Chuyên đề Đường tròn

CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN I.Những kiến thức cơ bản: 1.Định nghĩa: Đường tròn là tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm I cho trước một khoảng bằng R cho trước. - Điểm I gọi là tâm của đường tròn - R gọi là bán kính của đường tròn. Nếu đường tròn có tâm I bán kính R thì ký hiệu là (I; R). 2.Phương trình của đường tròn : -Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn tâm I(a; b) bán kính R. Điểm M(x;y) nằm trên đường tròn (I, R) khi và chỉ khi IM = R hay IM2 = R2 Khi và chi khi :(x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1) Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của đường tròn tâm I(a; b) bán kính R -Khai triển phương trình (1) ta được phương trình: f(x; y) = x2 + y2 – 2ax - 2by + a2 + b2 – R2 = 0 Đặt a2 + b2 – R2 = c ta có f(x; y) = x2 + y2 – 2ax - 2by + c = 0. Ta cũng chứng minh được mọi phương trình có dạng: f(x; y) = x2 + y2 – 2ax - 2by + c = 0 thỏa mãn điều kiện : a2 + b2 – c > 0 đều là phương trình của một đường tròn tâm I(a; b) bán kính 3.Vị trí tương đối của hai đường tròn: Cho hai đường tròn (I1,R1) và (I2, R2) xảy ra 5 trường hợp về vị trí tương đối của chúng -Trường hợp 1: (I1,R1) và (I2, R2) chứa nhau khi và chỉ khi -Trường hợp 2: (I1,R1) và (I2, R2) tiếp xúc trong khi và chỉ khi -Trường hợp 3: (I1,R1) và (I2, R2) cắt nhau khi và chỉ khi . -Trường hợp 4: (I1,R1) và (I2, R2) tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi -Trường hợp 5: (I1,R1) và (I2, R2) ngoài nhau khi và chỉ khi 4.Tiếp tuyến của đường tròn: a.Định nghĩa: đường thẳng gọi là tiếp tuyến của đường tròn (I,R) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng đó bằng bán kính R của đường tròn. b.Phương trình tiếp tuyến của đường tròn: *Định lý: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C ) có phương trình: . M(x0; y0) là một điểm nằm trên đường tròn thì tiếp tuyến của (C ) tại M có phương trình là: -Đặc biệt khi đường tròn có tâm là gốc tọa độ thì tiếp tuyến tại M có phương trình là: * Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp tuyến đi qua một điểm Bài toán: Cho đường tròn (C): . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(x0;y0). Cách giải: Cách 1: - xét vị trí tương đối của điểm M đối với đường tròn (C ) kết luận số tiếp tuuyến của (C ) đi qua M. -Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc k : y = k(x – x0) + y0 Hay: kx – y – kx0 + y0 = 0 -Sử dụng điều kiện để (d) tiếp xúc với (C ) là: khoảng cách từ M đến (d) bằng bán kính R để tìm k. Chú ý : nếu từ M có hai tiếp tuyến với (C ) mà chỉ tìm được chỉ một giá trị của k thì ta kiểm tra khoảng cách từ M đường thẳng có phương trình x = x0 và kết luận đường thẳng x = x0 là tiếp tuyến của đường tròn. Cách 2 : - xét vị trí tương đối của điểm M đối với đường tròn (C ) kết luận số tiếp tuuyến của (C ) đi qua M. - Đường thẳng (d) trong mặt phẳng tọa độ Oxy có phương trình là ax + by + c = 0.với a2 + b2 khác 0. (d) đi qua điểm M(x0;y0) nên ax0 + by0 + c = 0 . suy ra: c = - ax0 + by0 vậy đường thẳng (d) có phương trình ax + by - ax0 + by0 = 0. - Sử dụng điều kiện để (d) tiếp xúc với (C ) là: khoảng cách từ M đến (d) bằng bán kính R để tìm mối quan hệ giữa a và b rồi chọn a, b ta có (d). Chú ý: với cách giải thứ nhất ta thường bỏ sót tiếp tuyến của (C ) vuông góc với trục Ox.Vì vậy khi giải nên xét vị trí tương đối của điểm M đối với (C ) để biết số tiếp tuyến. 5. Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn: a. Nhận xét : Số tiếp tuyến chung của hai đường tròn phụ thuộc vào vị trí tương đối của hai đường tròn đó. Cụ thể là: - Nếu hai đường tròn chứa nhau thì chúng không có tiếp tuyến chung. - Nếu hai đường tròn tiếp xúc trong thì chúng có một tiếp tuyến chung khi đó tiếp tuyến của một trong hai đường tròn tại tiếp điểm của hai đường tròn đó chính là tiếp tuyến chung của chúng. - Nếu hai đường tròn cắt nhau thì chúng có hai tiếp tuyến chung. - Nếu hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì chúng có 3 tiếp tuyến chung. - Nếu hai đường tròn rời nhau thì chúng có 4 tiếp tuyến chung. b.b.Cách viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Bài toán: Cho hai đường tròn (C1) có tâm I1(x1; y1) bán kính R1 và (C2) tâm I2(x2; y2) bán kính R2. Viết phương trình tiếp tuyến chung ( nếu có ) của hai đường tròn đó. *Cách giải: +Cách 1: -Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn kết luận số tiếp tuyến chung của chúng. -Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường thẳng (d) với hệ số góc k có phương trình là: y = kx + m hay kx – y + m = 0. Đường thẳng (d) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1) và (C2) khi và chỉ khi khoảng cách d(I1,d) từ tâm I1 đến đường thẳng (d) bằng R1 và khoảng cách d(I2,d) từ tâm I2 đến đường thẳng (d) bằng R2.tức là: Giải hệ (*) tìm được k và m thay vào phương trình của đường thẳng (d) ta có phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). +Cách 2 : Đường thẳng (d) trong mặt phẳng tọa độ Oxy có phương trình là: ax +by + c = 0 với điều kiện . Đường thẳng (d) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1) và (C2) khi và chỉ khi khoảng cách d(I1,d) từ tâm I1 đến đường thẳng (d) bằng R1 và khoảng cách d(I2,d) từ tâm I2 đến đường thẳng (d) bằng R2.tức là: (**) Khử c trong hệ (**) ta tìm được hệ thức liên hệ giữa a và b chọn a, b thỏa mãn hệ thức sao cho , thay vào tìm c.Thay a, b, c tìm được vào phương trình của (d) ta có phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). Chú ý: Với cách giải thứ nhất thường hay bỏ sót trường hợp tiếp tuyến tuyến chung của hai đường tròn vuông góc với trục Ox .Vì vậy khi giải hệ (*) mà số nghiệm k không bằng số tiếp tuyến có được của hai đường tròn ta phải xét thêm các đường thẳng vuông góc với trục Ox. (Một số trường hợp có thể xảy ra về tiếp tuyến chung vuông góc với Ox) II Các bài tập về đường tròn: Bài 1:Cho họ đường cong (Cm) có phương trình :. a.Tìm m để (Cm) là một đường tròn. Tìm quĩ tích tâm của họ đường tròn (Cm) khi m thay đổi. b.Chứng minh rằng khi m thay đổi các đường tròn (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định. c.Khi m = 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C2) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0; -1). Bài giải: Câu a: Ta có: Phương trình đã cho là phương trình của đường tròn khi và chỉ khi : . Tâm đường tròn (Cm) là hay: Do suy ra quĩ tích tâm các đường tròn (Cm) là đường thẳng 2x – y + 2 = 0. Câu b: Vì Gọi là điểm cố định của họ đường tròn (Cm) khi m thay đổi thì: đúng với mọi m. Vậy họ đường tròn (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định . Câu c: Khi m = -2 thì đường tròn (C2) là: đường tròn (C2) có tâm I(-2; 2) bán kính R= 3. Ta có AI = suy ra A(0; -1) nằm ngoài đường tròn (C2) nên qua Acó hai tiếp tuyến với (C2) Đường thẳng (d) đi qua A(0; -1) và có hệ số góc k có phương trình là: . (d) là tiếp tuyến của (C2) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I đến (d) bằng R = 3 Hay Với k = 0 thì (d) : y + 1 = 0. Với k = thì (d): Vậy hai tiếp tuyến của (C2) đi qua A(0;-1) là:. Bài 2:Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x – 2)2 +(y – 1)2 = 4. Biết tiếp tuyến đi qua A(4; -2). Bài giải: Cách 1 Đường tròn (C) có tâm I(2; 1) bán kính R = 2. AI = nên qua A có hai tiếp tuyến của (C) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường thẳng (d) với hệ số góc k và đi qua A(4; -2) có phương trình là: y = k(x – 4) – 2 hay (d): kx –y - 4k – 2. Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I đến (d) bằng R = 2 Hay Với thì (d1): 5x + 12y + 4 = 0. Xét đường thẳng(d2): x – 4 = 0, khoảng cách từ tâm I đến (d2) là nên (d2) cũng là tiếp tuyến của (C) đi qua A(2; 1) Kết luận : Hai tiếp tuyến của (C) đi qua A là: (d1): 5x + 12y + 4 = 0 và (d2): x – 4 = 0. Cách 2: Đường tròn (C) có tâm I(2; 1) bán kính R = 2. AI = nên qua A có hai tiếp tuyến của (C) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường thẳng (d) có phương trình là : ax + by +c = 0 với . Do (d) đi qua A(4; -2) nên c = -4a + 2b Suy ra (d): ax + by -4a +2b = 0. (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi khoảng cách từ I đến (d) bằng R = 2. Hay Chọn b = 0, a = 1 thì c = 4 khi đó (d): x – 4 = 0 Chọn b = 12 , a = 5 thì c = 4 khi đó (d): 5x + 12y + 4 = 0 Kết luận : hai tiếp tuyến của (C) đi qua A là: (d1): 5x + 12y + 4 = 0 và (d2): x – 4 = 0 Chú ý : qua hai cách giải bài toán 2 để hiểu kỹ về chú ý ở phần lý thuyêt phương trình tiếp tuyến của đường tròn Bài 3: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh nằm trên ba đường thẳng (d1): x – 5y - 2 = 0; (d2): x – y + 2 = 0; (d3): x + y - 8 = 0. Bài giải: Gọi A là giao điểm của (d1) và (d2) thì tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: Gọi B là giao điểm của (d1) và (d3) thì tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: Gọi C là giao điểm của (d2) và (d3) thì tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình: Gọi (C ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì phương trình của (C ) là: . Vì (C ) đi qua ba điểm A, B ,C nên có hệ phương trình: Chú ý Ta có thể giải cách khác như sau :Do (d2) vuông góc với (d3) vì vậy đường tròn (C) nhận AB làm đường kính nên (C) có tâm I(2; 0) là trung điểm của AB và có bán kính Suy ra (C) : (x - 2)2 + y2 = 26 hay x2 + y2 - 4x – 22 = 0. Bài 4:Cho hai đường tròn có phương trình: (C): x2 + y2 = 1 (C1): x2 + y2– 6x + 6y + 17 = 0 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó. Bài giải: Đường tròn (C) có tâm I(0; 0), bán kính R = 1 Đường tròn (C1) có tâm I1(3; -3), bán kính R1 = 1 Ta có R + R1 = vì