Chuyên đề Lượng giác. Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình

1 ThS. ðoàn Vương Nguyờn toancapba.com CHUYấN ðỀ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRèNH – BẤT PHƯƠNG TRèNH – HỆ PHƯƠNG TRèNH A. Biểu diễn cung – gúc lượng giỏc Nếu cung (hoặc gúc) lượng giỏc
AM cú số ủo là k2 n π α + (hoặc 0 k.360a n +  ) với k ∈ ℤ , n +∈ ℕ thỡ cú n ủiểm M trờn ủường trũn lượng giỏc cỏch ủều nhau. Vớ dụ 1. Nếu sủ
AM k2 3 π = + π thỡ cú 1 ủiểm M tại vị trớ 3 π (ta chọn k = 0). Vớ dụ 2. Nếu sủ
AM k 6 π = + π thỡ cú 2 ủiểm M tại cỏc vị trớ 6 π và 7 6 π (ta chọn k = 0, k = 1). Vớ dụ 3. Nếu sủ
2AM k 4 3 π π = + thỡ cú 3 ủiểm M tại cỏc vị trớ 4 π , 11 12 π và 19 12 π (ta chọn k = 0, k = 1 và k = 2). Vớ dụ 4. Nếu sủ
k.360AM 45 k.90 45 4 = + = +     thỡ cú 4 ủiểm M tại cỏc vị trớ 450, 1350, 2250 và 3150 (ta chọn k = 0, 1, 2, 3). Vớ dụ 5. Tổng hợp hai cung x k 6 π = − + π và x k 3 π = + π . Giải Biểu diễn 2 cung x k 6 π = − + π và x k 3 π = + π trờn ủường trũn lượng giỏc ta ủược 4 ủiểm 6 π − , 3 π , 5 6 π và 4 3 π cỏch ủều nhau. Vậy cung tổng hợp là: x k 3 2 π π = + . 2 B. PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC I. Hàm số lượng giỏc 1. Hàm số y = cosx 1) Miền xỏc ủịnh D = ℝ . 2) Miền giỏ trị G = [–1; 1]. 3) Hàm số y = cosx là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ T 2= π . 4) (cosx)/ = – sinx. 5) ðồ thị hàm số y = cosx ủối xứng qua trục tung Oy. 2. Hàm số y = sinx 1) Miền xỏc ủịnh D = ℝ . 2) Miền giỏ trị G = [–1; 1]. 3) Hàm số y = sinx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T 2= π . 4) (sinx)/ = cosx. 5) ðồ thị hàm số y = sinx ủối xứng qua gốc tọa ủộ O. 3. Hàm số y = tgx 1) Miền xỏc ủịnh { }D \ k , k2 π = + π ∈ℝ ℤ . 2) Miền giỏ trị G = ℝ . 3) Hàm số y = tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = π . 4) (tgx)/ = 1 + tg2x = 2 1 cos x . 5) ðồ thị hàm số y = tgx ủối xứng qua gốc tọa ủộ O. 3 4. Hàm số y = cotgx 1) Miền xỏc ủịnh { }D \ k , k= π ∈ℝ ℤ . 2) Miền giỏ trị G = ℝ . 3) Hàm số y = cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = π . 4) (cotgx)/ = – (1 + cotg2x) = 2 1 sin x − . 5) ðồ thị hàm số y = cotgx ủối xứng qua gốc tọa ủộ O. 5. Chu kỳ của hàm số lượng giỏc 5.1. ðịnh nghĩa Hàm số y = f(x) cú chu kỳ T > 0 nếu T là số dương nhỏ nhất và thỏa f(x + T) = f(x). 4 Vớ dụ 1. Hàm số y = sin5x cú chu kỳ 2T 5 π = vỡ: ( )2sin 5 x sin(5x 2 ) sin 5x5 π + = + π = . Hơn nữa, 2T 5 π = là số nhỏ nhất do hàm số y = sint, t = 5x cú chu kỳ 2π . 5.2. Phương phỏp giải toỏn 5.2.1. Hàm số y = sin(nx) và y = cos(nx) Hàm số y = sin(nx) và y = cos(nx), n +∈ ℤ cú chu kỳ 2T n π = . Vớ dụ 2. Hàm số y = cos7x cú chu kỳ 2T 7 π = . 