Chuyên đề Nhiệt động lực học các chu trình

Chuyên đề/Trao đổi Nhiệt động lực học các chu trình Trong bài báo này chúng ta sẽ khảo sát các chu trình được thực hiện bởi một lượng khí lý tưởng (chất công tác). Đồng thời, khi chuyển từ một trạng thái cân bằng này sang trạng thái cân bằng khác, khối khí này thực hiện các quá trình chuẩn tĩnh, rồi cuối cùng trở về trạng thái ban đầu. Cơ cấu trong đó diễn ra chu trình được biểu diễn trên giản đồ pV theo chiều kim đồng hồ được gọi là một máy nhiệt. Vì sự thay đổi nội năng trong chu trình bằng 0 (vì nội năng là một hàm trạng thái), nên tổng đại số của nhiệt lượng cung cấp cho chất công tác bằng công mà chất công tác thực hiện trong chu trình. Nếu ký hiệu Q1 là nhiệt lượng tổng cộng cung cấp cho chất công tác và Q2 là nhiệt lượng tổng cộng do nó toả ra, thì ta thấy ngay công thực hiện bởi chất công tác bằng: Hiệu quả sinh công của máy nhiệt được đặc trưng bởi hiệu suất: Vì trong trường hợp máy nhiệt Q1 >Q2 nên h < 1. Nếu chu trình diễn ra theo chiều ngược lại, tức là trong trường hợp máy làm lạnh thì các dòng nhiệt sẽ đổi chiều: chỗ nào trước kia là toả nhiệt thì bây giờ lại là nhận nhiệt và ngược lại. Do đó, trong trường hợp này, chất công tác không sinh công bằng hiệu nhiệt lượng nhận vào và nhiệt lượng toả ra, mà là nhận công từ vật bên ngoài, còn nhiệt được lấy đi từ vật bên ngoài có nhiệt độ nhỏ hơn (nguồn lạnh) sẽ được truyền cho vật bên ngoài khác có nhiệt độ cao hơn (nguồn nóng). Bây giờ chúng ta hãy xét một số ví dụ cụ thể. Ví dụ 1. Trên giản đồ pV đối với một khối lượng khí lý tưởng nào đó, gồm hai quá trình đẳng nhiệt cắt hai quá trình đẳng áp tại các điểm 1, 2, 3, 4 (xem hình vẽ). Hãy xác định tỷ số nhiệt độ T3/T1 của chất khí tại các trạng thái 3 và 1, nếu biết tỷ số thể tích V3/V1 = a. Cho thể tích khí tại các trạng thái 2 và 4 bằng nhau. Giải: Xét hai đoạn đẳng áp với phương trình có dạng T/V = const. Nghĩa là ta có: và (1) Nhưng do T2 = T3; T1 = T4 (do quá trình 2-3 và 4-1 là đẳng nhiệt) và V2 =V4 (theo giả thiết), ta có: (2) Từ (1) và (2) suy ra: và Nhân hai phương trình trên với nhau, ta được: Từ đó suy ra: Ví dụ 2. Trên hình vẽ cho chu trình thực hiện bởi n mol khí lý tưởng, gồm một quá trình đẳng áp và hai quá trình có áp suất p phụ thuộc tuyến tính vào thể tích V. Trong quá trình đẳng áp 1-2, khí thực hiện một công A và nhiệt độ của nó tăng 4 lần. Nhiệt độ tại 1 và 3 bằng nhau. Các điểm 2 và 3 nằm trên đường thẳng đi qua gốc toạ độ. Hãy xác định nhiệt độ khí tại điểm 1 và công mà khối khí thực hiện trong chu trình trên . Giải: Công do khí thực hiện trong quá trình đẳng áp 1-2 bằng: Vì và nên Suy ra: Công mà khí thực hiện trong cả chu trình được tìm bằng cách tính diện tích tam giác 123 và bằng: Từ các phương trình trạng thái ở trên ta tìm được: và Do đó : Vì các điểm 2 và 3 nằm trên đường thẳng đi qua gốc toạ độ nên: Mặt khác, cũng từ phương trình trạng thái ta có: và Từ đây suy ra: hay Vậy công mà khối khí thực hiện trong chu trình là: . Ví dụ 3. Một mol khí hêli thực hiện một chu trình như hình vẽ gồm các quá trình: đoạn nhiệt 1-2, đẳng áp 2-3 và đẳng tích 3-1. Trong quá trình đoạn nhiệt hiệu nhiệt độ cực đại và cực tiểu của khí là DT. Biết rằng trong quá trình đẳng áp, khí toả ra một nhiệt lượng bằng Q. Hãy xác định công A do khối khí thực hiện trong chu trình trên. Giải: Trong quá trình đoạn nhiệt 1-2, T1 là nhiệt độ cực đại, T2 là nhiệt độ cực tiểu, bởi vậy có thể viết: Trong quá trình đẳng áp 2-3, áp dụng nguyên lý I nhiệt động lực học, ta có: (1) với CV = 3R/2. Từ (1) và các phương trình trạng thái của các trạng thái 2 và 3, ta có: Trên đoạn đẳng tích 3-1, khí không thực hiện công, còn độ tăng nội năng của khí là do nhiệt lượng mà khí nhận được: Vậy công mà khối khí thực hiện sau một chu trình là: . Ví dụ 4. Một khối khí hêli ở trong một xilanh có pittông di chuyển được. Người ta đốt nóng khối khí này trong điều kiện áp suất không đổi, đưa khí từ trạng thái 1 tới trạng thái 2. Công mà khí thực hiện trong quá trình này là A1-2. Sau đó, khí bị nén theo quá trình 2-3, trong đó áp suất p tỷ lệ thuận với thể tích V. Đồng