Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Dạng toán qui về đơn vị Bài tập 1: Hai vòi nước cùng chảy đầy một bẻ không có nước trong 3h 45ph . Nếu chảy riêng rẽ , mỗi vòi phải chảy trong bao lâu mới đầy bể ? biết rằng vòi chảy sau lâu hơn vòi trước 4 h . Giải Gọi thời gian vòi đầu chảy chảy một mình đầy bể là x ( x > 0 , x tính bằng giờ ) Gọi thời gian vòiớau chảy chảy một mình đầy bể là y ( y > 4 , y tính bằng giờ ) 1 giờ vòi đầu chảy được ( bể ) 1 giờ vòi sau chảy được ( bể ) 1 giờ hai vòi chảy được + ( bể ) (1) Hai vòi cùng chảy thì đầy bể trong 3h 45ph = h Vậy 1 giờ cả hai vòi chảy được 1: = ( bể ) ( 2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình + = Mất khác ta biết nếu chảy một mình thì vòi sau chảy lâu hơn vòi trước 4 giờ tức là y – x = 4 Vậy ta có hệ phương trình + = y – x = 4 Hệ (a) thoả mãn đk của ẩn Hệ (b) bị loại vì x < 0 Vậy Vòi đầu chảy một mình đầy bể trong 6 h Vòi sau chảy một mình đầy bể trong 10 h Bài tập 2: Hai người thợ cùng làm một công việc . Nếu làm riêng rẽ , mỗi người nửa việc thì tổng số giờ làm việc là 12h 30ph . Nếu hai người cùng làm thì hai người chỉ làm việc đó trong 6 giờ. Như vậy , làm việc riêng rẽ cả công việc mỗi người mất bao nhiêu thời gian ? Giải Gọi thời gian người thứ nhất làm riêng rẽ để xong nửa công việc là x ( x > 0 ) Gọi thời gian người thứ hai làm riêng rẽ để xong nửa công việc là y ( y > 0 ) Ta có pt : x + y = 12 ( 1 ) thời gian người thứ nhất làm riêng rẽ để xong công việc là 2x => 1 giờ người thứ nhất làm được công việc Gọi thời gian người thứ hai làm riêng rẽ để xong công việc là 2y => 1 giờ người thứ hai làm được công việc 1 giờ cả hai người làm được công việc nên ta có pt : + = (2) Từ (1) và (2) ta có hệ pt : Vậy nếu làm việc riêng rẽ cả công việc một người làm trong 10 giờ còn người kia làm trong 5 giờ Bài tập 3: Hai tổ thanh niên tình nguyện cùng sửa một con đường vào bản trong 4 giờ thì xong . Nếu làm riêng thì tổ 1 làm nhanh hơn tổ 2 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu sẽ xong việc ? Giải Gọi thời gian một mình tổ 1sửa xong con đường là x( giờ ) ( x ≥ 4 ) Thời gian một mình tổ 2 sửa xong con đường là x + 6 ( giờ ) Trong 1 giờ tổ 1 sửa được ( con đường ) Trong 1 giờ tổ 2 sửa được (con đường ) Trong 1 giờ cả hai tổ sửa được (con đường ) Vậy ta có pt: + = x1= 6; x2 = -4 X2 = - 4 < 4 , không thoả mãn điều kiện của ẩn Vậy một mình tổ 1 sửa xong con đường hết 6 ngày một mình tổ 2 sửa xong con đường hết 12 ngày Bài tập 4: Hai đội công nhân làm một đoạn đường . Đội 1 làm xong một nửa đoạn đường thì đội 2 đến làm tiếp nửa còn lại với thời gian dài hơn thời gian đội 1 đã đã làm là 30 ngày . Nếu hai đội cùng làm thì trong 72 ngày xong cả đoạn đường .Hỏi mỗi đội đã làm bao nhiêu ngày trên đoạn đường này ? Giải Gọi thời gian đội 1 làm là x ngày ( x > 0 ) thì thời gian đội 2 làm việc là x + 30 ( ngày ) Mỗi ngày đội 1 làm được ( đoạn đường ) Mỗi ngày đội 2 làm được ( đoạn đường ) Mỗi ngày cả hai đội làm được ( đoạn đường ) Vậy ta có pt : + = Hay x2 -42x – 1080 = 0 / = 212 + 1080 = 1521 => / = 39 x1 = 21 + 39 = 60 ; x2 = 21- 39 = - 18 < 0 không thoả mãn đk của ẩn Vậy đội 1 làm trong 60 ngày , đội 2 làm trong 90 ngày . Bài 5: Hai đội công nhân trồng rừng phải hoàn thành kế hoạch trong cùng một thời gian . Đội 1 phải trồng 40 ha , đội 2 phải trồng 90 ha . Đội 1 hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày so với kế hoạch .