Chuyên đề Đường tròn

Bồi Dưỡng học sinh giỏi môn toán 9 Chuyên đề bồi dưỡng Tháng 10 Chuyên Đề Đường tròn A- Mục tiêu: -Học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đường tròn. -Vận dụng một cách thành thục các đn,tính chất để giải các dạng bài tập đó. -Rèn kỹ năng và tư duy hình học.Sáng tạo và linh hoạt trong giải toán hình học. B - NỘI DUNG : I/ Những kiến thức cơ bản : Sự xỏc định và cỏc tớnh chất cơ bản của đường trũn : Tập hợp cỏc điểm cỏch đều điểm O cho trước một khoảng khụng đổi R gọi là đường trũn tõm O bỏn kớnh R , kớ hiệu là (O,R) . Một đường trũn hoàn toàn xỏc định bởi một bởi một điều kiện của nú . Nếu AB là đoạn cho trước thỡ đường trũn đường kớnh AB là tập hợp những điểm M sao cho gúc AMB = 900 . Khi đú tõm O sẽ là trung điểm của AB cũn bỏn kớnh thỡ bằng . Qua 3 điểm A,B ,C khụng thẳng hàng luụn vẽ được 1 đường trũn và chỉ một mà thụi . Đường trũn đú được gọi là đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC . Trong một đường trũn , đường kớnh vuụng gúc với một dõy thỡ đi qua trung điểm dõy đú . Ngược lại đường kớnh đi qua trung điểm của một dõy khụng đi qua tõm thỡ vuụng gúc với dõy đú . Trong đường trũn hai dõy cung bằng nhau khi và chỉ khi chỳng cỏch đều tõm . Trong một đường trũn , hai dõy cung khụng bằng nhau , dõy lớn hơn khi và chỉ khi dõy đú gần tõm hơn . Tiếp tuyến của đường trũn : Định nghĩa : Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường trũn nếu nú cú một điểm chung với đường trũn . Điểm đú được gọi là tiếp điểm . Tớnh chất : Tiếp tuyến của đường trũn vuụng gúc với bỏn kớnh tại tiếp điểm . Ngược lại , đường thẳng vuụng gúc với bỏn kớnh tại giao điểm của bỏn kớnh với đường trũn được gọi là tiếp tuyến . Hai tiếp tuyến của một đường trũn cắt nhau tại một điểm thỡ điểm đú cỏch đến hai tiếp điểm ; tia kẻ từ điểm đú đi qua tõm là tia phõn giỏc của gúc tạo bởi hai tiếp tuyến ; tia kẻ từ tõm đi qua điểm đú là tia phõn giỏc của gúc tạo bởi hai bỏn kớnh đi qua cỏc tiếp điểm . Đường trũn tiếp xỳc với 3 cạnh của một tam giỏc gọi là đường trũn nội tiếp của tam giỏc đú . Tõm của đường trũn nội tiếp tam giỏc là giao của 3 đường phõn giỏc của tam giỏc . Đường trũn bàng tiếp của tam giỏc là đường trũn tiếp xỳc với một cạnh và phần kộo dài của hai cạnh kia . Vị trớ tương đối của hai đường trũn : Giả sử hai đường trũn ( O;R) và (O’;r) cú R ≥ r và d = OO’ là khoảng cỏch giữa hai tõm . Khi đú mỗi vị trớ tương đối giữa hai đường trũn ứng với một hệ thức giữa R , r và d theo bảng sau : Vị trớ tương đối Số điểm chung Hệ thức Hai đường trũn cắt nhau 2 R – r <d < R + r Hai đường trũn tiếp xỳc 1 d = R + r ( d = R – r ) Hai đường trũn khụng giao nhau 0 d > R + r ( d < R – r ) Hai đường trũn tiếp xỳc nhau khi và chỉ khi tiếp điểm nằm trờn đường nối tõm . Nếu hai đường trũn cắt nhau thỡ đường nối tõm vuụng gúc với dõy cung chung và chia dõy cung đú ra hai phần bằng nhau . Cỏc loại gúc : Gúc ở tõm : Định nghĩa : Là gúc cú đỉnh ở tõm đường trũn . Tớnh chất : Số đo của gúc ở tõm bằng số đo của cung bị chắn . Gúc nội tiếp : Định nghĩa : Là gúc cú đỉnh nằm trờn đường trũn và hai cạnh của gúc chứa hai dõy của đường trũn đú . Tớnh chất : Số đo của