vậy (C) và (C1) ngoài nhau chúng có 4 tiếp tuyến chung. Đường thẳng (d) trong mặt phẳng tọa độ Oxy với hệ số góc k có phương trình là: (d) : y = kx + m hay kx – y +m = 0. Đường thẳng (d) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn(C) và (C1) khi và chỉ khi : d(I,d) = R = 1 và d(I1,d) = R1 = 1 Hay: Giải hệ (*) Ta có Vậy hai tiếp tuyến chung Giải hệ (**) Ta có Vậy hai tiếp tuyến chung là Kết luận : Hai đường tròn (C) và (C1) có 4 tiếp tuyến chung là: Bài 5:Cho hai đường tròn: (C): x2 + y2 - 1 = 0 và (Cm): x + y – 2(m + 1)x + 4my – 5 = 0 a. Tìm quĩ tích tâm đường tròn (Cm) khi m thay đổi. b. Chứng minh rằng có hai đường tròn (Cm) tiếp xúc với đường tròn (C) ứng với hai giá trị của m. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó. Bài giải: Câu a : Nhận thấy với mọi m thì luôn có Nên phương trình của (Cm) luôn là phương trình của đường tròn với mọi m. (Cm) có tâm Im (m+1; -2m). Hay Vậy quĩ tích tâm các đường tròn (Cm) là đường thẳng y = -2x + 2. Câu b: Bán kính hai đường tròn (C) và (Cm) lần lượt là R = 1 và Rm= Khoảng cách giữa hai tâm là OIm = Trường hợp 1: (Cm) và (C) tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi: R + Rm = OIm Hay + 1 = .Ta thấy phương trình này vô nghiệm vì vậy không có đường tròn (Cm) nào tiếp xúc ngoài với (C). Trường hợp 2: (Cm) và (C) tiếp xúc trong khi và chỉ khi: = OIm Hay | - 1 | = . Vậy có hai đường tròn (Cm) tiếp xúc trong với (C) là: (C-1) : x2 + y2 - 4x - 5 = 0 ứng với m = -1 và ứng với m = . Đường tròn) (C-1) có tâm I-1(0; 2) bán kính R-1 = 3,đường tròn () có tâm () bán kính = 3. Khoảng cách giữa hai tâm nên hai đường tròn cắt nhau. Mà hai đường tròn có cùng bán kính nên chúng chỉ có hai tiếp tuyến chung cùng song song với đường thẳng nối hai tâm Ta có :.Đường thẳng (d) song song với Thì (d) : x + y + m = 0 , (d) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C-1) và khi và chỉ khi khoảng cách từ I-1 đến (d) bằng R-1= 3 Hay Vậy hai tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C-1) và là: Chú ý:Trong bài 2 và bài 3 đều yêu cầu viết tiếp tuyến chung của hai đường tròn bằng nhau nhưng cách giải ở hai bài khác nhau vì vị trí tương đối của hai đường tròn trong hai bài khác nhau . Cách giải bài 2 có thể áp dụng cho bài 3 nhưng cách giải bài 3 không áp dụng được cho bài 2. Bài 6:Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng (d): 3x – 4y + 2 = 0 tại điểm B(-2; -1) Bài giải Gọi I là tâm đường tròn (C) thì IB = IA, như vậy I thuộc trung trực của đoạn AB. Mặt khác vì đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (d) 3x – 4y + 2 = 0 tại điểm B(-2; -1) nên I còn thuộc đường thẳng vuông góc với (d) tại điểm B. Phương trình đường trung trực của AB là : x + y = 0, phương trình đường thẳng (d1) vuông góc với (d) tại điểm B là : 4x + 3y + 11 = 0. Vậy tọa độ điểm I là nghiệm của hệ Bán kính của (C) là R = IB = Suy ra (C) : (x + 11)2 + (y – 11)2 = 225 hay (C): x2 + y2 + 22x - 22y + 17 = 0. Bài 7: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc đường thẳng và tiếp xúc với hai đường thẳng: Bài giải: Vì đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng (d1) và (d2) nên tâm I của đường tròn nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng (d1) và (d2). Hai đường phân giác của các góc tạo bởi (d1) và (d2) có phương trình là : Tọa độ tâm I là nghiệm của hệ : Hoặc tọa độ tâm I là nghiệm của hệ Nếu: -Gọi I1(2; 1) thì R1 = d(I1, d1) = khi đó đường tròn (C1) có phương trình là: (x – 2 )2 + (y – 1)2 = . -Gọi I2(-8; -7) thì R2 = d(I2,d1) = khi đó đường tròn (C2) có phương trình là: (x + 8)2 + (y + 7)2 = Kết luận: có hai đường tròn thỏa mãn điều kiện bài toán là: (C1) : (x – 2 )2 + (y – 1)2 = và (C2): (x + 8)2 + (y + 7)2 = . Bài 8:Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1;, B(-1; 3) và có tâm nằm trên đường thẳng . Bài giải: Trong mật phẳng tọa độ Oxy đường tròn (C) có phương trình là: Đường tròn (C) đi qua điểm A(1; nên (1) Đường tròn (C) đi qua điểm B(-1; 3) nên (2) Tâm I (a, b) nằm trên đường thẳng nên (3) Từ (1), (2) và (3) ta có hệ: Vậy (C): Bài 9: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(2; 0) ,B(1; 0) và tiếp xúc với đường thẳng (d): x - y = 0. Bài giải : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường tròn (C) có phương trình là: .Tâm I(a; b), bán kính Đường tròn (C) đi qua điểm A(2; 0) nên: 4 – 4a + c =0 (1) Đường tròn (C) đi qua điểm B(1; 0) nên: 1 - 2a + c = 0 (2) Măt khác (C) tiếp xúc với đường thẳng (d): x - y = 0 nên khoảng cách từ tâm I(a; b) đến đường thẳng (d) bằng R Hay . (3) Từ (1), (2) và (3) ta có hệ Vậy (C) có phương trình là: . Bài 10: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(1; 1) và tiếp xúc với cả hai đường thẳng (d1): 7x + y – 3 = 0 , (d2): x + 7y – 3 = 0. Bài giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường tròn (C) có phương trình là: .Tâm I(a; b), bán kính Do (C) đi qua A(1; 1) nên: (1) Lại do (C) tiếp xúc với cả hai đường thẳng (d1) và (d2) nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng (d1) và (d2) bằng nhau và bằng IA Hay (1) Đặt: Vì tâm I của (C) và điểm A cùng nằm ở một nửa mặt phẳng có bờ (d1) và nửa mặt phẳng có bờ (d2) nên và Mà: (2) (3) Két hợp (1) với (2) và (3) ta có *Với *Với Kết luận: có hai đường tròn (C1) và (C2) có phương trình ở trên thỏa man điều kiện bài toán Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 9. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; 1) và cắt (C) tại hai điểm E, F sao cho A là trung điểm của EF. Bài giải: Đường tròn(C) có tâm I(1; 2), bán kính R = 3 Đường thẳng (d) đi qua A cắt (C) tại hai điểm E, F sao cho A là trung điểm của EF thì (d) phải nhận véc tơ làm véc tơ pháp tuyến Vậy nếu có (d) thì phương trình của (d) là: Do IA = nên đường thẳng (d) : x – y – 1 =0 thỏa mãn điều kiện bài toán. Chú ý: Bài toán trên không khó khăn với những học sinh học trung bình khá trở lên nhưng lại rất dễ mắc sai lầm là khi tìm được phương trình đường thẳng (d) đi qua A và có véc tơ pháp tuyến không chứng minh (d) cắt đường tròn (C) Vì nếu A nằm ngoài (C) thì đường thẳng (d) cũng có phương trình như vậy nhưng nó không cắt (C). Để tránh sai sót trên ta nên chứng minh mọi đường thẳng đi qua A đều cắt (C)trước khi viết phương trình của (d) Bài 12: Viết phương trình đường tròn (C) trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Biết đường tròn (C) đi qua điểm M(-1; -2) và hai giao điểm của đường thẳng (d): x + 7y + 10 với đường tròn (T) : x2 + y2 + 4x - 20 = 0. Bài giải: Đường tròn (T) có tâm I(-2; 0) bán kính R = 2. Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (d) là Vậy đường thẳng (d) và đường tròn (T) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B có tọa độ là nghiệm của hệ: Gọi A(x1; y1) ,B(x2; y2) thì: và Đường tròn (C) có phương trình : Đường tròn (C) đi qua M(-1; -2) nên 1+ 4 + 2a + 4b + c = 0 suy ra c = -(5 + 2a + 4b) (*) Đường tròn (C) đi qua A(x1; y1) nên : Đường tròn (C) đi qua A(x1; y1) nên : Vậy ta có hệ: Giải hệ ta có thay vào (*) tìm được c = -58 Vậy (C) có phương trình Nhận xét: -Bài toán trên không khó về mặt phương pháp nhưng trong quá trình giải ta gặp nhiều khó khăn về tính toán tuy nhiên nếu ta phát hiện được tính bình đẳng giữa các yếu tố thì việc giải sẽ đơn giản hơn - Cách giải trình bầy ở trên là một cách giải hay. Có thể giải bằng cách tìm tọa độ của hai giao điểm A , B rồi giải hệ 3 phương trình 3 ẩn số a, b, c bằng máy tính casio. Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 2x – 4y - 4 = 0. a.Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) kẻ từ A(3; 5). b. Giả sử các tiếp tuyến của đường tròn (ở câu a) tiếp xúc với (C) tại M , N. Tính MN và viết phương trình đường thẳng MN. Bài giải: Câu a Ta có x2 + y2 + 2x – 4y - 4 = 0 tương đương với (x + 1)2 +(y – 2)2 = 9 Vậy (C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = 3 IA = nên điểm A nằm ngoài đường tròn (C). Qua A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C). Đường thẳng (d) với hệ số góc k và đi qua A(3; 5) có phương trình là: Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I đến (d) bằng bán kính R cuả (C). Hay Với k = 0 thì (d): y – 5 = 0 Với k = thì (d): 24x – 7y – 37 = 0 Vậy qua A (3; 5) kẻ được hai tuyến tuyến đến đường tròn (C) là: (d1): y – 5 = 0 và (d2): 24x – 7y – 37 = 0 Câu b. *Tính MN Ta có AI =5. Trong tam giác vuông AMI có AM2 = AI2 – R2 = 25 – 9 = 16 Vậy AM = 4 Diện tích tam giác AMI là S = MN = 2MH = . *Gọi M(x1; y1) và N(x2; y2). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là .vì tiếp tuyến đi qua A( 3; 5) suy ra Hoàn toàn tương tự ta có Như vậy tọa độ M, N cùng thỏa mãn phương trình 4x + 3y -11 = 0 Suy ra MN có phương trình là: 4x + 3y -11 = 0. Bài 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình:. Chứng minh rẳng với mỗi điểm trên đường thẳng y = 3 ta luôn tìm được hai điểm T1, T2 trên trục hoành ,sao cho các đường thẳng MT1, MT2 là các tiếp tuyến của (C). Khi đó hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MT1T2. Bài giải: * Đường tròn (C) có tâm I(0; 1) bán kính R = 1. Điểm M thuộc đường thẳng y = 3 thì M(m ; 3), T thuộc trục hoành thì T(t; 0). Đường thẳng MT có phương trình là: MT là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I đến MT bằng R = 1. Hay . Do phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt t1, t2 với mọi m nên luôn tồn tại hai điểm T1(t1; 0), T2(t2; 0) để MT1, MT2 là tiếp tuyến của (C). * Theo định lý Vi-ét ta có t1 + t2 = -2m. Phương trình đường tròn (C1)ngoại tiếp tam giác MT1T2 có dạng: Vì M, T1, T2 thuộc đường tròn (C1) nên có hệ: Từ (2) và (3) suy ra: (do Thay vào (2) ta có Do t1 