Chuyên đề Giải hệ phương trình

Hệ phương trình I Hệ bậc nhất 1.Giải hệ pt Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 24. Giải các hệ phương trình sau a. b. c. d. e. f. g. h. Bài 27. Giải các hệ phương trình sau a. b. c. d. Hệ phương trình I Hệ bậc nhất 1.Giải hệ pt Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: 2. Phương trình tham số: Bài 1: Giải biện luận hệ Bài 2: 1, Cho b = 0 giải theo a và b 2, Tìm b đểa ta luôn được c sao cho hệ có nghiệm. Bài 3: 1, Giải biện luận theo a. 2, Giả sử(x,y) là nghiệm. Tìm liên hệ giữa xvà y. Bài 4: có nghiệm. Chứng minh rằng a3+b3+c3=3abc Bài 5: Giải biện luận Bài 6: Giải biện luận Bài 7: Tìm m để hệ có nghiệm Bài 8: Xác định k để hệ đó có nghiệm. Bài 9: Xác định k để hệ có nghiệm(x0,y0) mà x0,y0>1 Bài 10: Xác định m để hệ vô nghiệm. Bài 11: Xác định n để hệ có nghiệm Bài 12: Tìm m để hệ có nghiệm Bài 13: Tìm m để hệ có nghiệm nguyên Bài 14: Tìm liên hệ giữa x và y để hệ không phụ thuộc vào m a, b, Bài 15: a, b, c là 3 cạnh của chứng minh rằng Bài 16: Tìm m, n, p để hệ sau đồng thời vô nghiêm. Bài 17: Giải và biện luận Bài 18: Cho 1. Với giá trị nào của m hệ pt có n0duy nhất: x 2. Với giá trị m tìm được tìm: Min{x+y} Bài 19: Tìm liên hệ của a, b, c để hệ có n0 Bài 18: Tìm m, n, p để hệ có n0 II. biến đổi tương đương Bài 1: Bài 2: 1. Cho abc > 0. Giải hệ 2. áp dụng giải hệ a, b, c, Bài 3: Giải a, b, c, Bài 4: Giải a, b, Bài 5: Giải III. Phương pháp thế Bài 1: Bài 2: Bài 3: ;(CĐSPHN 2001) IV. Phương pháp đặt ẩn phụ Bài 1: Bài 2: ;(ĐHSP 2000) Bài 3:;(ĐH Mỏ 1997) Bài 4: ;(ĐHQG 1997) Bài 5: ;(ĐH TMại 2001) Bài 6: ;(ĐHXD 1997) Bài 7: ;(ĐHAN 2001) Bài 8: ;(HVQY 2001) V. Phương trình đối xứng kiểu một 1.Giải hệ pt Bài 1: a, b, c, d, e, f, Bài 2: Bài 3: Bài 4: ;(ĐHSP Vinh 2001) Bài 5: ;(ĐHNThương 2001) Bài 6: ;(HVQHQT 2001) Bài 7: ;(ĐH HHải 2001) 2. Phương trình chứa tham số Bài 1: tìm m để hệ có nghiệm. Bài 2: xác định a để xy nhỏ nhất. Bài 3: xác định a để hệ có nghiệm. Bài 4: Với giá trị nsò của a để hệ có đúng hai nghiệm. Bài 5: Tìm m để hệ có ít nhất 1 nghiệm thoả mãn x,y >0 Bài 6: a, Xác định m để hệ vô nghiệm. b, Xác định m để hệ có nghiệm? tìm nghiệm ấy. c, Xác định m để hệ 2 có nghiệm phân biệt. Bài 7: Bài 8: ;(ĐHNThương1997) 1.Giải m=12 2.Tìm m để hệ pt có nghiệm Bài 9: Cho ;(CĐSPKT Vinh 2001) Tìm m để hệ pt có 3 nghiệm (x1;y1);(x2;y2);(x3;y3) mà x1, x2, x3 lập thành 1 cấp số cộng có 2 số có giá trị tuyệt đối >1. vi.Đối xứng kiểu ii Giải Hệ PT: Bài1: a) b) c) d) e) f) Bài 2: Bài 3: 2.Hệ PT Chứa Tham Số Bài 1: Cho 1.Tìm m để hệ pt có N0 2. Tìm m để hệ pt có N0 duy nhất Bài 2: Tìm m để hệ pt có N0 duy nhất Bài 3: Tìm m để hệ pt có N0 Bài 4: CMR m 0 để hệ pt có N0 duy nhất Bài 5: Giải biện luận hệ Bài 6: Tìm m để hệ pt có N0 duy nhất ;(x,y ) Bài 7: Tìm a<0 để hệ pt có N0 duy nhất ;(ĐH Dược 1997) Bài 8: CMR để hệ pt có N0 duy nhất khi a>0 ;(ĐH Huế 1997) Bài 9: Tìm m để hệ pt có N0 Bài 10: Tìm a để hệ pt có N0 duy nhất ;(ĐHSPHCM 2001) VII. Hệ Đẳng cấp 1. Giải hệ Bài 1: 1. 