Chuyên đề dạy tự chọn môn Toán 8 - Chuyên đề 1: Đơn thức, đa thức

CHUYấN ĐỀ DẠY TỰ CHỌN MễN TOÁN 8 CHUYEÂN ẹEÀ 1 : ẹễN THệÙC – ẹA THệÙC. A. KIEÁN THệÙC CAÀN NHễÙ : 1. Nhaõn hai luyừ thửứa cuứng cụ soỏ : xn . xm = xn+m. Quy ửụực : x1 = x ; x0 = 1 (x≠ 0). 2. Nhaõn ủụn thửực vụựi ủa thửực : A.(B + C) = (B + C).A = A.B + A.C 3. Nhaõn ủa thửực vụựi ủa thửực : (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D B. BAỉI TAÄP VAÄN DUẽNG : Baứi 1: Tớnh giaự trũ cuỷa bieồu thửực: A = taùi x = 16. B = taùi x = 14. C = taùi x = 9 D = taùi x = 7. Baứi 2: Tớnh giaự trũ cuỷa bieồu thửực: M = N = Baứi 3: Tớnh giaự trũ cuỷa bieồu thửực: A = vụựi x = 2; . M.N vụựi .Bieỏt raống:M = ; N = . Baứi 4: Tớnh giaự trũ cuỷa ủa thửực, bieỏt x = y + 5: a. b. Baứi 5: Tớnh giaự trũ cuỷa ủa thửực: bieỏt x+ y = -p, xy = q Baứi 6: Chửựng minh ủaỳng thửực: a. ; bieỏt raống 2x = a + b + c b. ; bieỏt raống a + b + c = 2p Baứi 7: Soỏ a goàm 31 chửừ soỏ 1, soỏ b goàm 38 chửừ soỏ 1. Chửựng minh raống ab – 2 chia heỏt cho 3. Cho 2 soỏ tửù nhieõn a vaứ b trong ủoự soỏ a goàm 52 soỏ 1, soỏ b goàm 104 soỏ 1. Hoỷi tớch ab coự chia heỏt cho 3 khoõng? Vỡ sao? Baứi 8: Cho a + b + c = 0. Chửựng minh raống M = N = P vụựi: ; ; Baứi 9: Cho bieồu thửực: M = . Tớnh M theo a, b, c, bieỏt raống . Baứi 10: Cho caực bieồu thửực: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y . Chửựng minh raống neỏu x, y laứ caực soỏ nguyeõn vaứ A chia heỏt cho 13 thỡ B chia heỏt cho 13. Ngửụùc laùi neỏu B chia heỏt cho 13 thỡ A cuừng chia heỏt cho 13. Baứi 11: Cho caực bieồu thửực: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y Ruựt goùn bieồu thửực 7A – 2B. Chửựng minh raống: Neỏu caực soỏ nguyeõn x, y thoỷa maừn 5x + 2y chia heỏt cho 17 thỡ 9x + 7y cuừng chia heỏt cho 17. Baứi 12: Chửựng minh raống: a. chia heỏt cho 405. b. chia heỏt cho 133. Baứi 13: Cho daừy soỏ 1, 3, 6 , 10, 15,…, , … Chửựng minh raống toồng hai soỏ haùng lieõn tieỏp cuỷa daừy bao giụứ cuừng laứ soỏ chớnh phửụng. CHUYấN ĐỀ II : GIẢI PHƯƠNG TRèNH A. MỤC TIấU: - Giỳp HS nắm chắc cỏch giải cỏc dạng phương trỡnh : + Phương trỡnh bậc nhất một ẩn + Phương trỡnh tớch + Phương trỡnh cú ẩn ở mẫu thức + Phương trỡnh cú chứa tham số ; cú chứa dấu giỏ trị tuyệt đối. + Giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh. - Rốn luyện cho HS khả năng giải pt thành thạo và biết phõn tớch ; tổng hợp giải cỏc pt một cỏch linh hoạt – nhanh – chớnh xỏc . Nắm vững phương phỏp giải từng dạng pt. - Giỏo dục HS tinh thần tự giỏc , ham học hỏi và yờu thớch mụn Toỏn. Biết vận dụng toỏn học vào cỏc mụn học khỏc và ỏp dụng vào đời sống KH kĩ thuật. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRèNH: I. PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT MỘT ẨN a) Cỏch giải : Xột pt : A(x) = B(x) . Để giải pt này thụng thường người ta sử dụng cỏc phộp biến đổi đồng nhất và cỏc phộp biến đổi tương đương để đưa pt đó cho về dạng C(x) = 0 + Nếu C(x) là một đa thức bậc nhất thỡ pt cú dạng: ax + b = 0 ( a ạ 0 ) đõy là một pt bậc nhất một ẩn. Ta dễ dàng thấy rằng pt cú một nghiệm duy nhất : x = -b/a + Nếu C(x) = 0 cú dạng 0x + b = 0 thỡ nghiệm phụ thuộc b Với b = 0 ị 0x = 0 : PT thỏa món với mọi x. Với b ạ 0 ị 0x = -b : Pt vụ nghiệm + Nếu C(x) là một biểu thức phức tạp ta sẽ giải theo thứ tự cỏc bước giải sau: B1: QĐMT và khử mẫu ( nếu cú ) B2: Bỏ dấu ngoặc B3: Chuyển vế ( Đưa cỏc số hạng cú chứa ẩn về vế trỏi ) B4: Thu gọn mỗi vế B5: Chia hệ số của ẩn cho 2 vế ( Tỡm giỏ trị của ẩn tức là tỡm nghiệm của Pt) b) Bài toỏn: Giải cỏc pt sau : * Lưu ý: Khụng phải bất cứ pt nào ta cũng giải theo trỡnh tự cỏc bước trờn mà ta cú thế biến đổi để giải đơn giản hơn. Vớ Dụ: Giải cỏc pt sau: 1) Giải: Thờm 2 vào 2 vế của pt ta được pt tương đương: Û Û Û x + 2006 = 0 Û x = - 2006 2) 3) c) Cỏc bài tập trong SGK và SBT Toỏn 8. II. PHƯƠNG TRèNH TÍCH a) Cỏch giải: A(x) = B(x) Û C(x) = O Û P(x).Q(x) = O b) Bài tập: Giải cỏc pt sau: 1) x2 + 5x + 6 = 0 2) x2 + 7x + 2 = 0 3) x2 – x – 12 = 0 4) x2 + 2x + 7 = 0 5) x3 – x2 – 21x + 45 = 0 Û (x-3)( x2 + 2x – 15 ) = 0 6) 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = 0 Û (2x-1)(x2 – 2x + 3 ) = 0 7) ( x+3)4 + ( x + 5 )4 = 2 . Đặt x + 4 = y . Ta cú pt: ( y – 1 )4 + ( y + 1 )4 = 2 Û ( y2 – 2y + 1 )2 + ( y2 + 2y + 1 )2 = 2 Û 2y4 + 12y2 = 0 Û y2 ( y2 + 6 ) = 0 Û y = 0 8) Giải pt bậc 4 dạng: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 ( a ạ 0 ) Ta đưa về dạng: a( x2 + ) + b ( x + ) + c = 0 . Đặt x + = y Ta được pt: ay2 + by + c – 2a = 0 . Giải pt tỡm y từ đú suy ra x. 9) Giải pt bậc 4 dạng: ax4 + bx3 + cx2 - bx + a = 0 ( a ạ 0 ) Ta đưa về dạng: a( x2 - ) + b ( x - ) + c = 0 . Đặt x - = y Ta được pt: ay2 + by + c + 2a = 0 . Giải pt tỡm y từ đú suy ra x. Vớ dụ: Giải pt sau : x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1 = 0 Vỡ x = 0 khụng phải là nghiệm của pt . Chia 2 vế của pt cho x2 ạ 0 , ta được: ( x2 + ) - 3 ( x + ) + 4 = 0 . Đặt y = x + ị x2 + = y2 – 2 PT trờn trở thành: ( y2 – 2 ) – 3y + 4 = 0 Û y2 – 3y + 2 = 0 Û ( y – 1)( y – 2) = 0 Û y = 1 ; y = 2 * Với y = 1 ị x + = 1 ị x2 – x + 1 = 0 : Vụ nghiệm * Với y = 2 ị x + = 2 ị x2 –2x + 1 = 0 ị x = 1 III. PHƯƠNG TRèNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC a) Cỏch giải: + Chỳ ý cần cú tập xỏc định của pt và thực hiện theo cỏc bước giải pt bậc nhất . Sau khi tỡm giỏ trị của ẩn ta cần kiểm nghiệm cú thuộc TXĐ khụng rồi trả lời kết quả. b) Bài tập: giải cỏc pt sau: 1) 2) 3) 4) 5) IV. PHƯƠNG TRèNH Cể CHỨA THAM SỐ Ta xột cỏch giải pt cú chứa tham số qua một số vớ dụ cụ thể sau: Vớ dụ: Giải và biện luận pt sau: 1) 3( m + 1)x + 4 = 2x + 5 ( m + 1 ) Û ( 3m + 1 )x = 5m + 1 + Nếu 3m +1 ạ 0 ị m ạ - 1/3 thỡ pt cú một nghiệm x = + Nếu 3m +1 = 0 ị m = - 1/3 . PT trở thành 0x = -5/3 + 1 = - 2/3 : Vụ nghiệm 2) ( m + 2 ) x + 4( 2m + 1 ) = m2 + 4 ( x – 1) 3) 4) V. PHƯƠNG TRèNH Cể CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI a) Cỏch giải: Dạng : 1) ẵf(x) ẵ = k Û f(x) = ± k với k > 0 . Nếu k < 0 thỡ pt vụ nghiệm 2) ẵf(x) ẵ = g(x) với g(x) < 0 : Pt vụ nghiệm Với g(x) >0 thỡ pt Û f(x) = ± g(x) 3) ẵf(x) ẵ = ẵ g(x)ẵ Û f(x) = ± g(x) b) Vớ dụ: Giải cỏc pt sau: 1) ẵ2x – 0,5 ẵ - 4 = 0 2) ẵ2x + 3 ẵ = ẵx - 1ẵ 3) ẵ 5 – x ẵ = 3x + 2 4) ẵ( x – 1 )2 ẵ = ẵ x – 2 ẵ VI. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PT a) Giải BT bằng cỏch lập pt ta cú thể làm theo cỏc bước sau: B1: Lập phương trỡnh: + Chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn số. Đặt điều kiện và đơn vị thớch hợp cho ẩn ( nếu cú). + Biểu diễn cỏc đại lượng chưa biết theo ẩn và cỏc đại lượng đó biết. + Lập pt biểu thị mối quan hệ giữa cỏc đại lượng. B2: Giải phương trỡnh B3: Kiểm nghiệm và trả lời kết quả. b) Cỏc dạng toỏn: * Loại toỏn Chuyển động: Để làm toỏn CĐ cần nắm vững cụng thức: S = v.t hoặc V= S / t ; t = S / v * Cần phải đọc kĩ đề để hiểu được là CĐ cựng chiều hay ngược chiều ; xuất phỏt cựng một lỳc hay khụng cựng lỳc . Cú thể vẽ sơ đồ hoặc lập bảng hoặc túm tắt dưới dạng đẳng thức để hỡnh dung và giải bài toỏn dễ dàng hơn. b) Vớ dụ: 1) Một người đi ụ tụ khởi hành từ A lỳc 6h 15 phỳt với vận tốc 50km/h . Đến B nghỉ lại 1h30 phỳt rồi trở về A với vận tốc 40km/h . Về đến A lỳc 14h30 phỳt . Hỏi quóng đường AB dài bao nhiờu ? Giải: Gọi quóng đường AB là x ( x > 0 ; km ) Thời gian lỳc đi là: x/50 giờ ; lỳc về là: x / 40 giờ. Vỡ tổng thời gian lỳc đi và về là: 14h30 – ( 6h15 + 1h30) = 6h45 = 6h Nờn ta cú pt: Û x = 150 ( Thỏa món) Vậy quóng đường AB dài 150km. * Dạng toỏn về năng suất ( Toỏn về cụng việc đồng thời ; hoặc cỏc vũi nước chảy). + Năng suất làm việc = (KL cụng việc làm được): (thời gian tương ứng) Vớ dụ: 1) Hai vũi cựng chảy vào bể thỡ sau 10h sẽ đầy bể . Nếu mở vũi thứ nhất trong 6h , khúa lại rồi mở vũi thứ hai trong 3h thỡ đầy được 2/5 bể. Hỏi nếu để mỗi vũi chảy riờng một mỡnh thỡ sau bao lõu mới đầy bể. Giải: Gọi thời gian vũi I chảy một mỡnh đầy bể là x ( x > 10 ; giờ ) Năng suất của vũi I là 1/x và của vũi II là: 1/10 – 1/x Theo đề bài ta cú pt: 6/x + 3( 1/10 - 1/x) = 2/5 Û x = 30 Vậy vũi I chảy một mỡnh đầy bể trong 30 h Vũi II chảy một mỡnh đầy bể trong 1;( 1/10 – 1/30 ) = 15h. C. BAỉI TAÄP VAÄN DUẽNG : I. PHệễNG TRèNH BAÄC NHAÁT MOÄT AÅN : Bài 1: CMR nếu thỡ trong 3 số x, y, z ớt nhất cũng cú một cặp số đối nhau. Bài 2: Tỡm x biết rằng: . Bài 3: Tỡm giỏ trị của k để pt: cú nghiệm y = 1. Bài 4: Tỡm giỏ trị của m để : a/ Pt: cú no gấp 6 lần no của pt: . b/ Pt: cú no gấp 18 lần no của pt: . Bài 5: Giải cỏc PT sau: a/ . b/ . c/ . Bài 6: Giải cỏc