Chuyên đề Đại Số bồi dưỡng học sinh giỏi Lớp 7

Chuyên đề 1 Dãy Số viết theo qui luật - Dãy các phân số viết theo qui luật A- Kiến thức cần nắm vững: I. Dóy số viết theo qui luật: 1) Dóy cộng 1.1) Xột cỏc dóy số sau: a) Dóy số tự nhiờn: 0; 1; 2; 3; 4;... (1) b) Dóy số lẻ: 1; 3; 5; 7;... (2) c) Dóy cỏc số chẵn: 0; 2; 4; 6;.... (3) d) Dóy cỏc số tự nhiờn lớn hơn 1 chia cho 3 dư 1: 4; 7; 10; 13;... (4) Trong 4 dóy số trờn, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ 2, đều lớn hơn số hạng đứng liền trước nú cựng một số đơn vị: +) Số đơn vị là 1 ở dóy (1) +) Số đơn vị là 2 ở dóy (1) và (2) +) Số đơn vị là 3 ở dóy (4) Khi đú ta gọi dóy cỏc trờn là "dóy cộng" 1.2) Cụng thức tớnh số hạng thứ n của một dóy cộng (khi biết n và d) - Xột dóy cộng trong đú . Ta cú: ; ;... Tổng quỏt: (I) Trong đú : n gọi là số số hạng của dóy cộng d hiệu giữa hai số hạng liờn tiếp Từ (I) ta cú: (II) Cụng thức (II) giỳp ta tớnh được số số hạng của một dóy cộng khi biết : Số hạng đầu , số hạng cuối và hiệu d giữa hai số hạng liờn tiếp. 1.3) Để tớnh tổng S cỏc số hạng của dóy cộng: . Ta viết: Nờn Do đú: (III) Chỳ ý: Trường hợp đặc biệt tổng của n số tự nhiờn liờn tiếp bắt đàu từ 1 là B- BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tỡm chữ số thứ 1000 khi viột liờn tiếp liền nhau cỏc số hạng của dóy số lẻ 1; 3; 5; 7;... Bài 2: a) Tớnh tổng cỏc số lẻ cú hai chữ số b) Tớnh tổng cỏc số chẵn cú hai chữ số c) Tớnh: với d) Tớnh: với Bài 3: Cú số hạng nào của dóy sau tận cựng bằng 2 hay khụng? Hướng dẫn: Số hạng thứ n của dãy bằng: Nếu số hạng thứ n của dãy có chữ số tận cùng bằng 2 thì n(n + 1) tận cùng bằng 4. Điều này vô lí vì n(n + 1) chỉ tận cùng bằng 0, hoặc 2, hoặc 6. Bài 4: a) Viết liờn tiếp cỏc số hạng của dóy số tự nhiờn từ 1 đến 100 tạo thành một số A. Tớnh tổng cỏc chữ số của A b) Cũng hỏi như trờn nếu viết từ 1 đến 1000000 Hướng dẫn: a) ta bổ sung thờm chữ số 0 vào vị trớ đầu tiờn của dóy số (khụng làm thay đổi kết quả). Tạm chưa xột số 100. Từ 0 đến 99 cú 100 số, ghộp thành 50 cặp: 0 và 99; 1 và 98; 2 và 97;… mỗi cặp cú tổng cỏc chữ số bằng 18. Tổng cỏc chữ số của 50 cặp bằng: 18.50 = 900. Thờm số 100 cú tổng cỏc chữ số bằng 1. ĐS: 901 b) Tương tự: ĐS: 27000001 Bài 5: Cho Tớnh ? Hướng dẫn: Số số hạng của S1,..., S99 theo thứ tự bằng 2; 3; 4; 5; …100 ĐS: S100 = 515100 Bài 6: Khi phõn tớch ra thừa số nguyờn tố, số 100! chứa thừa số nguyờn tố 7 với số mũ băng bao nhiờu? Bài 7: Tớnh số hạng thứ 50 của cỏc dóy sau: a) 1.6; 2.7; 3.8; ... b) 1.4; 4.7; 7.10;... Bài 8: Cho ; Tớnh Bài 9: Tớnh cỏc tổng sau: Bài 10: Tổng quỏt của bài 8 Tớnh : a) , với () b) , với () c) , với () Bỡa 11: Cho . Chứng minh rằng: . Bài 12: Tớnh giỏ trị của biểu thức: (NCPTT6T1) SUY NGHĨ TRấN MỖI BÀI TOÁN Giải hàng trăm bài toỏn mà chỉ cốt tỡm ra đỏp số và dừng lại ở đú thỡ kiến thức thu lượm được chẳng là bao. Cũn giải ớt bài tập mà lại luụn suy nghĩ trờn mỗi bài đú, tỡm thờm cỏch giải, khai thỏc thờm những ý của bài toỏn, đú là con đường tốt để đi lờn trong học toỏn. Dưới đõy là một thớ dụ. Bài toỏn 1 : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 và B = A.3. Tớnh giỏ trị của B. Lời giải 1 : Theo đề bài ta cú : B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990. Trước hết, ta nghĩ ngay rằng, nếu bài toỏn yờu cầu chỉ tớnh tổng A, ta cú : A = B/3 = 330 Bõy giờ, ta tạm thời quờn đi đỏp số 990 mà chỉ chỳ ý tới tớch cuối cựng 9.10.11, trong đú 9.10 là số hạng cuối cựng của A và 11 là số tự nhiờn kề sau của 10, tạo thành tớch ba số tự nhiờn liờn tiếp. Ta dễ dàng nghĩ tới kết quả sau : Nếu A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + (n - 1).n thỡ giỏ trị của B = A.3 = (n - 1).n.