Chuyên đề Hình học 9 - Kỳ II

* GÓC Ở TÂM - SỐ ĐO CUNG * Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn gọi là góc ở tâm. Cung bên trong góc gọi là cung bị chắn. Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn. Trong một đường tròn : Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau. Hai cung không bằng nhau, cung nào có số đo lớn hơn thì nó lớn hơn. C là một điểm nằm trên Û . Trong một đường tròn : Hai cung bằng nhau nếu hai dây căng cũng bằng nhau và ngược lại. Hai cung không bằng nhau, cung nào lớn hơn thì dây căng cũng lớn hơn và ngược lại. Ví dụ 1 : Cho đường tròn (O) nội tiếp DABC ( ). Gọi I, J, K lần lượt là tiếp điểm của đường tròn (O) với các cạnh BC, CA, AB. So sánh các góc ở tâm , , . Chứng minh rằng với đỉnh A thì , tìm các hệ thức tương tự với đỉnh B, C. Bài giải Giải thích a) Vì đường tròn (O) tiếp xúc đường thẳng BC nên Þ . Xét DOIC có Þ , tương tự ta có . Từ đó ta có : . Tương tự : và . Vì nên . b) Với đỉnh A : DIOC = DJOC (vì có , và OC chung ) Þ . Tương tự . mà . . Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kính. Trong một tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau. Tổng các góc trong của một tam giác bằng . Hai tam giác vuông có một cạnh huyền và một cạnh góc vuông bằng nhau thì chúng bằng nhau. Ví dụ 2 : Cho hai đường tròn đồng tâm O hai đường thẳng qua tâm O cắt hai đường tròn đó tại các điểm A, B, C, D, M, N, P, Q như hình vẽ. Có nhận xét gì về số đo của các cung , , , . Trong các cung , , có cung nào bằng cung ? Bài giải Bài giải Giải thích a) và . Þ , , , có số đo bằng nhau. b) Trong các cung , , có chỉ có cung bằng cung . Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. Hai góc bằng nhau thì hai dây căng tương ứng bằng nhau. Vì hai cung trên một đường tròn cùng chắn hai góc bằng nhau thì bằng nhau. Ví dụ 3 : Trên đường tròn (O) có cung AB bằng 1400; cung lớn AD nhận B làm điểm chính giữa; cung lớn BC nhận A làm điểm chính giữa. Tính số đo cung nhỏ CD, cung lớn CD. Bài giải Giải thích Ta có ; gọi A’, B’ lần lượt là hai điểm đối xứng với hai điểm A, B qua tâm O. Thế thì . Vì B là điểm giữa của cung lớn AD nên B’ sẽ là điểm giữa của cung nhỏ AD hay là . Vì A là điểm giữa của cung lớn BC nên A’ sẽ là điểm giữa của cung nhỏ BC hay là . Cung nhỏ . Khi đó cung lớn CD sẽ có số đo . Cung chắn nửa đường tròn bằng . Do tính chất đối xứng của đường tròn. Vì đường tròn là một hình tự đối xứng với tâm đối xứng chính là tâm của đường tròn. Ví dụ 4 : Cho hình thoi ABCD cạnh a, ; AC và BD cắt nhau tại O. 1. Chứng minh rằng O là tâm đường tròn tiếp xúc với cả 4 cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại E, F, G, H. Tính bán kính R của đường tròn này theo a. 2. Tính số đo của các cung EH, EF, các góc EOH, EOF. Từ đó suy ra HF là đường kính của đường tròn (O,R) và EFGH là hình chữ nhật. 3. AC cắt đường tròn (O,R) tại I, K. Chứng minh IEFKGH là lục giác đều. 4. Tính diện tích của ABFH theo a. Bài giải Giải thích 1. Vì ABCD là hình thoi cạnh a nên giao điểm O của hai đường chéo AC và DB sẽ cách đều bốn cạnh AB, BC, CD, DA. Vì nên là tam giác đều cạnh a nên . Vì nên . Do ABCD là hình thoi suy ra là nửa tam giác đều cạnh AO Þ . 2. . 3. Vì nên các dây EF, FK, KG, ... , IE bằng nhau hay EFKGHI là lục giác đều. 4. Do ABCD là hình thoi nên Þ mặt khác nên ABFH là hình thang vuông. . Hai đường chéo của hình thoi vuông góc nên hai đường chéo chia hình thoi thành 4 tam giác vuông bằng nhau. Tam giác cân có một góc bằng ... Đường cao của tam giác đều . Đường chéo hình thoi là đường phân giác của góc tại đỉnh đó. Đường cao của tam giác đều . Các cung tương ứng bằng nhau thì các dây căng các cung đó cũng bằng nhau. Hình thoi ( hình bình hành ) có các cạnh đối song song với nhau. Diện tích hình thang bằng nửa tổng hai đáy nhân với đường cao. Ví dụ 5 : Cho tam giác cân ABC, ( ). Trên tia đối của tia BA lấy điểm D. Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. a) So sánh các cung DB, BC và DC. b) Từ O hạ OI, OH, OK lần lượt vuông góc với DC, DB, BC. So sánh các đoạn OI, OH, OK. Bài giải Giải thích a) Vì DABC cân đỉnh A nên Þ . Do B nằm trên cung nhỏ CD nên Þ và . nên và Þ và . b) Vì D nằm trên tia đối của tia BA nên : Nếu thì và . Nếu thì và . Nếu thì và . Tính chất của tam giác cân : góc ở đỉnh không quá . Do tổng không đổi. Cung nào nhỏ hơn thì dây căng nó cũng nhỏ hơn. Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn; dây nào nhỏ hơn thì xa tâm hơn. Bài tập 1: Gọi MN là đường kính của đường tròn (O,R). AB, CD là hai dây vuông góc với bán kính OM lần lượt tại I và K, ( ) và tạo thành tứ giác lồi ABCD. a) Chứng minh M là điểm giữa hai cung nhỏ AB, CD và ; , ABCD là hình thang cân. b) Chứng minh cung nhỏ AB lớn hơn cung nhỏ CD. c) So sánh và ; và . d) Trường hợp và tính độ dài hai dây AB, CD theo R và các số đo các góc AOB, COD. Chứng tỏ DNAB đều. Hướng dẫn a) Đường kính vuông góc dây cung AB, CD suy ra . b) OI CD. d) , , , . Mặt khác DNAB cân và . * GÓC NỘI TIẾP – GÓC GIỮA TIẾP TUYẾN VÀ MỘT DÂY * Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. Trong một đường tròn : Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và một dây cùng chắn một cung thì bằng nhau. Các góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. Hai góc nội tiếp bằng nhau hoặc chúng cùng chắn một cung hoặc chúng chắn hai cung bằng nhau. Ví dụ 1 : Cho DABC, vẽ hai đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau ở điểm thứ hai D. a) Chứng minh rằng ba điểm B, C, D thẳng hàng. b) Đường thẳng AC cắt đường tròn đường kính AB tại E và đường thẳng AB cắt đường tròn đường kính AC tại F. Chứng minh ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy. Bài giải Giải thích a) Do AB là đường kính nên . Do AC là đường kính nên . Þ hay B, C, D thẳng hàng. b) Do AB là đường kính nên Þ . Tương tự , mà chứng tỏ AD, BE, CF đồng quy. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng . Hai cạnh của một góc bẹt nằm trên một đường thẳng. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng . Vì ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm. Ví dụ 2 : Cho hai đường tròn (O,R) và (O’,R’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Qua A kẻ cát tuyến cắt các đường tròn (O), (O’) lần lượt tại các điểm thứ hai C, D. Tia BD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai M. Các tia OB, BO’ lần lượt cắt đường tròn (O’) tại các điểm thứ hai N, P. So sánh , . So sánh , . Bài giải Bài giải Giải thích a) . b) Tương tự ta có do đó : . Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung tương ứng. Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung tương ứng. Ví dụ 3 : Cho DABC có 3 góc nhọn ( AB < AC ), gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC và M là điểm chính giữa cung nhỏ AB, từ M vẽ dây cung MN // BC cắt AB, AC lần lượt tại D, E, vẽ đường cao BH. a) Chứng minh : ; DECM và DEAN cân. b) Chứng minh BCNM, AMCN là những hình thang cân. c) Chứng minh các tam giác DAN, DMB đồng dạng với nhau, suy ra . d) Biết và ; tính các góc của DABC và DAMN. Bài giải Giải thích a) MN // BC nên Þ. Vì M là điểm giữa của nên . Vì và Þ Þ hay DECM cân đỉnh E, tương tự DEAN cân đỉnh E. b) Vì MN // BC nên Þ Þ BCNM là hình thang cân. Vì nên và MC // AN Þ AMCN là hình thang cân. c) Vì ( cùng chắn ). ( đối đỉnh ) Þ DDAN µ DDMB. Hai cung của một đường tròn chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau. Hai góc nội tiếp của một đường tròn chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau. Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Bài giải Giải thích c) Vì ( cùng chắn ). ( đối đỉnh ) Þ DDAN µ DDMB. DDAN µ DDMB Þ Þ . d) Ta có và . Còn . Vì nên . Vì nên . Suy ra . . Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau từng đôi một thì chúng đồng dạng. Tỷ số các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỷ số đồng dạng. Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm. Tổng các góc trong của một tam giác bằng . Bài tập : Trên cạnh CD của hình vuông ABCD lấy điểm M bất kỳ ( khác C, D ). Các đường tròn đường kính CD, AM cắt nhau tại điểm thứ 2 là N. Tia DN cắt BC tại P. Chứng minh AC vuông góc với PM. Ví dụ 4 : Từ một điểm T ở ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến TP, ( P là tiếp điểm ) và cát tuyến TBA đi qua tâm O của đường tròn ( B, A thuộc đường tròn , B nằm giữa O và T ). Chứng minh . Bài giải Giải thích Vì TP là tiếp tuyến với đường tròn (O) nên . Do nên . Þ . Þ . Góc giữa tiếp tuyến và một dây bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung. Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kính. Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau. Ví dụ 5 : Cho A, B, C là 3 điểm trên một đường tròn. Người ta vẽ một đường thẳng song song với tiếp tuyến tại A, đường thẳng song song này cắt đường thẳng AB ở M và cắt đường thẳng AC ở N. Chứng minh rằng . Bài giải Giải thích Vì MN // AT nên . ( cùng chắn ) Þ . Do và chung nên . Suy ra Þ . Các góc so le trong bằng nhau. Góc giữa tiếp tuyến và một dây và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau thì chúng đồng dạng. Bài tập : Cho đường tròn (O) đường kính AB và một dây cung AP. Tia AP cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn ở T. Chứng minh : a) . b) . Ví dụ 6 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Qua A vẽ cát tuyến CAD. a) Chứng minh rằng khi cát tuyến qua xung quanh điểm A thì ( có số đo ) không đổi. b) Từ C và D vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn. Chứng minh rằng hai tiếp tuyến này hợp với nhau một góc không đổi. Bài giải Giải thích a) Khi cát tuyến CAD thay đổi thì không đổi và không đổi nên không đổi. Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn. b) Do và ( cùng chắn ). ( cùng chắn ). Nên hai góc không đổi Þ không đổi. Ví dụ 7 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Qua A kẻ một cát tuyến cắt đường tròn (O) ở B và cắt đường tròn (O’) ở C. Kẻ các đường kính BOD, CO’E của hai đường tròn trên. a) Chứng minh BD song song CE. b) Chứng minh 3 điểm D, A, E thẳng hàng. c) Nếu đường tròn tâm (O) bằng đường tròn tâm (O’) thì tứ giác BDCE là hình gì ? Ch minh. Bài giải Giải thích a) Ta có : ( cùng chắn ). ( cùng chắn ). mà ( đối đỉnh ). Nên Þ BD // CE. b) Do BD là đường kính của đường tròn (O) nên , tương tự là đường kính của đường tròn (O’) nên mà A, B, C thẳng hàng thì D, A, E sẽ cũng thẳng hàng. c) Nếu (O) bằng (O’) thì OA = O’A Þ DABD = DACE Þ AB = AC và AD = AE Þ BDCE là hình bình hành. Góc giữa tiếp tuyến và một dây và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. Hai góc ở vị trí so le bằng nhau nên hai đường thẳng ... song song. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng . Khi hai đường tròn bằng nhau thì hai bán kính của chúng bằng nhau. Tính chất của hình bình hành là hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Bài tập 1 : Cho đường tròn (O,R) và điểm A năm ngoài đường tròn với . Đường tròn tâm I có đường kính OA cắt đường tròn (O) tại B, C. 1. Chứng minh AB, AC là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O) và tứ giác ABOC là hình vuông. 2. OA cắt đường tròn (O) tại D và E; AMN là một cát tuyến bất kỳ của (O). chứng minh . 3. Tìm tập hợp các trung điểm K của MN. 4. AK cắt BC tại J, chứng tỏ 4 điểm I, O, K, J cùng nằm trên đường tròn và . Hướng dẫn 1. . DABO vuông và nên nó là tam giác vuông cân. 2. ; ; . 3. K di động trên cung của đường tròn (I). 4. Þ. Ví dụ 8 : Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C chạy trên nửa đường tròn. Vẽ đường tròn (I) tiếp xúc đường tròn (O) tại C và tiếp xúc đường kính AB tại D, đường tròn này cắt lần lượt CA, CB tại các điểm thứ hai là M, N. Chứng minh rằng : a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng. b) ID vuông góc MN. c) Đường thẳng CD đi qua một điểm cố định. d) Suy ra cách dựng đường tròn (I). Bài giải Giải thích a) Do AB la đường kính đường tròn (O) nên Þ Þ MN là đường kính của đường tròn (I) Þ M, I, N thẳng hàng. b) Vì đường tròn (I) tiếp xúc đường tròn (O) tại C nên và hay O, I, C thẳng hàng. Do nên DCIN cân đỉnh I, suy ra : ,tương tự . Þ Þ MN // AB. Mặt khác nên . c) Þ ; gọi E là giao điểm của CD với (O), ta có Þ E là điểm chính giữa của đường tròn (O) Û đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định E. d) Cách dựng đường tròn (I) : Dựng (E ở nửa không chứa C). Nối CE cắt AB tại D. Từ D dựng đt vuông góc AB cắt OC tại I. Đường tròn (I) bán kính ID cần dựng. Góc nột tiếp chắn nửa đường tròn bằng . Qua một điểm có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho. Tính chất tam giác cân là hai góc ở đáy bằng nhau. TỨ GIÁC NỘT TIẾP – ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn; ( khi đó ta cũng bảo đường tròn ngoại tiếp tứ giác). Muốn chứng minh một tứ giác nội tiếp đường tròn : Tứ giác nội tiếp đường tròn có tổng số đo của hai góc đối diện bằng 1800. Hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc không đổi. Hai đỉnh đối diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông. Bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm cố định. Chứng tỏ tứ giác là hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông. Ví dụ 1 : Cho DABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. a) Chứng minh tứ giác AEHF, BFEC nội tiếp đường tròn. Kể tên các tứ giác có thể nội tiếp đường tròn trong hình vẽ của bạn. b) Chứng minh các tam giác ABC, AEF, DEC, BFD đồng dạng. c) Chứng minh rằng : . d) Gọi G là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh ABGC là tứ giác nội tiếp được. Bài giải Giải thích a) Do BE là đường cao của DABC nên Þ . Tương tự : chứng tỏ tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn. Do CF là đường cao của DABC nên Þ , Tương tự : Þ AEHF nội tiếp. Trong hình vẽ trên có 6 tứ giác nội tiếp đường tròn đó là : AEHF, BCFE, BDHF, ACDF, CDHE, ABDE. b) Ta có ; Vì BFEC nội tiếp nên Suy ra : . Đường cao của tam giác vuông góc với cạnh đối diện. Tứ giác có hai đỉnh nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc không đổi. Tứ giác có hai đỉnh đối diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông. Tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp. Hai góc cùng bù hoặc cùng phụ với góc thứ ba thì bằng nhau. Bài giải Giải thích Mặt khác cùng chắn . Tương tự ta có : , do đó các tam giác ABC, AEF, DEC, BDF đồng dạng với nhau. c) Vì BCEF nội tiếp đường tròn Þ . Vì ABDE nội tiếp đường tròn Þ . Do đó : . d) Do AFHE nội tiếp đường tròn , mà ( đối đỉnh ). Vì G đối xứng với H qua BC nên Þ . Suy ra : nghĩa là tứ giác ABGC nội tiếp đường tròn. Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau từng đôi một thì chúng đồng dạng. Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp đường tròn bằng . Ví dụ 2 : Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O). Trên cung nhỏ AB lấy một điểm C, vẽ CD vuông góc với AB, CE vuông góc MA, CF vuông góc MB. Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng : a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp đường tròn. b) . c) Tứ giác ICKD nội tiếp. d) IK vuông góc CD. Bài giải Giải thích a) Vì Þ . Tương tự Þ : như vậy hai đỉnh đối diện D, E cùng nhìn hai điểm còn lại A, C dưới một góc vuông. Tương tự tứ giác BFCD nội tiếp đường tròn. b) cùng chắn , cùng chắn , mà Þ . Hai đường thẳng vuông góc thì tạo nên góc vuông. Hai đỉnh đối diện của một tứ giác nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn. Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Bài giải Giải thích Tương tự : Þ Þ . c) Tứ giác ICKD có : Û tứ giác ICKD nội tiếp đường tròn. d) Vì cùng chắn Þ ÞIK // AB Hai tam giác đồng dạng thì tỷ số các cạnh tương ứng bằng tỷ số dồng dạng. ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN - DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN Độ dài đường tròn bán kính R : . Cung tròn có số đo , bán kính R có độ dài . Diện tích hình tròn bán kính R : . Quạt tròn cung có số đo , bán kính R có diện tích . Ví dụ 1 : Một hình chữ nhật có hai kích thước là a, b (cm). Lấy hai cạnh kề của hình chữ nhật làm đường kính, vẽ ra phía ngoài hai nửa hình tròn. Tính diện tích hai nửa hình tròn này. Bài giải Giải thích Giả sử hình chữ nhật có chiều rộng, chiều dài là a, b (cm), . Diện tích nửa hình tròn đường kính là : . Diện tích nửa hình tròn đường kính là : . Diện tích hình chữ nhật bằng tích của hai kích thước. Diện tích hình tròn : Diện tích nửa hình tròn đường kính là : . Ví dụ 2 : Cho đường tròn (O,R). Chia đường tròn này thành ba cung có số đo tỷ lệ với 3, 4 và 5 rồi tính diện tích các hình quạt tròn tạo thành. Bài giải Giải thích Gọi số đo ba cung tương ứng là , , , ta có : . Suy ra : , , . Diện tích hình quạt tròn ứng với cung là . Diện tích hình quạt tròn ứng với cung là . Diện tích hình quạt tròn ứng với cung là . Tính chất của dãy tỷ số bằng nhau. Quạt tròn cung có số đo , bán kính R có diện tích . Bài tập : Cho hai đường tròn (O), (O’) bằng nhau cùng bán kính R cắt nhau ở A, B. a) Tứ giác AOBO’ là hình gì ? b) AO, AO’ cắt các đường tròn tâm O, O’ lần lượt ở C và D. Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng. c) Tính theo R diện tích các DAOO’, DACD. d) Tính diện tích phần chung của hai đường tròn (O) và (O’). Hướng dẫn giải Giải thích a) Từ giác AOBO’ là hình thoi. b) ... c) DAOO’ là tam giác đều cạnh R ... DAOO’ ~ D ACB tỷ số ... d) Gọi S là diện tích phần chung của hai đường tròn thế thì : . Vì nên : . . Vậy : . HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN - HÌNH CẦU 1. Hình trụ Diện tích xung quanh hình trụ bán kính đáy r, chiều cao h : . Diện tích toàn phần hình trụ bán kính đáy r, chiều cao h : . Thể tích hình trụ bán kính đáy r, chiều cao h : . 2. Hình nón Diện tích xung quanh hình nón bán kính đáy r, đường sinh : . Diện tích toàn phần hình nón bán kính đáy r, đường sinh : . Thể tích hình nón bán kính đáy r, chiều cao h : . 3. Hình cầu Diện tích mặt cầu bán kính R : . Thể tích hình cầu bán kính R : .