Chuyên đề Nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức và bẩy hằng đẳng thức đáng nhớ

chuyên đề nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức và bẩy hằng đẳng thức đáng nhớ. I) Nhân đơn thức với đa thức: 1. Kiến thức cơ bản: A(B + C) = A. B + A. C 2. Bài tập áp dụng: Bài 1. Làm tính nhân: a) 3x(5x2 - 2x - 1); b) (x2 - 2xy + 3)(-xy); c) x2y(2x3 - xy2 - 1); d) x(1,4x - 3,5y); e) xy(x2 - xy + y2); f)(1 + 2x - x2)5x; g) (x2y - xy + xy2 + y3). 3xy2; h) x2y(15x - 0,9y + 6); i) x4(2,1y2 - 0,7x + 35); Bài 2. Đơn giản biểu thức rồi tính giá trị của chúng. a) 3(2a - 1) + 5(3 - a) với a = . b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x) với x = 2,1. c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - 2 với a = -0,2. d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1) với b = Bài 3. Thực hiện phép tính sau: a) 3y2(2y - 1) + y - y(1 - y + y2) - y2 + y; b) 2x2.a - a(1 + 2x2) - a - x(x + a); c) 2p. p2 -(p3 - 1) + (p + 3). 2p2 - 3p5; d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a). Bài 4. Đơn giản các biểu tức: a) (3b2)2 - b3(1- 5b); b) y(16y - 2y3) - (2y2)2; c) (-x)3 - x(1 - 2x - x2); d) (0,2a3)2 - 0,01a4(4a2 - 100). Bài 5. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x. a) x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3); b) x(3x2 - x + 5) - (2x3 +3x - 16) - x(x2 - x + 2); Bài 6. Chứng minh rằng các biểu thức sau đây bằng 0; a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y); b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x). Bài tập nâng cao Bài 7. Tính giá trị biểu thức: a) P(x) = x7 - 80x6 + 80x5 - 80x4 +….+ 80x + 15 với x = 79. b) Q(x) = x14 - 10x13 + 10x12 - 10x11 + …+ 10x2 - 10x + 10 với x = 9. c) M(x) = x3 - 30x2 - 31x + 1 với x = 31. d) N(x) = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x với x = 14. Bài 8. Chứng minh rằng : a) 356 - 355 chia hết cho 34 b) 434 + 435 chia hết cho 44. Bài 9. Cho a và b là các số nguyên. Chứng minh rằng: a) nếu 2a + b 13 và 5a - 4b 13 thì a - 6b 13; b) nếu 100a + b 7 thì a + 4b 7; c) nếu 3a + 4b 11 thì a + 5b 11; II) Nhân đa thức với đa thức. 1. Kiến thức cơ bản: (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D; 2. Bài tập áp dụng: Bài 1. Thực hiện phép tính: a) (5x - 2y)(x2 - xy + 1); b) (x - 1)(x + 1)(x + 2); c) x2y2(2x + y)(2x - y); d) (x - 1) (2x - 3); e) (x - 7)(x - 5); f) (x - )(x + )(4x - 1); g) (x + 2)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (1 - x)(1 + x +x2 + x3 + x4); h) (2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b); i) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3); Bài 2.Chứng minh: a) (x - 1)(x2 - x + 1) = x3 - 1; b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y) = x3 - y3; Bài 3. Thực hiện phép nhân: a) (x + 1)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (x - 1)(1 + x + x2 + x3 + x4); b) ( 2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b); c) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3); d) (2ab + 2a2 + b2)(2ab2 + 4a3 - 4a2b) e) (2a3 - 0,02a + 0,4a5)(0,5a6 - 0,1a2 + 0,03a4). Bài 4. Viết các biểu thức sau dưới dạng đa thức: a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a); b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b); c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b); d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x); Bài 5. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến y: a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1); b) y4 - (y2 - 1)(y2 + 1); Bài 6. Tìm x, biết: a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4); b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1); c) 2x2 + 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1); d) (8 - 5x)((x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2); e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2). Bài tập nâng cao Bài 7. Chứng minh hằng đẳng thức: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca). Bài 8. Cho a + b + c = 0. Chứng minh M = N = P với : M = a(a + b)(a + c); N = b(b + c)(b + a); P = c(c + a)(c + b); Bài 9. Số 350 + 1 có là tích của hai số tự nhiên liên tiếp không ? HD: Trước hết chứng minh tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia cho 3 thì dư 0 hoặc 2. Thật vậy nêu trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3 thì tích của chúng chia hết cho 3, nếu cả hai số đều không chia hết cho 3 thì tích của chúng chia cho 3 dư 2 ( tự chứng minh). Số 350 + 1 chia cho 3 dư 1 nên không thể là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Bài 10. Cho A = 29 + 299. Chứng minh rằng A 100 HD: Ta có A = 29 + 299 = 29 + (211)9 = (2 + 211)(28 - 27 .211 + 26.222 - …-2.277 + 288) III) Các hằng đẳng thức đáng nhớ 1) Kiến thức cơ bản: 1.1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. 1.2) (A - B)2 = A2 - 2.AB + B2. 1.3) A2 - B2 = (A - B)(A + B). 1.4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3. 1.5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 + B3. 1.6) A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2). 1.7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2). 2) Bài tập áp dụng: Bài 1. Tính a) (x + 2y)2; b) (x - 3y)(x + 3y); c) (5 - x)2. d) (x - 1)2; e) (3 - y)2 f) (x - )2. Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng: a) x2 + 6x + 9; b) x2 + x + ; c) 2xy2 + x2y4 + 1. Bài 3. Rút gọn biểu thức: a) (x + y)2 + (x - y)2; b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2 + (x + y)2; c) (x - y + z)2 + (z - y)2 + 2(x - y + z)(y - z). Bài 4. ứng dụmg các hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau; a) (y - 3)(y + 3); b) (m + n)(m2 - mn + n2); c) (2 - a)(4 + 2a + a2); d) (a - b - c)2 - (a - b + c)2; e) (a - x - y)3 - (a + x - y)3; f) (1 + x + x2)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x2); Bài 5. Hãy mở các dấu ngoặc sau: a) (4n2 - 6mn + 9m2)(2n + 3m) b) (7 + 2b)(4b2 - 4b + 49); c) (25a2 + 10ab + 4b2)(5a - 2b); d)(x2 + x + 2)(x2 - x - 2). Bài 6. Tính giá trị biểu thức: a) x2 - y2 tại x = 87 với y = 13; b) x3 - 3x2 + 3x - 1 Với x = 101; c) x3 + 9x2 + 27x + 27 với x = 97; d) 25x2 - 30x + 9 với x = 2; e) 4x2 - 28x + 49 với x = 4. Bài 7. Đơn giản các biểu thức sau và tính giá trị của chúng: a) 126 y3 + (x - 5y)(x2 + 25y2 + 5xy) với x = - 5, y = -3; b) a3 + b3 - (a2 - 2ab + b2)(a - b) với a = -4, b = 4. Bài 8. Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau: a) (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a - 1)(a2 + 1)(a - 2); b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d); c) (1 - x - 2x3 + 3x2)(1 - x + 2x3 - 3x2); d) (a6 - 3a3 + 9)(a3 + 3); e) (a2 - 1)(a2 - a + 1)(a2 + a + 1). Bài 9. Tìm x, biết: a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9; b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1; c) 3(x + 2)2 + (2x - 1)2 - 7(x + 3)(x - 3) = 36; d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1; e) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -19. Bài 10.Tính nhẩm theo các hằng đẳng thức các số sau: a) 192; 282; 812; 912; b) 19. 