gúc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn . Gúc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dõy đi qua tiếp điểm : Tớnh chất : Số đo của gúc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dõy bằng một nửa số đo của cung bị chắn . Gúc cú đỉnh nằm bờn trong đường trũn : Tớnh chất : Số đo của gúc cú đỉnh nằm bờn trong đường trũn bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của gúc và cỏc tia đối của hai cạnh ấy . Gúc cú đỉnh nằm bờn ngoài đường trũn : Tớnh chất : Số đo của gúc cú đỉnh nằm bờn ngoài đường trũn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của gúc . Quỹ tớch cung chứa gúc : Quỹ tớch những điểm M nhỡn đoạn thẳng AB cố định dưới một gúc à khụng đổi là hai cung trũn đối xứng nhau qua AB gọi là cung chứa gúc à dựng trờn đoạn thẳng AB . Đặc biệt là cung chứa gúc 900 là đường trũn đường kớnh AB . Dựng tõm O của cung chứa gúc trờn đoạn AB : Dựng đường trung trực d của AB . Dựng tia Ax tạo với AB một gúc à , sau đú dựng Ax’ vuụng gúc với Ax . O là giao của Ax’ và d . Tứ giỏc nội tiếp đường trũn : Đinh nghĩa : Tứ giỏc cú 4 đỉnh nằm trờn đường trũn . Tớnh chất : Trong một tứ giỏc nội tiếp , tổng số đo hai gúc đối diện bằng 2 gúc vuụng . Ngược lại , trong một tứ giỏc cú tổng 2 gúc đối diện bằng 2 gúc vuụng thỡ tứ giỏc đú nội tiếp một đường trũn . Chu vi đường trũn , cung trũn , diện tớch hỡnh trũn , quạt trũn : Chu vi hỡnh trũn : C = 2R Diện tớch hỡnh trũn : S = R2 Độ dài cung trũn : l = Diện tớch hỡnh quạt trũn : S = Tớnh bỏn kớnh đường trũn nội tiếp , ngoại tớờp , bàng tiếp đa giỏc Bỏn kớnh đường trũn nội tiếp đa giỏc đều n cạnh : R = r = Bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp đa giỏc đều n cạnh r = Bỏn kớnh đường trũn nội tiếp tam giỏc (R) : R = R = Với tam giỏc vuụng tại A : R = Với tam giỏc đều cạnh a : R = Bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc (r) : r = với ( 2p = a+b+c ) Với tam giỏc vuụng tại A : r = Với tam giỏc đều cạnh a : r = Bỏn kớnh đường trũn bàng tiếp g úc A tam giỏc (ra) : ( ra là bỏn kớnh đường trũn bàng tiếp gúc A ) Với tam giỏc vuụng tại A : ra = Với tam giỏc đều cạnh a : ra = II/ Bài tập vận dụng Bài tập dụng về tớnh chất của đường trũn : Ứng dụng tớnh chất của đường trũn : Sử dụng tớnh chất của đường trũn về quan hệ đường kớnh và dõy cung ; dõy cung và khoảng cỏch đến tõm để chứng minh hai đường thẳng vuụng gúc , so sỏnh hai đoạn thẳng . Sử dụng đường kớnh là dõy cung lớn nhất của đường trũn để để xỏc định vị trớ của một đường thẳng , một điểm để cú hỡnh đặc biệt hoặc là ỏp dụng để giải cỏc bài toỏn về cực trị . Cỏc vớ dụ : Bài 1 : Trong đường trũn (O) kẻ hai bỏn kớnh OA và OB tựy ý và một dõy MN vuụng gúc với phõn giỏc Ox của gúc AOB cắt OA ở F và OB ở G . Chứng tỏ rằng MF = NG và FA = GB . M N O H F G x 1 2 A B Hướng dẫn chứng minh : Sử dụng tớnh chất đường kớnh dõy cung chứng minh : HM = HN Chứng minh tam giỏc OFG cõn để : HF = HG ; OF = OG Từ hai điều trờn suy ra điều phải chứng minh . Bài 2 : Cho hai đường trũn đồng tõm như hỡnh vẽ . So sỏnh cỏc độ dài : B A E F D C M O H K OH và OK ME và MF CM và MK Nếu biết AB > CD AB = CD AB < CD Bài 3 : Cho (O) và điểm I nằm bờn