Chuyên đề Đại số 8: Tính chia hết đối với số nguyên

Chuyên đề: tÝnh chia hÕt ®èi víi sè nguyªn Môn: ĐẠI 8 Người thực hiện: Lê Thị Kim Oanh Thực hiện ngày 6 tháng 11 năm 2008 I. Mục tiêu Sau khi học xong chuyên đề học sinh có khả năng: 1.Biết vận dụng tính chất chia hÕt cña sè nguyªn dể chứng minh quan hÖ chia hÕt, t×m sè d­ vµ t×m ®iÒu kiÖn chia hÕt. 2. Hiểu các bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng minh 3. Có kĩ năng vận dụng các kiến thức được trang bị để giải toán. II. Các tài liệu hỗ trợ: - Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8 - Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8 - Bồi dưỡng toán 8 - Nâng cao và phát triển toán 8 - … III. Nội dung 1. Kiến thức cần nhớ 1. Chøng minh quan hÖ chia hÕt Gäi A(n) lµ mét biÓu thøc phô thuéc vµo n (nN hoÆc n Z) a/ §Ó chøng minh A(n) chia hÕt cho m ta ph©n tÝch A(n) thµnh tÝch trong ®ã cã mét thõa sè lµ m + NÕu m lµ hîp sè ta ph©n tÝch m thµnh tÝch c¸c thõa sè ®«I mét nguyªn tè cïng nhau råi chøng minh A(n) chia hÕt cho tÊt c¶ c¸c sè ®ã + Trong k sè liªn tiÕp bao giê còng tån t¹i mét sè lµ béi cña k b/. Khi chøng minh A(n) chia hÕt cho n ta cã thÓ xÐt mäi tr­êng hîp vÒ sè d­ khi chia m cho n * VÝ dô1: C/minh r»ng A=n3(n2- 7)2 – 36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn n Gi¶i: Ta cã 5040 = 24. 32.5.7 A= n3(n2- 7)2 – 36n = n.[ n2(n2-7)2 – 36 ] = n. [n.(n2-7 ) -6].[n.(n2-7 ) +6] = n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6) Ta l¹i cã n3-7n – 6 = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1) =(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3) T­¬ng tù : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d Do ®ã A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3) Ta thÊy : A lµ tÝch cña 7 sè nguyªn liªn tiÕp mµ trong 7 sè nguyªn liªn tiÕp: Tån t¹i mét béi sè cña 5 (nªn A 5 ) Tån t¹i mét béi cña 7 (nªn A 7 ) Tån t¹i hai béi cña 3 (nªn A 9 ) Tån t¹i 3 béi cña 2 trong ®ã cã béi cña 4 (nªn A 16) VËy A chia hÕt cho 5, 7,9,16 ®«i mét nguyªn tè cïng nhau A 5.7.9.16= 5040 VÝ dô 2: Ch­ng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a th× : a/ a3 –a chia hÕt cho 3 b/ a5-a chia hÕt cho 5 Gi¶i: a/ a3-a = (a-1)a (a+1) lµ tÝch cña c¸c sè nguyªn liªn tiÕp nªn tÝch chia hÕt cho 3 b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1) C¸ch 1: Ta xÕt mäi tr­êng hîp vÒ sè d­ khi chia a cho 5 NÕu a= 5 k (kZ) th× A 5 (1) NÕu a= 5k 1 th× a2-1 = (5k21) 2 -1 = 25k2 10k5 A 5 (2) NÕu a= 5k 2 th× a2+1 = (5k2)2 + 1 = 25 k220k +5 A 5 (3) Tõ (1),(2),(3) A 5, n Z C¸ch 2: Ph©n tÝch