21; 29. 31; 39. 41; c) 292 - 82; 562 - 462; 672 - 562; Bài 11. Chứng mih các hằng đẳng thức sau: a) a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab; b) a4 + b4 = (a2 + b2)2 - 2a2b2; c) a6 + b6 = (a2 + b2)[(a2 + b2)2 - 3a2b2]; d) a6 - b6 = (a2 - b2)[(a2 + b2)2 - a2b2]. Các bài toán nâng cao Bài 12. Chứng minh các hằng đẳng thức sau: X4 + y 4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2; Bài 13. Hãy viết các biểu thức dưới dạng tổng của ba bình phưong: (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2. Bài 14. Cho (a + b)2 = 2(a2 + b2). Chứng minh rằng a = b. Bài 15. Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca. Chứng minh rằng a = b =c. Bài 16. Cho ( a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca). Chứng minh rằng a = b = c. Bài 17. Cho a + b + c = 0 (1) a2 + b2 + c2 = 2 (2) Tính a4 + b4 + c4. Bài 18. cho a + b + c = 0. Chứng minh đẳng thức: a) a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 +c2a2); b) a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2; c) a4 + b4 + c4 = ; Bài 19. Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến. a) 9x2 - 6x +2; b) x2 + x + 1; c) 2x2 + 2x + 1. Bài 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = x2 - 3x + 5; b) B = (2x -1)2 + (x + 2)2; Bài 21. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A = 4 - x2 + 2x; b) B = 4x - x2; Bài 22. Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. Tính giá trị của biểu thức x3 + y3. Bài 23. Cho x + y = a; xy = b. Tính giá trị của các biểu thức sau theo a và b: a) x2 + y2; b) x3 + y3; c) x4 + y4; d) x5 + y5; Bài 24. a) cho x + y = 1. Tính giá trị biểu thức: x3 + y3 + 3xy. b) cho x - y = 1. Tính giá trị của biểu thức: x3 - y3 - 3xy. Bài 25. Cho a + b = 1. Tính giá trị của các biểu thức sau: M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b). Bài 26. Rút gọn các biểu thức sau: a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(3x + 5) + (5x + 5)2; b) B = (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(318 + 1)(332 + 1); c) C = (a + b - c)2 + (a - b + c)2 - 2(b - c)2; d) D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 + (b - c - a)2+ (c - b - a)2; e) E = (a + b + c + d)2 + (a + b - c - d)2 + (a + c - b - d)2 + (a + d - b - c)2; g) G = (a + b + c)3 - (b + c - a)3 - (a + c - b)3 + (a + b - c)3; h) H = (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 - 3(a + b)(b + c)(c + a). Bài 28. Chứng minh các đẳng thức sau: a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 +(b + c)2 + (c + a)2; b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a). Bài 29. Cho a + b + c = 0. chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc. Bài 30. Chứng minh rằng: a) nếu n là tổng hai số chính phương thì 2n cũng là tổng của hai số chính phương. b) nếu 2n là tổng hai số chính phương thì n cũng là tổng của hai số chính phương. c) nếu n là tổng của hai số chính phương thì n2 cũng là tổng của hai số chính phương. Bài 31. a) Cho a = 11…1(n chữ số 1), b = 100…05(n - 1 chữ số 0). Chứng minh rằng: ab + 1 là số chính phương. b) Cho một dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là