Chuyên đề Hình học không gian 11: Quan hệ song son

CHUYÊN ĐỀ : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 : QUAN HỆ SONG SONG Ngày phát 05/12/2009 Dạng toán : Tìm thiết diện Bài 1 : (Ví dụ 2 - tr 48 - sgk) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với hai đường thẳng AB và CD cắt nhau. Gọi A’ là một điểm nằm giữa hai điểm S và A. Hãy tìm các giao tuyến của mp(A’CD), (SAB), (SBC), (SCD), (SDA). Bài giải Cách 1: Áp dụng kết quả của hoạt động 6 ở trên , ta có mặt phẳng (A’CD) cắt các cạnh SA,SB,SC,SD lần lượt tại A’,B’,C,D thì B’ là giao điểm của đường thẳng DI cới cạnh SB (ở I là giao điểm của hai đường thẳng SO và CA’) Từ đó đễ thấy : Cách 2: Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng AB và CD thì rõ ràng giao tuyến của mp(A’CD) và mp (SAB) là đường thẳng A’K. Khi ấy giao điểm B’ của mp(A’CD) và cạnh SB của hinh chóp chính là giao điểm của đường thẳng A’K và SB. Từ đó ta tìm ra các giao tuyến của các mặt phẳng chứa các mặt còn lại của hình chóp với mp(ACD). Bài 2 (bt 11- tr 50 -sgk) Cho hình bình hành ABCD nằm trong mp(P) và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P). Gọi M là điểm nằm giữa S và A ; N là điểm nằm giữa S và B; Giao điểm của hai đường thẳng AC và BD là O. a) Tìm giao điểm của mặt phẳng (CMN) với đường thẳng SO. b) Xác định giao tuyến của của hai mặt phẳng (SAD) và (CMN). Bài giải a) Trong mp(SCA) , Gọi I là giao điểm của CM và SO. SO.Khi đó I cũng là giao điểm của NI và SD, Dễ thấy M và E là hai điểm của mp (CMN) và đường thẳng SO b) Trong mặt phẳng (SBD), gọi E là giao điểm của NI và SD, Đễ thấy M và E là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (CMN) nên đường thẳng ME là giao tuyến của hai mp này Bài 3 (BT 15 - tr51 - sgk) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Ba điểm A’ , B’, C’ lần lượt nằm trên 3 cạnh SA, SB, SC nhưng không trùng với S, A, B, C. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (A’B’C’). Bài giải Ký hiệu O là giao điểm của hai đường thẳng chéo AC và BD , gọi O’ là giao điểm của A’C’ và SO; D’ là giao điểm của hai đường thẳng B’O’ và SD Nếu D’ thuộc đoạn SD thì thiết diện là tứ giác A’B’C’D’ Nếu D’ nằm trên phần kéo dài của cạnh SD, ta có E là giao điểm của CD và C’D’ , F là giao điểm của AD và A’D’ Khi ấy thiết diện là ngũ giác A’B’C’EF Bài 4 ( Bt 16 - 51 - sgk) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC). b) Tìm giao tuyến của đường thẳng BM và mp(SAC). c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (ABM). Bài giải Gọi Ta thấy SO=(SAC)(SBM) Trong mp (SBM), đường thẳng BM cắt SO tại I Ta có Trong mp (SAC), đường thẳng AI cắt SC tại P, ta có P và M là hai điểm chung của mp (ABM) và mp (SCD) Vậy đường thẳng PM cắt SD tại Q.Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (ABM) là tứ giác ABPQ Bài 5 ( Ví dụ 2 - tr 54 - sgk) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MBC) trong đó M là là một điểm nằm giữa hai điểm S và A. Bài giải a)mp(SAB) và mp)SCD) có điểm chung S và lần lượt đi qua hai đường thẳng song song AB và CD nên chúng cắt nhau theo giao tuyến đi qua S và song song với AB và CD b)mp(MBC) và mp(SAD) lần lượt đi qua hai đường thẳng song song với BC và AD và có điểm chung M nên giao tuyến chúng là đường thẳng MN song song với AD Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(MBC) là hình thang MNCB Bài 6 ( vd -tr 58 - sgk) Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB ( M khác A và B). Giả sử (P) là mặt phẳng qua M song song với các đường thẳng AC và BD. Hãy xác định thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P). Thiết