5.2.2. Hàm số xy sin n = và xy cos n = Hàm số xy sin n = và xy cos n = , n +∈ ℤ cú chu kỳ T n2= π . Vớ dụ 3. Hàm số xy sin 3 = cú chu kỳ T 6= π . 5.2.3. Hàm số y = tg(nx) và y = cotg(nx) Hàm số y = tg(nx) và y = cotg(nx), n +∈ ℤ cú chu kỳ T n π = . Vớ dụ 4. Hàm số y = cotg6x cú chu kỳ T 6 π = . 5.2.4. Hàm số xy tg n = và xy cotg n = Hàm số xy tg n = và xy cotg n = , n +∈ ℤ cú chu kỳ T n= π . Vớ dụ 5. Hàm số xy tg 3 = cú chu kỳ T 3= π . 5.2.5. Hàm số y f(x) g(x)= ± Cho hàm số y = f(x), y = g(x) cú chu kỳ lần lượt là 1 mT n= π và 2 p T k = π . ðể tỡm chu kỳ của hàm số y f(x) g(x)= ± ta thực hiện cỏc bước sau: Bước 1. Quy ủồng m mk n nk = , p np k nk = và tỡm bội số chung nhỏ nhất A của mk, np. Bước 2. Chu kỳ của y f(x) g(x)= ± là AT nk = π . 5 Vớ dụ 6. Tỡm chu kỳ của hàm số xy cos 3x tg 3 = − . Giải Hàm số y = cos3x, xy tg 3 = cú chu kỳ lần lượt là 2 3 π và 3π . Ta cú: 2 2 BCNN(2; 9)3 3 T 6 9 3 3 3 π π = ⇒ = π = π  π π = . Vậy chu kỳ của hàm số xy cos 3x tg 3 = − là T 6= π . II. Phương trỡnh lượng giỏc cơ bản 1) cos x cos= α x k2 , k x k2 = α + π ⇔ ∈ = −α + π Z 2) sin x sin= α ⇔ x k2 , k x +k2 = α + π  ∈ = π −α π Z 3) tgx tg x k , k= α ⇔ = α + π ∈ Z 4) cotgx cotg x k , k= α ⇔ = α + π ∈ Z Phương trỡnh cơ bản ủặc biệt cần nhớ 1) cos x 0 x k , k 2 π = ⇔ = + π ∈ Z 2) cos x 1 x k2 , k= ⇔ = π ∈ Z 3) cos x 1 x k2 , k= − ⇔ = π + π ∈ Z 4) sin x 0 x k , k= ⇔ = π ∈ Z 5) sin x 1 x k2 , k 2 π = ⇔ = + π ∈ Z 6) sin x 1 x k2 , k 2 π = − ⇔ = − + π ∈ Z Vớ dụ 1. Xột số nghiệm của phương trỡnh xcos x 0+ = π . Giải Ta cú x xcos x 0 cos x+ = ⇔ = − π π (1). Suy ra (1) là phương trỡnh hoành ủộ giao ủiểm của ủồ thị hàm số y = cosx và x y = − π (ủi qua ủiểm (π ; – 1)). 6 Dựa vào ủồ thị, ta suy ra phương trỡnh cú 3 nghiệm phõn biệt. Vớ dụ 2. Giải phương trỡnh: (cos x 1)(2 cos x 1)(tgx 3) 0 2 cos x 1 + − − = + (2). Giải ðiều kiện: 22 cos x 1 0 x k2 3 π + ≠ ⇔ ≠ ± + π . Ta cú: cos x 1 x k2 1 (2) cos x x k2 2 3 tgx 3 x k 3 = − = π + π  π⇔ = ⇔ = ± + π   π =  = + π  . So với ủiều kiện và tổng hợp nghiệm (hỡnh vẽ), phương trỡnh (2) cú họ nghiệm là: 2 x k , k 3 3 π π = + ∈ ℤ . Chỳ ý: Cỏc họ nghiệm 2x k 3 3 π π = − + và 2x k 3 π = π + cũng là cỏc họ nghiệm của (2). III. Cỏc dạng phương trỡnh lượng giỏc 1. Dạng bậc hai theo một hàm số lượng giỏc 1) acos2x + bcosx + c = 0 2) asin2x + bsinx + c = 0 3) atg2x + btgx + c = 0 4) acotg2x + bcotgx + c = 0 7 Phương phỏp giải toỏn Bước 1. ðặt ẩn phụ t = cosx (hoặc t = sinx, t = tgx, t = cotgx) và ủiều kiện của t (nếu cú). Bước 2. ðưa phương trỡnh về dạng at2 + bt + c = 0. Chỳ ý: Nếu 1 phương trỡnh lượng giỏc ủược biến ủổi thành 2 phương trỡnh cơ bản trở lờn thỡ sau khi giải xong, ta phải dựa vào ủường trũn