các số tạo thành bằng cách viết chèn số 15 vào chính giữa số hạng liền trước : 16, 1156, 111556, … Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số chính phương. Bài 32. Chứng minh rằng ab + 1 là số chính phương với a = 11…12(n chữ số 1), b = 11…14(n chữ số 1). Bài 33. Cho a gồm 2n chữ số 1, b gồm n + 1 chữ số 1, c gồm n chữ số 6. Chứng minh rằng a + b + c + 8 là số chính phương. Bài 34. Chứng minh rằng các biểu thức sau là số chính phương: a) A = b) B = Bài 35. Các số sau là bình phương của số nào ? a) A = ; b) B = ; c) C = ; d) D = . chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử I) Phương pháp đặt nhân tử chung: A(B + C ) =A.B +A.C *) Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử *) Bài 1: Phân tích thành nhân tử II) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dung hằng đẳng thức: 1) Phương pháp: Biến đổi các đa thức thành dạng tích nhờ sử dụng hằng đẳng thức 1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 2. A2 - 2AB + B2 = (A + B)2 3. A2 - B2 = (A - B)(A + B) 4. A3 + 3A2B + 3AB2 +B2 = (A + B)3 5. A3 -3A2B + 3AB2 - B3 = ( A - B)3 6. A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) 7. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB +B2) 2)Bài tập: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 - 9; b) 4x2 - 25; c) x6 - y6 d) 9x2 + 6xy + y2; e) 6x - 9 - x2; f) x2 + 4y2 + 4xy g) 25a2 + 10a + 1; h)10ab + 0,25a2 + 100b2 i)9x2 -24xy + 16y2 j) 9x2 - xy + y2 k)(x + y)2 - (x - y)2 l)(3x + 1)2 - (x + 1)2 n) x3 + y3 + z3 - 3xyz. Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x3 + 8; b) 27x3 -0,001 c) x6 - y3; d)125x3 - 1 e) x3 -3x2 + 3x -1; f) a3 + 6a2 + 12a + 8 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x6 + 2x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + 1; b) M = Bài 4 Tính nhanh: a) 252 - 152; b) 872 + 732 - 272 - 132 c) 732 -272; d) 372 - 132 e) 20092 - 92 Bài 5 Tìm x, biết a) x3 - 0,25x = 0; b) x2 - 10x = -25 c) x2 - 36 = 0; d) x2 - 2x = -1 e) x3 + 3x2 = -3x - 1 Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2x8 - 12x4 + 18; b) a4b + 6a2b3 + 9b5; c) -2a6 - 8a3b - 8b2; d) 4x + 4xy6 + xy12. Bài 7 Chứng minh rằng các đa thức sau chỉ nhận những giá trị không âm a) x2 - 2xy + y2 + a2; b) x2 + 2xy + 2y2 + 2y + 1; c) 9b2 - 6b + 4c2 + 1; d) x2 + y2 +2x + 6y + 10; Bài 8 Chứng minh rằng các đa thức sau không âm với bất kì giá trị nào của các chữ: a) x2 + y2 - 2xy + x - y + 1 b) 2x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy - 2xz + 6yz c) 8x2 + y2 + 11z2 + 4xy - 12 xz - 5yz d) 5x2 + 5y2 + 5z2 + 6xy - 8xz - 8yz Bài 9 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có: (4n + 3)2 - 25 chia hết cho 8. III) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử. 1) Kiến thức cơ bản: Tìm cách tách đa thức đã cho thành nhóm các hạng tử thích hợp sao cho khi phân tích mỗi nhóm hạng tử thành nhân tử thì xuất hiện nhân tử chung. 