2. 3. Bài 2: Cho CMR Bài 3: 1. 2. Bài 4: Cho ; CMR Bài 5: ;(ĐHNN I 2001) 2. Hệ chứa tham số Bài 1: CMR có N0 với mọi k Bài 2: Tìm a để hệ có N0 x+y=0 Bài 3: Giải m=0 Với giá trị nào của m thì hệ có N0 Bài 4:Tìm m hệ có nghiệm Bài 5: Tìm m hệ có nghiệm ;(ĐHAN 2000) XIII. Hệ Đặc Biệt 1. Giải Hệ Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: 1. 2. Bài 8: Bài 9: Bài 10: Tìm N0 nguyên dương hệ Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Bài 15: Bài 16: 2. Hệ Tham Số Bài 1: Giải hệ x2+a2=y2+b2=(x-b)2+(y-a)2 Bài 2: Giải biện luận Bài 3:Tìm a để hệ có n0 duy nhất Bài 4: Tìm a để hệ có n0 duy nhất Bài 5: Với .CMR hệ Vô Nghiệm. Bài 6: Tìm a để hệ có n0 duy nhất Bài 7: Tìm a, b để hệ có n0 duy nhất Bài 9: Tìm a để 2 hệ sau tương đương (I) (II) Bài 10: Tìm m để hệ pt có nhiều n0 nhất Bài 11: Cho Giải hệ a=b=1 Xác dịnh a, b để hệ có nhiều hơn 4 n0 IX.Hệ vô tỷ 1. Dạng đối xứng Bài 1: Bài 2: 1. 2. Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: 1. 2.;(HVQY 2001) Bài 9: ;(ĐH Đông Đô 2001) Bài 10: ;(ĐH HĐức 2001) Giải k=0 Tìm k hệ có n0 duy nhất 2. Dạng khác Bài 1: 1. 2. Bài 2: Bài 3: 1. 2. 4. Bài 4: 1. 2. Bài 5: Bài 6: 3. Hệ chứa tham số Bài 1: Tìm a để hệ có n0 Bài 2: Giải a=4 Tìm a để hệ có n0 Bài 3: Tìm m để hệ có n0 Bài 4: (ĐH CThơ 2001) X. Hệ bất phương trình vô tỷ Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Tìm n0 nguyên Bài 9: Bài 10: Bài 11: ;(ĐHQG 2001) Bài 12: (ĐHSPI 2001) Bài 13: ;(ĐHGTVT 2001) Bài 14: Tìm m dể với mọi x đều là n0 đúng ít nhất một trong 2 pt Bài 3. Tìm các giá trị cu a để hệ phương trình sau có nghiệm Bài 4. Cho hệ phương trình 2. Phương trình tham số: Bài 1: Giải biện luận hệ Bài 2: 1, Cho b = 0 giải theo a và b 2, Tìm b đểa ta luôn được c sao cho hệ có nghiệm. Bài 3: 1, Giải biện luận theo a. 2, Giả sử(x,y) là nghiệm. Tìm liên hệ giữa xvà y. Bài 4: có nghiệm. Chứng minh rằng a3+b3+c3=3abc Bài 5: Giải biện luận Bài 6: Giải biện luận Bài 7: Tìm m để hệ có nghiệm Bài 8: Xác định k để hệ đó có nghiệm. Bài 9: Xác định k để hệ có nghiệm(x0,y0) mà x0,y0>1 Bài 10: Xác định m để hệ vô nghiệm. Bài 11: Xác định n để hệ có nghiệm Bài 12: Tìm m để hệ có nghiệm Bài 13: Tìm m để hệ có nghiệm nguyên Bài 14: Tìm liên hệ giữa x và y để hệ không phụ thuộc vào m a, b, Bài 15: a, b, c là 3 cạnh của chứng minh rằng Bài 16: Tìm m, n, p để hệ sau đồng thời vô nghiêm. Bài 17: Giải và biện luận Bài 18: Cho 1. Với giá trị nào của m hệ pt có n0duy nhất: x 2. Với giá trị m tìm được tìm: Min{x+y} Bài 19: Tìm liên hệ của a, b, c để hệ có n0 Bài 18: Tìm m, n, p để hệ có n0 II. biến đổi tương đương Bài 1: Bài 2: 1. Cho abc > 0. Giải hệ 2. áp dụng giải hệ a, b, c, Bài 3: Giải a, b, c, Bài 4: Giải a, b, Bài 5: Giải I/ Giải các hệ phương trình sau : 1/ 2/ G/s (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình trên thì dễ thấy ( y; z; x); (z; y; x) cũng là nghiệm của hệ do đó có thể giả sử : x = max{x; y; z} Từ Tương tự Trừ (1) cho (3): y3 – x3 = 12(x2 – z2) – 48(x-z) y3 – x3 = 12(x– z)(x+z-4) VT. Dấu “=” xảy ra 3/ Ta đi cm hệ trên có nghiệm duy nhất x = y = z Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ cũng là nghiệm của hệ không mất tính tổng quát ta giả sử ít nhất 2 trong 3 số x, y, z không âm. Ví dụ: . Từ phương trình . Cộng từng vế phương trình ta có: Ta cú: (đỳng) Thật vậy: (đpcm) Vậy x = y = z 4/ 5/ Tỡm nghiệm dương của phương trỡnh 6/ 7/ 8/ 9/ Trong đú a;b;c 10/ 11/ 12/ 13/ 14/ 15/ 16/ 17/ 18/ 19/ 20/ 21/ 22/ 23/ 24/ 25/ Tìm m để hệ phương trình sau có đúng 2 nghiệm. 26/ 27/ 28/ 29/ Tổng quát: 30/ 31/ 32/ 33/ 34/ 35/ Cho . CMR:Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x1 = x2 = ...= xn =1 36/ 37/ 38/ 38/ 40/ 41/ Sử dụng bất đẳng thức chứng minh x ≤ y, y ≤ z, z ≤ x ị x = y = z 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, III. Phương pháp thế Bài 1: Bài 2: Bài 3: ;(CĐSPHN 2001) IV. Phương pháp đặt ẩn phụ Bài 1: Bài 2: ;(ĐHSP 2000) Bài 3:;(ĐH Mỏ 1997) Bài 4: ;(ĐHQG 1997) Bài 5: ;(ĐH TMại 2001) Bài 6: ; (ĐHXD 1997) Bài 7: ;(ĐHAN 01) Bài 8:(HVQY 01) V. Phương trình đối xứng kiểu một 1.Giải hệ pt Bài 1: a, b, c, d, e, f, Bài 2: Bài 3: Bài 4: ;(ĐHSP Vinh 2001) Bài 5: ;(ĐHNT 01) Bài 6: ;(HVQHQT 01) Bài 7: ;(ĐH HH01) VII. Hệ Đẳng cấp 1. Giải hệ Bài 1: 1. 2. 3. Bài 2: Cho CMR Bài 3: 1. 2. Bài 4: Cho ; CMR Bài 5: ;(ĐHNN I 01) XIII. Hệ Đặc Biệt 1. Giải Hệ Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: 1/. 2/ 3/ Bài 8: Bài 9: Bài 10: Tìm N0 nguyên dương Hử Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Bài 15: Bài 16: IX.Hệ vô tỷ 1. Dạng đối xứng Bài 1: Bài 2: 1. 2. Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: 1. 2.;(HVQY 2001) Bài 9: Bài 10: ;(ĐHHĐức 01) (ĐH ĐĐô 01) 1/Giải k= 0 2/ Tìm k hệ có n0 duy nhất 2. Dạng khác Bài 1: 1. 2. Bài 2: Bài 3: 1. 2. 3/ 4. Bài 4: 1. 2. Bài 5: Bài 6: vi.Đối xứng kiểu ii Giải Hệ PT: Bài1: a) b) c) d) e) f) Bài 2: Bài 3: 2. Phương trình chứa tham số Bài 1: tìm m để hệ có nghiệm. Bài 2: xác định a để xy nhỏ nhất. Bài 3: xác định a để hệ có nghiệm. Bài 4: Với giá trị nsò của a để hệ có đúng hai nghiệm. Bài 5: Tìm m để hệ có ít nhất 1 nghiệm thoả mãn x,y >0 Bài 6: a, Xác định m để hệ vô nghiệm. b, Xác định m để hệ có nghiệm? tìm nghiệm ấy. c, Xác định m để hệ 2 có nghiệm phân biệt. Bài 7: Bài 8: ;(ĐHNThương1997) 1.Giải m=12 2.Tìm m để hệ pt có nghiệm Bài 9: Cho ;(CĐSPKT Vinh 2001) Tìm m để hệ pt có 3 nghiệm (x1;y1);(x2;y2);(x3;y3) mà x1, x2, x3 lập thành 1 cấp số cộng có 2 số có giá trị tuyệt đối >1. 