Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử dạng xm + xn + 1

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ DẠNG xm + xn + 1 (m, n N; m > n) --------------------------- I. LÝ DO: Qua nhiều năm giảng dạy toán 8, 9 cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi ở hai khối lớp này bản thân tôi nhận thấy khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử ở những dạng phải dùng những phương pháp : Đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức, nhóm hạng tử thì học sinh làm được nhưng cũng gặp không ít khó khăn, những dạng này cũng còn đỡ hơn khi gặp dạng mà phải thêm bớt hạng tử nhưng không chung nhất chẳng hạng dạng với m, n; thì đa số học sinh gặp khó khăn vì không biết phải thêm bớt thế nào cho phù hợp để có thể giải quyết được. Chính vì lí do đó mà bản thân không ngừng tìm tòi học hỏi ở đồng nghiệp cũng như tham khảo thêm rất nhiều ở các loại sách nhằm giải quyết phần nào cho học sinh giúp các em học tốt hơn. Sau đây tôi xin trình bày lại kinh nghiệm của mình để chúng ta cùng tham khảo cũng như góp ý thêm để sáng kiến này được hoàn thiện hơn. II. NHỮNG ĐỀ TOÁN VÀ BÀI GIẢI: Bài toán 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: * Học sinh lớp 8 giải: Ta có: * Học sinh lớp 9 giải: Ta có: Bài toán 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: * Học sinh lớp 8 giải: Ta có: * Học sinh lớp 9 giải: Ta có: NHẬN XÉT: Bài toán dạng trên có và m, n là số chẵn nên có thể thêm bớt xn để đưa đa thức về dạng hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương. Nếu bài toán vẫn có ( là số chẵn ) nhưng n là số lẻ thì ta phải làm sao ? Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :(Đề thi học sinh giỏi toàn quốc năm 1981) Đối với bài này ta không thể sử dụng cách trên để giải vì nếu giải thì mũ n sẽ là phân số rất phức tạp chẳng hạn: B. NHỮNG BÀI TOÁN DẠNG KHÁC: () Bài toán 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Bài giải: Ta có: ( thêm bout x3 ) Bài toán 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Bài giải: Ta có: ( Thêm bớt x2 ) Bài toán 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Bài giải: Ta có: ( Thêm bớt x2, x ) Bài toán 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Bài giải: Ta có: ( Thêm bớt x2,x ) NHẬN XÉT: Qua các bài toán trên ta thấy việc thêm bớt hạng tử tuỳ thuộc vào từng bài toán thiếu sự trung nhất. III. CÁCH GIẢI ĐỀ NGHỊ: Cách giải chung cho dạng này là thêm bớt hạng tử chứa số mũ chưa có ở đề bài. Trong phần giải này chú ý tổng số số hạng tử sau khi đã thêm bớt phải là bội của 3. Chẳng hạn ta giải lại các bài toán trên theo cách đề nghị: Bài toán 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Nhận xét: Khi thêm bớt hạng tử theo cách đề nghị ta có: = Chỉ có 7 hạng tử không phải là bộ của 3 do đó để giải được ta phải thêm bớt hạng tử giữa x2 một lần nữa cụ thể là: Bài giải: Bài toán 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Bài giải: Biểu thức sau tiếp tục thêm bớt hạng tử x4, x2 rồi giải tiếp cuối cùng là được kết quả: Bài toán 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Bài giải: Ta có: Bài toán 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Bài giải: Ta có: Bài toán 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Bài giải: Ta có: Đa thức không phân tích được nữa Bài toán 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Bài giải: Ta có: IV. TỔNG QUÁT VÀ MỞ RỘNG: Bài toán: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Bài giải: Để giải bài toán này ta phải thêm bớt x5 để có tổng số hạng tử là 21 bội của 3 thì mới phân tích được. Với bài toán 3 và bài toán 6 có thể cho chúng ta thực hiện cách giải trên với bài toán phân tích đa thức thành nhân tử dạng . Tuy nhiên dạng ta thấy có thể khả thi còn các dạng khác như : hoặc hoặc tuỳ thuộc vào đề bài có thể phân tích được nghĩa là đề cho là bài toán giải được. Sau đây là một số bài toán có thể phân tích được: a. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Ta có: b. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Ta có: c. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Ta có: d. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Sau đây là những bài toán không phân tích được: IV. KẾT LUẬN: Với m, n ta có thể phân tích đa thức dạng bằng hai cách: Cách 1. Nếu m = 2n, n là số chẵn ta có thể thêm bớt hạng tử xn để đưa về dạng hiệu của hai bình phương. Cách 2. Nếu m > n tuỳ ý thì có thể thêm bớt hạng tử chứa số mũ nhỏ hơn m hoặc n còn trống trong đề ( ở đây m = n+1 hoặc n = 1 ) Còn với dạng toán hoặc dạng hoặc dạng phải là bài toán giải được mới có thể thực hiện được phép phân tích. Đương nhiên nếu đề toán là đề bài cho thi thì chắc chắn phải phân tích được.