2) Bài tập áp dụng: Bài 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - xy + x - y; b) xz + yz - 5(x + y) c) 3x2 -3xy - 5x + 5y. d) x2 + 4x - y2 + 4; e) 3x2 + 6xy + 3y2 - 3z2; f) x2 -2xy + y2 - z2 + 2zt - t2; g) x2 - x - y2 - y; h) x2 - 2xy + y2 - z2; i) 5x - 5y + ax - ay; j) a3 - a2x - ax + xy; k) 7a2 -7ax - 9a + 9x; l) xa - xb + 3a - 3b; Bài 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử; a) ma - mb + na - nb -pa + pb; b) x2 + ax2 -y - ax +cx2 - cy; c) ax - bx - cx + ay - by - cy; d) ax2 + 5y - bx2 + ay + 5x2 - by; Bài 3 Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x3 + y3 + 2x2 -2xy + 2y2; b) a4 + ab3 - a3b - b4; c) a3 - b3 + 3a2 + 3ab + 3b2; c) x4 + x3 y - xy3 - y4; Bài 4 Phân tích đa thức thành nhân tử. a) 70a - 84b - 20ab - 24b2; b) 12y - 9x2 + 36 - 3x2y; c) 21bc2 - 6c - 3c3 +42b; d) 30a3 - 18a2b - 72b + 120a. Bài 5 Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x3 + 3x2y + x +3x2y + y + y3; b) x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3; c) 27x3 + 27x2 + 9x +1 + x + ; d) x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x +1)2. Bài 6 Tìm x, biết: a) x3 + x2 + x + 1 = 0; b) x3 - x2 - x + 1 = 0; c) x2 - 6x + 8 = 0; d) 9x2 + 6x - 8 = 0. e) x(x - 2) + x - 2 = 0; f) 5x(x - 3) - x + 3 = 0. Bài 7 Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức sau; a) x2 - 2xy - 4z2 + y2 tại x = 6; y = -4; z = 45. b) 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48 tại x = 0,5 Bài 8. Tính nhanh : a) 37,5 . 6,5 - 7,5 . 3,4 - 6,6 . 7,5 + 3,5 . 37,5; b) 452 + 402 - 152 + 80.45. Bài 9. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a). Bài 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3z + x2yz - x2z2 - xyz2; b) pm+2q - pm+1q3 - p2qn+1 + pqn+3. IV) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp. 1) Kiến thức cơ bản: - Đặt nhân tử chung. - Dùng hằng đẳng thức. - Nhóm nhiều hạng tử và các phương pháp khác. 2) Bài tập áp dụng: Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x3 - 2x2 + x; b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2; c) 2xy - x2 - y2 + 16; d) a4 + a3 + a3b + a2b e) a3 + 3a2 + 4a + 12; f) a3 + 4a2 + 4a + 3; g) x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz; h) a2 + b2 + 2a - 2b - 2ab; i) 4a2 - 4b2 - 4a + 1; j) a3 + 6a2 + 12a + 8; k) (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - ( a - b + c)3 - (-a + b +c)3. Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) (2x + 3y)2 - 4(2x + 3y); b) (x + y)3 - x3 - y3; c) (x - y + 4)2 - (2x + 3y - 1)2; d) (a2 + b2 - 5)2 - 4(ab + 2)2. e) bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b); f) 2a2b + 4ab2 - a2c + ac2- 4b2c + 2bc2 - 4abc; g) y(x - 2z)2 + 8xyz + x(y - 2z)2 - 2z(x + y)2; h) x5 - 5x3 + 4x; i) x3 - 11x2 + 30x; j) 4x4 - 21x2y2 + y4; k) x3 + 4x2 - 7x - 10; l) (x2 + x)2 - (x2 + x) + 15; n) (x +2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24; m) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15; o) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) - 6. Bài 2: Tìm x, biết. a) 5x(x - 1) = x - 1; b) 2(x + 5) - x2 - 5x = 0; c) x3 - x = 0; d) (2x - 1)2 - (x + 3)2 = 0 e) x2(x - 3) +12 - 4x =0. Bài 3. Tính nhanh giá trị biểu thức: a) x2 + x + tại x = 49,75; b) x2 - y2 - 2y - 1 tại x = 93 và y = 6. Toán khó mở rộng: Bài 4. a) Số 717 + 17. 3 - 1 chia hết cho 9. Hỏi số 718 + 18.3 - 1 có chia hết cho 9 không? b) Biến đổi thành tích các biểu thức: A = 1 + a[(a + 1)9 + (a + 1)8 + (a + 1)7 + …+ (a + 1)2 + a + 2]. Bài 5. Chứng minh các hằng đẳng thức sau: 1) x6 + 3x2y2 + y6 = 1 Với x2 + y2 = 1 2) x4 + x2y2 + y4 = a2 - b2 với x2 + y2 = a, xy = b 3) (a3 + b3 - a3b3)3 + 27a6b6 = 0 với ab = a + b. 4) p2 + (p - a)2 + (p - b)2 + (p - c)2 = a2 + b2 + c2 với a + b + c = 2p. Bài 6. Tính giá trị biểu thức: a) A = 217 - 216 - 215 - 214 - …- 22 - 2 - 1. b) B = x17 - 12x16 + 12x15 - 12x14 +…- 12x2 + 12x - 1 với x = 11. Bài 7. Rút gọn: a) A = 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1). b) Mở rộng: B = Bài 8. Chứng minh: a5(b2 + c2) + b5(a2 + c2) + c5(a2 + b2) = (a3 + b3 + c3)(a4 + b4 + c4) với a + b + c = 0 Bài 9. Chứng minh: 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2) với a + b + c = 0. Bài 10. Tổng các số nguyên a1, a2, a3, …, an chia hết cho 3. Chứng minh rằng A = a13 + a23 + a33 + …+ an3 cũng chia hết cho 3 V) Một số phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử. 1) Phương pháp tách một số hạng thành nhiều số hạng khác. 1.1) Đa thức dạng f(x) = ax2 + bx + c. - Bước 1: Tìm tích ac. - Bước 2: Phân tích a.c ra tích của hai thứa số nguyên bằng mọi cách. - Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b. Các bài tập áp dụng dạng này: Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử a) 4x2 - 4x - 3; b) x2 - 4x + 3; c) x2 + 5x + 4; d) x2 - x - 6; e) x2 + 8x + 7; f) x2 - 13 x + 36; g) x2 +3x - 18; h) x2 - 5x - 24; i) 3x2 - 16x + 5; j) 8x2 + 30x + 7; k) 2x2 - 5x - 12; l) 6x2 - 7x - 20. 1.2) Đa thức từ bậc ba trở lên người ta dùng phương pháp tìm nghiệm của đa thức. a) Chú ý: nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a thì nó chứa thừa số x - a. Trong đó a là ước số của an,, với f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2+ …+ an-1 + an. b) Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = x3 - x2 - 4. Lần lượt kiểm tra với x = 1, 2, 4, ta thấy f(2) = 23 - 22 - 4 = 0. Đa thức có nghiệm x =2, do đó chứa thừa số x - 2. Ta tách như sau: Cách 1: x3 - x2 - 4 = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - 4 = x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2) = ( x - 2)(x2 + x + 2). Cách 2: x3 - x2 - 4 = x3 - 8 - x2 + 4 = (x - 2)(x2 + 2x + 4) - (x + 2)(x - 2) = (x - 2)(x2 + 2x + 4 - x - 2) = (x - 2)(x2 + x + 2). 2) Phương pháp đặt ẩn phụ: Khi một đa thức phức tạp, hoặc có bậc cao, ta có thể đặt ẩn phụ nhằm “ giảm bậc” của đa thức để phân tích. 2.1) Ví dụ. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12. b) g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24. HD: a) Đặt y = x2 + x + 1, khi đó đa thức f(x) = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = (y - 3)(y + 4) Thay ngược trở lại y = x2 + x + 1 vào đa thức f(x) ta được: f(x) = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x + 5)(x2 + x - 2) = (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 5) b) f(x) = [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 24 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24 = y(y + 2) - 24 với y = x2 + 5x + 4 = y2 + 2y - 24 = (y - 4)(y + 6) Thay ngược trở lại y = x2 + 5x + 4 ta được f(x) = (x2 + 5x + 4 - 4)(x2 + 5x + 4 + 6) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10) 3) Phương pháp thêm, bớt một hạng tử thích hợp để làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu hai bình phương. *) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x8 + x4 + 1; b) x4 + 4; HD: a) x8 + x4 + 1 = x8 + 2x4 + 1 - x4 = (x4 + 1)2 - x4 = (x4 + x2 +1)(x2 - x2 + 1) = [(x4 + 2x2 + 1) - x2][(x4 + 2x2 + 1) - 3x2] = [(x2 + 1)2 - x2][(x2 + 1)2 - (x)2] = (x2 +1 - x)(x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x)(x2 + 1 + x) *) Bài tập áp dụng : Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) f(x) = x4 + 324 b) f(x) = x8 + 