Đội 2 hoàn thành muộn hơn 2 ngày so với kế hoạch . Nếu đội 1 làm công việc trong một thời gian bằng thời gian đội 2 đã làm và đội 2 làm trông thời gian bằng đội 1 đã làm thì diện tích trồng được của hai đội bằng nhau . Tính thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch ? Giải Gọi thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch là x ( ngày ) , x > 0 Thời gian đội 1 đã làm là x – 2 ( ngày ) Thời gian đội 2 đã làm là x + 2 ( ngày ) Mỗi ngày đội 1 trồng được (ha) Mỗi ngày đội 2 trồng được (ha) Nếu đội 1 làm trong x + 2 ngày thì trồng được (x + 2) (ha) Nếu đội 2 làm trong x - 2 ngày thì trồng được (x - 2) (ha) Theo đầu bài diện tích rừng trồng dược của hai đội trong trường này là bằng nhau nên ta có pt: (x + 2) = (x - 2) Hay 5x2 – 52x + 20 = 0 / = 262 – 5.20 = 576 , / = 24 x1 = = 10 ; x2 = x2 < 2 , không thoả mãn đk của ẩn Vậy theo kế hoạch mỗi đội phải làm việc 10 ngày . Bài 6:(197/24 – 500 BT chọn lọc ) Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm được 25% công việc . Hỏi mỗi người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong . Giải: Gọi x , y lần lượt là số giờ người thứ nhất người thứ hai một mình làm xong công việc đó ( x > 0 , y > 0 ) Ta có hệ pt Bài 7 : ( 198/24 – 500 BT chọn lọc ) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước thì sau 6 giờ đầy bể . Nếu vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ , vòi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì được bể . Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì đầy bể ? Giải : Gọi x , y lần lượt là số giờ vòi thứ nhất , vòi thứ hai chảy đày bể một mình ( x > 0 , y > 0 ) Ta có hệ pt x = 10 , y = 15 thoả mãn đk của ẩn . Vậy vòi thứ nhất chảy một mình mất 10 giờ , vòi thứ hai chảy một mình mất 15 giờ . Bài tập 8 ( 199/24 – 500 BT chọn lọc ) Hai người dự định làm một công việc trong 12 giờ thì xong . Họ làm với nhau được 8 giờ thì người thứ nhất nghỉ , còn người thứ hai vẫn tiếp tục làm . Do cố gắng tăng năng suất gấp đôi , nên người thứ hai đã làm xong công việc còn lại trong 3giờ 20phút . Hỏi nếu mỗi người thợ làm một mình với năng suất dự định ban đầu thì mất bao lâu mới xong công việc nói trên ? ( Đề thi chuyên toán vòng 1 tỉnh Khánh hoà năm 2000 – 2001 ) Giải: Gọi x , y lần lượt là thời gian người thợ thứ nhất và người thợ thứ hai làm xong công việc với năng suất dự định ban đầu . Một giờ người thứ nhất làm được (công việc ) Một giờ người thứ hai làm được (công việc ) Một giờ cả hai người làm được (công việc ) Nên ta có pt : + = (1) trong 8 giờ hai người làm được 8. = (công việc ) Công việc còn lại là 1 - = ( công việc ) Năng suất của người thứ hai khi làm một mình là 2.