trong đường trũn . Chứng minh rằng dõy AB vuụng gúc với OI tại I ngắn hơn mọi dõy khỏc đi qua I . Hướng dẫn chứng minh : Kẻ dõy CD bất kỡ đi qua I khụng trựng với AB . Nhờ mối liờn hệ giữa dõy và khoảng cỏch từ tõm đến dõy , ta kẻ OK vuụng gúc với CD . A B O I K D C OI > OK nờn AB < CD . * Từ bài tập trờn chỳng ta thấy nếu bỏn kớnh đường trũn bằng R và OI = d chỳng ta cú thể hỏi : - Tớnh độ dài dõy ngắn nhất đi qua I ? - Tớnh độ dõy dài nhất đi qua I ? Bài 4 : Cho (O;R) và điểm M nằm ngoài đường trũn . Hóy dựng cỏt tuyến MPQ với đường trũn sao cho MP = MQ . Hướng dẫn : M N O Q P I Phõn tớch : Giả sử dựng được hỡnh thỏa món đề bài . Kẻ OI vuụng gúc với PQ . Ta cú : ị ị Kẻ PN vuụng gúc MQ ta thấy và P là giao của đường trũn đường kớnh MN và (O) Cỏch dựng : Dựng điểm N rồi dựng điểm P Bài tập về tiếp tuyến của đường trũn : Ứng dụng của tiếp tuyến : Từ cỏc tớnh chất của tiếp tuyến , của hai tiếp tuyến cắt nhau ta chỉ ra được cỏc đường thẳng vuụng gúc , cỏc cặp đoạn thẳng và cỏc cặp gúc bằng nhau ; cũng từ đú ta xõy dựng được cỏc hệ thức về cạnh , về gúc . Từ tớnh chất của tiếp tuyến chỳng ta cú thể vận dụng vào tam giỏc tỡm ra cụng thức tớnh diện tớch của đường trũn nội tiếp , đường trũn ngoại tiếp và đường trũn bàng tiếp tam giỏc , cũng như bỏn kớnh . X E F A Lưu ý : Chứng minh Ax là tiếp tuyến của (O;R) chỳng ta làm theo một trong cỏc cỏch sau : A ẻ (O;R) và gúc OAx = 900 . Khoảng cỏch từ O đến Ax bằng R . Nếu X nằm trờn phần kộo dài của EF và XA2 = XE.XF ( xem hỡnh ) . Gúc EAX = gúc AEF . Cỏc vớ dụ : Bài 1 : Cho tam giỏc ABC vuụng tại A . Gọi O là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC ; d là tiếp tuyến của đường trũn tại A . Cỏc tiếp tuyến của đường trũn tại B và C cắt d theo thứ tự ở D và E . Tớnh gúc DOE . Chứng minh : DE = BD + CE . Chứng minh : BD.CE = R2 ( R là bỏn kớnh đường trũn tõm O ) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường trũn cú đường kớnh DE . Hướng dẫn chứng minh : A E C O B D a) Sử dụng tớnh chất tiếp tuyến ta chứng minh được : b) Sử dụng tớnh chất tiếp tuyến ta chứng minh được : DE = DA + EA = BD + EC c) Sử dụng tớnh chất tiếp tuyến ta cú : BD.CE = DA.EA . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng cho tam giỏc DOE DA.EA = OA2 = R2 d) Trung điểm I của DE là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc vuụng DOE . Ta thấy OI là đường trung bỡnh của hỡnh thang vuụng BDEC nờn OI // BD // CE hay OI ^ BC hay BC là tiếp tuyến đường trũn đường kớnh DE . Bài 2 : Cho hai đường trũn ( O) và (O’) tiếp xỳc ngoài tại A . Kẻ cỏc đường kớnh AOB ; AOC’ . Gọi DE là tiếp tuyến chung của 2 đường trũn ; D ẻ ( O ) ; E ẻ ( O’) . Gọi M là giao điểm của BD và CE . Tớnh số đo gúc DAE . Tứ giỏc ADME là hỡnh gỡ ? Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến chung của hai đường trũn . Hướng dẫn chứng minh : A B C D E F O O’ M a) Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường trũn đi qua A cắt tiếp tuyến chung DE ở F . Dựa vào tớnh chất tiếp tuyến ta cú FA = FD = FE . Vậy tam giỏc DAE là tam giỏc vuụng tại A hay gúc DAE = 900 . b) Tứ giỏc ADME cú nờn nú là hỡnh chữ nhật . c) Từ cõu b) AM đi qua trung điểm của DE hay AM trựng với AF nờn AM là tiếp tuyến chung của hai đường trũn . Lời bỡnh : Với những bài tập cho trước hai đường trũn tiếp xỳc nhau , ta nờn lưu ý đến tiếp tuyến chung của chỳng . Nú thường cú một vai trũ rất quan trọng trong cỏc lời giải . Với bài tập trờn chỳng ta cú thể hỏi : CMR : gúc OFO’ là gúc vuụng . DE là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc OFO’ . Cỏc tia AD và AE cắt (O) và (O’) ở H ; K . Chứng minh : SAHK = SADE . Bài 3 : Gọi a , b, c là số đo 3 cạnh của tam giỏc ABC , r là bỏn kớnh đường trũn nội tiếp tam giỏc . Tớnh diện tớch tam giỏc theo p và r , trong đú p là nửa chu vi tam giỏc . I A B C E F D Hướng dẫn : Gọi D , E , F là cỏc tiếp điểm . Theo tớnh chất tiếp tuyến : ID = IF = IE = r . Nờn : SABC = SABI + SBCI + SACI = ( a + b + c).r = pr S = pr . Từ bài tập trờn hóy tớnh : Bỏn kớnh r của đường trũn nội tiếp tam giỏc vuụng , tam giỏc đều theo cỏc cạnh của tam giỏc . Cỏc đoạn tiếp tuyến AE , BF , CD theo cỏc cạnh a , b, c của tam giỏc . Bài tập về cỏc loại gúc trong đường trũn Bài 1 : Cho A là một điểm cố định trờn đường trũn (O) và M là một điểm di động trờn đường trũn đú . N là giao của AM với đường kớnh cố định BC . Chứng minh giao điểm của đường trũn (O) với đường trũn ngoại tiếp tam giỏc OMN là cố định . C B O A D P M N Hướng dẫn chứng minh : Kẻ DA // BC . Kẻ đường kớnh DP . Ta dễ thấy : ( cựng bằng gúc A ) . Nờn đường trũn ngoại tiếp tam giỏc OMN đi qua P ẻ (O) cố định. Nhận xột : Trong bài này P cũn là gúc nội tiếp của hai đường trũn nờn nú đúng vai trũ đại lượng trung gian để chứng minh những gúc bằng nhau . Kĩ năng này cũn được gặp lại khỏ thường xuyờn . Bài 2 : Cho tham giỏc ABC cú 3 gúc nhọn . Đường trũn (O) cú đường kớnh BC cắt AB , AC theo thứ tự ở D , E . Gọi I là giao điểm của BE và CD . Chứng minh : AI ^ BC Chứng minh : Cho gúc BAC = 600 . Chứng minh tam giỏc DOE là tam giỏc đều . E B C D A I O Hướng dẫn chứng minh : a) Dựa vào tớnh chất gúc chắn nửa đường trũn , ta chứng minh được I là trực tõm của tam giỏc ABC nờn AI ^ BC . b) Gúc IAE = EBC gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc . Gúc EBC = EDC cựng chắn cung EC . Từ hai điều trờn suy ra điều chứng minh . c) Gúc BAC = 600 ị Gúc DBE = 300 chắn cung DE ị Số đo cung DE = 600 ị Gúc DOE = 600 mà tam giỏc DOE cõn đỉnh O nờn DOE là tam giỏc đều . Bài 3 : Cho đường trũn (O) đường kớnh AB . Kẻ tiếp tuyến Ax với đường trũn . Điểm C thuộc nửa đường trũn cựng nửa mặt phẳng với Ax với bờ là AB. Phõn giỏc gúc ACx cắt đường trũn tại E , cắt BC ở D .Chứng minh : Tam giỏc ABD cõn . H là giao điểm của BC và DE . Chứng minh DH ^ AB . A B C D K E H O BE cắt Ax tại K . Chứng minh tứ giỏc AKDH là hỡnh thoi . Hướng dẫn giải : a) AD là phõn giỏc hai cung AE và CE bằng nhau . Dựa vào gúc nội tiếp ta dễ dàng chứng minh được BE vừa là phõn giỏc vừa là đường cao của tam giỏc ABD , nờn DABD cõn đỉnh B. b) Dựa vào gúc chắn nửa đường trũn .Ta thấy H là trực tõm của DABD nờn DH ^ AB. c) Ta thấy KE = HE (vỡ DAKH cõn đỉnh A) và AE = DE (D ABD cõn đỉnh B) và AD^KH , nờn tứ giỏc AKDH là hỡnh thoi . * Từ bài tập trờn cú thể ra cỏc cõu hỏi khỏc : - Chứng minh OE ^ AC . - Tỡm vị trớ của C trờn