2.Hệ PT Chứa Tham Số Bài 1: Cho 1.Tìm m để hệ pt có N0 2. Tìm m để hệ pt có N0 duy nhất Bài 2: Tìm m để hệ pt có N0 duy nhất Bài 3: Tìm m để hệ pt có N0 Bài 4: CMR m 0 để hệ pt có N0 duy nhất Bài 5: Giải biện luận hệ 1/ 2/ Bài 6: Tìm m để hệ pt có N0 duy nhất;(x,y ) Bài 7: Tìm a<0 để hệ pt có N0 duy nhất;(ĐH Dược 1997) Bài 8: CMR để hệ pt có N0 duy nhất khi a>0;(ĐH Huế 1997) Bài 9: Tìm m để hệ pt có N0 Bài 10: Tìm a để hệ pt có N0 duy nhất ;(ĐHSPHCM 2001) 2. Hệ chứa tham số Bài 1: CMR có N0 với mọi k Bài 2: Tìm a để hệ có N0 x+y=0 Bài 3: 1/ Giải m=0 2/Với giá trị nào của m thì hệ có N0 Bài 4:Tìm m hệ có nghiệm Bài 5: Tìm m hệ có nghiệm ;(ĐHAN 2000) 2. Hệ Tham Số Bài 1: Giải hệ x2+a2=y2+b2=(x-b)2+(y-a)2 Bài 2: Giải biện luận Bài 3: Bài 4: Tìm a để hệ có n0 duy nhất Tìm a để hệ có n0 duy nhất Bài 5: Với .CMR hệ Vô Nghiệm. Bài 6: Bài 7: Tìm a để hệ có n0 duy nhất Tìm a, b để hệ có n0 duy nhất Bài 9: Tìm a để 2 hệ sau tương đương (I) (II) Bài 10: Tìm m để hệ pt có nhiều n0 nhất Bài 11: Cho 1/Giải hệ a=b=1 2/Xác dịnh a, b để hệ có nhiều hơn 4 n0 3. Hệ chứa tham số Bài 1: Tìm a để hệ có n0 Bài 2: Giải a=4 2/Tìm a để hệ có n0 Bài 3: Bài 4: (ĐH CThơ 01) Tìm m để hệ có n0 X. Hệ bất phương trình vô tỷ Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Tìm n0 nguyên Bài 9: Bài 10: Bài 11: ;(ĐHQG 01) Bài 12: (ĐHSPI 01) Bài 13: ;(ĐHGTVT 01) Bài 14: Tìm m dể với mọi x đều là n0 đúng ít nhất một trong 2 pt 1/ Đặt : Hệ đã cho trở thành: Từ đó tìm được a =3,b =1. Đến đây việc tìm ra x không còn khó khăn nữa. 2/ Phương trình (2) phân tích được như sau: (x - y).(x -3 + 2y) = 0 Xét các trường hợp thay vào phương trình (1) ta dễ dàng tìm được x và y. 3/ Giải: Bổ đề: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. (Dễ dàng chứng minh được bổ đề trên). Sử dụng bổ đề ta có: xyz = x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 xyz.(x + y + z) = xyz. Suy ra các dấu bất đẳng thức ở trên đều phải trở thành đẳng thức tức là ta phải có: x = y =z kết hợp với giả thiết ban đầu :x + y + z =1 ta được: 4/ Điều kiện: x,y Nhìn nhận phương trình (2) ta thấy: -Nếu x > y thì: VT > 0, VP VP. -Nếu y > x thì: VT 0 suy ra: VT < VP. -Nếu x = y khi đó: VT =VP = 0. Kết hợp với (1) (Chú ý:x,y) ta được: . Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: Tìm các giá trị của a để hệ sau có đúng hai nghiệm Chứng tỏ rằng với mọi giá trị của , hệ phương trình luôn có nghiệm. Xác định để hệ phương trình có nghiệm duy nhất Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:   Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: Tìm để hệ sau có nghiệm Cho hệ phương trình (*) a) Giải (*) khi b) Tìm để (*) có nghiệm  Tìm để hệ sau có nghiệm: Cho hệ phương trình: (*) 1) Giải hệ (*) khi 2) Tìm để hệ (*) có nghiệm duy nhất Giả sử là nghiệm hệ phương trình Tìm để   lớn nhất Cho hệ phương trình(*) 1) Giải hệ (*) khi 2) Tìm để hệ (*) có nghiệm. Tìm để hệ sau có nghiệm  