A thµnh mét tæng cña hai sè h¹ng chia hÕt cho 5 : + Mét sè h¹ng lµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp + Mét sè h¹ng chøa thõa sè 5 Ta cã : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1) = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1) Mµ = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) 5 (tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp ) 5a (a2-1) 5 Do ®ã a5-a 5 * C¸ch 3: Dùa vµo c¸ch 2: Chøng minh hiÖu a5-a vµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 5. Ta cã: a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1) = a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a 5 a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5 Mµ (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5 a5-a 5(TÝnh chÊt chia hÕt cña mét hiÖu) c/ Khi chøng minh tÝnh chia hÕt cña c¸c luü thõa ta cßn sö dông c¸c h»ng ®¼ng thøc: an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ …+abn-2+ bn-1) (H§T 8) an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - …- abn-2+ bn-1) (H§T 9) Sö dông tam gi¸c Paxcan: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ….. Mçi dßng ®Òu b¾t ®Çu b»ng 1 vµ kÕt thóc b»ng 1 Mçi sè trªn mét dßng (kÓ tõ dßng thø 2) ®Òu b»ng sè liÒn trªn céng víi sè bªn tr¸i cña sè liÒn trªn. Do ®ã: Víi a, b Z, n N: an – bn chia hÕt cho a – b( ab) a2n+1 + b2n+1 chia hÕt cho a + b( a-b) (a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Béi sè cña a) (a+1)n = Bsa +1 (a-1)2n = Bsa +1 (a-1)2n+1 = Bsa -1 * VD3: CMR víi mäi sè tù nhiªn n, biÓu thøc 16n – 1 chia hÕt cho 17 khi vµ chØ khi n lµ sè ch½n. Gi¶i: + C¸ch 1: - NÕu n ch½n: n = 2k, kN th×: A = 162k – 1 = (162)k – 1 chia hÕt cho 162 – 1( theo nhÞ thøc Niu T¬n) Mµ 162 – 1 = 255 17. VËy A17 - NÕu n lÎ th× : A = 16n – 1 = 16n + 1 – 2 mµ n lÎ th× 16n + 116+1=17 (H§T 9) A kh«ng chia hÕt cho 17 +C¸ch 2: A = 16n – 1 = ( 17 – 1)n – 1 = BS17 +(-1)n – 1 (theo c«ng thøc Niu T¬n) NÕu n ch½n th× A = BS17 + 1 – 1 = BS17 chia hÕt cho 17 NÕu n lÎ th× A = BS17 – 1 – 1 = BS17 – 2 Kh«ng chia hÕt cho 17 VËy biÓu thøc 16n – 1 chia hÕt cho 17 khi vµ chØ khi n lµ sè ch½n, n N d/ Ngoµi ra cßn dïng ph­¬ng ph¸p ph¶n chøng, nguyªn lý Dirichlª ®Ó chøng minh quan hÖ chia hÕt. VD 4: CMR tån t¹i mét béi cña 2003 cã d¹ng: 2004 2004….2004 Gi¶i: XÐt 2004 sè: a1 = 2004 a2 = 2004 2004 a3 = 2004 2004 2004 ………………………. a2004 = 2004 2004…2004 2004 nhãm 2004 Theo nguyªn lý Dirichle, tån t¹i hai sè cã cïng sè d­ khi chia cho 2003. Gäi hai sè ®ã lµ am vµ an ( 1 n <m 2004) th× am - an 2003 Ta cã: am - an = 2004 2004……2004 000…00 m-n nhãm 2004 4n hay am - an = 2004 2004……2004 . 