Chuyên đề Hình học phẳng - Nguyễn Đức Thụy

Hình học phẳng 1. Cho nửa đường tròn đường kính BC bán kính R và điểm A trên nửa đường tròn (A khác B và C). Từ A hạ AH vuông góc với BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. a. Tứ giác AFHE là hình gì? Tại sao? b. Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp. c. Hãy xác định vị trí của điểm A sao cho tứ giác AFHE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R. (trích ĐTTN THCS 1999- 2000, tỉnh Vĩnh Phúc) 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, có hai đỉnh B, C cố định, đỉnh A thay đổi. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A. Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C theo thứ tự cắt d ở D và E. a. Chứng minh rằng đường tròn đường kính DE luôn đi qua điểm O. b. Chứng minh rằng đường thẳng BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE. c. Chứng minh rằng khi tứ giác BCED có chu vi nhỏ nhất thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. (trích ĐTTN THCS 2000- 2001, tỉnh Vĩnh Phúc) 3. Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A, B. Đường vuông góc với AB kẻ qua B cắt (O) và (O') lần lượt tại các điểm C, D. Lấy M trên cung nhỏ BC của đường tròn (O). Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng MB với đường tròn (O') là N và giao điểm của hai đường thẳng CM, DN là P. a. Tam giác AMN là tam giác gì, tại sao? b. Chứng minh ACPD nội tiếp được đường tròn. c. Gọi giao điểm thứ hai của AP với đường tròn (O') là Q, chứng minh rằng BQ // CP. (trích ĐTTS THPT 1999- 2000, tỉnh Vĩnh Phúc) 4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O và P là trung điểm của cung AB không chứa C và D. Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E và F. Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I, các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: a. Góc CID bằng góc CKD. b. Tứ giác CDFE nội tiếp được một dường tròn. c. IK // AB. (trích ĐTTS THPT 1999- 2000, tỉnh Vĩnh Phúc) 5. Cho đường tròn tâm O đường kính AB, điểm C cố định trên OA (C không trùng với O, A), điểm M di động trên đường tròn, tại M vẽ đường thẳng vuông góc với MC cắt các tiếp tuyến kẻ từ A và B lần lượt tại D và E. a. Chứng minh tam giác DCE vuông. b. Chứng minh tích AD.BE không đổi. c. Tìm vị trí M sao cho diện tích tứ giác ABED nhỏ nhất. (trích ĐTTS THPT 2000- 2001, tỉnh Vĩnh Phúc) 6. Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD và đáy nhỏ BC nội tiếp trong đường tròn tâm O; AB và CD kéo dài cắt nhau tại I. Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại B và D cắt nhau tại điểm K. a. Chứng minh các tứ giác OBID và OBKD là các tứ giác nội tiếp. b. Chứng minh IK song song với BC. c. Hình thang ABCD phải thoả mãn điều kiện gì để tứ giác AIKD là hình bình hành. (trích ĐTTS THPT 2000- 2001, tỉnh Vĩnh Phúc) 7. Trên đường tròn (O; R), đường kính AB, lấy điểm M sao cho MA > MB. Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M và B cắt nhau tại một điểm P; Các đường thẳng AB, MP cắt nhau tại điểm Q; Các đường thẳng AM, OM cắt đường thẳng BP lần lượt tại các điểm R, S. a. Chứng minh tứ giác AMPO là hình thang. b. Chứng minh MB // SQ. (trích ĐTTS THPT 2001- 2002, tỉnh Vĩnh Phúc) 8. Cho tam giác vuông ABC (); trên đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với các điểm A và C). Đường tròn đường kính DC cắt BC tại các điểm thứ hai E; đường thẳng BD cắt đường tròn đường kính DC tại điểm F (F không trùng với D). Chứng minh: a. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC. b. Tứ giác ABCF nội tiếp đường tròn. c. AC là tia phân giác của góc EAF. (trích ĐTTS THPT 2002- 2003, tỉnh Vĩnh Phúc) 9. Cho đường tròn tâm O. Từ một điểm P ở ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC (A, C là tiếp điểm) với đường tròn (O). a. Chứng minh PAOC là tứ giác nội tiếp đường tròn. b. Tia AO cắt đường tròn (O) tại B; đường thẳng qua P song song với AB cắt BC tại D. Tứ giác AODP là hình gì? c. Gọi I là giao điểm của OC và PD; J là giao điểm của PC và DO; K là trung điểm của AD. Chứng tỏ rằng các điểm I, J, K thẳng hàng. (trích ĐTTS THPT 2002- 2003, tỉnh Vĩnh Phúc) 10. Cho tam giác cân ABC (AB = AC; ), một đường tròn (O) tiếp xúc với AB và AC lần lượt tại B và C. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M (M không trùng với B và C) rồi hạ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, CA, AB. a. Chỉ ra cách dựng đường tròn (O). b. Chứng minh tứ giác BIMK nội tiếp. c. Gọi P là giao điểm của MB và IK; Q là giao điểm của MC và IH. Chứng minh . (trích ĐTTS THPT 2003- 2004, tỉnh Vĩnh Phúc) 11. Cho tứ giác ABCD (AB // CD) nội tiếp trong đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: a. . b. Tứ giác AEDO nội tiếp. c. EI // AB. (trích ĐTTS THPT 2003- 2004, tỉnh Vĩnh Phúc) 12. Cho đường tròn (O) đường kính BC. Điểm A thuộc đoạn OB (A không trùng với O và B), vẽ đường tròn (O') đường kính AC. Đường tròn đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại D và E. Gọi F là giao điểm thứ hai của CD với đường tròn (O'), K là giao điểm thứ hai của CE với đường tròn (O'). Chứng minh: a. Tứ giác ADBE là hình thoi. b. AF // BD. c. Ba điểm E, A, F thẳng hàng. d. Bốn điểm M, F, C và E cùng thuộc một đường tròn. e. Ba đường thẳng CM, DK, EF đồng quy. (trích ĐTTS THPT 2004- 2005, tỉnh Vĩnh Phúc) 13. Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đường tròn (O) (M, N là tiếp điểm). Đường thẳng đi qua điểm P cắt đường tròn (O) tại hai điểm E và F. Đường thẳng qua O song song với PM cắt PN tại Q. Gọi H là trung điểm của đoạn EF. Chứng minh rằng: a. Tứ giác PMON nội tiếp đường tròn. b. Các điểm P, N, O, H cùng nằm trên một đường tròn. c. Tam giác PQO cân. d. PM2 = PE.PF. e. . (trích ĐTTS THPT 2004- 2005, tỉnh Vĩnh Phúc) 14. Cho đường tròn (O) có tâm O, đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn O tại A lấy điểm M (M không trùng với A). Từ M kẻ cát tuyến MCD (C nằm giữa M và D; tia MC nằm giữa tia MA và tia MO) và tiếp tuyến thứ hai MI (I là tiếp điểm) với đường tròn (O). Đường thẳng BC và BD cắt đường thẳng OM lần lượt tai E và F. Chứng minh: a. Bốn điểm A, M, I và O nằm trên một đường tròn. b. . c. O là trung điểm của FE. (trích ĐTTS THPT 2005- 2006, tỉnh Vĩnh Phúc) 15. Cho tam giác vuông ABC (; AB > AC) và một điểm M nằm trên đoạn AC (M không trùng với A và C). Gọi N và D lần lượt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đương tròn đường kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đường tròn đường kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh: a. Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đường tròn. b. CM là phân giác của góc . c. . (trích ĐTTS THPT 2005- 2006, tỉnh Vĩnh Phúc) 16. Cho đường tròn (O), một đường kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN, sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. a. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong một đường tròn. b. Chứng minh AME đồng dạng với ACM và AM2 = AE.AC. c. Chứng minh AE.AC AI.IB = AI2. d. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. (trích ĐTTN THCS Hà Nội 2002- 2003) 17. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E và nửa đường tròn đường kính CH cắt AC tại F. Chứng minh rằng: a. Tứ giác àEH là hình chữ nhật. b. EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đường kính BH và CH. c. Tứ giác BCFE nội tiếp. (trích ĐTTN THCS tỉnh Bắc Giang 2002- 2003) 18. Cho đường tròn (O) bán kính R, đường thẳng d không qua O và cắt đường tròn tại hai điểm A, B . Từ một điểm C trên d (C nằm ngoài đường tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (M, N thuộc (O)). Gọi H là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt tia CN tại K. a. Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đường tròn. b. Chứng minh KN.KC = KH.KO. c. Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) tại I, chứng minh I cách đều CM, CN và MN. d. Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lượt tại E và F. Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác Cè là nhỏ nhất. (trích ĐTTN THCS Hà Nội 2003- 2004) 19. Trên đường tròn (O; R) đường kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B). AM cắt BE tại C; AE cắt BM tại D. a. Chứng minh MCED là một tứ giác nội tiếp và CD vuông góc với AB. b. Gọi H là giao điểm của CD và AB. Chứng minh BE.BC = BH.BA. c. Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đường tròn (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng CD. d. Cho biết và . Tính diện tích tam giác ABC theo R. (trích ĐTTN THCS TP. HCM 2003- 2004) 20. Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA; trên tia đói của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M; MD cắt AB tại K; MB cắt AC tại H. a. Chứng minh: = , từ đó suy ra tứ giác AMHK nội tiếp. b. Chứng minh: HK // CD. c. Chứng minh: OK.OS = R2. (trích ĐTTS THPT tỉnh Bắc Giang 2003- 2004) 21. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Đường tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) tại điểm M; đường tiếp tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O') tại N. Đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác MAN cắt AB kéo dài tại P. a. Chứng minh rằng tứ giác OAO'I là hình bình hành. b. Chứng minh rằng bốn điểm O, B, I, O' nằm trên một đường tròn. c. Chứng minh rằng: BP = BA. (trích ĐTTS THPT NK Trần Phú, Hải Phòng 2003- 2004). 22. Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC = R. A là một điểm bất kì trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, tia BH cắt AC tại E, tia CH cắt AB tại F. a. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AH, D là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh đường thẳng ID là đường trung trực của đoạn thẳng EF. b. Tính đọ dài của đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF theo R. c. Xác định điểm Q thuộc đoạn thẳng BC sao cho BQ = CQ. (trích ĐTTS THPT chuyên Nguyễn Huệ, Hà Tây 2003- 2004) 23. Cho tam giác ABC vuông ở A và có AB > AC, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, vẽ nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. a. Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật. b. Chứng minh AE.AB = AF.AC c. Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp. 24. Cho đường tròn tâm O và dây AB, M là điểm chuyển động trên đường tròn, từ M kẻ MH vuông góc với AB (HAB), gọi E và F là hình chiếu vuông góc của H trên MA và MB. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt dây Ab tại D. a. Chứng minh rằng đường thẳng MD luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi trên đường tròn. b. Chứng minh: (trích ĐTTS THPT Nguyễn Trãi, Hải Dương 2003- 2004) 25. Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung với hai đường tròn (O1) và (O2) về phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đường tròn (O1), (O2) thứ tự tại C, D. Đường thẳng CE và đường thẳng DF cắt nhau tại I. a. Chứng minh IA vuông góc với CD. b. Chúng minh tứ giác IEBF là tứ giác nội tiếp. c. Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của EF. (trích đề thi tuyển sinh THPT tỉnh Hải Dương, năm 2003 - 2004) 26. Cho tam giác vuông ABC ( = 900). Từ B dựng đoạn thẳng BD về phía ngoài tam giác ABC sao cho BC = BD và ABC = CBD; gọi I là trung điểm của CD; AI cắt BC tại E. a. Chứng minh CAI = DBI. b. Chứng minh ABE là tam giác cân. c. Chứng minh AB.CD = BC.AE (trích đề thi tuyển sinh THPT tỉnh Hải Dương, năm 2004 - 2005) 27. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và trung tuyến AM. Vẽ đường tròn tâm H bán kính AH, cắt AB ở điểm D, cắt AC ở điểm E (D và E khác điểm A). a. Chứng minh D, H, E thẳng hàng. b. Chứng minh và MA DE. c. Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn tâm là O. Tứ giác AMOH là hình gì? d. Cho và AH = a. Tính diện tích tam giác HEC theo a. (trích ĐTTS THPT Chuyên Lê Hồng Phong, TP. HCM 2003- 2004) 28. Cho tam giác ABC. Phân giác trong AD của góc A cắt đường tròn ngoại tiếp tại P. a. Chứng minh rằng: AP.AD = AB.AC và PD.PA = PB2. b. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp, J là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A (J là giao điểm của AD và các phân giác ngoài của góc B và C). Chứng tỏ bốn điểm B, I, C, J cùng nằm trên một đường tròn. c. Chứng minh rằng: AI.AJ = AB.AC. 29. Một hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Một điểm M di động trên cung ; MB cắt AC ở P. a. Chứng minh rằng MB là phân giác góc AMC; và các tam giác MBC, MAP đồng dạng. b.Các tam giác MBC và MAP bằng nhau khi M ở một vị trí đặc biệt M'. Hãy xác định M'. c. Tia M'B cắt AC ở P'. Tính các góc của tam giác M'P'C. 30. Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC. Giả sử . a. Chứng minh rằng hai tam giác ABM và CBA đồng dạng. b. Chứng minh hệ thức: BC2 = 2AB2. So sánh BC và đường chéo của một hình vuông cạnh AB. c. Chứng tỏ BA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC. d. Đường thẳng qua C và song song với MA cắt đưòng thẳng AB ở D. Chứng tỏ đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD tiếp xúc với BC. 31. Cho đường tròn tâm O, bán kính R và hai đường kính vuông góc AB và CD. Trên AO lấy điểm E mà OE = AO, CE cắt (O) ở M. a. Tính CE theo R. b. Chứng minh tứ giác MEOD nội tiếp đựơc. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác. c. Chứng minh hai tam giác CEO và CDM đồng dạng. Tính độ dài đường cao MH của tam giác CDM. 32. Cho đoạn thẳng AD cố định có độ dài bằng a (a là số dương), I là trung điểm của AD; tia Ix vuông góc với AD. Một đường tròn bất kỳ bán kính R, tiếp xúc với AD tại A và cắt Ix tại B, C (B nằm giữa I và C). a. Chứng minh tam giác BID đồng dạng với tam giác AIC và tích IB.IC không đổi. b. Chứng minh B là trực tâm của tam giác ADC; Tìm trực tâm của tam giác ABC. Có nhận xét về trực tâm của tam giác ABC? c. Nối BD cắt đường tròn (O) tại D'. Chứng minh các tam giác CDD' và ADD' cân. (trích ĐTTS THPT 1996- 1997, tỉnh Vĩnh Phúc) 33. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn(O), ta kẻ các tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). M là một điểm trên cung nhỏ BC, . Từ M hạ các đường vuông góc MI, MH, MK tương ứng xuống BC, AC, AB. Gọi P là giao của MB và IK; Q là giao của MC và IH. a. Chứng minh các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được đường tròn. b. Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc KMH. c. Chứng minh PQ // BC. (trích ĐTTS THPT 1996- 1997, tỉnh Vĩnh Phúc) 34. Cho đường tròn (O), bán kính R. Một đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Từ một điểm M trên d (M nằm ngoài hình tròn) kẻ các tiếp tuyến MP, MQ tới đường tròn (O). a. Chứng minh và khi M di động trên d (M nằm ngoài hình tròn) thì các đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ luôn đi qua một điểm cố định. b. Xác định vị trí của M để tam giác MPQ là tam giác đều. c. Với mỗi vị trí của điểm M đã cho, hãy tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác MPQ. (trích ĐTTS THPT 1997- 1998, tỉnh Vĩnh Phúc) 35. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy một điểm D, dựng CE vuông góc với BD. a. Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đường tròn. b. Chứng minh AD.CD = ED.BD. c. Từ D kẻ DK vuông góc với BC. Chứng minh rằng AB, DK, EC đồng quy tại một điểm và . (trích ĐTTS THPT 1997- 1998, tỉnh Vĩnh Phúc) 36. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D a. Chứng minh: CD = AC + BD và AC.BD = R2. b. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác ABDC có diện tích nhỏ nhất. c. Cho biết R = 2 cm, diện tích tứ giác ABDC bằng 32 cm2. Tình diện tích tam giác ABM. (trích ĐTTS THPT 2005- 2006, tỉnh Thái Bình)