lượng giỏc ủể tổng hợp nghiệm (nếu cú). Vớ dụ 1. Giải phương trỡnh 22 sin x sinx 2 0+ − = (1). Giải ðặt t = sinx, 1 t 1− ≤ ≤ ta cú: 2(1) 2t t 2 0⇔ + − = 1 t t 2 2 ⇔ = ∨ = − (loại) sin x sin 4 π ⇔ = 3 x k2 x k2 4 4 π π ⇔ = + π ∨ = + π . Vậy (1) cú cỏc họ nghiệm x k2 4 , k 3 x k2 4 π = + π  ∈ π  = + π  ℤ . Vớ dụ 2. Giải phương trỡnh 4 45(1 cos x) 2 sin x cos x+ = + − (2). Giải Ta cú: 2 2 2(2) 3 5 cos x sin x cos x 2cos x 5cos x 2 0⇔ + = − ⇔ + + = . ðặt t = cosx, 1 t 1− ≤ ≤ ta suy ra: 2(2) 2t 5t 2 0⇔ + + = 1 t t 2 2 ⇔ = − ∨ = − (loại) 2 cos x cos 3 π ⇔ = 2 x k2 3 π ⇔ = ± + π . Vậy (2) cú cỏc họ nghiệm 2x k2 , k 3 π = ± + π ∈ ℤ . Vớ dụ 3. Giải phương trỡnh 2 3 2 3tgx 6 0 cos x + − = (3). Giải ðiều kiện x k 2 π ≠ + π , ta cú: 2 2(3) 3(1 tg x) 2 3tgx 6 0 3tg x 2tgx 3 0⇔ + + − = ⇔ + − = . ðặt t = tgx, ta suy ra: 2(3) 3t 2t 3 0⇔ + − = 1 t t 3 3 ⇔ = ∨ = 8 ( ) tgx tg x k 6 6 x ktgx tg 33 π π = = + π   ⇔ ⇔ ππ  = − + π= −   (thỏa ủiều kiện). Biểu diễn 2 họ nghiệm trờn ủường trũn lượng giỏc ta thu ủược 4 ủiểm cỏch ủều nhau. Vậy (3) cú họ nghiệm là x k , k 6 2 π π = + ∈ ℤ . Vớ dụ 4. Tỡm m ủể phương trỡnh 2sin x sin x m 0− + = (4) cú nghiệm thuộc ủoạn 7 ; 6 6 π π      . Giải Với 7 1x ; sin x 1 6 6 2 π π  ∈ ⇒ − ≤ ≤    . ðặt t = sinx, ta suy ra: 2 1(4) m t t, t 1 2 ⇔ = − + − ≤ ≤ . Xột hàm số 2y t t= − + , ta cú bảng biến thiờn: t –1/2 1/2 1 y 1/4 –3/4 0 Suy ra (4) cú nghiệm 7 3 1x ; m 6 6 4 4 π π  ∈ ⇔ − ≤ ≤    . Cỏch khỏc: ( ) 2 2 1 1(4) t t m m t 4 2 ⇔ − = − ⇔ − = − . Do ( ) 21 1 1 1 t 1 1 t 0 t 1 2 2 2 2 − ≤ ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≤ − ≤ nờn: 1 3 1 0 m 1 m 4 4 4 ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ . Vớ dụ 5. Tỡm m ủể phương trỡnh tgx mcotgx 2− = (5) cú nghiệm. Giải Cỏch giải sai: ðặt t tgx t 0= ⇒ ≠ , ta suy ra: ( )22 m (5) t 2 m t 2t m t 1 1 1 t ⇔ − = ⇔ = − ⇔ = − − ≥ − (a). Mặt khỏc: t 0 m 0≠ ⇒ ≠ (b). Từ (a) và (b) ta suy ra (5) cú nghiệm 1 m 0⇔ − ≤ ≠ (sai). 9 Cỏch giải ủỳng: ðặt t tgx t 0= ⇒ ≠ , ta suy ra: 2m(5) t 2 m t 2t t ⇔ − = ⇔ = − . Xột hàm số 2y t 2t= − , ta cú bảng biến thiờn: t −∞ 0 1 +∞ y +∞ +∞ 0 –1 Vậy (5) cú nghiệm m 1⇔ ≥ − . 2. Dạng bậc nhất theo sinx và cosx asinx + bcosx + c = 0 (*) (a và b khỏc 0) Phương phỏp giải toỏn Cỏch 1 Bước 1. Chia hai vế (*) cho a và ủặt b tg a = α . Bước 2. (*) c csin x tg cos x sin(x ) cos a a ⇔ + α = ⇔ + α = α . Cỏch 2 Bước 1. Chia hai vế (*) cho 2 2a b+ và ủặt: 2 2 2 2 a b cos , sin a b a b = α = α + + . Bước 2. (*) 2 2 c sin x cos cos x sin a b ⇔ α + α = + 2 2 c sin(x ) a b ⇔ +α = + . Chỳ ý: ðiều kiện ủể phương trỡnh cú nghiệm là: a2 + b2 ≥ c2 Vớ dụ 1. Giải phương trỡnh 3 sin x cosx 2− = (1). Giải Cỏch 1 1 2 2 (1) sin x cos x sin x tg cos x 63 3 3 π ⇔ − = ⇔ − = ( ) ( )2sin x cos sin x 16 6 63 π π π ⇔ − = ⇔ − = 2 x k2 x k2 , k 6 2 3 π π π ⇔ − = + π ⇔ = + π ∈ ℤ . 