thời khối khí nhận một công là A2-3 (A2-3 > 0). Cuối cùng khi được nén đoạn nhiệt về trạng thái ban đầu. Hãy xác định công A31 mà khí thực hiện trong quá trình này. Giải: Trong quá trình đẳng áp 1-2, công do khối khí thực hiện là: (1) Trong quá trình 2-3, công do chất khí nhận vào có trị số bằng: Vì trên giản đồ pV hai điểm 2 và 3 nằm trên đường thẳng đi qua gốc toạ độ, nên ta có: hay Do đó: (2) Trong quá trình đoạn nhiệt 3-1, độ tăng nội năng của khối khí bằng công mà khối khí nhận được: (3) Từ (1) và (2) suy ra: Thay biểu thức trên vào (3), ta được: Ví dụ 5. Cho một máy nhiệt hoạt động theo chu trình gồm các quá trình: đẳng nhiệt 1-2, đẳng tích 2-3 và đoạn nhiệt 3-1 (xem hình vẽ). Hiệu suất của máy nhiệt này là h và hiệu nhiệt độ cực đại và cực tiểu của khí trong chu trình bằng DT. Biết rằng chất công tác trong máy nhiệt này là n mol khí lý tưởng đơn nguyên tử. Hãy xác định công mà khối khí đó thực hiện trong quá trình đẳng nhiệt. Giải: Trong đề bài đã cho hiệu suất của chu trình, nên trước hết ta phải tìm hiểu xem quá trình nào là nhận nhiệt và quá trình nào toả nhiệt. Trong quá trình đẳng nhiệt 1-2, khí thực hiện công A (thể tích tăng), và vì nội năng không đổi, nên quá trình này toả nhiệt lượng mà ta ký hiệu là Q1 (Q1=A). Trong quá trình đẳng tích 2-3, khi thể tích không đổi, áp suất giảm. Điều này xảy ra là do nhiệt độ khí giảm và trong trường hợp đó khí toả một nhiệt lượng là Q2. Trong quá trình đoạn nhiệt 3-1, khí không nhận cũng không toả nhiệt và do thể tích giảm nên khí nhận công và nhiệt độ của nó tăng. Do đó, tại 3 khí có nhiệt độ nhỏ nhất là Tmim, còn nhiệt độ lớn nhất Tmax của khối khí đạt được ở quá trình đẳng nhiệt 1-2. Do đó: Theo định nghĩa, hiệu suất của chu trình bằng: Mà như trên đã nói Q1 = A. Mặt khác, trong quá trình 2-3, nhiệt lượng toả ra đúng bằng độ tăng nội năng: Thay Q1 và Q2 vào công thức tính hiệu suất, ta được: Suy ra: Ví dụ 6. Cho hiệu suất của chu trình 1-2-4-1 bằng h1 và của chu trình 2-3-4-2 bằng h2 (xem hình vẽ). Hãy xác định hiệu suất của chu trình 1-2-3-4-1, biết rằng các quá trình 4-1, 2-3 là đẳng tích, quá trình 3-4 là đẳng áp, còn trong các quá trình 1-2; 2-4 áp suất p phụ thuộc tuyến tính vào thể tích V. Các qúa trình nói trên đều được thực hiện theo chiều kim đồng hồ. Biết rằng chất công tác ở đây là khí lý tưởng. Giải: Xét chu trình 1-2-4-1. Trong quá trình 1-2, khí nhận một nhiệt lượng mà ta ký hiệu là Q1. Trong quá trinh 2-4, khí toả một nhiệt lượng là Q2. Trong quá trình đẳng tích 4-1, khí nhận một nhiệt lượng là Q3. Công do khí thực hiện trong cả chu trình là A1. Theo định nghĩa hiệu suất: Mặt khác, , suy ra: Xét chu trình 2-3-4-2, trong các quá trình 2-3 và 3-4, khí đều toả nhiệt. Khí chỉ nhận nhiệt trong quá trình 4-2 và lượng nhiệt nhận vào này hiển nhiên là bằng Q2. Vậy hiệu suất của chu trình này bằng: trong đó A2 là công do khí thực hiện trong chu trình này. Dùng biểu thức của Q2 nhận được ở trên ta có thể viết: Hiệu suất của chu trình 1-2-3-4-1 bằng: Rút A1 và A2 từ các biểu thức của và , rồi thay vào biểu thức trên, ta được: . Bài tập Chu trình thực hiện bởi n mol khí lý tưởng gồm hai quá trình trong đó áp suất p phụ thuộc tuyến tính vào thể tích V và một quá trình đẳng tích (xem hình vẽ). Trong quá trình đẳng tích 1-2, người ta truyền cho khí một nhiệt lượng Q và nhiệt độ của nó tăng 4 lần. Nhiệt độ tại các trạng thái 2 và 3 bằng nhau. Các điểm 1 và 3 nằm trên đường thẳng đi qua gốc toạ độ. Hãy xác định nhiệt độ của khí ở trạng thái 1 và công mà khí thực hiện trong chu trình trên. ĐS: Một khối khí hêli ở trong một xilanh dưới một pittông di chuyển được. Người ta nén khí theo quá trình đoạn nhiệt đưa nó từ trạng thái 1 tới trạng thái 2 (xem hình vẽ). Trong quá trình đó, khối khí nhận một công là A12 (A12> 0). Sau đó khí được giãn đẳng nhiệt từ 2 tới 3. Và cuối cùng, khí được nén từ 3 về 1 theo quá trình trong đó áp suất p tỷ lệ thuận với thể tích V. Hãy xác định công A23 mà khí thực hiện trong quá trình giãn nở đẳng nhiệt 2-3, nếu trong chu trình 1-2-3-1 khí thực hiện một công bằng A. ĐS: Quang Nhàn (sưu tầm và giới thiệu)