diện là hình gì. Bài giải Từ M kẻ đương thẳng song song với AC cắt BC tại N và kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại F.Khi ấy , (P) chính là mp(MNF). Gọi E là giao điểm của (P) với CD thì thiết diện là tứ giác MNÈ, vì đường thẳng MN song song với mp(ACD) nên mp(P) qua MN cắt mp(ACD) theo giao tuyến EF song song với MN.Tương tự .NE song song với MF , Vậy thiết diện cần tìm là hình bình hành MNEF Bài 7 ( bt 27 - tr 60 - sgk) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua O, song song với AB và SC. Thiết diện đó là hình gì? Bài giải Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD tại N, cắt BC tại M. Qua M vẽ đường thẳng song song với SC cắt SB tại Q.qua Q vẽ đường thẳng song song với AB cắt SA tại P . Dễ thấy thiết diện là hình thang MNPQ Bài 8 ( bt 28 - tr 60 - sgk) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA. Bài giải Qua O vẽ đường thẳng song song với BD cắt AD tại N và cắt AC tại I. Qua M,T,N vẽ các đường thẳng song song với SA lần lượt cắt SB,SC,SD tại R,Q,P.Thiết diện là ngũ giác MNPQR Bài 9 ( Bt 36- tr 68 - sgk ) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của cạnh A’B’. a) CMR đường thẳng CB’ song song với mp(AHC’) b) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’BC). Chứng minh rằng d song song với mp(BB’C’C). c) Xác định thiết diện của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ khi cắt bởi mặt phẳng (H, d) Bài giải a)Gọi I là tâm của hình bình hành AA’C’C. Xét tam giác A’B’C’ thì HI là một đường trung bình của nó, nên . Mặt khác HI m\nằm trong mặt phẳng (AHC’), Vậy CB’//mp(AHC’) b)Gọi J là tâm của hình bình hành AA’B’B. Rõ ràng I, J là là hai điểm chung của hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’BC). Vậy giao tuyến d của chúng là đường thẳng Ị. Rõ ràng d//B’C’ nên d//(BB’C’C) c)Đường thẳng HJ cắt mp(H,d) Vậy mp(AA’C’C) cắt mp (H,d) theo tiếp tuyến qua I và song song với AA’, giao tuyến này cắt AC và A’C lần lượt tại N và E. Vậy Thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi mp(H,d)là hình bình hành MNEH Bài 10 ( Bt 27 - tr 55- sbt ) Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của cạnh BC và BD ; E là một điểm thuộc cạnh AD khác với A và D. a) Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mp(ỊE). b) Tìm vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành. c) Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên cạnh AD để thiết diện là hình thoi. Bài làm a)Ta có IJ là đương trung bình của tam giác BCD nên IJ//CD Mặt khác suy ra mp (IJE) cắt mp(ACD) theo giao tuyến Ex//CD gọi F là giao điểm của Ex và AC. Thiết diện là hình thang EFIJ. b)Để thiết diện là hình bình hành điều kiện cần và đủ là IF//Jekhi và chỉ khi AE=ED c)Thiết diện EFIJ là hing thoi khi và chỉ khi EFIJ là hình bình hành có IF=IJ khi và chỉ khi E là trung điểm của AD thì Bài 11 (bài 35 - tr 57- sbt) Cho tứ diện ABCD. Hãy xác định thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau : a) Mp (P) đi qua trọng tâm G của tứ diện, qua điểm E thuộc BC và song song với AD. b) Đi qua trọng tâm của tứ diện và song song với BC và AD. Bài làm Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và AD thì G là trung điểm của IJ Mặt phẳng (IAD) chứa AD,AD//(P) nên (IAD) cắt (P) theo giao tuyến MN qua G và song song AD Khi E trùng với I, thiết diện không tồn tại Khi E không trùng với I, ta có thiết diện là tam giác EFK b)Theo câu a) mặt phẳng (P) song song với AH và chúa MN . Mặt khác (P) song song với BC nên nó cắt mp(ABC)và mp(BCD) theo giao tuyến lần lượt qua M và song song với BC. Vậy thiết diện của hình bình hành là LFKQ Bài 12 ( Bt 37 - tr57 - sbt) Cho hình chóp S.ABCD. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’. a) Tìm điều kiện của mặt phẳng (P) để tứ giác A’B’C’D’ là hình thang. b) Tìm điều kiện của mặt phẳng (P) để tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành. Bài làm a)Thiết diện A’B’C’D’ là hình thang khi và chỉ khi A’B’//C’D’ hoặc A’D’//B’C’ Ta có *)A’B’//C’D’ khi và chỉ khi giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) song song với A’B’ *) A’D’//C’B’ khi và chỉ khi giao tuyến của mặt phẳng (SAD) và (SBC) song song với A’D’ b)tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành khi và chỉ khi mp(P) song song với cả hai đường thẳng giao tuyến Dạng toán : CM 3 điểm thẳng hàng; CM 3 đường thẳng đồng quy Bài 13 (VD1 tr24- sCĐLT vào ĐH ) Cho hình chóp S.ABC. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’ , C’ sao cho B’C’ cắt BC tại điểm D, C’A’ cắt CA tại điểm E, A’B’ cắt AB tại điểm F. Chứng minh 3 điểm D, E, F thẳng hàng. Bài làm Do đó : Tương tự Vậy ba điểm D,E,F thuộc mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’) nên chúng thẳng hàng Bài 14 ( VD 3 - tr 24 - sCĐLT vào ĐH ) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là một điểm trên cạnh AD và K là một điểm trên cạnh SB. a) Tìm các giao điểm E, F của IK và DK với mp(SAC). b) Gọi CMR bốn điểm A, E, F, M thẳng hàng. Bài làm Gọi Trong mặt phẳng (SBI), IK cắt SH tại E và trong mặt phẳng (SBD), DK cắt SG tại F, ta có : b)Các điểm A,E,F,M thuộc mặt phẳng (AKO) vì chúng lần lượt thuộc các đường thẳng AO,IK,DK,OK của mặt phẳng này .Mặt phẳng khác các điểm A,E,F,Mcungx thuộc mặt phẳng (SAC)vì chúng lần lượt thuộc các đường thẳng SA,SH,SG,SC của mạt phẳng (SAC) này.Vậy bốn điểm A,E,F,M là bồn điểm chung của hai mặt phẳng (AKO) và (SAC) nên chúng cùng nằm trên đường thẳng giao tuyến của hai mp đó Bài 15 ( VD 4 - tr 25 - sCĐLT vào ĐH ) Chotứ diện ABCD. Gọi E,F, G là 3 điểm lần lượt nằm trên 3 cạnh AB,AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. CMR : CD, IG, HF đồng quy. Bài làm Ta có Do đó Vậy Lập luận tương tự ta có Gọi K là giao điểm của IG và CD Ta có và Gọi K là giao điểm của IG và CA Ta có và Suy ra: Vậy CD,IG,HF đông quy Bài 16 ( vd -tr 47 - sgk) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Một mp(P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’. CMR các đường thẳng A’C’, B’D’ và SO đồng quy với O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của đáy. Bài làm Áp dụng kết quả của hoạt động 6 ở trên, ta có mạt phẳng (A’CD) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’ ,C,D thì B’ là giao điểm của đường thẳng DI với cạnh SB (ở đây I là giao điểm của hai đường thẳng SO và CA’) Từ đó dễ thấy: Bài 17 ( ví dụ 1 - tr 54 sgk) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, BC, DA, AC, BD. CMR 3 đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn. Điểm G đó là trọng tâm của tứ diện ABCD đã cho. Bài làm Vì MN là đương trung bình của tam giác ABC, NQ là đường trung bình của tam giác ADC nên MP//AC, NQ//AC, ,Vậy MP//NQ và MP=NQ, do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.Từ đó ta suy ra các đoạn thẳng MN và PQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn. Chứng minh tương tự, các đoạn thẳng MN và RS cũng cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn. Vậy ba đương thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điẻm G mỗi đoạn thẳng đó. Dạng toán : CM đường thẳng song song với dường thẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song. Bài 18 ( VD 1 - tr 40 - S CĐ LT vào ĐH ..) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC. CMR : MN song song với CD. Bài làm Gọi E là trung điểm của AB, Ta có ,. Do đó MN và CD đông phẳng . Mặt khác Vì M và N là trọng tâm tam giác ABC và ABD. Vậy MN//CD Bài 19 ( ( VD 2 - tr 40 - S CĐ LT vào ĐH ..) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy lớn là AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. a) CM : MN // CD b) Gọi P là giao điểm của SC và mặt phẳng (ADN). Hai đường thẳng AN và DP cắt nhau tại I. CM SI // AB và SA // IB. Bài làm a)M,N là trung điểm của tam giác SAB nên MN//AB, mà AB//CD, theo gia thiết, nên suy ra MN//CD b) Gọi .Trong mặt phẳng SBC, NE cắt SC tại P, ta có P là giao điểm của SC và mặt phẳng (ADN). Ta có Mà AB//CD và nên SI//AB//CD Vì SI=2MN và AM=NI nên SABI là hình bình hành Do đó SA//IB Bài 20 ( VD 1 - tr 47 - - S CĐ LT vào ĐH ..) Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB nhưng không nằm trong một mặt phẳng. a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF . CM: OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE) b) Gọi M và N lần lượt là trong tâm các tam giác ABD và ABE. CM : MN song song với mặt phẳng (CEF). Bài làm OO’ không chứa trong mặt phẳng (ADF) và (BCE). Ta có OO’//DF mà . Do đó OO’//mp(ADF) Tương tự : OO’//CE mà do đó OO’//mp(BCE) Kéo dài BM cắt CD tại G ta có AB//CD nên: Mặt khác, ta có : Do đó MN//GF Mà GFmp(CDFE) và mặt phẳng này không chứa MN, nên ta suy ra MN//mp(CEF) Bài 21 ( VD 2 - tr 48 CĐ LT vào ĐH ..) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. a) Cm : MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD) b)Gọi P là trung điểm của SA. Cm : SB và SC đều song song với mặt phẳng (MNP) c) Gọi G1 ; G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và SBC. CM : G1G2 song song với mặt phẳng (SAB). Bài làm MN//mp(SBC) vì MN không thuộc mp(SBC) và MN //BCmp(SBC) Tương tự MN // mp(SAD) vì MN không thuộc mặt phăng (SAD)và MN//ADmp(SAD) b) Vì (MNP) không chứa SC và ta có SC//NQ với Q là trung điểm của đoạn SD và NQmp(MNP) Gọi I là trung điểm của đoạn BC ta có G1AI và G2SI Vì G1 và G2là trọng tâm tam giác ABCvaf SBC nên ta có G1G2//SA(SAB) và G1G2 không thuộc mặt phẳng (SAB). Vậy G1G2//mp(SAB) CHUYÊN ĐỀ : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 : QUAN HỆ SONG SONG Ngày phát 05/12/2009 Dạng toán : Tìm thiết diện Bài 1 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với hai đường thẳng AB và CD cắt nhau. Gọi A’ là một điểm nằm giữa hai điểm S và A. Hãy tìm các giao tuyến của mp(A’CD), (SAB), (SBC), (SCD), (SDA). Bài 2 Cho hình bình hành ABCD nằm trong mp(P) và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P). Gọi M là điểm nằm giữa S và A ; N là điểm nằm giữa S và B; Giao điểm của hai đường thẳng AC và BD là O. a) Tìm giao điểm của mặt phẳng (CMN) với đường thẳng SO. b) Xác định giao tuyến của của hai mặt phẳng (SAD) và (CMN). Bài 3 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Ba điểm A’ , B’, C’ lần lượt nằm trên 3 cạnh SA, SB, SC nhưng không trùng với S, A, B, C. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (A’B’C’). Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC). b) Tìm giao tuyến của đường thẳng BM và mp(SAC). c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (ABM). Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MBC) trong đó M là là một điểm nằm giữa hai điểm S và A. Bài 6 Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB ( M khác A và B). Giả sử (P) là mặt phẳng qua M song song với các đường thẳng AC và BD. Hãy xác định thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P). Thiết diện là hình gì. Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua O, song song với AB và SC. Thiết diện đó là hình gì? Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA. Bài 9 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của cạnh A’B’. a) CMR đường thẳng CB’ song song với mp(AHC’) b) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’BC). Chứng minh rằng d song song với mp(BB’C’C). c) Xác định thiết diện của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ khi cắt bởi mặt phẳng (H, d) Bài 10 Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của cạnh BC và BD ; E là một điểm thuộc cạnh AD khác với A và D. a) Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mp(ỊE). b) Tìm vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành. c) Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên cạnh AD để thiết diện là hình thoi. Bài 11 Cho tứ diện ABCD. Hãy xác định thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau : a) Mp (P) đi qua trọng tâm G của tứ diện, qua điểm E thuộc BC và song song với AD. b) Đi qua trọng tâm của tứ diện và song song với BC và AD. Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’. a) Tìm điều kiện của mặt phẳng (P) để tứ giác A’B’C’D’ là hình thang. b) Tìm điều kiện của mặt phẳng (P) để tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành. Dạng toán : CM 3 điểm thẳng hàng; CM 3 đường thẳng đồng quy Bài 13 Cho hình chóp S.ABC. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’ , C’ sao cho B’C’ cắt BC tại điểm D, C’A’ cắt CA tại điểm E, A’B’ cắt AB tại điểm F. Chứng minh 3 điểm D, E, F thẳng hàng. Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là một điểm trên cạnh AD và K là một điểm trên cạnh SB. a) Tìm các giao điểm E, F của IK và DK với mp(SAC). b) Gọi CMR bốn điểm A, E, F, M thẳng hàng. Bài 15 Chotứ diện ABCD. Gọi E,F, G là 3 điểm lần lượt nằm trên 3 cạnh AB,AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. CMR : CD, IG, HF đồng quy. Bài 16 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Một mp(P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’. CMR các đường thẳng A’C’, B’D’ và SO đồng quy với O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của đáy. Bài 17 Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, BC, DA, AC, BD. CMR 3 đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn. Điểm G đó là trọng tâm của tứ diện ABCD đã cho. Dạng toán : CM đường thẳng song song với dường thẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song. Bài 18 Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC. CMR : MN song song với CD. Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy lớn là AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. a) CM : MN // CD b) Gọi P là giao điểm của SC và mặt phẳng (ADN). Hai đường thẳng AN và DP cắt nhau tại I. CM SI // AB và SA // IB. Bài 20 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB nhưng không nằm trong một mặt phẳng. a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF . CM: OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE) b) Gọi M và N lần lượt là trong tâm các tam giác ABD và ABE. CM : MN song song với mặt phẳng (CEF). Bài 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. a) Cm : MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD) b)Gọi P là trung điểm của SA. Cm : SB và SC đều song song với mặt phẳng (MNP) c) Gọi G1 ; G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và SBC. CM : G1G2 song song với mặt phẳng (SAB).