10 Cỏch 2 ( )3 1(1) sin x cos x 1 sin x 12 2 6 π ⇔ − = ⇔ − = 2 x k2 x k2 , k 6 2 3 π π π ⇔ − = + π ⇔ = + π ∈ ℤ . Vậy (1) cú họ nghiệm 2x k2 , k 3 π = + π ∈ ℤ . Vớ dụ 2. Giải phương trỡnh sin 5x 3 cos5x 2 sin 7x+ = (2). Cỏch 1 (2) sin 5x tg cos 5x 2 sin 7x 3 π ⇔ + = ( )sin 5x 2 cos sin 7x3 3 π π ⇔ + = ( ) 7x 5x k2 3 sin 5x sin 7x 23 7x 5x k2 3 π = + + ππ ⇔ + = ⇔  π  = − + π  x k 6 , k x k 18 6 π = + π ⇔ ∈π π = +  ℤ . Cỏch 2 ( )1 3(2) sin 5x cos5x sin 7x sin 7x sin 5x2 2 3 π ⇔ + = ⇔ = + 7x 5x k2 3 2 7x 5x k2 3 π = + + π ⇔  π  = − + π  x k 6 , k x k 18 6 π = + π ⇔ ∈π π = +  ℤ . Vậy (2) cú cỏc họ nghiệm x k 6 , k x k 18 6 π = + π  ∈π π = +  ℤ . Vớ dụ 3. Giải phương trỡnh 3 sin2x 3 cos2x 4− = − (3). Giải Do 2 2 23 ( 3) ( 4)+ − < − nờn phương trỡnh (3) vụ nghiệm. Vớ dụ 4. Tỡm m ủể phương trỡnh: 22m cos x 2(m 1)sin x cos x 3m 1 0− − − − = (4) cú nghiệm. 11 Giải Ta cú: (4) m cos2x (m 1)sin2x 2m 1⇔ − − = + . Suy ra: (4) cú nghiệm 2 2 2m (m 1) (2m 1) 3 m 0⇔ + − ≥ + ⇔ − ≤ ≤ . 3. Dạng ủẳng cấp (thuần nhất) theo sinx và cosx 3.1. ðẳng cấp bậc hai asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (*) Phương phỏp giải toỏn Cỏch 1 Bước 1. Kiểm tra x k 2 π = + π cú là nghiệm của (*) khụng. Bước 2. Với x k 2 π ≠ + π , chia hai vế của (*) cho cos2x ta ủược: (*) ⇔ atg2x + btgx + c = 0. Cỏch 2 Dựng cụng thức hạ bậc và nhõn ủụi, ta ủưa (*) về phương trỡnh bậc nhất theo sin2x và cos2x. Vớ dụ 1. Giải phương trỡnh: 2( 3 1)sin x ( 3 1)sin x cos x 3 0+ − − − = (1). Giải Nhận thấy x k 2 π = + π khụng thỏa (1). Với x k 2 π ≠ + π , chia hai vế của (1) cho cos2x ta ủược: 2 2(1) ( 3 1)tg x ( 3 1)tgx 3(1 tg x) 0⇔ + − − − + = 2tg x ( 3 1)tgx 3 0⇔ − − − = x ktgx 1 4 tgx 3 tgx k 3 π = − + π= −   ⇔ ⇔ π= = + π   . Vậy cỏc họ nghiệm của (1) là x k 4 , k tgx k 3 π = − + π  ∈π = + π  ℤ . Vớ dụ 2. Giải phương trỡnh sin2x + 2 3 sinxcosx + 1 = cos2x (2). Giải ( ) ( )(2) 3 sin2x cos2x 1 sin 2x sin6 6 π π ⇔ − = − ⇔ − = − 12 x k2x k2 6 6 27 x k2x k2 36 6 π π = π− = − + π ⇔ ⇔  π π π  = + π − = + π  . Cỏch khỏc: 2(2) sin x 3 sin x cos x 0⇔ + = ⇔ sin x 0 sin x 3 cos x 0 =   + = x ksin x 0 tgx 3 x k 3 = π= ⇔ ⇔  π = − = − + π  . Vậy (2) cú cỏc họ nghiệm là x k , k2 x k 3 = π  ∈ π  = + π  ℤ . Chỳ ý: ðối với mỗi cỏch giải khỏc nhau, ta cú thể thu ủược nghiệm ở cỏc dạng khỏc nhau nhưng sau khi tổng hợp nghiệm thỡ chỳng giống nhau. 3.2. ðẳng cấp bậc cao Phương phỏp giải toỏn Cỏch 1 Bước 1. Kiểm tra x k 2 π = + π cú là nghiệm của phương trỡnh khụng. Bước 2. Với x k 2 π ≠ + π , chia hai vế cho