1024; c) f(x) = x8 + 3x4+ 4 Bài 2. a) Phân tích n4 + b) áp dụng: Rút gọn S = 4) Phương pháp xét giá trị riêng: Trước hết ta xác định dạng của các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại. a) Ví dụ: Phân tích thành thừa số: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y). Giải: Thử thay x bởi y thì P = y2(y - z) - y2(z - y) = 0. Như vậy P chứa thừa số x = y nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì P không đổi. Do đó P chứa thừa số có dạng (x - y), (y - z), (z - x). vậy P có dạng P = k(x - y)(y - z)(z - x). Vì đăngt thức x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với mọi x, y, z, Nên ta gán x = 2, y = 1, z = 0 vào đẳng thức ta được: 4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2)2 = -2k k = -1 vậy P = -(x - y)(y - z)(z - x) Các bài tập áp dụng của các dạng trên. Bài 1: Phân tích ra thừa số nguyên tố a) 6x2 - 11x + 3; b) 2x2 + 3x - 27; c) 2x2 - 5xy + 3y2; d) 2x2 -5xy - 3y2. Bài 2. Phân tích ra thừa số nguyên tố: a) x3 + 2x - 3; b) x3 - 7x + 6; c) x3 + 5x2 + 8x + 4; d) x3 - 9x2 + 6x + 16; e) x3 - x2 - 4; f) x3 - x2 - x - 2; g) x3 + x2 - x + 2; h) x3 - 6x2 - x + 30. Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử (bằng nhiều cách). x3 - 7x - 6. Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 27x3 - 27x2 + 18x - 4; b) 2x3 - x2 + 5x + 3. Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15; b) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12; c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12; d) (x + 2)(x + 3)(x + 4)( x+ 5) - 24; e) (x + a)( x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4 f) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2; g) 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4. Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử (dùng phương pháp đổi biến - Đặt ẩn phụ) a) (a + b + c)3 - 4(a3 + b3 + c3) - 12abc HD: Đặt x = a + b, y = a - b. Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 4x4 - 32x2 + 1; b) x6 + 27; c) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2; d) (2x2 - 4)2 + 9; e) 4x4 + 1; f) 64x4 + y4; g) x4 + 324; h) x8 + x + 1; i) x7 + x5 + 1; j) x8 + x4 + 1; k) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6; l) x3 + 3xy + y3 - 1. Bài 8. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1; b) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 c) x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1; c) x4 - 8x + 63. Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử: x8 + 98x2 + 1. Bài 10. Phân tích đa thức thành nhân tử ( Dùng phương pháp xét giá trị dương). a) M = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c( a + b - c)2 + (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b). b) N = a(m - a)2 + b(m - b)2 + c(m - c)2 - abc với 2m = a + b + c chuyên đề chia đa thức cho đa thức I) Chia đơn thức cho đơn thức (trường hợp đơn thức A chia hết cho đơn thức B). 