Chuyên đề Mạch dao động

Chuyên đề/trao đổi Mạch dao động Trong bài báo này chúng tôi đề cập tới một số bài toán khá thú vị trong đó phần tử cơ bản là một mạch dao động (MDĐ) nhằm đào sâu và nâng cao kiến thức đã được cung cấp trong sách giáo khoa vật lý lớp 12. Như đã biết mạch dao động thường gồm một cuộn cảm, một tụ điện và đôi khi có cả điện trở thuần mắc nối tiếp với nhau. Bài toán cơ bản đối với MDĐ là xác định sự phụ thuộc thời gian của dòng điện trong mạch hoặc hiệu điện thế trên các phần tử của nó với các điều kiện ban đầu cho trước. Các quá trình diễn ra trong MDĐ, như đã biết, được mô tả bởi một phương trình vi phân tuyến tính cấp hai (giống như phương trình vi phân mô tả dao động điều hoà) với nghiệm tổng quát chứa hai hằng số chưa biết. Hai hằng số này sẽ được xác định từ các điều kiện ban đầu. Điều này giải thích tại sao để tìm nghiệm ta cần phải biết cường độ dòng điện ban đầu và hiệu điện thế ban đầu, ví dụ như trên hai bản tụ điện, chẳng hạn. Tuy nhiên, trong các bài toán về MDĐ người ta thường không yêu cầu tìm nghiệm tổng quát, mà yêu cầu tìm một tham số cụ thể nào đó, chẳng hạn như giá trị cực đại của cường độ dòng điện hay hiệu điện thế cực đại hai đầu tụ điện. Để giải những bài tập loại này, người ta thường dùng định luật bảo toàn năng lượng và những suy luận vật lý chung. Chẳng hạn, khi dòng điện trong MDĐ cực đại, suất điện động (s.đ.đ) cảm ứng trong cuộn dây bằng không và nếu điện trở thuần của mạch bằng không thì h.đ.t. trên tụ điện cũng bằng không. Hoặc nếu h.đ.t. trên tụ đạt cực đại thì dòng điện trong mạch bằng không. Bây giờ chúng ta sẽ xét từng bài toán cụ thể. Để việc trình bày được hệ thống chúng ta sẽ bắt đầu từ một bài toán đơn giản đã được xét trong sách giáo khoa. Ví dụ 1. Trong mạch dao động LC (H.1), ở thời điểm ban đầu khoá K mở và tụ C được nạp điện đến h.đ.t U0. Tìm sự phụ thuộc của h.đ.t trên tụ và cường độ dòng điện trong mạch vào thời gian sau khi đóng khoá K. Hình 1 Ngay sau khi đóng khoá K, h.đ.t trên tụ u(0) = U0, còn cường độ dòng điện trong mạch i(0) = 0. Giả sử tại một thời điểm tùy ý sau khi K đóng, dòng điện chạy trong mạch đi ra từ bản tích điện dương của tụ điện. Theo định luật Ohm (Ôm) ta có : Vì , ta có: Đây chính là phương trình vi phân quen thuộc mô tả dao động điều hoà mà chúng ta đã biết. Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng: trong đó - tần số dao động riêng của MDĐ, A và B la hai hằng số được tìm từ điều kiện ban đầu. Đặt điều kiện ban đấu thứ nhất u(0) = U0 vào nghiệm ở trên, ta tìm được A = U0. Còn từ điều kiện thứ hai i(0) = - Cu' = 0, ta được B = 0. Kết quả ta được: và So sánh hai biểu thức trên ta thấy h.đ.t trên tụ và cường độ dòng điện trong mạch đều dao động điều hoà với cùng tần số góc, nhưng dao động của dòng điện sớm pha p/2 so với h.đ.t. Ví dụ 2. Tại thời điểm t = 0 người ta mắc một nguồn điện một chiều có s.đ.đ. E điện trở trong nhỏ không đáng kể vào mạch LC (H.2). Xác định sự phụ thuộc của h.đ.t. uC trên tụ vào thời gian. Hình 2 Xét tại một thời điểm tuỳ ý sau khi đóng khoá. Giả sử dòng điện chạy trong mạch đi ra từ cực dương của nguồn. Theo định luật Ohm: Mặt khác, i = q' = . Lấy đạo hàm hai vế ta được: i' = . Thay biểu thức của i' vào phương trình định luật Ôm ta được: trong đó - tần số dao động riêng của mạch. Phương trình vi phân này khác với phương trình ở ví dụ trước là có vế phải là hằng số khác không. Để giải phương trình này chỉ cần đổi biến : X = uC - E , Thay vào phương trình vi phân trên ta được: Nghiệm của phương trình này như đã biết: Để xác định A và B ta dùng điều kiện ban đầu: tại t = 0 uC = 0 hay X = -E, và i = = 0, thay vào nghiệm vừa tìm được ở trên, ta có: A = - E và B = 0. Kết quả ta được: X(t) = -E cosw0t hay uC(t) = E (1- cosw0t) Sự biến thiên theo thời gian của h.