cosnx (n là bậc cao nhất của cosx) ta ủưa về phương trỡnh bậc n theo tgx. Cỏch 2 Dựng cụng thức hạ bậc và nhõn ủụi, ta ủưa về phương trỡnh bậc cao theo sin2x hoặc cos2x hoặc phương trỡnh tớch. Vớ dụ 3. Giải phương trỡnh 2(cos5x + sin5x) = cos3x + sin3x (3). Giải Cỏch 1 Nhận thấy x k 2 π = + π khụng thỏa (3). Với x k 2 π ≠ + π , chia hai vế của (3) cho cos5x ta ủược: 5 2 3 2(3) 2 2tg x 1 tg x tg x(1 tg x)⇔ + = + + + 5 3 2tg x tg x tg x 1 0⇔ − − + = 13 2 2(tgx 1) (tgx 1)(tg x tgx 1) 0⇔ − + + + = tgx 1 x k k 4 4 2 π π π ⇔ = ± ⇔ = ± + π ⇔ + . Cỏch 2 3 2 3 2(3) cos x(2 cos x 1) sin x(1 2 sin x)⇔ − = − 3 3cos x cos2x sin x cos2x⇔ = cos2x 0 tgx 1 = ⇔  =  x k 4 2 x k 4 2x k 4 π π = + π π ⇔ ⇔ = +π = + π  . Vậy (3) cú họ nghiệm là x k , k 4 2 π π = + ∈ ℤ . Chỳ ý: ( )5 5 3 32 cos x sin x cos x sin x+ = + ( )5 5 3 3 2 22 cos x sin x (cos x sin x)(cos x sin x)⇔ + = + + 5 5 3 2 2 3cos x sin x cos x sin x cos x sin x 0⇔ + − − = (ủẳng cấp). 4. Dạng ủối xứng ủối với sinx và cosx a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (*) Phương phỏp giải toỏn Bước 1. ðặt t = sinx + cosx = ( )2 sin x 4 π + 2 t 2⇒ − ≤ ≤ và 2t 1 sin x cos x 2 − = . Bước 2. Thay vào (*) rồi ta giải phương trỡnh bậc hai theo t. Chỳ ý: Phương trỡnh a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 cũng cú cỏch giải tương tự bằng cỏch ủặt t = sinx – cosx. Vớ dụ 1. Giải phương trỡnh: ( 2 + 1)(sinx + cosx) + sin2x + 2 + 1 = 0 (1). Giải ðặt t = sinx + cosx 2 t 2⇒ − ≤ ≤ và sin2x = t2 – 1. Thay vào (1) ta ủược: 2t ( 2 1)t 2 0 t 1 t 2+ + + = ⇔ = − ∨ = − . 14 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin x 1 sin x sin 4 4 4(1) 2 sin x 2 sin x 1 4 4 π π π + = − + = −   ⇔ ⇔  π π + = − + = −    x k2 x k24 4 2 5 x k2 x k2 4 4 3 x k2 x k2 4 2 4 π π  π+ = − + π  = − + π   π π  ⇔ + = + π ⇔ = π + π     π π π + = − + π = − + π   . Vậy (1) cú cỏc họ nghiệm: x k2= π + π , x k2 2 π = − + π , 3 x k2 4 π = − + π (k )∈ ℤ . Vớ dụ 2. Giải phương trỡnh sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) (2). Giải ðặt t = sinx – cosx 2 t 2⇒ − ≤ ≤ và 21 t sin x cos x 2 − = . Thay vào (2) ta ủược: 2 2 t 11 t 6t 6 t 12t 13 0 2 t 13 = −− = − ⇔ + − = ⇔  = − (loaùi) . ( ) ( ) ( )(2) 2 sin x 1 sin x sin4 4 4 π π π ⇔ + = − ⇔ + = − x k2 x k24 4 2 5 x k2x k2 4 4 π π π+ = − + π  = − + π⇔ ⇔  π π  = π + π+ = + π  . Vậy (2) cú cỏc họ nghiệm x k2= π + π , x k2 2 π = − + π (k )∈ ℤ . Vớ dụ 3. Tỡm m ủể phương trỡnh m(cos x sin x) sin2x 0− + = (3) cú nghiệm thuộc khoảng ( ); 4 π π . Giải ðặt ( ) 2t cos x sin x 2 cos x sin2x 1 t4 π = − = + ⇒ = − . Ta cú: ( ) ( )5x ; x 1 cos x 04 2 4 4 4 π π π π π ∈ π ⇒ < + < ⇒ − ≤ + < ( )2 2 cos x 0 2 t 04 π ⇒ − ≤ + < ⇒ − ≤ < . 