là nghiệm của phương trình (*) nên Thay c = -3 vào (1) ta được: Vậy phương trình của (C) là:. Bài 15:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho họ đường cong(Cm) phụ thuộc tham số m có phương trình là , a là hằng số dương. a. Tìm m để (Cm) là một đường tròn.Tìm quĩ tích tâm các đường tròn (Cm). b. Chứng minh đoạn thẳng nối gốc tọa độ và điểm A(2a; 0) luôn cắt đường tròn (Cm) c. Chứng tỏ tồn tại một đường thẳng (d) là tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với mọi đường tròn (Cm). d. Chứng minh rằng nếu điểm M(x0; y0) là một điểm không nằm trên đường thẳng (d) nói ở câu c, M không trùng với A(2a; 0)và không trùng với gốc tọa độ thì luôn có một đường tròn của họ đường tròn (Cm) đi qua. Bài giải: Câu a.Phương trình (Cm) là một đường tròn khi và chỉ khi . (vì a là hằng số dương) Đường tròn (Cm) có tâm Im(m; 0) mà nên quĩ tích tâm Im của họ đường tròn (Cm) là hai tia trên trục Ox ứng với x 2a. Câu b. Trước hết ta chứng minh phương tích của điểm A(x0; y0) đối với đường tròn (C) có phương trình là . Thật vậy: Đường tròn (C) có tâm I(a; b) bán kình . Gọi d là khoảng cách từ A(x0; y0) đến I thì . Ta có phương tích của điểm A đối với đường tròn (C) là: PA/(C) = d2 – R2 = Áp dụng vào đường tròn (Cm) và hai điểm A(2a; 0) , O(0; 0) ta có: Do Như vậy hai điểm A(2a; 0) và O(0; 0) luôn tồn tại một điểm nằm trong và một điểm nằm ngoài đường tròn (Cm) nên đoạn thẳng OA luôn cắt dường tròn (Cm). Câu c.Trước hết ta chứng minh quĩ tích các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn không đồng tâm là một đường thẳng. Giả sử có hai đường tròn M(x0; y0) có cùng phương tích đối vơi hai đường tròn (C1) và (C2) thì Do hai đường tròn (C1) và (C2) không đồng tâm nên a1 - a2 và b1 – b2 không đồng thời bằng 0. (2) Có (1) và (2) chứng tỏ quĩ tích các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn không đồng tâm là một đường thẳng. Lấy hai đường tròn bất kì thuộc họ đường tròn (Cm) ứng với hai giá trị m1, m2 khác nhau thì quĩ tích những điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn (C1) và (C2) là đường thẳng có phương trình là: . Do m1 khác m2 nên m2 – m1 khác 0 suy ra: x – a = 0 Đường thẳng (d)có phương trình: x – a = 0 không phụ thuộc m nên nó là tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với mọi đường tròn (Cm). Câu d.Với mỗi điểm M(x0; y0) không nằm trên đường thẳng (d): x – a = 0, M không trùng với hai điểm A(2a; 0) và O(0; 0) ta chứng minh tồn tai m thỏa mãn hệ: Từ(1) do thay vàovế trái của (2) ta có: VT = Do M khác O(0; 0) nên và M khác A(2a; 0) nên Suy ra : Vậy mọi điểm M(x0; y0) không nằm trên đường thẳng (d): x – a = 0, M khácA(2a; 0) và M khác gốc tọa độ O(0; 0) luôn tồn tại m thỏa mãn hệ: Nên luôn có đường tròn (Cm) đi qua M. Chú ý: Đưòng thẳng quĩ tích các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn không đồng tâm gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn đó. - Khái niệm phương tích của một điểm đối với một đường tròn được trình bầy ở trang 50 hình học lớp 10 nâng cao. Bài 16:Trong mặt phẳng cho đường tròn tâm O bán kính R, có đường kính BC cố định. Với mỗi điểm A trên đường tròn ta lấy một điểm M sao cho trong đó a là khoảng cách