Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử (bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán)

Chương I: Các nội dung lý thuyết cơ sở: a/ Định lý về phép chia đa thức (phép chia hết và chia có dư): Khi đó với hai đa thức bất kỳ f(x), g(x) và g(x) ạ0 tồn tại duy nhất hai đa thức q(x) và r(x)sao cho: f(x) = g(x).q(x) + r(x), r(x) = 0, hoặc bậc r(x) < bậc g(x). q(x) được gọi là thương, r(x) được gọi là dư. Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu f(x)g(x) Nếu r(x) ạ0 thì ta nói f(x) chia cho g(x) có dư. b/ Hệ quả: Ta có f(a) là dư trong phép chia f(x) cho x- a. c/ Định nghĩa nghiệm của một đa thức một ẩn: Phần tử àẻA được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(à) = 0. d/ Định lý Bơdu về nghiệm của một đa thức: Phần tử à là nghiệm của đa thức f(x) khi và chỉ khi f(x) x- à. e/ Các phương pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử: - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử. Ví dụ1: A(x) =10x2-7x+a (aẻQ) xác định a sao cho A(x) chia hết cho 2x-3. Đặt phép chia đa thức: 10x2-7x+a 2x-3 10x2-15x 5x+4 8x+a -8x-12 a+12 Để A(x) 2x-3 ta phải có: a+12=0 Û a= -12. Vậy a=-12 thì A(x) chia hết cho 2x-3 Ví dụ 2: Cho đa thức: A(x) = a2x3+3ax2-6x-2a (a ẻ Q) Xác định a sao cho A(x) chia hết cho (x+1) +Đặt phép chia đa thức: a2x3+3ax2-6x-2a x+1 -a2x3+a2x2 ax2+(3a-a2)x+(a2-3a-6) (3a-a2)x2-6x-2a -(3a-a2)x2+(3a-a2)x -a2+a+6 Để A(x) chia hết cho x+1 ta phải có: -a2+a+6=0 Û(a+2)(3-a)=0 a+2=0 a=-2 3-a=0 a=3 Vậy a=-2 hoặc a=3 thì A(x) chia hết cho x+1 Ví dụ 3: Phân tích đa thức 5x3-2x-3 thành nhân tử, Dễ thấy x=1 là một nghiệm , theo định lý Bơdu thì đa thức 5x3-2x-3 chia hết cho x-1. Thực hiện phép chia ta được: 5x3-2x-3 =(x-1)(5x2+5x+3) Ví dụ 4: Phân tích đa thức f(x)=3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 thành nhân tử. Dễ thấy x=1 là một nghiệm. Vì vậy đa thức đã cho chia hết cho x-1 Thức hiện phép chia ta được: f(x)=(x-1)(3x4- 3x3-5x2-x-2) Dễ thấy 3x4- 3x3-5x2-x-2 có nghiệm là x= -1 Thực hiện phép chia ta được: 3x4- 3x3-5x2-x-2=(x+1)(3x3-6x2+x-2) Dễ thấy rằng 3x3-6x2+x-2 có nghiệm x= 2 Vì thế 3x3-6x2+x-2=(x-2)(3x2+1) Vậy 3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 =(x-1)(x+1)(x-2)(3x2+1). Chương II. .Một số bài tập vận dụng và cách giải: I- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử. Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3x2-8x+4 Nhận xét: Đa thức trên không chứa thừa số chung. Không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ, cũng không thể nhóm các số hạng. Ta biến đổi đa thức này thành đa thức có nhiều số hạng hơn: Cách 1: (tách số hạng thứ 2) 3x2-8x+4 =3x2-6x-2x+4= (3x2-6x)-(2x-4) =3x(x-2)-2(x-2) =(x-2)(3x-2) Cách 2:(tách số hạng thứ nhất) 3x2-8x+4 =4x2-8x+4-x2 = (2x-2)2 -x2 = (2x-2+x)(2x-2-x) = (3x-2)(x-2) Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax2+x+c thành thừa số ta tách số hạng bx=b1x+b2x sao cho: b1b2= ac Trong thực hành ta làm như sau: Bước 1: Tìm tích ac Bước 2: Phân tích a.c ra thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách. Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b. Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x2-4x-3 (a=4,b=-4,c=-3). Ta có: ac= 4.(-3)=-12 -12=-6.2=-4.3=2.(-6)=4.(-3)=1.(-12)=-12.1 Vì -6+2= -4 =b nên ta có thể làm như sau: Cách 1: 4x2-4x-3 = 4x2-6x+2x-3 = (4x2-6x)+(2x-3) = 2x(2x-3)+(2x-3) = (2x-3)(2x+1) Cách 2: Tách số hạng thứ 3: 4x2-4x-3 =4x2-4x+1-4 = (4x2-4x+1)-4 = (2x-1)2-22 = (2x-1-2)(2x-1+2) =(2x-3)(2x+1) Qua hai ví dụ trên ta thấy việc tách một số hạng thành nhiếu số hạng khác thường nhằm mục đích: + Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ nhờ đó mà xuất hiện thừa số chung (cách 1). + Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương (cách 2) Với các đa thức có bậc từ 3 trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ người ta thường dùng cách làm xuất hiện nghiệm của đa thức. Ta nhắc lại khái niệm nghiệm của đa thức: Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a)=0. Như vậy nếu đa thức f(x) có nghiệm x-a thì nó chứa thừa số x-a. Giả sử đa thức: a0xn+a1xn-1+...+an với a0,a1,...,an-1,an ẻ Z có nghiệm x= a (a ẻ Z) => a0xn+a1xn-1+...+an =(x-a)(b0xn+b1xn-1+...+bn –1) trong đó b0,b1,...,bn-1,bn ẻ Z. Số hạng có bậc thấp nhất của tích ở vế phải bằng-abn-1. Số hạng có bậc thấp nhất ở vế phải bằng an -abn-1= an tức là a là ước của an. Vậy đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ước của hạng tử tự do an. Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử. x3-x2-4. Lần lượt kiểm tra với x=±1,x=±2,x=±4 ta thấy f(2)=23-22-4=0 đa thức có nghiệm x= 2 do đó chứa thừa số (x-2) Cách 1: x3-x2-4 =x3-2x2+x2-2x+2x-4 = (x3-2x2)+(x2-2x)+(2x-4) =x2(x-2)+x(x-2)+2(x-2) = (x-2)(x2+x+2) Cách 2: x3-x2-4 =x3-8-x2+4 = (x3-8)-(x2-4) =(x-2)(x2+2x+4)-(x-2)(x+2) = (x-2)(x2+2x+4-x-2) =(x-2)(x2+x+2) Chú ý: Khi xét nghiệm nguyên của đa thức nên nhớ 2 định lý sau: *ĐL1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa thừa số x-1. Ví dụ; x3-5x2+8x-4 x-1 -x3-x2 x2-4x+4 - 4x2+8x-4 - 4x2+4x 4x-4 4x-4 0 Vậy x3-5x2+8x-4 = (x-1)(x2-4x+4) = (x-1)(x-2)2 */ĐL2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức. đa thức chứa thừa số x+1 Ví dụ: x3-5x2+3x+9 Ta có 9-5=1+3 -1 là nghiệm của đa thức, đa thức chứa thừa số x+1 x3-5x2+3x+9 x+1 -x3+ x2 x2-6x+9 -6x2+3x+9 --6 x2-6x 9x+9 -9x+9 0 Vậy x3-5x2+3x+9 =(x+1)(x2-6x+9) =(x+1)(x-3)2 Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự do không là nghiệm của đa thức, có thể dùng nhận xét sau: Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(-1)ạ 0 thì: f(1):(a-1) và f(-1): (a+1) đều là số nguyên. Ví dụ: f(x)=4x3-13x2+9x-18 Ư(18)=±1,±2,±3,±6,±9,±18 f(1)=4-13+9-18=-18 ạ 0 f(-1)=-4-13-9-18=-44 ạ 0 ±1 không phải là nghiệm của f(x) Dễ thấy: a 2 -2 3 -3 6 -6 9 -9 18 -18 -18 6 -9 -44 11 Ta có: : Nên: -3;±6;±9;±18 không là nghiệm của f(x) 2 không phải là nghiệm của f(x) Nếu phương trình có nghiệm nguyên chỉ có thể là 3 hoặc -2. NHẩm ta thấy x= 3 là nghiệm của f(x). 4x3-13x2+9x-18 = 4x3-12x2-x2+3x+6x-18 = (4x3-12x2)-(x2-3x)+(6x-18) = 4x2(x-3)-x(x-3)+6(x-3) = (x-3)(4x2-x+6) Các bài toán luyện Tập. Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (Đa thức đã cho có nhiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ) II/ phương pháp thêm và bớt cùng một số hạng làm xuất hiện hai bình phương hoặc xuất hiện nhân tử chung. Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x4+81 4x4+81 =4x4+36x2+81-36x2 = (4x4+36x2+81)-(6x)2 =(2x2+9)2-(6x)2 = (2x2+9-6x)(2x2+9+6x) Ví dụ2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x7+x2+1 x7+x2+1 =x7-x+x2+x+1 =(x7-x)+(x2+x+1) =x(x6-1)+(x2+x+1) =x(x3-1)(x3+1)+(x2+x+1) =x(x-1)(x3+1)(x2+x+1)+(x2+x+1) =(x2+x+1)[x(x-1)(x3+1)+1] =(x2+x+1)(x5-x4+x2-x+1) Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+1+xm +1 đều chứa thừa số (x2+x+1) Các bài toán Bài 1: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử: Bài 2: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử: III/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đổi biến( đặt nhân tử phụ). Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:x(x+4)(x+6)(x+10)+128 x(x+4)(x+6)(x+10)+128 = (x2+10x)(x2+10x+24)+128 Đặt x2+10x+12= y Đa thức có dạng (y-12)(y+12)+128= y2-16 = (y+4)(y-4) x(x+4)(x+6)(x+10)+128 = (x2+10x+16)(x2+10x+8) =(x+2)(x+8)(x2+10x+8) Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc 4 đối với x thành đa thức bậc 2 đối với y. Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: A= x4+6x3+7x2-6x+1 A= x4-6x3-2x2+9x2-6x+1 = x4+(6x3-2x2)+(9x2-6x+1) A= x4+2x2(3x-1)+(3x-1)2 = (x2+3x-1)2. Các bài toán Bài 1:Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử Bài 2: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử IV/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định: Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4-6x3+12x2-14x+3 Thử: x= ±1; ±3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Đa thức trên phân tích được thành thừa số thì phải có dạng: (x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd =x4 -6x3 +12x2 -14x+3 * bd=3 mà b,d ẻZ => b ẻ - Với b=3 => d=1 Vậy: => x4-6x3+12x2-14x+3 = (x2-2x+3)(x2-4x+1) Các bài toán Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. V/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp xét giá trị riêng: Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: P= x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y) Thay x= y => P = 0 nên x= y là nghiệm của đa thức P đối với biện x nên P chia hết cho x - y hay P chứa thừa số x- y. Tương tự: P chứa thừa số y-z, z-x. P có dạng K(x-y)(y-z)(z-x) Nhận thấy K phải là hằng số (không chứa biến) vì P có bậc ba đối với tập hợp các biến x,y,z còn (x-y)(y-z)(z-x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x,y,z. Ví đẳng thức x2(y-x)+y2(z-x)+z2(x-y)=K(x-y)(y-z)(z-x) nên ta gán cho các biến x,y,z các giá trị riêng chẳng hạn x=2,y=1,z=0 ta được: 4.1+1.(-2)+0=K.1.1.(-2) -2K= 2K= -1. Vậy P=-(x-y)(y-z)(z-x) hay P=(x-y)(y-z)(x-z). Các bài toán Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a/b/ , với 2m = a+ b + c. VI/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp giảm dần số mũ của luỹ thừa: Phương pháp này chỉ sử dụng được cho một số đa thức đặc biêt. Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: Ta có: Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: Ta có: Ta có: Nên suy ra: Chương III. Các bài tập về tìm nghiệm của đa thức: Ví dụ 1: Tìm các nghiệm nguyên của đa thức: f(x)=2x4+7x3-2x2-13x+ 6 rồi phân tích đa thức thành nhân tử. Hạng tử tự do bằng 6; Ư(6)=+ ±1; ±2; ±3; ±6. Có:f(-1)=2-7-2+13+6=12 ạ 0 nên -1 không phải là nghiệm của đa thức này. f(-2)=32-56-8+26+6=0 => -2 là nghiệm của đa thức này. f(-3)=162-189-18+39+6=0 nên -3 là nghiệm của đa thức này. f(1)=2+7-2-13+6=0 nên 1 là nghiệm của đa thức này. f(2)=32+56-8-26+6=60 ạ 0 nên 2 không phải là nghiệm của đa thức này. f(3)=162+189-18-39+6=300 ạ 0 nên 3 không phải là nghiệm của đa thức này. Đa thức có một nghiệm hữu tỷ nữa thì mẫu số của nó phải là ước của 2, Do đó có thể 1,2,-1,-2 sẽ là mẫu số của nghiệm này. Nên có thể là nghiệm của đa thức này. Suy ra là nghiệm của đa thức này. Vì đa thức f(x) có bậc 4 nên nó có tối đa 4 nghiệm, suy ra các nghiệm của nó lần lượt là: 1;-2;-3;. *Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hết cho x-2;x+2;x+3;x-. => f(x)= 2(x-1)(x+2)(x+3)(x-) Ví dụ 2: Tìm nghiệm của đa thức rồi phân tích đa thức thành nhân tử: f(x)=x3-6x2+11x-6 Hạng tử tự do:6 Ư(6)= ±1; ±2 ;+-3 ; ±6. f(1)=1-6+11-6=0 => 1 là nghiệm của f(x) f(2)=8-24+22-6=0 => 2 là nghiệm của f(x) f(3)=27-54+33-6=0 => 3 là nghiệm của f(x) Vì đa thức f(x) có bậc là 3 nên nó có tối đa 3 nghiệm, suy ra các nghiệm của nó là 1,2,3. Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hết cho x-1;x-2;x-3. f(x)=x3-6x2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3). Chương IV: Các bài tập về phép chia hết và phép chia có dư của đa thức: Ví dụ 1: Xác định số a sao cho x3-3x+a chia hết cho (x-1)2 Cách 1: Đặt phép chia, cho số dư bằng 0. x3 -3x+a x2-2x+1 x3-2x2+x x+2 2x2- 4x+a 2x2-4x+ 2 a-2 Vì phép chia là phép chia hết nên a-2=0 a=2. Cách 2: Dùng phương pháp hệ số bất định: Nếu đa thức x3-3x+a chia hết cho đa thức x2-2x+1 thì thương là nhị thức bậc nhất có hạng tử bậc cao nhất là x3:x2= x Hạng tử bậc thấp nhất là a:1= a Như vậy x3-3x+a đồng nhất với ( x2-2x+1)(x+a) tức là đồng nhất với x3+(a-2)x2+(1-2a)x+a. Do đó các hệ số tương ứng phải bằng nhau tức là: Cách 3: Phương pháp giá trị riêng: Gọi thương của phép chia là Q(x) ta có: x3-3x+a=(x-1)2.Q(x) với " ẻR. Với x=1 thì 1-3.1+a=0.Q(1) hay – 2+ a= 0 tức là a= 2. Thử lại (x3-3x+2): (x2-2x+1)=x+2 Ví dụ 2: Tìm các giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức 2n2+3n+3 chia hết cho giá trị của biểu thức (2n-1). Đặt phép chia: 2n2+3n+3 2n+1 2n2-n n+2 4n+3 4n-2 5 Đa thức 2n2+3n+3 không chia hết cho đa thức(2n-1) nhưng có những giá trị nguyên của n để giá trị của 2n2+3n+3 chia hết cho giá trị của 2n-1. Vậy (2n-1) phải là Ư(5)= ±1; ±5. 2n-1=1 2n-1=-1 2n-1=5 2n-1=-5 n=1 n=0 n=3 n= -2 Vậy với n=-2;0;1;3 thì giá trị của biểu thức 2n2+3n+3 chia hết cho giá trị của biểu thức (2n-1). Chương V: bài tập tự luyện. 1/ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a/ b/ c/ d/ e/ f f/ g/ h/ k/ m/ n/ p/ q/ r/ u/ v/ s/ z/ l/ j/ 1/2(x2+y2)-2x2y2 i/ (2x-3)2-(x+5)2 o/ x2+5x+6 2/ Tìm điều kiện của hệ số để đa thức A chia hết cho đa thức B. a/ b/ c/