Chuyên đề: Đa thức một biến – Nghiệm của đa thức một biến

Chuyên đề: đa thức một biến – nghiệm của đa thức một biến. 1.Tóm tắt lý thuyết: Nếu tại x = a, đa thức f(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của đa thức f(x). Một đa thức (khác đa thức 0) có thể có một nghiệm, hai nghiệm,…hoặc không có nghiệm nào. Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức 0) không vượt quá bậc của đa thức đó. 2.Bài tập: Bài 1: Cho đa thức f(x) = 2x – x2 + 2|x + 1|. Thu gọn đa thức f(x). Tính giá trị của f(x) khi x = –3/2. Bài 2: Hãy lập một đa thức có: Một nghiệm duy nhất là 7. Hai nghiệm là 1 và –2. Ba nghiệm là –1; 2 và –3. Bài 3: a) Cho đa thức f(x) = x3 + 2x2 + ax + 1. Tìm a biết rằng f(x) có nghiệm là –2. b) Biết đa thức f(x) = x2 + bx + c có hai nghiệm là 1 và 2. Hãy tìm b và c. Bài 4: Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c. Tìm a, b, c biết rằng f(0) = 2 và f(x) có hai nghiệm là 1 và –1. Bài 5: Cho đa thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những hằng số. Biết a + b + c = 0. Chứng minh f(x) có một nghiệm là x = 1, áp dụng để tìm các nghiệm của đa thức f(x) = 8x2 – 6x – 2. Biết a – b + c = 0. Chứng minh f(x) có một nghiệm là x = –1, áp dụng để tìm các nghiệm của đa thức f(x) = 7x2 + 11x + 4. Bài 6: a) Cho đa thức f(x) = ax + b (a ≠ 0). Chứng minh rằng nếu có hai số x1, x2 là hai nghiệm của đa thức f(x) thì x1 = x2. b) Chứng minh rằng nếu đa thức f(x) = ax + b có hai nghiệm x1, x2 khác nhau thì f(x) là đa thức 0. Bài 7: Cho đa thức f(x) = (3x – 1)2 – (x2 – 4) – (8x2 + 2x – 3) và g(x) = ax2 + bx – 4. Thu gọn đa thức f(x). Tìm a và b của đa thức g(x) biết rằng g(x) = 0 tại x = 1 và x = 4. Chứng minh: g(x) = (1 – x)(x – 4). Viết đa thức h(x) = f(x) + g(x) thành một tích. Tìm nghiệm của h(x). (Tìm đủ các nghiệm) Bài 8: Chứng minh rằng đa thức sau không có nghiệm trên tập hợp R: a) f(x) = – 2x2 – 3. b) g(y) = –y2 – 4y – 4. c) h(x) = |x + 3| + |5 – x| + 7. Bài 9: Cho hai đa thức f(x) = x2 + 2mx + m2 và g(x) = x2 + (2m + 1)x +m2. Hãy tìm m biết rằng f(1) = g(–1). Bài 10: Tính tổng các hệ số của các hạng tử của đa thức nhận được sau khi đã khai triển và viết đa thức dưới dạng thu gọn: f(x) = (x4 + 4x2 – 5x + 1)2004.(2x4 – 4x2 + 4x – 1)2005. g(x) = (x3 + 7x2 – 6x +5)2005.(3x3 – 9x2 + 9x – 3)2006. Bài 11*: Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Với f(0) và f(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng f(x) không có nghiệm là số nguyên. Hướng dẫn làm bài tập: Bài 11: Giả sử f(x) có nghiệm nguyên là n. Ta có f(n) = an3 + bn2 + cn + d = 0. f(0) = d là số lẻ. f(1) = a + b + c + d là số lẻ. Nếu n là số chẵn: Suy ra an3 + bn2 + cn là số chẵn mà d lẻ ị f(n) là số lẻ. Điều này vô lý vì f(n) = 0. Nếu n là số lẻ: Suy ra n3 – 1; n2 – 1; n – 1 là số chẵn. Xét f(n) – f(1) = a(n3 – 1) + b(n2 – 1) + c(n – 1) là số chẵn. Nhưng f(n) – f(1) = 0 – f(1) = – f(1) là số lẻ. Điều này vô lý. Vậy f(x) không có nghiệm nguyên.