= (Công việc ) Mà thời gian người thứ hai hoàn thành công việc còn lại là (giờ) nên ta có pt : = hay = (2) Từ (1) và (2) ta có hệ pt : + = ú = Vậy theo dự định người thứ nhất làm xong công việc hết 30giờ và người thứ hai hết 20 giờ . Bài tập 9: ( 400 bai tập toán 9 ) Hai người A và B làm xong công việc trông 72 giờ , còn người A và C làm xong công việc trong đó trong 63 giờ và ngươoì B và C làm xong công việc ấy trong 56 giờ . Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì trong bao lâu thì trong bao lâu sẽ làm xong công việc >Nếu ba người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong mấy giờ ? Giải : Gọi người A một mình làm xong công việc trong x (giờ ), x > 0 thì mỗi giờ làm được ( công việc). Người B một mình làm xong công việc trong y (giờ ), y > 0 thì mỗi giờ làm được ( công việc) Người C một mình làm xong công việc trong z (giờ ), z > 0 thì mỗi giờ làm được ( công việc) Ta có hpt : Nếu cả ba người cùng làm yhì mỗi giờ làm được + + = ( công việc ) Vậy cả ba ngưòi cùng làm sẽ hoàn thành cong việc trong (giờ ) Bài 10: ( 283 /34 – 500 BT chọn lọc ) Có ba đội cùng cùng làm chung một công việc . Làm chung được 4 ngày thì đội III điều động đi làm việc khác , hai đội còn lại cùng làm thêm 12 ngày nữa thì hoàn thành công việc . Biết rằng năng suất của đội I cao hơn năng suất của đội II , năng suất của đội III là trung bình cộng của năng suất đội I và năng suất đội II và nếu mỗi đội làm một mình một phần ba công việc thì phải mất 37 ngày mới xong. Hỏi nếu mỗi dội làm một mình thì bao nhiêu ngày xong công việc . (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 trường PTTH NK - ĐHQG TP HCM 2003 – 2004) Giải : Gọi x , y , z lần lượt là số ngày đội I , II , III làm một mình xong công việc, x > 0, y > 0 , z > 0 Một ngày đội I , II , III theo thứ tự làm được , , ( công việc ) ( > vì năng suất đội I cao hơn năng suất đội II ) Năng suất đội ba bằng trung bình cộng của hai đội còn lại , nên ta có phương trình : = ( + ) : 2 (1) 4 ngày đội III làm được ( công việc ) 16 ngày đội I đội II theo thứ tự làm được + Vậy ta có pt : (2) Số ngày mà mỗi đội I , II , III làm một mình một phần ba công việc lần lượt là và hoàn thành công việc trong 37 ngày nên ta có pt : (3) Vậy : từ (1) , (2) , (3) ta có hệ pt : = ( + ) : 2 , Nghiệm thứ nhất bị loại vì < không thoả mãn đk của ẩn .Nghiệm thứ hai thoả mãn đk Vậy nếu làm một mình để hoàn thành công việc đội I làm mất 30 ngày , đội hai mất 45 ngày , đội III mất 36 ngày . Bài tập 11: ( 258 /96 – nâng cao và chuyên đề ) Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc . Thời gian để đội I làm một mình xong công việc ít hơn thời gian để đội II làm một mình xong công việc đó là 4 giờ . Tổng thời gian này gấp 4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để xong công việc đó . Hỏi mỗi đội làm một mình thì phải bao lâu mới xong . Giải : Gọi thời gian đội I làm một mình xong công việc là x giờ ( x > 0 ) Suy ra thời gian đội II làm một mình xong công việc là x + 4 giờ Trong 1 giờ hai đội làm chung được : ( công việc ) Thời gian để hai đội làm chung xong công việc là (giờ) Vậy ta có pt : 2x + 4 = 4,5 . hay x2 + 4x – 32 = 0 ú x1 = - 8 ( loại ) x2 = 4 ( thoả mãn điều kiện của ẩn ). Vậy Đội I làm một mình xong công việc hết 4 giờ , đội hai hết 8 giờ . Bài tập 12 :