PT sau: a/ . b/ . c/ d/ . Bài 7: Giải cỏc PT sau: a/ . b/ . Bài 8: Giải cỏc PT sau: a/ . b/ . c/ . d/ . Bài 9: Giải cỏc PT sau: a/ . b/ . c/ . d/ . Bài 10: Giải cỏc PT sau : a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; g) ; h) ; i) ; Bài 11: Giải cỏc PT sau : a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; g) ; Bài 12: Giải cỏc PT sau : a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; g) ; Bài 13: Giải cỏc PT sau : a) ; b) ; c) ; d) ; Bài 14: Giải cỏc PT sau : a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; g) ; h) ; i) ; k) ; l) ; m) ; Bài 15: Giải cỏc PT sau : a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; g) ; h) ; i) ; k) ; l) ; Bài 16: CMR cỏc PT sau vụ nghiệm: a) ; b) ; c) ; Bài 17: Giải cỏc PT sau: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; g) ; II. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PT. Loại toỏn Chuyển động: 1) Một người đi xe đạp , một người đi xe mỏy , một người đi ụ tụ cựng đi từ A đến B . Họ khởi hành từ A theo thứ tự núi trờn lỳc 6h ; 7h ; 8h . Vận tốc trung bỡnh của họ theo thứ tự trờn là 10km/h ; 30km/h ; 40km/h . Hỏi lỳc ụ tụ ở chớnh giữa vị trớ xe đạp và xe mỏy thỡ ụ tụ đó cỏch A bao nhiờu km. Đỏp số: 50km. 2) Một ca nụ xuụi dũng từ bến A lỳc 5h 30 phỳt để đến bến B và nghỉ lại đõy 2h15phuts để dỡ hàng , sau đú lại quay về A. Đến A lỳc 13h45 phỳt . Tớnh k/c giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc ca nụ khi nước yờn lặng là 24,3km/h và vận tốc dũng nước chảy là 2,7km/h. Đỏp số: 72km. Dạng toỏn về năng suất ( Toỏn về cụng việc đồng thời ; hoặc cỏc vũi nước chảy). * Cỏc dạng toỏn khỏc: 1) Một phõn số cú tử kộm mẫu số 8 đơn vị , nếu tăng tử số 3 đơn vị và tăng mẫu số 5 đơn vị thỡ được phõn số mới bằng 3/4 . Tỡm phõn số ban đầu. 2) Một hỡnh chữ nhật cú chu vi 450m . Nếu giảm chiều dài đi 20% , tăng chiều rộng them 25% thỡ được hỡnh chữ nhật mới cú chu vi khụng đổi. Tớnh chiều dài chiều rộng của vườn. 3) Một tầu đỏnh cỏ dự định trung bỡnh mỗi ngày bắt được 3 tấn cỏ. Nhưng thực tế mỗi ngày bắt them được 0.8 tấn nờn chẳng những hoàn thành sớm 2 ngày mà cũn bắt them được 2 tấn cỏ. Hỏi mức cỏ dự định bắt theo kế hoạch là bao nhiờu? 4) Hai kho chứa 450 tấn hàng. Nếu chuyển 50 tấn từ kho I sang kho II thỡ số hàng ở kho I bằng 5/4 số hàng ở kho II. Tớnh số hàng trong mỗi kho. Hai vũi nước chảy vào một cỏi bể thỡ đầy sau 3h20’ . Người ta cho vũi J chảy trong 2h và vũi II chảy trong 2h thỡ được 4/5 bể . Tớnh thời gian mỗi vũi chảy một mỡnh đầy bể. 6) Hai mỏy cày cụng suất khỏc nhau phải cày một thủa ruộng . nếu mỗi mỏy làm việc riờng một mỡnh thỡ mỏy thứ I cần 20h , mỏy thứ II cần 15h mới cày xong thủa ruộng . Nụng trường giao cho mỏy thứ I cày trong một thời gian rồi nghỉ và mỏy II cày tiếp cho xong. Biết thời gian mỏy I làm ớt hơn mỏy II là 3h20’. Tớnh