cung AB để DABD đều Bài 4 : Cho tam giỏc ABC nội tiếp (O;R) .Chứng minh rằng : a) R = b) R = A B C A’ H O a b Hướng dẫn giải a) Kẻ đường kớnh AA’lỳc đú DACA’ vuụng tại C . Dựa vào hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng và gúc nội tiếp chắn cựng một cung ta cú : Hay Chứng minh tương tự . b) Ta thấy hai tam giỏc vuụng AHB và ACA’ đồng dạng nờn hay mà suy ra hay Từ bài tập trờn hóy tớnh bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc vuụng , tam giỏc đều . Bài tập về tứ giỏc nội tiếp một đường trũn Chứng minh tứ giỏc nội tiếp một đường trũn theo một trong cỏc cỏch sau đõy : Chứng minh tổng hai gúc đối diện trong một tứ giỏc bằng 1800. Chứng minh hai điểm nhỡn hai điểm cũn lại dưới cựng một gúc . Tứ giỏc ABCD cú AC cắt BD tại M mà MA.MC = MB.MD thỡ tứ giỏc ABCD nội tiếp . Tứ giỏc cú hai cạnh bờn AB và CD giao nhau tại M mà MA.MB = MC.MD thỡ tứ giỏc ABCD nội tiếp . Cỏc vớ dụ : Bài 1 : Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn với cỏc đường cao BD , CE . Chứng minh BEDC là tứ giỏc nội tiếp . x A B C D E Chứng minh : AD.AC = AE.AB . Kẻ tiếp tuyến Ax của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC . Chứng minh rằng : Ax // ED . Hướng dẫn chứng minh : a) D, E cựng nhỡn BC dưới một gúc 900 nờn tứ giỏc BEDC nội tiếp . b) Hai tam giỏc vuụng ABD và ACE đồng dạng . Suy ra AD.AC = AE.AB . c) vỡ cựng chắn cung AB. vỡ cựng phụ với gúc BED . Nờn . Suy ra Ax // ED . Nhận xột : Với giả thiết của bài toỏn trờn chỳng ta cú thể khai thỏc bài toỏn theo nhiều hướng và ra được nhiều cõu hỏi : Kộo dài cỏc đường cao BD , CE , AF cắt đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC ở D’ , E’ , F’ . Chứng minh : H là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc D’E’F’ . H đối xứng với D’,E’,F’ qua AC , AB , BC . ED // E’D’. OA ^ E’D’. Cỏc đường trũn tam giỏc : HAB , HBC, HCA cú bỏn kớnh bằng nhau . SABC = . Vẽ hỡnh bỡnh hành BHCK , I là trung điểm của BC . Chứng minh : Tứ giỏc ABKC nội tiếp với K nằm trờn đường trũn (O) . . H , I , K thẳng hàng . AH // OI ; AH = 2.OI . Nếu B , C cố định A di động thỡ bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ADE khụng đổi . Đường thẳng qua K song song với BC cắt AH tại M thỡ A,B,C,K,M cựng nằm trờn một đường trũn . Bài 2 : Cho tứ giỏc ABCD nội tiếp (O) ; E là điểm chớnh giữa của cung AB , hai dõy EC , ED cắt AB tại P và Q . Cỏc dõy AD và EC kộo dài cắt nhau tại I , cỏc dõy BC và ED kộo dài cắt nhau tại K . Chứng minh rằng : Tứ giỏc CDIK nội tiếp . Tứ giỏc CDQP nột tiếp . IK // AB . A B D C Q P E I K Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AQD tiếp xỳc với EA . Hướng dẫn : a) D và C cựng nhỡn IK dưới hai gúc bằng nhau ( gúc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau ) . Suy ra tứ giỏc DIKC nội tiếp . b) sđ (QDC + QPC) = ẵsđ (BE + CB) + ẵ sđ (ADC + BE) = ẵ sđ( BE + CB + ADC + BE ) = 1800 Nờn tứ giỏc CDQP nội tiếp . c) sđ API = ẵ sđ( CB + AE ) = ẵ sđ ( CB + BE ) = sđ CDK = sđ CIK = ẵ sđ CK Từ đú suy ra IK // AB . d) EAQ = ADQ ( gúc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau ) . Suy ra AE là tiếp tuyến Bài 3 : Cho tứ giỏc nội tiếp đường trũn (O) . Chứng minh