1) Phương pháp: - Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B. - Chia từng luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ thừa của biến đó có trong B. - Nhân các kết quả tìm được với nhau. 1) Ví dụ và bài tập: Bài 1. Làm phép tính chia: a) 10015 : 10012; b) (-79)33 : (- 79)32; c); d) . Bài 2. Chia các đơn thức: a) -21xy5z3 : 7xy2z3; b) (a3b4c5) : a2bc5; c) x2yz : xyz; d) x3y4 : x3y; e) 18x2y2z : 6xyz; f) 5a3b : (-2a2b); g) 27x4y2z : 9x4y; h) 9x2y3 : (-3xy2); i) (m2n4) : m2n2; j) 5x4y3z2 : 3xyz2; k) (-7a3b4c5) : (-21b3c2); l) (a - b)5 : (b - a)2; n) (x + y)2 : (x + y); m)(x - y)5 : (y - x)4; o) (x - y +z)4 : (x - y + z)3; ơ) 0,5ambnc3 : (a2bc); p) 1,8an+3bn+2cn +1 : (-0,9an+1bn-1c). Bài 3. Tính giá trị của biểu thức sau: (-x2y5)2 : (-x2y5) tại x = và y = -1. Bài 4. Thực hiện phép chia: a) (xy2 - x2y3 + x3y2) : 2xy; b) (x3 - 3x2y +5xy2) : (x); c) (a3b6c2 + a4b3c - a5b2c3) : a3bc; d) [3(a - b)5 - 6(a - b)4 + 21(b - a)3 + 9(a - b)2] : 3(a - b)2 e) (u4 - u3v + u2v2 - uv3) : (u2 + v2). Bài 5. Với giá trị nào của n thì thực hiện được các phép chia đơn thức sau? Với điều kiện tìm được hãy thực hiện phép chia đó . a)x2n : xn + 3; b) 3xny2 : 4x2y; c) 6x3y5 : 5xny2; d) xnyn+2 : 3x3y4. II) Chia đa thức cho đơn thức. 1) Phương pháp: Chia đa thức A cho đơn thức B. - Chia mỗi hạng tử của đa thức A cho đơn thức B. - Cộng các kết quả lại với nhau. 2) Bài tập áp dụng: Bài 1. Thực hiện phép tính: a) (7. 35 - 34 + 36) : 34; b) (163 - 642) : 83; Bài 2. Làm tính chia: a) (5x4 - 3x3 + x2) : 3x2; b) (5xy2 + 9xy - x2y2): (-xy); c) (x3y3 - x2y3 - x3y2) : x2y2; d) (24x4y3 - 40x5y2 - 56x6y3) : (-24x4y2); e) [a3 - (4a6 + 6a5 - 9a4) : 6a2].(1,5a2 + a4); f) [(3x2y - 6x3y2) : 3xy + (3xy - 1)x]2 : 0,5x2. g) [7(a - b)5 + 5(a - b)3] : (b - a)2; h) [7(a - 3b)3 + (a - 3b)] : (2a - 6b); i) (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) : (2x + 2y). Bài 3. Thực hiện phép tính: a) (3ambn - 1cp-2x - 7a5b3c5 + a2mnbn-1cp+2x) : (-3a3-mb5c4); b) [(a + b - c)3 + (a - b + c)3 + (-a + b + c)3 - (a + b + c)3] : 24abc; c) [(x + y)7 - (x7 + y7)] : 7xy. d) Chứng minh số có dạng A = 34n + 4 - 43n + 3 chia hết cho 17 ( n thuộc N). Bài 4. Làm tính chia: a) [5(a - b)3 + 2(a - b)2] : (b - a)2 b) 5(x - 2y)3 : (5x - 10y); c) (x3 - 8y3) : (x + 2y); d) [5(a + b)7 - 12(a + b)5 + 7(a + b)11] : 4(-a - b)3 e) [3(a - b)4(2a + b)3 + 10(a - b)5 - (a - b)6(2a + b)] : 5(a - b)3. Bài 5. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức với x = -2. A = (2x2 - x) : x + (3x3 - 6x2) : 3x2 + 3. III) Chia đa thức một biến đã sắp xếp: 1) Phương pháp chung: - Chia hạng tử cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử cao nhất của đa thức chia thì được hạng tử cao nhất của thương. - Nhân hạng tử cao nhất của thương với đa thức chia rồi lấy đa thức bị chia trừ đi tích vừa tìm được, ta được dư thứ nhất. - Chia hạng tử cao nhất của đa thức dư thứ nhất cho hạng tử cao nhất của đa thức chia ta được hạng tử thứ hai của thương. - Nhân hạng tử thứ hai của thương với đa thức chia rồi lấy dư thứ nhất trừ đi tích vừa tìm được, ta được dư thứ hai. - Lặp lại quá trình trên cho đến khi: +) nếu dư cuối cùng bằng 0 thì phép chia có dư bằng 0 và được gọi là phép chia hết. +) nếu dư cuối cùng khác 0 và bậc của đa thức dư thấp hơn bậc của đa thức chia thì phép chia đó được gọi là phép chia có dư. 2) Ký hiệu: A(x) là đa thức bị chia; B(x) là đa thức chia; Q(x) là đa thức thương; R(x) là đa thức dư; Ta luôn có: A(x) = B(x). Q(x) + R(x); - Nếu R(x) = 0 thì A(x) = B(x) . Q(x) gọi là phép chia hết. - Nếu R(x) 0 thì A(x) = B(x). Q(x) + R(x),( bậc của R(x) nhỏ hơn bậc của B(x)) gọi là phép chia có dư. 3) Bài tập áp dụng: Bài 1. Làm tính chia: a) (6x2 + 13x - 5) : (2x + 5); b) (x3 - 3x2 + x - 3) : (x - 3); c) (2x4 + x3 - 5x2 - 3x - 3) : (x2 - 3); Bài 2. Sắp sếp các đa thức sau theo luỹ giảm dần thừa