Cho hệ phương trình        (*) 1) Chứng minh (*) luôn có nghiệm 2) Tìm để (*) có nghiệm duy nhất Tìm để hệ phương trình sau có đúng 2 nghiệm: Cho hệ phương trình 1) Giải khi 2) Tìm để hệ có nghiệm Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình khi m = 12. b) Với những giá trị nào của m thì hệ phương trình đã cho có nghiệm Giải và biện luận theo tham a, hệ phương trình :     trong đó là ẩn. Cho hệ phương trình : Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất Tỡm m để phương trình sau cú 2 nghiệm thực phõn biệt: Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt: Hệ phương trình đối xứng loại 2 Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm duy nhất Cho hệ phương trình            (với ) 1.Giải hệ phương trình khi m=9. 2.Xỏc định m để hệ cú nghiệm Cho hệ phương trình:(*) 1) Giải hệ (*) khi 2) Tỡm sao cho hệ (*) cú nghiệm duy nhất Xác định tham số a để phương trình sau có nghiệm duy nhất:  Xỏc định cỏc giỏ trị õm của a để hệ phương trình: cú nghiệm duy nhất Tỡm để hệ sau cú nghiệm duy nhất Các dạng hệ phương trình khác Tỡm m để hệ bất phương trình sau cú nghiệm duy nhất Cho hệ phương trình 1. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của a để hệ phương trình đó cho cú hai nghiệm phõn biệt. 2. Gọi  là cỏc nghiệm của hệ đó cho, hóy chứng minh Tỡm tất cả cỏc cặp số thực thỏa món đồng thời cỏc điều kiện sau   và Cho hệ phương trình: với a là số dương khỏc. Xỏc định a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và giải hệ trong trường hợp đú. Tìm a để hệ sau có nghiệm : Tìm m đệ hệ bất phương trìnhvô nghiệm Tìm tất cả giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm Cho hệ phương trỡnh: 1. Với cỏc giỏ trị nào của m thỡ hệ cú nghiệm duy nhất (x; y) thỏa món điều kiện ? 2. Với cỏc giỏ trị nào của m đó tỡm được, hóy tỡm giỏ trị nhỏ nhất của tổng x + y Tỡm m để phương trình : cú nghiệm Tỡm cỏc giỏ trị m để phương trình sau cú nghiệm Xác định m để phương trình có nghiệm hệ phương trình đẳng cấp Cho hệ phương trình 1. Giải hệ phương trình đó cho với m=0. 2. Với những giỏ trị nào của m thỡ hệ cú nghiệm ? Cho hệ phương trình        (*) 1) Hóy giải hệ (*) khi 2) Tỡm để (*) cú nghiệm Chứng minh rằng với moi , hệ phương trình sau cú nghiệm duy nhất: Chứng minh rằng phương trình sau cú đỳng một nghiệm Cho phương trình Tỡm để phương trình có nghiệm duy nhất Cho phương trình   (*) a) Giải (*) khi  b) Tỡm để (*) cú nghiệm duy nhất Tỡm m để hệ cú nghiệm duy nhất Cho phương trình: 1. Giải phương trình với m = - 1. 2. Tỡm m để phương trình cú một nghiệm duy nhất Tỡm để phương trình có nghiệm duy nhất: 42/ 43/ 44/ 45/ 46/ 47/ 48/ 49/ 50/ 51/ 52/ 53/ 54/ 55/ 56/ 57/ 58/ 59/ 60/ 61/ 62/ 63/ 64/ 65/ 66/ 67/ 68/ 69/ 70/ 71/ 72/ 73/ 74/ 75/ 76/ 77/ 78/ 79/ 80/ 81/ 82/ 83/ 84/ 85/ 86/ 87/ 88/ 89/ 90/ 91/ 92/ 93/ 94/ 95/ 96/ 97/ 98/ 99/ 100/