thời gian mỗi mỏy đó cày. CHUYấN ĐỀ III: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VẤN ĐỀ I: ĐỊNH LÍ TA LẫT TRONG TAM GIÁC Định lớ Talet cho ta cỏc cặp đoạn thẳng tỉ lệ khi cú một đường thẳng song song với một cạnh của tam giỏc . Hệ quả của định lớ Ta lột cho ta cỏc cặp cạnh tương ứng tỉ lệ Định lớ đảo Ta lột dựng để nhận biết 2 đường thẳng song song * BÀI TẬP: 1) Tam giỏc ABC cú AB= 5cm ; AC= 7cm ; đường trung tuyến AM. Điểm E thuộc cạnh AB sao cho AE= 3cm . gọi I là trung điểm AM ; F là giao điểm của EI và AC . Tớnh độ dài AF. 2) Cho tam giỏc ABC . Một đường thẳng song song với BC cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E . Qua E kẻ đường thẳng song song với CD cắt AB ở F. C/Minh : AD2 = AB . AF. 3) Cho tam giỏc ABC , đường trung tuyến AM , điểm D thuộc cạnh AC . gọi I là giao điểm của AM và BD . Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt BD ở K . C/Minh hệ thức IB2 = ID.IK 4)Chứng minh rằng: Nếu trờn cỏc cạnh đối diện với cỏc đỉnh A;B;C của tam giỏc ABC ta lấy cỏc điểm tương ứng A’ ; B’ ; C’ sao cho Â’ ; BB’ ; CC’ đồng quy thỡ AB’/B’C . CA’/A’B . BC’/ C’A = 1 ( Đ.Lớ Xờ-Va) 5) Cho hỡnh thang ABCD ( AB// CD) , M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC. a) C/minh : IK//AB b) Đường thẳng IK cắt AD , BC theo thứ tự tại E ; F. Chứng minh rằng: EI = IK = KF. VẤN ĐỀ II: TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC. * Đường phõn giỏc của tam giỏc cho ta cỏc đoạn thẳng tớ lệ . * Bài tập: 1) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường phõn giỏc AD. Biết DB= 15cm ; DC= 20 cm .Tớnh cỏc độ dài AB ; AC ; AD. Giải: Vỡ AD là tpg nờn: AB / AC = DB / DC = 15/20 = ắ . Do đú: AB = 3/4AC. Theo Đ.lớ Pitago trong tam giỏc vuụng ABC cú: BC2 = AB2 + AC2 Vậy AC= 35: 5/4 = 28cm ; AB= 3/4.28= 21cm. Kẻ DH ⊥ AC ; Ta cú DH//AB nờn theo định lớ Talet’ ta được: DH/AB = DC/BC ị DH = 20.21 : 35 = 12cm. Tam giỏc ABC vuụng cõn tại H nờn AD = DH = 12 (cm). 2) Cho tam giỏc ABC , đường trung tuyến AM . Tpg của gúc AMB cắt AB ở E , tpg của gúc AMC cắt AC ở F. Biết ME = MF. C/minh rằng : ABC là tam giỏc cõn. 3) Tam giỏc ABC cõn cú AB = AC = 5cm ; BC = 6cm . Cỏc đpg AD ; BE ; CF . a) Tớnh độ dài ẩ. b) Tớnh diện tớch tam giỏc DEF. 4) Cho tam giỏc ABC cú AB = 6cm ; AC = 9cm ; BC = 10 cm ; đpg trong AC , đpg ngoài AE . Tớnh độ dài DB ; DC ; EB. 5) Cho tam giỏc ABC cú AB = 12cm ; BC = 15cm ; AC = 18cm. Gọi I là giao điểm cỏc đpg và G là trọng tõm của tam giỏc ABC. a) C/minh rằng : IG // BC. b) Tớnh độ dài IG. 6) Cho tam giỏc ABC cú AB = 4cm ; AC = 5cm ; BC = 6cm . Cỏc đpg BD và CE cắt tại I. a) Tớnh cỏc độ dài AD ; DC. b) Tớnh tỉ số diện tớch cỏc tam giỏc DIE và ABC. VẤN ĐỀ III: CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC * Ghi nhớ: + Định nghĩa về hai tam giỏc đồng dạng. + Dấu hiệu nhận biết hai tam giỏc