rằng tớch hai đường chộo bằng tổng của tớch cỏc cặp cạnh đối diện . A B C D E Hướng dẫn : Giả sử ACD > ACB . Lấy E trờn BD sao cho ACB = DCE . Hai tam giỏc ABC và DEC đồng dạng : AB.DC = AC.DE . Hai tam giỏc ADC và BEC đồng dạng : AD.BC = AC.BE . Cộng từng vế hai đẳng thức trờn suy ra điều chứng minh . II . Bài tập tổng hợp : Trong phần I , chỳng ta đó làm quen dần với cỏc dạng toỏn tương ứng với những kiến thức cơ bản của đường trũn . Trong phần II này , chỳng ta sẽ nõng cao kĩ năng giả toỏn trờn những bài tập tổng hợp của những dạng toỏn trờn . Cỏc cõu hỏi thường gặp trong cỏc bài toỏn hỡnh : Chứng minh : Nhiều điểm cựng nằm trờn một đường trũn (đặc biệt là 4 điểm cựng nằm trờn một đường trũn hay chứng minh tứ giỏc nội tiếp ) . Chứng minh hai đường thẳng song song , vuụng gúc với nhau . Chứng minh đẳng thức hỡnh học . Nhận biết hỡnh là hỡnh gỡ ? ( cú thể là tam giỏc cõn , hỡnh bỡnh hành , hỡnh thoi , hỡnh chữ nhật , hỡnh thang cõn ) . Lưu ý : Khi chứng minh tứ giỏc là hỡnh thang cõn khụng được chứng minh là hỡnh thang cú hai cạnh bờn bằng nhau . Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ; 3 hay nhiều điểm thẳng hàng . Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường trũn , tiếp tuyến chung của hai đường trũn . Xỏc định vị trớ đặc biệt để cú hỡnh đặc biệt . Toỏn cực trị hỡnh học . Toỏn cỏc đại lượng hỡnh học : Đoạn thẳng , cung ,gúc , chu vi , diện tớch Trong cỏc cõu hỏi trờn tựy theo từng bài mà ra cỏc cõu hỏi sao cho cú sự logic giữa cỏc cõu thứ nhất , thứ hai và cỏc cõu sau . Thụng thường kết quả của cỏc cõu trờn bao giờ cũng là giả thiết để chứng minh cõu dưới, đụi khi cần vẽ thờm hỡnh thỡ bài toỏn trở lờn đơn giản hơn . Bài tập vận dụng Bài 1 : Cho nửa đường trũn (O) đường kớnh AB . Từ A và B kẻ tiếp tuyến Ax và By . Qua điểm M thuộc nửa đường trũn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt cỏc tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại E và F . Chứng minh AEMO là tứ giỏc nội tiếp . AM cắt OE tại P , BM cắt OF tại Q . Tứ giỏc MPOQ là hỡnh gỡ ? Tại sao ? Kẻ MH ^ AB ( H ẻ AB) . Gọi K là giao của MH và EB . So sỏnh MK và KH. A B F E M O P Q K H Hướng dẫn : 1) EAO = EMO = 900 . Nờn AEMO là tứ giỏc nội tiếp . 2) Dựa vào tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau cú MPO = MQO = 900 và PMQ = 900 nờn PMQO là hỡnh chữ nhật . 3) DEMK D EFB (g.g) ị mà MF = FB ị DEAB D KHB (g.g) ị mà ( Ta let) ị Vỡ EM = EA ị MK = KH . C D B G K I O O’ A Bài 2 : Cho (O) cắt (O’) tại A và B . Kẻ cỏt tuyến chung CBD ^ AB ( C ở trờn (O) và D ở trờn (O’).) Chứng minh A , O , C và A ,O’, D thẳng hàng . Kộo dài CA và DA cắt (O’) và (O) theo thứ tự tại I và K . Chứng minh tứ giỏc CKID nội tiếp . Chứng minh BA , CK và DI đồng quy . Hướng dẫn : CBA = DBA = 900 nờn AC và DA là đường kớnh hay A,O, C thẳng hàng D ,O’,A thẳng hàng . Từ cõu 1) và dựa vào gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn ta thõy K , I cựng nhỡn CD dưới một gúc vuụng nờn tứ giỏc CDIK nội tiếp . A là trực tõm của tam giỏc ADG cú AB là đường cao hay BA đi qua G . Bài 3 : Cho hai đường trũn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A,B . Cỏc đường AO và AO’cắt