Chuyên đề Giải bài toán bằng nhiều cách

Chuyên Đề GIẢI BÀI TOÁN BẰNG NHIỀU CÁCH. I. ĐẶC VẤN ĐỀ. Trong quá trình học toán và giải toán, khi đã tìm ra lời giải cho một bài toán với một lý do nào đó ta thường bằng lòng với cách giải đó và không tìm tòi xem thử bài toán này có thể giải bằng một cách khác, có thể vận dụng kiến thức khác để giải bài toán hay không. Bản thân tôi nhận thấy trong học toán, việc giải toán và tìm thêm những lời giải khác của một bài toán nhiều khi ta gặp nhiều điều thú vị. Ngay khi lời giải mà ta tìm được là đã tốt rồi thì việc tìm được một lời giải khác vẫn có lợi, nó giúp cho ta xác nhận được một vấn đề từ hai hay nhiều lí luận khác nhau nhằm tăng thêm tính thuyết phục và sự khẳng định một vấn đề nào đó. Theo tôi thì việc đi tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán sẽ giúp cho: - Giáo viên tìm được hướng giảng dạy tốt phù hợp cho từng đối tượng học sinh, rèn luyện kỹ năng giải toán và có thể bao quát được toàn bộ chương trình của cấp học và tìm ra cho mình một phương pháp dạy học tốt hơn, hiệu quả hơn. - Học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán, khả năng suy luận khi giải quyết một vấn đề theo nhiều cách khác nhau trong những tình huống khác nhau. Qua đó giúp cho học sinh tìm ra được các cách giải hay và ngắn gọn cho bài toán. Từ đó rèn luyện cho học sinh tính kiên trì, sáng tạo trong học tập và dần dần hoàn thiện phương pháp giải toán cho bản thân và có thể vận dụng vào việc sử lý các tình huống xãy ra trong cuộc sống sao cho tối ưu nhất. Sau đây tôi xin đưa ra một số các ví dụ minh họa về việc tìm các lời giải khác nhau cho các bài toán. II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: Bài 1: Bài toán cổ “Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu con Một trăm chân chẵn” Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó? Cách 1: Ta sử dụng phương pháp giả thiết tạm để giải: Giả sử 36 con đều là gà thì số chân sẽ là: 2. 36 = 72 (chân) Số chân còn thừa là: 100 – 72 = 28 (chân) Vì mỗi con chó có 4 chân, mỗi con gà có 2 chân. Nên số chân còn thừa là số chân chó ta có số chó là: 28 : 2 = 14 (con) Số gà là: 36 – 14 = 22 (con) ĐS: Gà 22 con, chó 14 con ( Cách này ta có thể áp dụng cho học sinh lớp 6) Cách 2: Sử dụng phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình Gọi gọi số gà là: x (con) ( 0 < x < 36 ) Số chân gà là: 2x (chân) Số chó là: 36 – x (con) Số chân chó là: (36 – x).4 (chân) Vì số chân gà và số chân chó là 100 chân ta có phương trình. 2x + (36 – x).4 = 100 Giải phương trình ta được: x = 22 (Thỏa mãn ĐK bài toán) Vậy: số gà là 22 con, số chó là 14 con. Cách 3: Sử dụng phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Gọi gọi số gà là: x (con) ( 0 < x < 36 ) Số chân gà là: 2x (chân) Số chó là: y (con) ( 0 < x < 36 ) Số chân chó là: 4y (chân) Vì cả gà và chó là 36 con, số chân gà và số chân chó là 100 chân ta có hệ phương trình. Giải hệ phương trình ta được: x = 22, y = 14 (Thỏa mãn ĐK bài toán) Vậy: số gà là 22 con, số chó là 14 con. Bài 2: Chứng minh rằng là số vô tỉ. Cách 1: Giả sử là số hữu tỉ. Đặt = Cách 2: Bài 3: Giải phương trình : Cách 1: Sử dụng định nghĩa căn bậc hai số học. Cách 2: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình. Bài 4: Trong cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(2; 3), B(-1; -3), C(0,5; 0). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng. Cách 1: A, B có hoành độ khác nhau, có tung độ khác nhau nên phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B có dạng: y = ax + b. Ta có: Cách 2: Phương trình đường thẳng AB có dạng y = 2x – 1 Phương tình đường thẳng AC có dạng y = ax + b Ta có: Cách 3: Tính khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng tọa độ Ta có: Bài 5: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x2 + xy + y2 = x2y2 Cách 1: Ta có : x2 + xy + y2 = x2y2 x2 + 2xy + y2 = x2y2 + xy (x + y)2 = xy( xy + 1) Vì (x + y)2 là một số chính phương; xy và xy + 1 là hai số nguyên liên tiếp nên ta phải có xy = 0 hoặc xy + 1 = 0 * xy = 0 x2 + y2 = 0 x = y = 0 * xy + 1 = 0 xy = -1 Thử lại ta có nghiệm nguyên của phương trình là: (x = 0: y = 0); (x = 1; y = -1); (x = -1; y = 1) Cách 2: x2 + xy + y2 = x2y2 4x2 + 4xy + 4y2 = 4x2y2 (2x + y)2 = 4x2y2 – 3y2 (2x + y)2 = y2(4x2 – 3) * Nếu y = 0 ta có 2x2 = 0 x = 0 * Nếu y 0 thì 4x2 – 3 là một số chính phương Đặt 4x2 – 3 = z2 ( zN) Ta có: Vậy phương trình có nghiệm là: (x = 0: y = 0); (x = 1; y = -1); (x = -1; y = 1) Cách 3: * x = 0 thì y = 0 * Xét x và y khác 0. Đặt (x, y) = d (d N*) x = x1d, y = y1d với (x1; y1) = 1 Ta có : (x1d)2 + (x1d)(y1d) + (y1d)2 = (x1d)2(y1d)2 x12 + x1y1 + y12 = d2x12y12 x12 x1; x1y1 x1; d2x12y12 x1 nên y12 x1 Mà (x1; y1) = 1 nên x1 = Tương tự ta có : y1 = Do vậy d2 = 1; 3 d2 = 1 d = 1 Thử lại, ta có nghiệm nguyên của phương trình là: (x = 0: y = 0); (x = 1; y = -1); (x = -1; y = 1) Cách 4: x2 + xy + y2 = x2y2 (y2 – 1)x2 – xy – y2 = 0 (*) - Xét y =1 ta có (*) -x – 1 = 0 x = -1 - Xét y = -1 ta có (*) x – 1 = 0 x = 1 - Xét y 1 ta có : Vậy phương trình có nghiệm là: (x = 0: y = 0); (x = 1; y = -1); (x = -1; y = 1) Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Biết AB = 8cm, AC = 6cm. Tính độ dài AH. Cách 1: ABC vuông tại A nên ta có: BC2 = AB2 + AC2 = 82 + 62 = 102 BC = 10cm Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: AH. BC = AB. AC Cách 2: ABC vuông tại A, nên ta có: Cách 3: M là trung điểm của BC Bài 7: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một dây cung CD (CD không song song với AB). Vẽ AP và BK vuông góc với CD. Chứng minh rằng P và K ở bên ngoài đường tròn (O) Cách 1: Gọi M là giao điểm của AB và CD Giả sử A nằm giữa M và B. H Gọi H là trung điểm của PK. Ta có: OH là đường trung bình của hình thangABKP Cách 2: III. KẾT LUẬN Trong quá trình dạy và học Toán người giáo viên cần giúp cho học sinh có một thói quen suy nghĩ tìm kiếm các cách giải khác nhau cho một bài toán, qua đó học sinh sẽ nhìn thấy được bộ môn toán không đơn điệu, cứng nhắc mà rất sinh động và thú vị, làm cho học sinh say mê hứng thú với môn học, bắt đầu có sự khám phá môn học. Chính vì điều đó sẽ giúp cho học sinh học tốt môn toán hơn và vận dụng môn học vào trong thực tiễn một cách linh hoạt và hiệu quả. Trên đây là một số các cách giải khác nhau cho một số các bài toán.Trong quá trình tìm các lời giải không tránh khỏi những thiếu sót mong các đồng nghiệp tham gia góp ý để chuyên đề được hoàn thiện hơn và được vân dụng vào trong quá trình dạy và học. Xin chân thành cảm ơn ! Tăng Bạt Hổ, ngày 15 tháng 12 năm 2007 Người viết NGUYỄN VĂN THUẬN