đồng dạng: Hai tam giỏc thường: ( g-g) ; (C- g – C ); ( C – C – C ) Hai tam giỏc vuụng : ( Gúc nhọn ) ; ( 2 cgv tỉ lệ ) ; ( Cạnh huyền và Cgv tỉ lệ). * Bài toỏn : 1) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , AB < AC , đường phõn giỏc AD. Đường vuụng gúc với DC tại D cắt AC ở E. Chứng minh rằng: a) Tam giỏc ABC và tam giỏc DEC đồng dạng b) DE = BD. 2) Cho tam giỏc ABC cú AB = 15cm ; AC = 21cm. Trờn cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = 7cm , trờn cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = 5cm . C/minh rằng: a) Tam giỏc ABD và tam giỏc ACE đồng dạng. b) Tam giỏc IBE và tam giỏc ICD đồng dạng ( I là giao điểm của BD và CE ) c) IB. ID = IC . IE 3) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , đường cao AH , BC = 100cm , AH+ 40cm .Gọi D là hỡnh chiều của H trờn AC , E là hỡnh chiếu của H trờn AB. a) C/mỡnh rằng: Tam giỏc ADE và tam giỏc ABC đồng dạng. b)Tớnh diện tớch tam giỏc ADE. 4) Cho tam giỏc ABC cú trực tõm H . gọi M ; N theo thứ tự là trung điểm của BC ; AC. Gọi O là giao điểm cỏc đường trung trực của tam giỏc. a)C/minh rằng : Tam giỏc OMN và tam giỏc HAB đồng dạng. Tỡm tỉ số đồng dạng. b) So sỏnh độ dài của AH và OM c) Gọi G là trọng tõm của tam giỏc ABC . C/minh rằng tam giỏc HAG và tam giỏc OMG đồng dạng. d) C/minh 3 điểm H ; G ; O thẳng hàng và GH = 2GO. 5) Cho hỡnh thang vuụng ABCD ( AÂ = DÂ= 90° ) cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau tại O . AB = 4cm ; CD = 9cm. a) C/minh rằng cỏc tam giỏc AOB và DAB đồng dạng. b) Tớnh độ dài AB. c) Tớnh tỉ số diện tớch của tam giỏc OAB và tam giỏc OCD. 6) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A ; AB = 1 ; AC = 3 . Trờn cạnh AC lấy cỏc điểm D ; E sao cho AD = DE = EC . a) Tớnh độ dài BD. b) C/minh ràng cỏc tam giỏc BDE và CDB đồng dạng c) Tớnh tổng: DEÂB + DCÂÂB. III. BAỉI TAÄP TOÅNG HễẽP : Chương: Tam giỏc đụng dạng Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD). Một cỏt tuyến song song với AB lần lượt cắt cỏc đoạn thẳng AD, BD, AC, BC tại M, N, P, Q. a/ CMR : MN = PQ. b/ Gọi E là giao điểm của AD và BC, F là giao điểm của AC và BD. CMR : Đường thẳng EF đi qua trung điểm của AB và DC. 2) Cho tam giỏc ABC, trung tuyến AD, trọng tõm G. Đường thẳng d qua G cắt AB,AC lần lượt tại M, N. CMR: . 3) Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hỡnh bỡnh hành ABCD cắt đường chộo BD ở E và cắt BC , DC theo thứ tự ở K, G. Chứng minh rằng: a/ b/ c/ Khi đường thẳng thay đổi vị trớ nhưng vẫn đi qua A thỡ tớch BK.DG cú giỏ trị khụng đổi. 4) Cho hỡnh thang ABCD (AB// CD), M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC. a/ CMR: IK // AB. b/ Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E, F.CMR: EI = IK = KF. 5) a/ Qua điểm M thuộc cạnh BC của tam giỏc ABC, vẽ cỏc đường thẳng song song với hai cạnh kia, chỳng