đ.t. trên tụ vẫn theo quy luật điều hoà nhưng khác với Ví dụ 1 ở chỗ không phải đối với mức 0 mà đối với mức uC = E (xem H.3). Hình 3 Ví dụ 3. Trong mạch dao động LC trên hình 4, khi khoá K ngắt, điện tích trên tụ thứ nhất có điện dung C1 bằng q0, còn tụ thứ hai có điện dung C2 không tích điện. Hỏi bao lâu sau khi khoá K đóng điện tích trên tụ C2 đạt giá trị cực đại? Bỏ qua điện trở thuần của mạch. Hình 5 Hình 4 Ta xét tại một thời điểm tùy ý sau khi khoá K đóng. Giả sử tại thời điểm đó, điện tích trên tụ thứ nhất là q1, còn trên tụ thứ hai là q2 và trong mạch có dòng điện i (H. 5). Vì ta chỉ quan tâm tới giá trị q2max , nên ta sẽ tìm biểu thức q2(t). Theo định luật Ohm ta có: Vì và q1 + q2 = q0, nên phương trình trên ta có thể đưa về phương trình của q2: Giống như ví dụ 2, ta đưa vào biến mới: ta lại nhận được phương trình mô tả dao động điều hoà: trong đó - là tần số dao động riêng của mạch. Nghiệm của phương trình trên là: Dùng điều kiện ban đầu: tại t = 0 q2 = 0 hay X(0) = và i = 0 hay X' = 0, ta tìm được: A = và B = 0. Cuối cùng, trở lại biến q2 ta được: Từ biểu thức trên ta thấy ngay q2 lần đầu tiên đạt giá trị cực đại sau thời gian t1= p/w0, sau đó giá trị cực đại này sẽ được lặp lại với chu kỳ T = 2p/w0. Trong trường hợp tổng quát, thời điểm để q2 đạt giá trị cực đại có thể viết dưới dạng: với n = 0, 1 , 2 , 3, ... Giá trị cực đại đó bằng q2max = . Ví dụ 4. Trong mạch điện trên hình 6, tại thời điểm ban đầu khoá K ngắt và tụ C không nạp điện. Sau đó cho khoá K đóng một thời gian rồi lại ngắt. Hãy xác định dòng điện qua cuộn cảm tại thời điểm ngắt khoá K, nếu sau khi ngắt h.đ.t. trên tụ đạt cực đại bằng 2E với E là s.đ.đ. của nguồn một chiều. Bỏ qua điện trở thuần của cuộn dây. Điện trở trong của nguồn nhỏ tới mức thời gian nạp điện cho tụ nhỏ hơn rất nhiều so với thời gian đóng của khoá K. Hình 6 Ngay khi đóng khoá K tụ nạp điện rất nhanh tới h.đ.t. bằng s.đ.đ của nguồn và trong cuộn cảm cường độ dòng điện tăng chậm từ giá trị 0. Tại thời điểm ngắt khoá K, h.đ.t. trên tụ bằng E và qua cuộn cảm có dòng điện mà ta sẽ ký hiệu là I0. Đó chính là các điều kiện ban đầu đối với mạch LC của chúng ta. Xét một thời điểm tuỳ ý sau khi ngắt khoá K, giả sử khi đó cường độ dòng điện trong mạch là i, có chiều đi ra từ bản tích điện dương của tụ điện và h.đ.t. trên tụ là uC. Theo định luật Ohm ta có: Nhưng vì i = , ta có: với. Nghiệm của phương trình trên có dạng: . Dạng này của nghiệm cũng tương đương với dạng mà ta chọn ở trên, chỉ có điều ở trên hai hằng số là A và B còn ở đây là A và j. Dùng các điều kiện ban đầu uC(0) = E và i = I0, ta được: E = Acosj và I0 = ACw0sinj. Từ đây suy ra: A=, Vì A là biên độ dao động của h.đ.t.trên tụ nên nó cũng chính là giá trị cực đại h.đ.t. này. Do đó, = 2E , từ đó ta tính được: Cũng như trong ba ví dụ trước, khi giải bài toán này chúng ta đã sử dụng nghiệm tổng quát và nó cho chúng ta đầy đủ thông tin về mạch. Bây giờ chúng ta đưa ra một cách giải đơn giản hơn xuất phát từ những suy luận vật lý chung và định luật bảo toàn năng lượng. Theo định luật bảo toàn năng lượng thì năng lượng của mạch tại t = 0 và tại thời điểm h.