(n + 1). Cỏc bạn cú thể tự kiểm nghiệm kết quả này bằng cỏch giải tương tự như trờn. Bõy giờ ta tỡm lời giải khỏc cho bài toỏn. Lời giải 2 : B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = (0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3 = (1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2).3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).2.3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6. Ta chưa biết cỏch tớnh tổng bỡnh phương cỏc số lẻ liờn tiếp bắt đầu từ 1, nhưng liờn hệ với lời giải 1, ta cú : (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 9.10.11, hay (12 + 32 + 52 + 72 + 92) = 9.10.11/6 Hoàn toàn hợp lớ khi ta nghĩ ngay đến bài toỏn tổng quỏt : Bài toỏn 2 : Tớnh tổng : P = 12 + 32 + 52 + 72 + … + (2n + 1)2 Kết quả : P = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6 Kết quả này cú thể chứng minh theo một cỏch khỏc, ta sẽ xem xột sau. Loạt bài toỏn sau là những kết quả liờn quan đến bài toỏn 1 và bài toỏn 2. Bài toỏn 3 : Tớnh tổng : Q = 112 + 132 + 152 + … + (2n + 1)2. Bài toỏn 4 : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 và C = A + 10.11. Tớnh giỏ trị của C. Theo cỏch tớnh A của bài toỏn 1, ta được kết quả là : C = 10.11.12/3 Theo lời giải 2 của bài toỏn 1, ta đi đến kết quả : C = 2.(22 + 42 + 62 + 82 + 102). Tỡnh cờ, ta lại cú kết quả của bài toỏn tổng quỏt : tớnh tổng bỡnh phương của cỏc số tự nhiờn chẵn liờn tiếp, bắt đầu từ 2. Bài toỏn 5 : Chứng minh rằng : 22 + 42 + 62 + …+ (2n)2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6 Từ đõy, ta tiếp tục đề xuất và giải quyết được cỏc bài toỏn khỏc. Bài toỏn 6 : Tớnh tổng : 202 + 222 + … + 482 + 502. Bài toỏn 7 : Cho n thuộc N*. Tớnh tổng : n2 + (n + 2)2 + (n + 4)2 + … + (n + 100)2. Hướng dẫn giải : Xột hai trường hợp n chẵn và n lẻ ; ỏp dụng kết quả bài toỏn 2, bài toỏn 5 và cỏch giải bài toỏn 3. Bài toỏn chỉ cú một kết quả duy nhất, khụng phụ thuộc vào tớnh chẵn lẻ của n. Bài toỏn 8 : Chứng minh rằng : 12 + 22 + 32 + … + n2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6 Lời giải 1 : Xột trường hợp n chẵn : 12 + 22 + 32 + … + n2 = (12 + 32 + 52 + … + (n – 1)2) + (22 + 42 + 62 + … + n2) = [(n – 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6 = n.(n + 1).(n -1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6 Tương tự với trường hợp n lẻ, ta cú đpcm. Lời giải 2 : Ta cú : 13 = 13 23 = (1 + 1)3 = 13 + 3.12.1 + 3.1.12 + 13 33 = (2 + 1 )3 = 23 + 3.22.1 + 3.2.12 + 13 ……… (n + 1)3 = n3 + 3.n2.1 + 3.n.12 + 13. Cộng từng vế của cỏc đẳng thức trờn : 13 + 23 + 33 + … + n3 + (n + 1)3 = = (13 + 23 + 33 + … + n3) + 3(12 + 22 + 32 + … + n2) + 3(1 + 2 + 3 + … + n) + (n + 1)=> (n + 1)3 = 3(12 + 22 + 32 + … + n2) + 3(1 + 2 + 3 + … + n) + (n + 1)=> 3(12 + 22 + 32 + … + n2) = (n + 1)3 – 3(1 + 2 + 3 + … + n) – (n + 1)= (n + 1)2.(n + 1) – 3.n.(n + 1)/2 – (n + 1)= (n + 1)[2(n + 1)2 – 3n + 2]/2 = (n + 1).n.(2n + 1)/2 => 12 + 22 + 32 + … + n2 = (n + 1).n.