15 Thay vào (3) ta ủược: 2 2 1mt 1 t 0 mt t 1 m t t + − = ⇔ = − ⇔ = − (do t < 0). Xột hàm số [ )1f(t) t , t 2; 0 t = − ∈ − , ta cú: [ )/ 2 1 f (t) 1 0 t 2; 0 t = + > ∀ ∈ − t 0 2 f( 2) , lim f(t) 2 −→ − = − = +∞ . Vậy (3) cú nghiệm 2m 2 ⇔ ≥ − . Chỳ ý: Ta cú thể dựng bảng biến thiờn của hàm số f(t): t 2− 0 /f (t) + f(t) +∞ 2 2 − 5. Dạng phương trỡnh khỏc Khụng cú cỏch giải tổng quỏt, tựy từng bài toỏn cụ thể ta dựng cụng thức biến ủổi ủể ủưa về cỏc dạng ủó biết cỏch giải. Vớ dụ 1. Giải phương trỡnh cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1). Giải 1 1 1 1 (1) cos 8x cos6x cos 8x cos2x 2 2 2 2 ⇔ + = + x k6x 2x k2 2 cos6x cos2x 6x 2x k2 x k 4 π == + π   ⇔ = ⇔ ⇔ π= − + π =   . Vậy (1) cú họ nghiệm là x k , k 4 π = ∈ ℤ . Vớ dụ 2. Giải phương trỡnh sin2x + sin4x = sin6x (2). Giải (2) 2 sin 3x cos x 2 sin 3x cos 3x sin 3x(cos 3x cos x) 0⇔ = ⇔ − = x ksin 3x 0 3x k 3 cos 3x cos x 3x x k2 x k 2 π == = π   ⇔ ⇔ ⇔ π= = ± + π =    . Vậy (2) cú họ nghiệm là x k 2 π = , x k (k ) 3 π = ∈ ℤ . 16 C. BẤT PHƯƠNG TRèNH – HỆ PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC I. Bất phương trỡnh lượng giỏc cơ bản 1. Bất phương trỡnh cơ bản của cosx 1) cos x cos k2 x k2 , k≥ α ⇔ −α + π ≤ ≤ α + π ∈ ℤ (hỡnh vẽ) 2) cos x cos k2 x k2 , k> α ⇔ −α + π < < α + π ∈ ℤ 3) cos x cos k2 x 2 k2 , k≤ α ⇔ α + π ≤ ≤ π−α + π ∈ ℤ 4) cos x cos k2 x 2 k2 , k< α ⇔ α + π < < π−α + π ∈ ℤ 2. Bất phương trỡnh cơ bản của sinx 1) sin x sin k2 x k2 , k≥ α ⇔ α + π ≤ ≤ π−α + π ∈ ℤ (hỡnh vẽ) 2) sin x sin k2 x k2 , k> α ⇔ α + π < < π−α + π ∈ ℤ 3) sin x sin k2 x k2 , k≤ α ⇔ −π −α + π ≤ ≤ α + π ∈ ℤ 4) sin x sin k2 x k2 , k< α ⇔ −π −α + π < < α + π ∈ ℤ 17 3. Bất phương trỡnh cơ bản của tgx 1) tgx tg k x k , k 2 π ≥ α ⇔ α + π ≤ < + π ∈ ℤ (hỡnh vẽ) 2) tgx tg k x k , k 2 π > α ⇔ α + π < < + π ∈ ℤ 3) tgx tg k x k , k 2 π ≤ α ⇔ − + π < ≤ α + π ∈ ℤ 4) tgx tg k x k , k 2 π < α ⇔ − + π < < α + π ∈ ℤ 4. Bất phương trỡnh cơ bản của cotgx 1) cotgx cotg k x k , k≥ α ⇔ π < ≤ α + π ∈ ℤ (hỡnh vẽ) 2) cotgx cotg k x k , k> α ⇔ π < < α + π ∈ ℤ 3) cotgx cotg k x k , k≤ α ⇔ α + π ≤ < π + π ∈ ℤ 4) cotgx cotg k x k , k< α ⇔ α + π < < π + π ∈ ℤ 18 Chỳ ý: Khi giải bất phương trỡnh lượng giỏc ta nờn vẽ ủường trũn lượng giỏc ủể chọn nghiệm. Vớ dụ 1. Tỡm miền xỏc ủịnh của hàm số y cos2x= . Giải Ta cú: cos2x 0 k2 2x k2 2 2 π π ≥ ⇔ − + π ≤ ≤ + π k x k 4 4 π π ⇔ − + π ≤ ≤ + π . Vậy miền xỏc ủịnh là D k ; k , k 4 4 π π = − + π + π ∈   ℤ . Vớ dụ 2. Tỡm miền xỏc ủịnh của hàm số y sin2x= . Giải Ta cú: sin2x 0 k2 2x k2≥ ⇔ π ≤ ≤ π + π k x k 2 π ⇔ π ≤ ≤ + π . Vậy miền xỏc ủịnh là D k ; k , k 2 π = π + π ∈   ℤ . Vớ dụ 3. Tỡm miền xỏc ủịnh của hàm số y tg3x= . Giải Ta cú: tg3x 0 k 3x k 2 π ≥ ⇔ π ≤ < + π k x k 3 6 3 π π π ⇔ ≤ < + . Vậy miền xỏc ủịnh là )D k ; k , k3 6 3 π π π= + ∈ ℤ . Vớ dụ 4. Giải bất phương trỡnh 2sin x 2 ≥ . Giải 2 sin x sin x sin 2 4 π ≥ ⇔ ≥ 3 k2 x k2 , k 4 4 π π ⇔ + π ≤ ≤ + π ∈ ℤ . Vớ dụ 5. Giải bất phương trỡnh 3cos x 2 < − . Giải 19 3 5 cos x cos x cos 2 6 π < − ⇔ < 5 7 k2 x k2 , k 6 6 π π ⇔ + π < < + π ∈ ℤ . Vớ dụ 6. Giải bất phương trỡnh tgx > – 1. Giải ( )tgx 1 tgx tg 4 π > − ⇔ > − k x k , k 4 2 π π ⇔ + π < < + π ∈ ℤ . Vớ dụ 7. Giải bất phương trỡnh cotgx 3≤ . Giải cotgx 3 cotgx cotg 6 π ≤ ⇔ ≤ k x k , k 6 π ⇔ + π ≤ < π + π ∈ ℤ . Vớ dụ 8. Giải bất phương trỡnh sin x (1 2)cos x 0+ − > . Giải Ta cú : sin x (1 2)cos x 0 sin x cos x 2 cos x 0+ − > ⇔ + − > ( ) ( ) ( )2 cos x 2 cos x 0 2 sin x sin 04 8 8 π π π ⇔ − − > ⇔ − − − > ( ) 9sin x 0 k2 x k28 8 8 π π π ⇔ − > ⇔ + π < < + π . Chỳ ý: Cỏch giải sau ủõy sai: sin x (1 2)cos x 0 sin x cos x 2 cos x+ − > ⇔ + > ( ) x k 2 cos x cos x 4 k2 0 4 π > + ππ  ⇔ − > ⇔ π + π > x k , k 0, k 2 π ⇔ > + π ≥ ∈ ℤ (*). Nhận thấy 3x 2 π = khụng thỏa bất phương trỡnh. Vớ dụ 9. Giải bất phương trỡnh 3 1cos x 2 2 − ≤ ≤ . Giải Ta cú: 20 3 1 cos x 2 2 − ≤ ≤ 5 cos cos x cos 6 3 π π ⇔ ≤ ≤ 5 k2 x k2 3 6 7 5 k2 x k2 6 3 π π + π ≤ ≤ + π ⇔  π π + π ≤ ≤ + π  . Vớ dụ 10. Giải bất phương trỡnh 1 2sin x 2 2 − ≤ < . Giải Ta cú: 1 2 sin x 2 2 − ≤ < ( )sin sin x sin6 4 π π ⇔ − ≤ < 3 k2 x k2 4 4 5 k2 x k2 6 6 π π + π < < + π ⇔  π π− + π ≤ ≤ − + π  . Vớ dụ 11. Giải bất phương trỡnh (2 cos x 1)(2 cos x 3) 0− − ≥ . Giải Ta cú: (2 cos x 1)(2 cos x 3) 0− − ≥ 1 3 cos x cos x 2 2 ⇔ ≤ ∨ ≥ cos x cos cos x cos 3 6 π π ⇔ ≤ ∨ ≥ k2 x k2 6 6 5 k2 x k2 3 3 π π− + π ≤ ≤ + π ⇔  π π + π ≤ ≤ + π  . Vớ dụ 12. Giải bất phương trỡnh ( 2 sin x 1)(2 sin x 3) 0+ − > . Giải Ta cú: 21 ( 2 sin x 1)(2 sin x 3) 0+ − > 2 3 sin x sin x 2 2 ⇔ ≤ − ∨ > ( )sin x sin 4 sin x sin 3 π < − ⇔ π >  4 k2 x k2 3 3 5 7 k2 x k2 4 4 π π + π < < + π ⇔  π π + π < < + π  . Vớ dụ 13. Giải bất phương trỡnh 24 sin x 2( 3 1)sin x 3 0− + + ≤ . Giải Ta cú: 24 sin x 2( 3 1)sin x 3 0− + + ≤ 1 3 sin x 2 2 ⇔ ≤ ≤ k2 x k2 6 3 2 5 k2 x k2 3 6 π π + π ≤ ≤ + π ⇔  π π  + π ≤ ≤ + π  . Vớ dụ 14. Giải hệ bất phương trỡnh 1 cos x 2 1 sin x 2  ≥  < . Giải Ta cú: 1 cos x cos x cos 2 3 1 sin x sinsin x 62 π ≥ ≥   ⇔  π   <<  k2 x k2 3 3 7 k2 x k2 6 6 π π− + π ≤ ≤ − + π⇔  π π− + π < < + π k2 x k2 3 6 π π ⇔ − + π ≤ < + π . 22 Vớ dụ 15. Giải hệ bất phương trỡnh cos x 0 1 2 sin x 2 2 < − < ≤ . Giải Ta cú: cos x 0 1 2 sin x 2 2 < − < ≤ 3 k2 x k2 2 2 k2 x k2 6 4 3 7 k2 x k2 4 6 π π + π ≤ ≤ + π π π  − + π < ≤ + π⇔    π π  + π ≤ < + π  3 7 k2 x k2 4 6 π π ⇔ + π ≤ < + π . II. Hệ phương trỡnh lượng giỏc 1. Hệ phương trỡnh 1 ẩn Phương phỏp giải Cỏch 1 Giải 1 phương trỡnh và thế nghiệm vào phương trỡnh cũn lại. Cỏch 2 Bước 1. Giải cả hai phương trỡnh ủộc lập với nhau. Bước 2. Nghiệm chung là nghiệm của hệ phương trỡnh. Vớ dụ 1. Giải hệ phương trỡnh 2 cos x 1 (1) 3 sin2x (2) 2  =   = . Giải Cỏch 1 (1) x k2 x k2 3 3 π π ⇔ = + π ∨ = − + π . + Thay x k2 3 π = + π vào (2) ta ủược: 23 ( )2 3sin k4 sin3 3 2 π π + π = = (nhận). + Thay x k2 3 π = − + π vào (2) ta ủược: ( )2 3sin k4 sin3 3 2 π π − + π = − = − (loại). Cỏch 2 x k2 32cos x 1 x k x k23 6 3sin2x 2 x k 3 π = ± + π=   π π ⇔ = + π ⇔ = + π   =   π = + π . Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm x k2 , k 3 π = + π ∈ ℤ . Vớ dụ 2. Giải hệ phương trỡnh cotgx 1 2 sin x 2 =   = . Giải Ta cú ủiều kiện x k≠ π . x k 4cotgx 1 x k2 x k22 4 4sin x 2 3 x k2 4 π = + π=   π π ⇔ = + π ⇔ = + π   =   π = + π . Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm x k2 , k 4 π = + π ∈ ℤ . Vớ dụ 3. Giải phương trỡnh 2cos2x – 3sin25x = 2. Giải 2 2 2 22 cos x 3 sin 5x 2 3 sin 5x 2 sin x 0− = ⇔ + = x ksin x 0 x k sin 5x 0 x k 5 = π=  ⇔ ⇔ ⇔ = π  π = =   . Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm x k , k= π ∈ ℤ . 24 Chỳ ý: Khi giải hệ phương trỡnh lượng giỏc 1 ẩn ta nờn vẽ ủường trũn lượng giỏc ủể giao nghiệm. 2. Hệ phương trỡnh 2 ẩn Phương phỏp giải Khụng cú cỏch giải tổng quỏt, tựy vào hệ phương trỡnh cụ thể ta dựng phương phỏp thế hoặc cộng và trừ hai phương trỡnh rồi dựng cụng thức biến ủổi. Vớ dụ 1. Giải hệ phương trỡnh sin x cos y 1 (1) x y (2) 3  + = π + = . Giải Ta cú: x y x y (1) 2 sin cos 1 2 2 + − ⇔ = x y x y 2 sin cos 1 k2 6 2 2 π − − ⇔ = ⇔ = π (3). Từ (2) và (3), ta suy ra hệ phương trỡnh cú nghiệm x k2 6 , k y k2 6 π = + π ∈ π = − π ℤ . Vớ dụ 2. Giải hệ phương trỡnh 1 cos x cos y 2 1 sin x sin y 2  =  = − . Giải Ta cú: 1 cos x cos y cos x cos y sin x sin y 0 2 1 cos x cos y sin x sin y 1 sin x sin y 2  = + = ⇔    − = = − cos(x y) 0 x y k 2 cos(x y) 1 x y m2 π − = − = + π  ⇔ ⇔   + = + = π   . Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm x (2m k) 4 2 , (m, k ) y (2m k) 4 2 π π = + + ∈ π π = − + − ℤ . 25 Vớ dụ 3. Giải hệ phương trỡnh 2 3 tgx tgy 3 2 3 cotgx cotgy 3  + =   + = − . Giải Ta cú ủiều kiện : x kcos x sin x 0 2 cos y sin y 0 y m 2 π ≠≠   ⇔  π ≠  ≠  . 2 32 3 tgx tgytgx tgy 33 1 1 2 32 3 cotgx cotgy tgx tgy 33    + =+ =   ⇔     + = −+ = −    2 3 tgx tgy 3 tgxtgy 1  + =⇔ ⇒  = − tgx, tgy là nghiệm của phương trỡnh: 2 1tgx 3 tgx 33X 2X 3 0 1 tgy tgy 3 3  =  = −  − − = ⇔ ∨   = −  =   . So với ủiều kiện, hệ phương trỡnh cú nghiệm: x l x q 3 6 , (l, q ) y q y l 6 3 π π  = + π = − + π   ⇔ ∨ ∈ π π  = − + π = + π    ℤ . ..