cắt AB, AC theo thứ tự ở H và K. C/m rằng tổng khụng phụ thuộc vào vị trớ điểm M trờn cạnh BC. b/ Xột trường hợp tương tự khi M chạy trờn đường thẳng BC nhưng khụng thuộc đoạn thẳng BC. 6) Cho tam giỏc đều ABC trọng tõm G, M là điểm bất kỳ nằm trong tam giỏc. Đường thẳng MG cắt cỏc đường thẳng BC, AC, AB theo thứ tự ở A’, B’, C’. C/m rằng 7) Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Cỏc điểm M, N thay đổi trờn BC và AB sao cho AM = CN. Chứng minh rằng đỉnh D luụn cỏch đều cỏc đoạn AM, CN. 8) Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Một điểm M thay đổi trờn BC. Gọi I, K lần lượt là hỡnh chiếu của M lờn AB, AC. Chứng minh tổng MI + MK khụng phụ thuộc vào vị trớ của M. 9) Cho tam giỏc ABC cú phõn giỏc AD. Gọi DE, DF lần lượt là cỏc phõn giỏc của gúc D của cỏc tam giỏc ABD và ACD.C/m: AE.BD.CF = BE.CD.AF. 10) Trờn cạnh BC của hỡnh vuụng ABCD cạnh 6, lấy điểm E sao cho BE = 2.Trờn tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CF = 3.Gọi M là giao điểm của AE và BF. Tớnh . 11/ Cho hai tam giỏc đều ABC và DEF mà A nằm trờn cạnh DF, E nằm trờn cạnh BC. Gọi I là giao điểm của AC và EF, K là giao điểm của AB và DE. CMR: a) và đồng dạng; và đồng dạng. b) DB//CF. 12/ Một đường thẳng song song với cạnh BC của tam giỏc ABC cắt AC ở E và cắt đường thẳng song song với AB kẻ từ C ở F. Gọi S là giao điểm của AC và BF. CMR: SC2 = SE .SA. 13/ Gọi O là điểm tựy ý nằm trong tam giỏc ABC. Cỏc tia AO, BO, CO lần lượt cắt cỏc cạnh BC, CA, AB ở A1, B1, C1 . CMR: . 14/ Qua điểm O nằm trong tam giỏc ABC, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC và BC ở D và E, kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB và BC ở F và K, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB và AC ở M và N.CMR: . CHệễNG : TAM GIAÙC – TệÙ GIAÙC 1/ Cho tam giỏc nhọn ABC với ba đường cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tõm của . CMR: . 2/ Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn (AB< AC). Gọi BD là đường phõn giỏc trong của tam giỏc ABC, dựng đường trung trực của đoạn BD cắt đường thẳng AC tại M. CMR: Hai tam giỏc MAB và MBC đồng dạng. Cho AD = 4cm và DC = 6cm. Tớnh MD. 3/ Cho ABC cú 3 gúc nhọn, Đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trờn HB và HC lần lượt lấy M và N sao cho . CMR: Cỏc tam giỏc ABD và ACE đồng dạng. b) Tam giỏc AMN cõn. 4/ Từ điểm D trờn cạnh huyền BC của tam giỏc vuụng ABC, vẽ DE vuụng gúc với AB tai E và DF vuụng gúc với AC tại F. CMR: BE2 + ED2 + DC2 = BD2 + DF2 + FC2 . b) DB.DC = AE.BE + AF.CF. 5/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm cỏc cạnh BC và CD của tứ giỏc lồi ABCD. CMR: . 6/ Cho hỡnh bỡnh hành ABCD (AC > BD). Vẽ CE vuụng gúc với AB và CF vuụng gúc với AD. CMR: AB.AE + AD.AF = AC2. 