từ A đến đường kính BC. Tìm quĩ tích các điểm M. Bài giải:Trên mặt phẳng ta chọn một hệ trục Oxy sao cho hoành trùng với BC chiều dương từ B đến C, Trục tung vuông góc với trục hoành tại tâm O của đường tròn. Giả sử M(x; y) sao cho Gọi Ta có Mà (2) *Nếu thì từ (2) ta có: *Nếu thì từ (2) ta có: Vậy quĩ tích điểm M là hai đường tròn: (C1): và (C2): Bài 17: trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đườn tròn (C): x2 + y2 = 1 và đường thẳng (d): ax + by + 1 = 0. a. Tìm điếu kiện của a, b để (d) tiếp xúc với (C). b. Giả sử (d) tiếp xúc với (C) và M, N là hai điểm thuộc (C) sao cho xM = -1, yN=1 Hãy tính hiệu a – b để tổng các khoảng cách từ M và N đến (d) là nhỏ nhất. Bài giải: Câu a: Đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm O(0; 0) của (C) đến (d) bằng bán kính R = 1 của (C) Hay Vậy khi a2 + b2 = 1 thì (d) tiếp xúc với (C). Câu b: Do M, N là hai điểm thuộc đường tròn (C): x2 + y2 = 1 mà xM = -1 nên M(-1;0) và y = 1 nên N(0; 1). Theo câu a ta đã có a2 + b2 = 1 Khoảng cách từ M đến (d) là:. Khoảng cách từ N đến (d) là: . Vì a2 + b2 = 1 nên a, b đều thuộc khoảng (-1; 1) suy ra Vậy tổng các khoảng cách từ M và N đến (d) là Tổng các khoảng cách nhỏ nhất khi (a - b) lớn nhất. Gọi K, L, I lần lượt là giao điểm của (d) với Ox, tiếp điểm của (d) với (C), giao điểm của (d) với Oy.Gọi là góc tạo bởi hai véc tơ Ta có: và Do (d) cắt Ox tại K nên (d) cắt Oy tại I nên Khi đó Vậy a – b lớn nhất bằng khi Kết luận: khi thì tổng các khoảng cách từ M và N đến đường thẳng (d) nhỏ nhất. Bài 18: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(-1; -7), B(4; -3), C(-4; 1). Hãy viêt phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Bài giải: Cạnh AB có phương trình là: Cạnh AC có phương trình là: Cạnh BC có phương trình là: Từ (2) và (3) ta thấy vuông tại C. Ta có AB = , AC = , BC = Diện tích tam giác ABC là S = Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì S = p.r (p là nửa chu vi ) Suy ra Gọi K, L lần lượt là tiếp điểm của AC và BC với đường tròn nội tiếp tam giác ABC ,I là tâm của đường tròn đó thì tứ giác CKIL là hình vuông có IK = IL = Suy ra CI = Giả sử I(x0; y0) do I cách đều hai cạnh AC AB một khoảng băng r nên có: Kết luận: Đường tròn (C) nội tiếp tam giác ABC thì (C): (x + 1)2 +(y – 2)2 = 5 Bài 19: Trên mặt phẳng cho hai điểm phân biệt A, B.Tìm tập hợp các điểm M sao cho: a. MA2 + MB2 = k2 b.MA = kMB Bài giải: Câu a. Chọn hệ trục Oxy sao cho trục Ox trùng với đường thẳng AB chiều dương từ A đến B , trục Oy vuông góc với Ox tại trung điểm O của AB. Với hệ trục Oxy đã chọn thì A(-a; 0) ,B(a; 0) (AB = 2a) M(x; y) thì Từ giả thiết *Nếu thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O(0; 0) bán kính *Nếu thì tập hợp điểm M là điểm O(0; 0). *Nếu thì tập hợp ddiemr M là tập rỗng. Câu b. (Chọn hệ trục tọa độ Oxy như câu a ) Từ MA = kMB suy ra MA2 = k2MB2 Do Vậy: - Nếu k = 0 thì tập hợp điểm M là điểm B(a; 0). - Nếu thì tập hợp điểm M là một đường tròn có tâm là điểm I() bán kính .Bài 20:Trên mặt phẳng cho n điểm phân biệt A1, A2, A3,…, An và cho n số thực k1, k2, k3,…,kn sao cho k1 + k2 + k3+…+ kn. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: với m là hằng số cho tr