104n m-n nhãm 2004 mµ am - an 2003 vµ (104n , 2003) =1 nªn 2004 2004……2004 2003 m-n nhãm 2004 2. T×m sè d­ * VD1:T×m sè d­ khi chia 2100 a/ cho 9 b/ cho 25 Gi¶i: a/ Luü thõa cña 2 s¸t víi béi cña 9 lµ 23 = 8 = 9 – 1 Ta cã : 2100 = 2. 299= 2. (23)33 = 2(9 – 1 )33 = 2(BS9 -1) ( theo nhÞ thøc Niu T¬n) = BS9 – 2 = BS9 + 7 VËy 2100 chia cho 9 d­ 7 b/ Luü thõa cña 2 gÇn víi béi cña 25 lµ 2 10 = 1024 =1025 – 1 Ta cã: 2100 =( 210)10 = ( 1025 – 1 )10 = BS 1025 + 1 = BS 25 +1 (theo nhÞ thøc Niu T¬n) VËy 2100 chia cho 25 d­ 1 * VD2: T×m 4 ch÷ sè tËn cïng cña 51994 khi viÕt trong hÖ thËp ph©n Gi¶i: C¸ch 1: Ta cã: 1994 = 4k + 2 vµ 54 = 625 Ta thÊy sè tËn cïng b»ng 0625 khi n©ng lªn luü thõa nguyªn d­¬ng bÊt k× vÉn tËn cïng b»ng 0625 Do ®ã: 51994 = 54k+2=(54)k. 52 = 25. (0625)k = 25. (…0625)= …5625 C¸ch 2: T×m sè d­ khi chia 51994 ch 10000 = 24.54 Ta thÊy 54k – 1 = (54)k – 1k chia hÕt cho 54 – 1 = (52 + 1) (52 - 1) 16 Ta cã 51994 = 56(51988 – 1) + 56 mµ 56 54 vµ 51988 – 1 = (54)497 – 1 chia hÕt cho 16 ( 51994)3. 56(51988 – 1)chia hÕt cho 10000 cßn 56= 15625 51994 = BS10000 + 15625 51994 chia cho 10000 d­ 15625 VËy 4 ch÷ sè tËn cïng cña 51994 lµ 5625 3. T×m ®iÒu kiÖn chia hÕt * VD1: T×m sè nguyªn n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc A chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc B: A = n3 + 2n2- 3n + 2; B = n2 – n Gi¶i: n3 + 2n2- 3n + 2 n2 – n n3 – n2 n + 3 3n2 - 3n + 2 3n2 – 3n 2 Ta cã: n3 + 2n2- 3n + 2 = (n2 – n)(n + 3) + Do ®ã Gi¸ trÞ cña A chia hÕt cho gi¸ trÞ cña B n2 – n ¦(2) 2 chia hÕt cho n(n – 1) 2 chia hÕt cho n Ta cã b¶ng: n 1 -1 2 -2 n – 1 0 -2 1 -3 n(n – 1) 0 2 2 6 Lo¹i T/m T/m Lo¹i VËy víi n = -1, n = 2 th× gi¸ trÞ cña biÓu thøc A chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc B VD 2: T×m sè nguyªn n dÓ n5 + 1 chia hÕt cho n3 + 1 Gi¶i: n5 + 1 n3 + 1n5 + n2 – n2 + 1 n3 + 1 n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) n3 + 1 (n – 1)(n + 1) (n+1)(n2 – n + 1) n – 1 n2 – n + 1 n(n – 1) n2 – n + 1 Hay n2 – n n2 – n + 1 (n2 – n + 1) – 1 n2 – n + 1 1n2 – n + 1 XÐt hai tr­êng hîp: + n2 – n + 1 = 1 n2 – n = 0 n(n – 1) = 0 n = 0, n = 1 thö l¹i thÊy t/m ®Ò bµi + n2 – n + 1 = - 1 n2 – n + 2 = 0 , kh«ng cã gi¸ trÞ cña n tho¶ m·n VD 3: T×m sè tù nhiªn n sao cho 2n - 1 chia hÕt cho 7 Gi¶i: Ta cã luü thõa cña 2 gÇn víi béi cña 7 lµ 23 = 8 = 7 + 1 NÕu n = 3k (k N) th× 2n - 1= 23k – 1 = (23)k – 1 = 8 k - 1k8 – 1 = 7 NÕu n = 3k + 1(k N) th× 2n - 1 = 23k+1 – 1 = 8k . 