối 12 năm 2001) HD: Ta có Nên , tương tự . Bi 4: Cho xác định và thõa các điều kiện: Chứng minh rằng . (CHDC Đức - 1980) HD: Theo (3) ta có: . Tương tự ta cũng có Từ (2) ta có: Theo (3) ta có: , tương tự ta có . Nên Bi 5*: Cho 1/ Chứng minh 2/ Chứng minh để HD: 1/ 2/ Với , đặt ta có Bi 6*: Tìm đa thức biết thì . HD: Vì thì , nên thay ta có: Cộng (2) và (3) vế theo vế ta được , kết hợp với (1) ta suy ra , thay vào (2) và (3) ta có . Vậy đa thức phải tìm là Bi 7: Có tồn tại hay không một đa thức mà và với có các hệ số đều nguyên. Nhận xét: . Do đó: HD: Giả sử tồn tại đa thức , với . Khi đó: chia hết cho . Tuy nhiên không chia hết cho 23. Vậy không tồn tại đa thức với hệ số nguyên thõa yêu cầu. Bi 8: Tìm tất cả các đa thức có hệ số nguyên không âm, tất cả các hệ số đều nhỏ hơn 8 và thỏa mãn . HD: Xét đa thức , với đều nguyên , không âm và nhỏ hơn 8. Do nên . Rõ ràng là các chứ số của 1995 trong hệ ghi số cơ số 8. Trong hệ ghi số cơ số 8, 1995 được viết 3713. Vậy . Có thể tham khảo cách giải khác ở bi 9 ở dưới, để không sử dụng về hệ số ghi theo cơ số 8. Tài liệu tham khảo: Về hệ ghi số .... 1/ Sách Số học _ Bà chúa của toán học của Hoàng Chúng với mã sách “TK08” trang 100 ... 2/ Sách Để học tốt Toán 6 của Hoàng Chúng, Hoàng Quý, Lê Khắc Bảo, với mã sách “TK06” trang 72 ... Bi 9: Giả sử tất cả các hệ số của đa thức đều là những số nguyên không âm nhỏ hơn hay bằng 8 và . Xác định . HD: Giả sử . Theo giả thiết : . Vì , đẳng thức trên chứng tỏ là dư trong phép chia 32087 cho 9. Vì vậy ta được , và . Tiếp tục lập luận như trên ta có . Nên (Có thể giải thích điều này như sau vì , mà ....., nên , mà nên....). Bi 10: Tìm a, b, c, d để cho đa thức là bình phương đúng của đa thức . HD: (Sử dụng phương pháp đồng nhất thức) Ta có . Vì . Giải hệ trên ta có: Bi 11: Xác định m để bằng tích của 2 tam thức bậc hai Với a, b, c tìm được ở câu 1. Giải phương trình . HD: Dùng phương pháp đồng nhất thức để tìm Bi 12: Tìm số dư cuối cùng của phép chia đa thức cho . HD: Vì đa thức chia là đa thức bậc 2 nên dư của phép chia là đa thức có bậc bé hơn 2 là . Giả sử và là thương thì . Với : . Từ đó ta có kết quả là . Vậy dư của phép chia là Bi 13: Tìm dư khi chia , biết rằng với thì dư bằng -2449. HD: Giả sử , nên r(x) có bậc bé hơn a bằng 2 hay . . Từ (1), (2) và (3), ta có: . Vậy Bi 14: Tìm dư của phép chia . HD: Vì đa thức là đa thức bậc 2 nên dư của phép chia có dạng . . Mặt khác: . Từ (I) và (II) ta có:. Vậy dư của phép chia trên là Bi 15: 1/ Tìm a, b, c để đa thức chia hết cho đa thức . 2/ Tìm a, b để đa thức chia hết cho đa thức . HD: 1/ Vì . Thực hiện phép chia cho đa thức được thương là và dư là từ giả thiết ta suy ra là đa thức không. Từ đó suy ra 2/ Chia đa thức cho đa thức được thương là và dư là từ đó suy ra nên và . Thay giá trị của a vào đẳng thức này, ta tìm được . Vậy ta có Bi 16: Tìm m để đa thức chia hết cho . HD: Đặt . Ta có . Vậy là giá trị cần tìm. Bi 17: Với những giá trị nào của a, b thì đa thức chia hết cho . Hãy giải bi toán bằng 2 cách. HD: C1/ Thực hiện phép chia đa thức để tìm dư, ta được dư là đa thức . Nên . Thử lại với giá trị a, b vừa tìm được ta thấy thỏa điều kiện bi toán. C2/ Đa thức bị chia bậc 3, đa thức chia bậc 2, nên thương phải có dạng .Ta có: . Vậy Bi 18: (Chọn HSG thành phố Buôn ma thuột) Chứng minh rằng chia hết cho 100. HD: chia hết cho 100. -------š{›-------