đường trũn (O) lần lượt tại C và D , cắt đường trũn (O’) lần lượt tại E , F . E D C B F O’ A O Chứng minh B , F , C thẳng hàng . Chứng minh tứ giỏc CDEF nội tiếp . Chứng minh A là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc BDE . Tỡm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) Hướng dẫn : CBA + FBA = 1800 nờn A , B , F thẳng hàng . D, E cựng nhỡn CF dưới một gúc vuụng nờn CDEF nội tiếp . Tứ giỏc CDEF nội tiếp nờn EDF = ECF ; ACB = ADB từ đú suy ra EDF = ADB . Hay DE là phõn giỏc gúc D của DBDE . Tương tự EC là phõn giỏc gúc E của DBDE . Hai phõn giỏc cắt nhau tại A nờn A là tõm đường trũn nội tiếp DBDE . Giả sử DE là tiếp tuyến chung của hai đường trũn ta cú OO’ // CE cựng vuụng gúc với AB : AOO’ = ACB mà ACB = FDE ( DCFE nội tiếp ) suy ra : AOO’ = ODE hay tứ giỏc ODEO’ nội tiếp (1) DE là tiếp tuyến thỡ DE vuụng gúc với OD và O’E (2) Vậy ODEO’ là hỡnh chữ nhật : Hay OD = O’E ( Hai đường trũn cú bỏn kớnh bằng nhau ) A B Q D C O P d Bài 4 : Cho (O,R) đường kớnh AB , đường kớnh CD di động . Gọi đường thẳng d là tiếp tuyến của đường trũn tại B . Đường thẳng d cắt cỏc đường thẳng AC , AD theo thứ tự tại P và Q . Chứng minh tứ giỏc CPQD nội tiếp một đường trũn . Chứng minh AD. AQ = AC.AP . Tứ giỏc ADBC là hỡnh gỡ ? Tại sao ? Xỏc định vị trớ của CD để SCPQD = 3.SACD Hướng dẫn : 1. CPB = CDA ( cựng bằng CBA) nờn CPB + CDQ = 1800. 2. DADC DAPQ (g.g) suy ra AD.AQ = AC.AP . 3. Tứ giỏc ADBC là hỡnh chữ nhật vỡ cú 4 gúc vuụng. 4. Để SCPQD = 3.SACD ị SADC = ẳ SAPQ tức là tỉ số đồng dạng của hai tam giỏc này là ẵ . Suy ra AD = ẵ AP hay BC = ẵ AP mà tam giỏc ABC vuụng tại B nờn C là trung điểm của CP ị CB = CA hay DACB cõn ị CD ^ AB . Bài 5 : Từ một điểm S nằm ngoài đường trũn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA , SB và cỏt tuyến SCD của đường trũn đú . Gọi E là trung điểm của dõy CD . Chứng minh 5 điểm S ,A , E , O , B cựng nằm trờn một đường trũn . S O D A C B E K Nếu SA = OA thỡ SAOB là hỡnh gỡ ? Tại sao ? Chứng minh AC . BD = BC.DA = ẵ AB.CD Hướng dẫn chứng minh 1) Sử dụng tớnh chất tiếp tuyến , ta cú A , B cựng nhỡn SO dưới một gúc vuụng , nờn tứ giỏc SADO nội tiếp đường trũn đường kớnh SO . Dựa vào tớnh chất đường kớnh vuụng gúc với dõy cung , ta cú SEO = 900 . Nờn E thuộc đường trũn đường kớnh SO . 2) Nếu SA = OA thỡ SA = AB = OA = OB và gúc A vuụng nờn tứ giỏc SAOB là hỡnh vuụng . Ta thấy DSAC DSDA ị DSCB DSBD ị Mà SA = SB ị ị AC.BD = AD.BC (1) Trờn SD lấy K sao cho CAK = BAD lỳc đú DCAK DBAD (g.g) ị AC.DB = AB.CK DBAC DDAK (g.g) ị BC.AD = DK.AB Cộng từng vế ta được AC.BD + BC.AD = AB( CK+DK )= AB.CD (2) Từ (1) và (2) suy ra : AC.BD + AC.BD = AB.CD hay AC.BD = ẵ AB.CD Vậy AC.BD = AD.BC = ẵ AB.CD . Bài 6 : Cho tam giỏc ABC vuụng ở A . Đường trũn đường kớnh AB cắt BC tại D . Trờn cung AD lấy một điểm E . Nối BE và kộo dài cắt AC tại F . Chứng minh CDEF nội tiếp . Kộo dài DE cắt AC ở K . Tia phõn giỏc của gúc CKD cắt EF và CD tại M và N . Tia phõn giỏc của gúc CBF cắt DE và CF tại P và Q . Tứ giỏc MNPQ là hỡnh gỡ ? Tại sao ? Gọi r1 , r2 , r3 theo thứ tự là đường trũn nội tiếp cỏc tam giỏc ABC , ADB , ADC . Chứng minh : r = r12 + r22 . A B K F Q C N D E P M Hướng dẫn : 1) Dựa vào số đo cung ta thấy C = DEB ị C + DEF = 1800 Nờn tứ giỏc CDEF nội tiếp . 