2 – 1= 2(8k – 1) + 1 = 2. BS7 + 1 2n - 1 kh«ng chia hÕt cho 7 NÕu n = 3k +2(k N) th× 2n - 1 = 23k+2 – 1= 4.23k – 1 = 4( 8k – 1) + 3 = 4.BS7 + 3 2n - 1 kh«ng chia hÕt cho 7 VËy 2n - 17 n = 3k (k N) 2. Bµi tËp Bµi 1: Chøng minh r»ng: a/ n3 + 6n2 + 8n chia hªt ch 48 víi mäi sè n ch½n b/ n4 – 10n2 + 9 chia hÕt cho 384 víi mäi sè n lÎ Gi¶i a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)] = n(n+2)(n + 4) Víi n ch½n, n = 2k ta cã: n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k. (k + 1)k + 2) 8 b/ n4 – 10n2 + 9 = n4 – n2 – 9n2 + 9 = n2(n2 – 1)- 9(n2 – 1) = (n2 – 1)(n2 - 9) = (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3) Víi n lÎ, n = 2k +1, ta cã: n4 – 10n2 + 9 = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + 1 – 3)( 2k + 1 +3) = 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2) 16 Bµi 2: Chøng minh r»ng a/ n6 + n4 -2n2 chia hÕt cho 72 víi mäi sè nguyªn n b/ 32n – 9 chia hÕt cho 72 víi mäi sè nguyªn d­¬ng n Gi¶i: Ta cã: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2 +2)] = n2(n2 + 2)(n2 – 1). Ta l¹i cã: 72 = 8.9 víi (8,9) = 1 XÐt c¸c tr­êng hîp: + Víi n = 2kA = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k -1)(2k2 +1) 8 + Víi n = 2k +1 A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2 8 T­¬ng tù xÐt c¸c tr­êng hîp n = 3a, n= 3a 1 ®Ó chøng minh A9 VËy A8.9 hay A72 Bµi 3: Cho a lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3. Chøng minh r»ng a2 – 1 chia hÕt cho 24 Gi¶i: V× a2 lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 nªn a lÎa2 lµ sè chÝnh ph­¬ng lÎ a2 chia cho 8 d­ 1 a2 – 1 chia hÕt cho 8 (1) MÆt kh¸c a lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 a kh«ng chia hÕt cho 3 a2 lµ sè chÝnh ph­¬ng kh«ng chia hÕt cho 3a2 chia cho 3 d­ 1 a2 – 1 chia hÕt cho 3 (2) Mµ (3,8) = 1 (3) Tõ (1), (2), (3) a2 – 1 chia hÕt cho 24 Bµi 4: Chøng minh r»ng: NÕu sè tù nhiªn a kh«ng chia hÕt cho 7 th× a6 -1 chia hÕt cho 7 Gi¶i: Bµi to¸n lµ tr­êng hîp ®Æc biÖt cña ®Þnh lý nhá PhÐc ma: - D¹ng 1: NÕu p lµ sè nguyªn tè vµ a lµ mét sè nguyªn th× ap – a chia hÕt cho p - D¹ng 2: NÕu a lµ mét sè nguyªn kh«ng chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× ap-1-1 chia hÕt cho p ThËt vËy, ta cã a6 -1 = (a3 + 1) (a3 - 1) NÕu a = 7k 1 (k N) th× a3 = ( 7k 1)3 = BS7 1 a3 - 17 NÕu a = 7k 2 (k N) th× a3 = ( 7k 2)3 = BS7 23 = BS7 8 a3 - 17 NÕu a = 7k 3 (k N) th× a3 = ( 7k 3)3 = BS7 33 = BS7 27 a3 + 17 Ta lu«n cã a3 + 1 hoÆc a3 – 1 chia hÕt cho 7. VËy a6 – 1 chia hÕt cho 7 Bµi 5: Chøng minh r»ng: NÕu n lµ lËp ph­¬ng cña mét sè tù nhiªn th× (n-1)n(n + 1) chia hÕt cho 504 Gi¶i: Ta cã 504 = 32 . 