đ.t. trên tụ đạt cực đại và dòng trong mạch bằng 0 phải bằng nhau: Từ đó suy ra: . Ví dụ 4. Trong mạch điện trên hình 7, tụ có điện dung C đã được nạp điện tới một h.đ.t. nào đó, còn khoá K thì ngắt. Sau khi đóng khoá K, trong mạch diễn ra các dao động tự do, trong đó biên độ dòng điện trong cuộn cảm L2 bằng I0. Khi dòng điện trong cuộn cảm L1 đạt giá trị cực đại thì người ta rút nhanh lõi sắt ra (trong thời gian rất ngắn so với chu kỳ dao động) khiến cho độ tự cảm của nó giảm k lần. Tìm h.đ.t. cực đại trên tụ điện sau khi lõi sắt đã được rút ra. Hình 8 Hình 7 Ta xét một thời điểm tùy ý sau khi đóng khoá K nhưng trước khi rút lõi sắt ra. Ký hiệu h.đ.t. ban đầu trên tụ là U0 còn h.đ.t. ở một thời điểm tùy ý là u. Giả sử dòng điện qua cuộn L1 là i1 và qua cuộn L2 là i2 (xem H. 8). Theo định luật Ohm cho mạch vòng chứa tụ điện và cuộn cảm L1: (1) và cho mạch vòng chứa hai cuộn cảm: hay Từ đó suy ra: . Nhưng vì các dòng điện ban đầu qua hai cuộn cảm đều bằng 0, nên const trong biểu thức trên bằng 0, tức . Theo định luật Ohm cho mạch rẽ: (2) Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được: và lưu ý rằng i = -Cu', ta có: Thay biểu thức (2) của i vào ta được: Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng: trong đó . Vì i2 (0) = 0 suy ra A = 0. Để tìm B lưu ý rằng biên độ dòng điện trong cuộn L2 bằng I0 nên B = I0. Kết quả ta có: và Trong thời gian rút lõi sắt ra khỏi cuộn cảm thứ nhất, từ thông qua hai cuộn cảm coi như không đổi. Điều này dẫn tới chỗ dòng điện trong cuộn thứ hai vẫn giữ nguyên, tức là , còn cường độ dòng điện trong cuộn thứ nhất được xác định từ điều kiện : Để xác định h.đ.t. cực đại trên tụ ta sẽ sử dụng định luật bảo toàn năng lượng. Năng lượng từ được lưu trữ trong hai cuộn dây ngay sau khi rút lõi sắt ra là: Khi h.đ.t. trên tụ đạt cực đại, dòng mạch chính bằng 0, tức dòng điện qua hai cuộn liên hệ với nhau bởi hệ thức: . Dùng hệ thức liên hệ các dòng mà ta đã nhận được ở trên () cho và , ta được: Từ hai phương trình trên suy ra dòng qua hai cuộn cảm đều bằng 0, do vậy toàn bộ năng lượng đều được tập trung trong tụ điện và bằng: trong đó Um là h.đ.t. cực đại trên tụ. Theo định luật bảo toàn năng lượng, WL = WC, hay Từ đây ta tìm được: BàI TậP 1. Trong mạch LC trên hình 9, khi khoá K ngắt điện tích trên tụ C1 bằng q và tụ C2 (với C2 = 4C1) chưa được nạp điện. Hãy xác định cường độ dòng điện cực đại trong mạch sau khi K đóng. Bỏ qua điện trở thuần trong mạch. Hình 10 Hình 9 2. Trong sơ đồ trên hình 10, ở thời điểm ban đầu khoá K ngắt, tụ điện C không tích điện. Đóng khoá K một thời gian, rồi sau đó lại ngắt. Hãy xác định cường độ dòng điện i0 qua cuộn cảm L ở thời điểm ngắt khoá K, nếu sau khi ngắt K cường độ dòng điện cực đại trong mạch LC bằng 2i0. Coi điện trở thuần trong mạch nhỏ không đáng kể, s.đ.đ. của nguồn là E. 3. MDĐ gồm một cuộn cảm L và hai tụ điện mắc song song có điện dung là C1 và C2 (H.11). Trong mạch diễn ra các dao động tự do, trong đó biên độ dao động của điện tích trên tụ là q0. Bên trong tụ với điện dung C2 có một tấm điện môi với hằng số điện môi e chiếm toàn bộ không gian của tụ. Khi điện tích trên tụ đạt cực đại người ta rút nhanh tấm điện môi ra khỏi tụ (trong thời gian rất nhỏ so với chu kỳ dao động). Tính biên độ dao động mới của dòng điện trong mạch.g