2) DBED DBCQ ( g.g) ị BPE = BQC ị KPQ = KQP hay DKPQ cõn . DCNK DMK ị EMK = CNK ị BMN = BNM hay DBMN cõn . ị MN ^ PQ và MN cắt PQ là trung điểm của mỗi đường . Nờn MNPQ là hỡnh thoi. 3) DABC DDAB DDAC ị ị Û Û r2 = r12 + r22 . Bài 7 : Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn nội tiếp (O;R) . Hạ cỏc đường cao AD , BE của tam giỏc . Cỏc tia AD , BE lần lượt cắt (O) tại cỏc điểm thứ hai M , N . Chứng minh rằng : Bốn điểm A , E , D , B nằm trờn một đường trũn . Tèm tõm I của đường trũn đú . MN // DE . Cho (O) và dõy AB cố định , điểm C di chuyển trờn cung lớn AB . Chứng minh rằng độ dài bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc CED khụng đổi . Hướng dẫn giải : A N C I B M D E O K H a) E,D cựng nhỡn AB dưới một gúc vuụng nờn tứ giỏc AEDB nội tiếp trong một đường trũn đường kớnh AB cú I ( trung điểm của AB ) là tõm b) Ta thấy : ABE = ADE ( chắn cung AE ) mà ABE = AMN ( chắn cung AN ) nờn ADE = AMN hay DE // MN . c) Kẻ thờm hỡnh như hỡnh vẽ . Dựa vào gúc nội tiếp của tứ giỏc AEBD suy ra được CN = CM nờn OC ^ MM ị OC ^ DE Tứ giỏc HDCE nội tiếp đường trũn tõm K ( trung điểm của HC) đõy cũng là đường trũn ngoại tiếp tam giỏc CDE ị KD = KE và ID = IE nờn IK ^ DE hay IK // OC và OI // CK nờn OIKC là hỡnh bỡnh hành ị KC = OI khụng đổi . Bài 8 : Cho tam giỏc đều nội tiếp đường trũn (O,R) Tớnh theo chiều R độ dài cạnh và chiều cao của DABC . Gọi M là điểm di động trờn cung nhỏ BC ( M ạ B,C ) Trờn tia đối của MB lấy MD = MC . Chứng tỏ DMCD đều . CMR : M di động trờn cung nhỏ BC thỡ D di chuyển trờn một đường trũn cố định , xỏc định tõm và cỏc vị trớ giới hạn . Xỏc định vị trớ điểm M sao cho tổng S = MA + MB + MC là lớn nhất. Tớnh giỏ trị lớn nhất của S theo R . Hướng dẫn : B A C I E O M D H 1) và AB = AC = BC = R 2) Cú MC = MD ( gt) sđ BMC = ẵ sđ BAC = ẵ ( 3600 : 3).2 = 1200 . ị CMD = 600 . Vậy DCMD đều 3) DIMC = DIMD ( c.g.c) ị IC = ID . Khi M di động trờn cung nhỏ BC thỡ D chạy trờn đường trũn ( I ; IC ) Khi M º C ị D º C ; M º I ị D º E . 4) DACM = DBCD ( g.c.g ) ị AM = BD ị S = MA + MB + MC = 2.AM Ê 2.AI ị S Ê 4R . S Max= 4R khi AM là đường kớnh . Bài 9 : Cho DABC ngoại tiếp (O) . Trờn BC lấy M , trờn BA lấy N , trờn CA lấy P sao cho BM=BN và CM = CP . Chứng minh rằng : O là tõm đường trũn ngoại tiếp DMNP . Tứ giỏc ANOP nội tiếp đường trũn . Tỡm vị trớ M , N , P sao cho độ dài NP nhỏ nhất . A B C D P F E M N O Hướng dẫn : a) Từ tớnh chất 2 tiếp tuyến cắt nhau và giả thiết suy ra : DN = EM = FP ị DODA = DOEM = DOFP ( c.g.c ) ịON = OM = OP hay O là tõm đường trũn ngoại tiếp DMNP b) Từ cõu a) suy ra OND = OPF nờn tứ giỏc ANOP nội tiếp . c) Kẻ OH ^ NP . Cú NP = 2 .NH = 2. NO .cosHNO = 2.NO.Cos(A/2) = 2.OE .Cos (A/2) . Vậy NPMin = 2r.cos(A/2) . Khi đú M , N , P trựng với cỏc tiếp điểm . Bài 10 : Cho hỡnh vuụng ABCD cú cạnh bằng 3a . Lấy AE = a trờn cạnh AD và DF = a trờn cạnh DC . Nối AF và BE cắt nhau ở H . Chứng minh : AF ^ BE . Tớnh cạnh của tứ giỏc ABFE và đường chộo của nú theo a . Tớnh theo a đoạn HE , HB . Chứng minh : EDFH nội tiếp đường trũn . Đường