Chuyên đề Nâng cao môn toán lớp 9 một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của một biểu thức

PHÒNG GD YÊN LẠC TRƯỜNG THCS PHẠM CÔNG BÌNH @ & CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO MÔN TOÁN LỚP 9 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của một biểu thức Họ và tên: Kim Đình Thái Tổ: Toán - Lý - Ngoại Ngữ Năm học: 2006 -2007 *Lêi nãi ®Çu : Như chúng ta đã biết, việc tìm GTLN – GTNN của một biểu thức là một trong những dạng toán khó đối với chương trình toán lớp 9 nói riêng, chương trình toán THCS nói chung. Khi gặp dạng toán này học sinh hay bị lúng túng, không xác định được phương pháp giải. Đặc biệt là đối với một số biểu thức phức tạp, đòi hỏi phải định hướng trước về việc biến đổi. I/ Mục tiªu : Giúp học sinh nắm được một số phương pháp cơ bản để tìm GTLN – GTNN của một biểu thức. Từ đó hình thành cho các em kỹ năng giải loại toán này thông qua một số ví dụ minh hoạ. II/ ChuÈn bÞ: GV: S­u tÇm mét sè ph­¬ng ph¸p vµ vÝ dô minh ho¹ vÒ viÖc t×m GTLN- GTNN HS: KiÕn thøc ®· häc vÒ ®a thøc, ph­¬ng tr×nh bËc hai, bÊt ®¼ng thøc C« si- Bunhiac«pxky. TLTK: 36 ph­¬ng ph¸p gi¶i bé ®Ò to¸n 9, 45 bé ®Ò to¸n khã líp 9 , TuyÓn tËp nh÷ng bµi to¸n hay vµ khã líp 9. III/ Nội dung : A/ Bài toán : Tìm GTLN – GTNN của một hàm số y = f, cña mét biÓu thøc. B/ Một số phương pháp giải : Phương pháp 1 : “Phương pháp dựa vào luỹ thừa bậc chẵn” Biến đổi hàm số y = fsao cho : +) y = M - , n Do đó ymax = M = 0 +) y = m + , k Do đó ymin = m = 0 Ví dụ 1 : Tìm GTNN của hàm số y = Giải Ta có : y = = = = = = Vậy ymin = - 1 Ví dụ 2: Tìm GTLN của hàm số y = -2x2 + x +1 Giải Ta có : y = -2x2 + x + 1 = -2(x2 - ) +1 = -2( x2 – 2.) + = -2(x - )2 + Vậy ymax = 2/ Phương pháp 2 : “Đưa về phương trình bậc hai vân dụng đieu kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ” Ví dụ 1 : Tìm GTLN – GTNN của biểu thức y = Giải +) ĐKXĐ : (Vì x) +) Gọi y0 là một giá trị của hàm số trên phương trình y0 = có nghiệm y0 có nghiệm (y0-1)y0-1 = 0 có nghiệm * y0 -1 = 0 y0 = 1x = 0 * Vậy ymin = -2 x = -1 ymax = 4 x=1 ví dụ 2 : Tìm GTLN – GTNN của biểu thức sau A = Làm tương tự ví dụ trên 3/ Phương pháp 3 : Áp dụng bất đẳng thức Bất đẳng thức Cô si : Cho a1,a2an .Khi đó ta có : ; Dấu bằng xẩy ra khi : a1 = a2 = an Bất đẳng thức Bunhiacôpxky : Dấu bằng xẩy ra khi : Ví dụ : Ví dụ 1 : Tìm GTLN của hàm số y = Giải + C¸ch 1(V©n dông B§T Bunhiac«pxky) ĐKXĐ : -2 Khi đó y>0, bình phương hai vế ta được : y2 = ( + )2 Do y >0 . Vậy ymax = 4 6-x = x+2 + C¸ch 2(VËn dông B§T C« si) ĐKXĐ : -2 Khi đó y>0, bình phương hai vế ta được : y2 = ( + )2 = 6-x+x-2+2 Do y >0 . Vậy ymax = 4 6-x = x+2 Ví dụ 2 : Cho a,b>0. Tìm GTNN của hàm số : y = Giải Ta có : y = (Áp dụng BĐT Cô Si cho 3 số dương) Vậy ymax = IV/Bµi tËp : T×m GTNN cña biÓu thøc: A = 2x2+2xy+y2-2x+2y+1 T×m GTLN- GTNN cña biÓu thøc S = x6+y6 biÕt x2+y2=1 TimGTLN cña biÓu thøc B = T×m GTNN cña biÓu thøc: C = víi x>0 Cho x,y,z lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n: x+y+z = 5 vµ xy+yz+zx = 8 T×m GTNN- GTLN cña x,y,z