Chuyên đề Giải tích tổ hợp 11

CHUYÊN ĐỀ TOÅ HÔÏP PHAÀN 1: HOAÙN VÒ – CHÆNH HÔÏP – TOÅ HÔÏP 1. Hai quy taéc ñeám | Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong k phương án và Phương án có cách thực hiện Phương án có cách thực hiện Phương án có cách thực hiện Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi cách. Ví duï : Trong thư viện trường có 500 cuốn sách khác nhau, 1000 tờ báo khác nhau, 200 tạp chí khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách mượn một trong các quyển đó ? & Gợi ý: Trong ví dụ trên: Có những loại phương án nào để chọn ? Mỗi phương án có bao nhiêu cách chọn tương ứng ? Giải Chọn sách : có 500 cách chọn Chọn báo : có 1000 cách chọn Chọn tạp chí : có 200 cách chọn Vậy có 500 + 1000 + 200 = 1700 cách chọn một trong các quyển đó. | Quy tắc nhân: Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo k công đoạn và Công đoạn A1 được thực hiện theo n1 cách Công đoạn A2 được thực hiện theo n2 cách Công đoạn Ak được thực hiện theo nk cách Khi đó, công việc có thể thực hiện theo cách. Ví duï : An muốn qua nhà Bình để cùng Bình tới nhà Lan. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình tới nhà Lan có 6 con đường đi, Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Lan ? & Gợi ý: Trong ví dụ trên: Việc An đến nhà Lan được chia làm mấy công đoạn ? Mỗi công đoạn có bao nhiêu cách chọn đường đi tương ứng ? Giải Việc An đến nhà Lan được chia làm hai công đoạn, cụ thể như sau: Từ nhà An đến nhà Bình: có 4 cách chọn đường đi. Từ nhà Bình đến nhà Lan: có 6 cách chọn đường đi. Vậy, theo quy tắc nhân, An có 4.6 = 24 cách chọn đường đi đến nhà Lan. & Nhận xét: Qua hai qui tắc trên, ta cần lưu ý một số kĩ năng cơ bản sau để vận dụng vào các bài toán đếm: Quy tắc cộng được sử dụng khi bài toán có nhiều phương án (hay nhiều trường hợp). Ta tìm kết quả của từng phương án rồi thực hiện quy tắc cộng. Quy tắc nhân được sử dụng khi bài toán phải thực hiện qua nhiều công đoạn. Ta tìm kết quả của từng công đoạn rồi thực hiện quy tắc nhân. 2. Hoaùn vò Cho tập A có n phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A). Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử là: Ví duï 1: Từ các số 1, 2, 3, 4 có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau. Giải Mỗi số có bốn chữ số khác nhau được chọn từ các số 1, 2, 3, 4 là một hoán vị của 4 phần tử. Vậy số các số cần tìm chính là số các hoán vị, đó là . Ví duï 2: Có bao nhiêu cách để phân công 4 bạn A, B, C làm các chức vụ: lớp trưởng, bí thư, lớp phó. Giải Mỗi cách phân công theo thứ tự 3 bạn làm các chức vụ: lớp trưởng, bí thư, lớp phó là một hoán vị của 3 bạn A, B, C. Vậy số cách phân công là số các hoán vị, đó là . 3. Chænh hôïp Cho tập A gồm n phần tử. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A). Số các chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần tử là: Chú ý: Với quy ước 0! = 1 thì công thức trên vẫn đúng trong trường hợp k = 0, ta có: . Ví duï 1: Có bao nhiêu cách bầu ra một bí thư, một phó bí thư và một ủy viên từ một chi đoàn 10 đoàn viên. Giải Mỗi cách chọn 3 đoàn viên từ 10 đoàn viên để bầu vào 3 chức vụ khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 10 đoàn viên đã cho. Vậy số cách bầu là số chỉnh hợp, tức là . Ví duï 2: Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vecto khác vecto có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp này ? Giải Mỗi cách sắp thứ tự gồm hai điểm (A,B) cho ta một vecto có điểm đầu A, điểm cuối B và ngược lại. Như vậy, mỗi vecto có thể xem là một chỉnh hợp chập 2 của tập hợp 6 điểm đã cho. Do đó số vecto cần tìm là . 3. Toå hôïp Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A). Số các tổ hợp chập k của tập hợp có n phần tử là: Chú ý: Với quy ước 0! = 1 thì công thức trên vẫn đúng trong trường hợp k = 0, ta có: . Hai tính chất cơ bản của là: và Ví duï 1: Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số hàng ngàn lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn hàng đơn vị. Giải Gọi là số cần lập, với . Cho tập . Từ 10 phần tử của X ta chọn ra 4 phần tử bất kỳ thì chỉ lập được 1 số A, nghĩa là không có hoán vị của 4 phần tử này. Vậy số các số thỏa yêu cầu là số các tổ hợp chập 4 của 10. Vậy có số. Ví duï 2: Có 5 nam và 7 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 cặp khiêu vũ khác nhau mỗi cặp một nam một nữ. Giải Việc chọn 3 cặp khiêu