7.8 vµ 7,8,9 nguyªn tè cïng nhau tõng ®«i mét V× n lµ lËp ph­¬ng cña mét sè tù nhiªn nªn ®Æt n = a3 CÇn chøng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hÕt cho 504 Ta cã: + NÕu a ch½n a3 chia hÕt cho 8 NÕu a lÎ a3-1vµ a3 + 1 lµ hai sè ch½n liªn tiÕp(a3-1) (a3 + 1) chi hÕt cho 8 VËy A8 , nN (1) + NÕu a7 a37 A7 NÕu a kh«ng chia hÕt cho 7 th× a6 – 17(a3-1) (a3 + 1) 7(§Þnh lÝ PhÐc ma) VËy A7 , nN (2) + NÕu a3 a39 A9 NÕu a kh«ng chia hÊe cho 3 a = 3k 1 a3 = ( 3k 3)3= BS91 a3 – 1 = BS9+1 – 1 9 a3 + 1 = BS9- 1 + 1 9 VËy A9 , nN (3) Tõ (1), (2), (3) A9 , nN Bµi 6: T×m sè tù nhiªn n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ sè nguyªn tè: a/ 12n2 – 5n – 25 b/ 8n2 + 10n +3 c/ Gi¶i: a/ Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: 12n2 – 5n – 25 = 12n2 +15n – 20n – 25 = 3n(4n + 5) – 5(4n +5) = (4n +5)(3n –5) Do 12n2 – 5n – 25 lµ sè nguyªn tè vµ 4n +5 > 0 nªn 3n – 5 > 0. Ta l¹i cã: 3n – 5 < 4n +5(v× n 0) nªn ®Ó 12n2 – 5n – 25 lµ sè ng­yªn tè th× thõa sè nhá ph¶i b»ng 1 hay 3n – 5 = 1 n = 2 Khi ®ã, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 lµ sè nguyªn tè. VËy víi n = 2 th× gi¸ trÞ cña biÓu thøc 12n2 – 5n – 25 lµ sè nguyªn tè 13 b/ 8n2 + 10n +3 = (2n – 1)(4n + 3) BiÕn ®æi t­¬ng tù ta ®­îc n = 0. Khi ®ã, 8n2 + 10n +3 lµ sè nguyªn tè 3 c/ A = . Do A lµ sè tù nhiªn nªn n(n + 3) 4. Hai sè n vµ n + 3 kh«ng thÓ cïng ch½n. VËy hoÆc n , hoÆc n + 3 chia hÕt cho 4 - NÕu n = 0 th× A = 0, kh«ng lµ sè nguyªn tè - NÕu n = 4 th× A = 7, lµ sè nguyªn tè -NÕu n = 4k víi kZ, k > 1 th× A = k(4k + 3) lµ tÝch cña hai thõa sè lín h¬n 1 nªn A lµ hîp sè - NÕu n + 3 = 4 th× A = 1, kh«ng lµ sè nguyªn tè - NÕu n + 3 = 4k víi kZ, k > 1 th× A = k(4k - 3) lµ tÝch cña hai thõa sè lín h¬n 1 nªn A lµ hîp sè. VËy víi n = 4 th× lµ sè nguyªn tè 7 Bµi 7: §è vui: N¨m sinh cña hai b¹n Mét ngµy cña thËp kû cuèi cïng cña thÕ kû XX, mét nh­ê kh¸ch ®Õn th¨m tr­êng gÆp hai häc sinh. Ng­êi kh¸ch hái: Cã lÏ hai em b»ng tuæi nhau? B¹n Mai tr¶ lêi: Kh«ng, em h¬n b¹n em mét tuæi. Nh­ng tæng c¸c ch÷ sè cña n¨m sinh mçi chóng em ®Òu lµ sè ch½n. VËy th× c¸c em sinh n¨m 1979 vµ 1980, ®óng kh«ng? Ng­êi kh¸ch ®· suy luËn thÕ nµo? Gi¶i: Ch÷ sè tËn cïng cña n¨m sinh hai b¹n ph¶I lµ 9 vµ 0 v× trong tr­êng hîp ngùoc l¹i th× tæng c¸c ch÷ sè cña n¨m sinh hai b¹n chØ h¬n kÐm nhau lµ 1, kh«ng thÓ cïng lµ sè ch½n. Gäi n¨m sinh cña Mai lµ th× 1 +9+a+9 = 19 + a. Muèn tæng nµy lµ sè ch½n th× a{1; 3; 5; 7; 9}. HiÓn nhiªn Mai kh«ng thÓ sinh n¨m 1959 hoÆc 1999. VËy Mai sinh n¨m 1979, b¹n cña Mai sinh n¨m 1980.