7/ Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn tia đối của tia BA lấy điểm E, trờn tia đối của CB lấy điểm F sao cho AE = CF. CMR: Tam giỏc DEF vuụng cõn. Gọi O là giao điểm hai đường chộo AC và BD, gọi I là trung điểm EF. CMR: O, C, I thẳng hàng. 8/ Cho hỡnh thoi ABCD cú gúc B tự. Kẻ BM, BN lần lượt vuụng gúc cỏc cạnh AD và CD tại M và N. Biết rằng , tớnh cỏc gúc của hỡnh thoi ABCD. 9/ Cho tam giỏc ABC, đường phõn giỏc trong của C cắt cạnh AB tại D. CMR: . 10/ Cho hỡnh vuụng ABCD cú độ dài cạnh bằng 1. Trờn cỏc cạnh AB, AD lần lượt lấy cỏc điểm M, N sao cho chu vi của tam giỏc AMN bằng 2. Tớnh . 11/ Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú gúc ở đỉnh bằng 200; cạnh đỏy là a, cạnh bờn là b. CMR: a3 + b3 = 3ab2. 12/ Cho hỡnh vuụng ABCD cú độ dài cạnh là a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Cỏc đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I. C/m: tam giỏc CIN vuụng. Tớnh diện tớch tam giỏc CIN theo a. C/m: tam giỏc AID cõn. 13/ Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn cạnh CD lấy một điểm M bất kỳ. Cỏc tia phõn giỏc của cỏc gúc BAM và DAM lần lượt cắt cạnh BC tại E và CD tại F. C/m: AM vuụng gúc EF. 14/ Cho tam giỏc ABC cú . Dựng bờn ngoài tam giỏc đều BCD. C/m: AD2 = AB2 + AC2. 15/ Cho tam giỏc ABC (BC< AB). Từ C vẽ đường vuụng gúc với phõn giỏc BE tại F và cắt AB tại K, vẽ trung tuyến BD cắt CK tại G. C/m : DF đi qua trung điểm của GE. 16/ Trong tất cả cỏc hỡnh chữ nhật cú chiều dài đường chộo khụng đổi là d. Hóy tỡm hỡnh cú diện tớch lớn nhất? 17/ Cho a, b, c là độ dài cỏc cạnh của một tam giỏc và x, y, z là độ dài cỏc đường phõn giỏc của tam giỏc đú CMR: . 18/ Cho hỡnh chữ nhật ABCD, kẻ BH vuụng gúc với AC tại H. Gọi M và K lần lượt là trung điểm của AH và CD. C/m: BM vuụng gúc MK. 19/ CMR: Trong cỏc tam giỏc vuụng cú chiều cao ứng với cạnh huyền khụng đổi, tam giỏc vuụng cõn cú chu vi nhỏ nhất. 20/ Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Từ một điểm M trong tam giỏc ta kẻ .Tỡm vị trớ của M sao cho tổng MI2 + MJ2 + MK2 nhỏ nhất. 21/ Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Gọi E và F là trung điểm của BC và CD. Đường chộo BD cắt AE và AF tại M và N. Tớnh SBNFC theo diện tớch của hỡnh bỡnh hành đó cho.(SABCD = a2). 22/ Cho tam giỏc ABC. Về phớa ngoài tam giỏc dựng cỏc hỡnh vuụng ABDE và ACFG. Gọi H, I, K theo thứ tự là trung điểm của EB, BC, CG. C/m rằng: Tam giỏc IHK vuụng. 23/ Trờn cỏc cạnh kộo dài của tam giỏc ABC ta lấy cỏc đoạn AA’ = AB, BB’ = BC, CC’ = CA. CMR: Cỏc tam giỏc ABC và A’B’C’cú trọng tõm trựng nhau. 24/ Cho tam giỏc ABC. Một đường thẳng đi qua trọng tõm G của tam giỏc cắt cạnh BC kộo dài về phớa C và cỏc cạnh CA, AB theo thứ tự A1, B1, C1. C/m rằng: . 25/ Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD), điểm M nằm trong tứ giỏc ABCD, vẽ cỏc hỡnh bỡnh hành MDPA, MCQB. C/m rằng PQ // CD. ………….Hết…………… BOÅ XUNG :