vũ theo yêu cầu đề được thực hiện theo hai bước sau: Chọn 3 nam từ 5 nam : có cách Chọn 3 nữ từ 7 nữ : có cách Vậy, theo quy tắc nhân, số cách chọn là Nhận xét: Số cách lấy n phần tử của tập hợp có n phần tử (để sắp xếp thứ tự) thì ta tính số các hoán vị của n phần tử, nghĩa là tính Pn = n!. Số cách lấy k phần tử từ tập hợp có n phần tử để thực hiện các công việc hoặc hành động khác nhau, tức là có kể đến thứ tự các phần tử được lấy, thì ta tính các số chỉnh hợp chập k của n phần tử, nghĩa là tính . Số cách lấy k phần tử từ tập hợp có n phần tử để thực hiện các công việc hoặc hành động như nhau, tức là không kể đến thứ tự các phần tử được lấy, thì ta tính các số tổ hợp chập k của n phần tử, nghĩa là tính . Tổ hợp khác chỉnh hợp ở chỗ nó không phân biệt thứ tự sắp xếp các phần tử. Baøi taäp: Khối 10 có 470 học sinh, khối 11 có 450 học sinh, khối 12 có 380 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn ra một học sinh đi dự đại hội đại biểu của trường ? Hướng dẫn – Đáp số: 470 + 450 + 380 Có 4 quyển toán khác nhau, 3 quyển hóa khác nhau và 2 quyển lí khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn ra 4 cuốn mà ít nhất phải có một cuốn toán. Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 2 cuốn Toán, 4 cuốn Văn, 6 cuốn Lí. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách đó lên một kệ dài, nếu mọi cuốn sách này được xếp kề nhau, sao cho những cuốn có cùng môn học được xếp gần nhau. Một tổ học sinh gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Giáo viên chọn 4 học sinh để đi lao động. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu: Chọn học sinh nào cũng được ? Trong 4 học sinh được chọn có đúng một nữ sinh ? Trong 4 học sinh được chọn có ít nhất một nữ sinh ? Hướng dẫn – Đáp số: Một hàng ghế có 10 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp cho hai chị em ngồi vào các ghế đó nếu: Họ ngồi ghế nào cũng được ? Họ ngồi cạnh nhau ? Người em ngồi bên phải chị ? Họ ngồi cách nhau một ghế ? Hướng dẫn – Đáp số: 10.9 = 90 9.2 = 18 9.1 = 9 8.2 = 16 Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác. Giải Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 4 nam. - Bước 1: chọn 1 trong 5 nữ có 5 cách. - Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách. - Bước 3: chọn 2 trong 13 nam còn lại có cách. Suy ra có cách chọn cho trường hợp 1 Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 3 nam. - Bước 1: chọn 2 trong 5 nữ có cách. - Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách. - Bước 3: chọn 1 trong 13 nam còn lại có 13 cách. Suy ra có cách chọn cho trường hợp 2 Trường hợp 3: chọn 3 nữ và 2 nam. - Bước 1: chọn 3 trong 5 nữ có cách. - Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách. Suy ra có cách chọn cho trường hợp 3. Vậy có cách. Cách khác: Bước 1: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách. Bước 2: chọn 3 tổ viên, trong đó có nữ. - Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam có cách. - Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam có cách. - Trường hợp 3: chọn 3 nữ có cách. Vậy có cách. Biển số xe máy kí hiệu: XY-abcd, với X là một trong các chữ cái: F, H, K, L, M, N và Y là một trong các số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Còn a, b, c, d là các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Hỏi nếu đăng kí hết thì có tất cả bao nhiêu xe máy. Hướng dẫn – Đáp số: 6.9.10.10.10.10 Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau ? Hướng dẫn – Đáp số: 9.9.8 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Hướng dẫn – Đáp số: Gọi với và phân biệt là số cần lập. + Bước 1: chữ số nên có 4 cách chọn a1. + Bước 2: sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có 4! = 24 cách. Vậy có 4.24 = 96 số. Từ các chữ số 0, 1, 2, 5, 8 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau ? Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau đều là số lẻ. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên: Gồm 5 chữ số. Gồm 5 chữ số khác nhau. Là số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau. Gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó phải có mặt số 5. Gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có bao nhiêu cách viết các số có ba chữ số: Khác nhau không nhỏ hơn 342 ? Khác nhau nhỏ hơn 342 ? Từ tập hợp có thể lập được mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Hướng dẫn – Đáp số: Gọi với và phân biệt là số cần lập. Bước 1: chữ số nên có 5 cách chọn a1. Bước 2: chọn 3 trong 5 chữ số còn lại để sắp vào 3 vị trí cách. Vậy có số. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Hướng dẫn – Đáp số: Loại 1: chữ số a1 tùy ý, ta có 5! = 120 số. Loại 2: chữ số a1 = 0, ta có 4! = 24 số. Vậy có 120 – 24 = 96 số. Tính số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho trong mỗi số đó đều có mặt ít nhất chữ số 1 hoặc 2. Hướng dẫn – Đáp số: Loại 1: chữ số a1 có thể là 0. Sắp 4 trong 6 chữ số vào 4 vị trí có cách. Sắp 4 chữ số 0, 3, 4, 5 vào 4 vị trí có 4! = 24 cách. Suy ra có 360 – 24 = 336 số. Loại 2: chữ số a1 là 0 (vị trí a1 đã có chữ số 0). Sắp 3 trong 5 chữ số vào 3 vị trí có cách. Sắp 3 chữ số 3, 4, 5 vào 3 vị trí có 3! = 6 cách. Suy ra có 60 – 6 = 54 số. Vậy có 336 – 54 = 282 số. Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác. Hướng dẫn – Đáp số: Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 4 nam. - Bước 1: chọn 1 trong 5 nữ có 5 cách. - Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách. - Bước 3: chọn 2 trong 13 nam còn lại có cách. Suy ra có cách chọn cho trường hợp. Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 3 nam. - Bước 1: chọn 2 trong 5 nữ có cách. - Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách. - Bước 3: chọn 1 trong 13 nam còn lại có 13 cách. Suy ra có cách chọn cho trường hợp 2 Trường hợp 3: chọn 3 nữ và 2 nam. - Bước 1: chọn 3 trong 5 nữ có cách. - Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách. Suy ra có cách chọn cho trường hợp 3. Vậy có cách. Cách khác: Bước 1: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách. Bước 2: chọn 3 tổ viên, trong đó có nữ. - Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam có cách. - Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam có cách. - Trường hợp 3: chọn 3 nữ có cách. Vậy có cách Một nhóm có 7 nam và 6 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách. Hướng dẫn – Đáp số: Loại 1: chọn 3 người tùy ý trong 13 người có cách. Loại 2: chọn 3 nam (không có nữ) trong 7 nam có cách. Vậy có cách chọn. Hội đồng quản trị của một công ty gồm 12 người, trong đó có 5 nữ. Từ hội đồng quản trị đó người ta bầu ra 1 chủ tịch hội đồng quản trị, 1 phó chủ tịch hội đồng quản trị và 2 ủy viên. Hỏi có mấy cách bầu sao cho trong 4 người được bầu phải có nữ. Hướng dẫn – Đáp số: Loại 1: bầu 4 người tùy ý (không phân biệt nam, nữ). - Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có cách. - Bước 2: bầu 2 ủy viên có cách. Suy ra có cách bầu loại 1. Loại 2: bầu 4 người toàn nam. - Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có cách. - Bước 2: bầu 2 ủy viên có cách. Suy ra có cách bầu loại 2. Vậy có cách. Một hộp đựng 15 viên bi khác nhau gồm 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Tính số cách chọn 4 viên bi từ hộp đó sao cho không có đủ 3 màu. Hướng dẫn – Đáp số: Trường hợp 1: chọn 4 bi đỏ hoặc trắng có cách. Trường hợp 2: chọn 4 bi đỏ và vàng hoặc 4 bi vàng có cách. Trường hợp 3: chọn 4 bi trắng và vàng có cách. Vậy có 126 + 209 + 310 = 645 cách. PHAÀN 2: NHÒ THÖÙC NEWTON 1. Coâng thöùc nhò thöùc Newton Nhị thức Newton là khai triển tổng lũy thừa có dạng: . (*) Số hạng thứ k+1 là , , thường được gọi là số hạng tổng quát. 2. Chuù yù Trong khai triển nhị thức Newton Có n + 1 số hạng. Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n. Mỗi số hạng có dạng , do vậy số hạng thứ k + 1 là thường được gọi là số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton. Các hệ số của số hạng cách đều hai đầu thì bằng nhau vì . Thay a = b = 1: . Thay a = 1, b = : . Cộng vế (5), (6) và trừ vế (5), (6): . 3. Caùc daïng toaùn Daïng 1: Khai trieån nhò thöùc Newton Phương pháp : Áp dụng công thức Khai triển tới x3. Viết 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x của các đa thức sau: Khai triển nhị thức . Daïng 2: Tìm heä soá hoaëc soá haïng trong khai trieån nhò thöùc Newton thoûa moät tính chaát naøo ñoù Phương pháp : Áp dụng công thức Tìm hệ số của x3 trong khai triển nhị thức . Tìm hệ số của x25y10 trong khai triển của . Tìm số hạng không chứa x trong khai triển . Tìm số hạng chứa x37 trong khai triển . Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức . Biết rằng hệ số của trong khai triển bằng 31. Tìm n. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức biết rằng .