(2n + 1)/6 Bài toỏn 9 : Tớnh giỏ trị biểu thức : A = - 12 + 22 – 32 + 42 - … - 192 + 202. Lời giải : Đương nhiờn, ta cú thể tỏch A = (22 + 42 + … + 202) – (12 + 32 + …+ 192) ; tớnh tổng cỏc số trong mỗi ngoặc đơn rồi tỡm kết quả của bài toỏn. Song ta cũn cú cỏch giải khỏc như sau : A = (22 -12) + (42 – 32) + … + (202 -192) = (2 + 1)(2 – 1) + (4 + 3)(4 – 3) + … + (20 + 19)(20 – 19) = 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + 31 + 35 + 39 = (3 + 39).10/2 = 210. Trở lại bài toỏn 1. Phải chăng bài toỏn cho B = A.3 vỡ 3 là số tự nhiờn liền sau của 2 trong nhúm đầu tiờn : 1.2. Nếu đỳng như thế thỡ ta cú thể giải được bài toỏn sau : Bài toỏn 10 : Tớnh A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10. Lời giải : A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4/4 = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) + … + 8.9.10.(11 – 7)] : 4 = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + … + 7.8.9.10 – 7.8.9.10 + 8.9.10.11) : 4 = 8.9.10.11/4 = 1980. Tiếp tục hướng suy nghĩ trờn, ta cú ngay kết quả tổng quỏt của bài toỏn 10 : Bài toỏn 11 : Tớnh A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n – 1).n.(n + 1). Đỏp số : A = (n -1).n.(n + 1)(n + 2)/4 <DD.BàI Cỏc bạn thấy đấy ! Chỉ với bài toỏn 1, nếu chịu khú tỡm tũi, suy nghĩ, ta cú thể tỡm được nhiều cỏch giải, đề xuất được những bài toỏn thỳ vị, thiết lập được mối liờn hệ giữa cỏc bài toỏn. Kết quả tất yếu của quỏ trỡnh tỡm tũi suy nghĩ trờn mỗi bài toỏn, đú là làm tăng năng lực giải toỏn của cỏc bạn. Chắc chắn cũn nhiều điều thỳ vị xung quanh bài toỏn 1. Cỏc bạn hóy cựng tiếp tục suy nghĩ nhộ. II- Dóy cỏc phõn số viết theo qui luật: * Cỏc cụng thức cần nhớ đến khi giải cỏc bài toỏn về dóy cỏc phõn số viết theo qui luật: 1) . 2) . 3) . 4) . 5). 6) . 7). (Trong đú: , ) TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG Chỳng ta cựng bắt đầu từ bài toỏn tớnh tổng rất quen thuộc sau : Bài toỏn A : Tớnh tổng : Lời giải : Vỡ 1 . 2 = 2 ; 2 . 3 = 6 ; ... ; 43 . 44 = 1892 ; 44 . 45 = 1980 ta cú bài toỏn khú hơn chỳt xớu. Bài 1 : Tớnh tổng : Và tất nhiờn ta cũng nghĩ đến bài toỏn ngược. Bài 2 : Tỡm x thuộc N biết : Hơn nữa ta cú : ta cú bài toỏn Bài 3 : Chứng minh rằng : Do vậy, cho ta bài toỏn “tưởng như khú” Bài 4 : Chứng tỏ rằng tổng : khụng phải là số nguyờn. Chỳng ta cũng nhận ra rằng nếu a1 ; a2 ; ... ; a44 là cỏc số tự nhiờn lớn hơn 1 và khỏc nhau thỡ Giỳp ta đến với bài toỏn Hay và Khú sau : Bài 5 : Tỡm cỏc số tự nhiờn khỏc nhau a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a43 ; a44 sao cho Ta cũn cú cỏc bài toỏn “gần gũi” với bài toỏn 5 như sau : Bài 6 : Cho 44 số tự nhiờn a1 ; a2 ; ... ; a44 thỏa món Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau. Bài 7 : Tỡm cỏc số tự nhiờn a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a44 ; a45 thỏa món a1 < a2 a3 < ... < a44 < a45 và Cỏc bạn cũn phỏt hiện được điều gỡ thỳ vị nữa rồi chăng ? Bài toỏn 2: Tớnh nhanh: a) . b) . c) . Bài toỏn 3: (Bài toỏn tổng quỏt của bài toỏn 2) Tớnh nhanh: . Bài toỏn 3: Tớnh tổng 100 số hạng đầu tiờn của cỏc dóy sau: a) b) Hướng dẫn: b) Ta thấy 6 = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,… Do đú số hạng thứ n của dóy cú dạng (5n – 4)(5n + 1). Bài toỏn 4: Tớnh tổng: a) . b) . c) . Bài toỏn 5: Tớnh giỏ trị của biểu thức: a) . b) . Hướng dẫn: a) Biến đổi số bị chia: Biểu thức này gấp 50 lần số chia. Vậy A = 50. b) Biến đổi số chia: Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy . Bài toỏn 6: Tỡm tớch của 98 số hạng đầu tiờn của dóy: Hướng dẫn: cỏc số hạng đầu tiờn của dóy được viết dưới dạng: Hay Do đú số hạng thứ 98 cú dạng . Ta cần tớnh: