Chuyên đề Hệ thức viét và ứng dụng

Chuyên đề hệ thức Viét và ứng dụng A. Mục tiêu: - Học sinh nắm chắc hệ thức Viét. Biết vận dụng hệ thức Viét để: + Tính giá trị biểu thức giữa 2 nghiệm. + Xét dấu các nghiệm. + Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc và tham số + Lập một phương trình bậc 2 khi biết hai nghiệm của nó B. Phần chuẩn bị - Giáo viên: Giáo án và các tài liệu tham khảo như: + Toán nâng cao và các chuyên đề 9. + Toán nâng cao và phát triển 9 + Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9. + SGK, SBT, các dạng toán 9. - Học sinh: Ôn lại hệ thức Viét. + Các tài liệu tham khảo. C. Nội dung I. Lý thuyết: 1. Hệ thức Viét: Nếu x1; x2 là 2 nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì S = x1 + x2 = - P = x1 . x2 = 2. ứng dụng: * Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng Muốn tìm 2 số biết tổng của chúng bằng s, tích của chúng bằng p, ta chỉ cần giải phương trình x2 - sx + p = 0 Nếu s2 ³ 4p thì phương trình có 2 nghiệm, đó là 2 số cần tìm Nếu s2 < 4p thì phương trình vô nghiệm, không tồn tại 2 số mà tổng bằng s tích bằng p. * Xét dấu các nghiệp của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) Điều kiện để phương trình (1) - Có 2 nghiệm trái dấu là p < 0 - Có 2 nghiệm cùng dấu là: D ³ 0 và p > 0 - Có 2 nghiệm cùng dương là: D ³ 0; p > 0; s > 0 - Có 2 nghiệm cùng âm là: D ³ 0; p > 0; s < 0 II. Ví dụ minh hoạ: 1. Dạng 1: Tính trí trị của 1 hệ thức giữa các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) * Phương pháp giải: Vận dụng các phép biến đổi, để đưa biểu thức cần tính giá trị về một biểu thức bằng nó nhưng chỉ chứa tổng và tích các nghiệm. a. Ví dụ 1: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0; c ≠ 0). Cho biết x1, x2 là 2 nghiệm. Tính theo a, b, c giá trị của các biểu thức sau: +) +) + (x1 - x2)2 +) x1 - x2 + * Giải: +) +) = = +) +) x1 - x2 = ± 2. Dạng 2: Xác định dấu các nghiệm. Phương pháp giải: Vận dụng điều kiện về dấu các nghiệp của phương trình ax2 + bx + c = 0 Ví dụ: Cho phương trình với tham số m mx2 - 2 (m + 1) x + (m - a) = 0 (1) a. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. b. Tìm hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn? * Giải: a. +) m = 0 phương trình (1) có dạng - 2x - 4 = 0, có nghiệm x = - 2 +) m ≠ 0 thì phương trình (1) là phương trình bậc 2. D’ = (m + 1)2 - m (m - 4) = 6m + 1 Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi D’ ³ 0, tức là m ³ KL: Với m ³ thì (1) có nghiệm b. Theo hệ thức Viét ta có s = ĐK để (1) có 2 nghiệm trái dấu là: P < 0 Û Khi đó, do 0 0, do đó nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn. 3. Dang 3: Tìm hệ thức liên hệ 2 nghiệm của phương trình bậc hai không phụ thuộc vào tham số. * Giải: + Bước 1: Theo thước Viét viết các hệ thức của s và p theo tham số + Bước 2: Dùng quy tắc cộng hoặc quy tắc thế để thử tham số. + Ví dụ: Cho phương trình (k - 1 ) x2 - 2kx + k - 4 = 0 Gọi x1 x2 là các nghiệm của phương trình, lập 1 hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc và k. * Giải - Để phương trình đã có nghiệm x1 x2 thì: k ≠ 1 k ≠ 1 k ≠ 1 k ≠ 1 D’ ³ 0 Û k2 - (k - 1) (h - 4) ³ 0 Û sk - 4 ³ 0 Û k ³ - Theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = (1) x1 + x2 = (2) Rút k từ (1) ta có k = Rút k từ (2) ta có k = Suy ra = Nay (x1 + x2) (x1x2 - 1) = (x1x2 - 4) (x1 + x2 - 2) Suy ra 3 (x1 + x2) + 2 x1x2 - 8 = 0 4. Dạng 4: Lập phương trình bậc hai khi biết các nghiệm * Phương pháp giải: Để lập 1 phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm của nó là x1, x2 ta làm theo 2 bước. Bước 1: Tính s = x1 + x2; p = x1 . x2 +) Nếu s2 ³ 4p thì sẽ lập được 1 phương trình bậc ³ có nghiệm là x1, x2; +) Nếu s2 Ê 4p thì không lập 1 phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là x1 + x2 Bước 2: Phương trình cần lập là: x2 - 5x + p = 0 Ví dụ: Cho phương trình x2 - 5x 1 = 0 Nghiệm giải phương trình (1), hãy lập 1 phương trình bậc hai có các nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm của phương trình (1) * Giải: Ta thấy phương trình (1) có nghiệm Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình đã chọn Ta có: x1 + x2 = - 5; x1 . x2 = - 1 Gọi y1, y2 là các nghiệm của phương trình phải lập, ta được y1 + y2 = y1 y2 = Ta có: Do đó: y1 + y2 = y1 + y2 = (x1 x2)4 = (-1)4 = 1 Phương trình phải lập có tổng các nghiệm bằng 272 và tích cac snghiệm bằng 1 nên có dạng y2 - 72 + y + 1 = 0 III. Bài tâp vận dụng: Bài 1: Cho phương trình 2x2 - 3x + 1 = 0 Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình, không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau: a) A = B = C = D = Bài 2: Cho phương trình x2 + (2m - 1) x - m = 0 a. CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m b. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để A = có giá trị nhỏ nhất. Bài 3: cho phương trình x2 - mx + m - 1 = a a. CMR phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m b. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình. Tìm gia stri nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình. P = Bài 4: Xác định tham số m sao cho phương trình a. 2x2 - 3 (m + 1x) + m2 - m - 4 = 0 có 2 nghiệm trái dấu b. mx2 - 2 (m + 2) x + 3 (m - 2) = 0 có 2 nghiệm cùng dấu c. 3m x2 + 2 (2m + 1) x + m = 0 có 2 nghiệm âm d. (m - 1) x2 + 2x + m = 0 có ít nhất 1 nghiệm không âm Bài 5. Chi biết phương trình x2 - (m + 2) x + (2m - 1) = 0 có các nghiệm x1, x2 độc lập đối với m Bài 6: Cho phương trình x2 + (4m + 1) x + 2 (m - 4) = 0 a. Tìm m để biểu thức A = (x1 - x2)2 có giá trị nhỏ nhất. b. Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc m Bài 7: Lập phương trình bậc 2 có các nghiệm bằng a. và 2 b. 2 - và 2 + Bài 8: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0 Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 = x1 + ; y2 = x2 + Bài 9: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2x - m2 = 0 có các nghiệm x1, x2 lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1, y2 sao cho a) y1 = x1 - 3 y2 = x2 - 3 b) y1 = 2x1 - 1 y2 = 2x2 - 1 Bài 10: Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm thoả mãn x1 - x2 = 2