Chuyên đề Phép nhân và phép chia đa thức (Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán)

Tiết 1-2-3-4 Chuyên đề 1: phép nhân và phép chia đa thức Dạng tổng quát: Phép nhân đơn thức với đa thức,đa thức với da thức: A(B+C) = A.B +A.C ( A + B)( C+ D ) = A . C + A . D + B . C + B . D Các bài toán vận dụng: Bài toán 1: Cho biểu thức: M = - Bằng cách đặt ,, hãy rút gọn biểu thức M theo và Tính giá trị của biểu thức M. Giải: a) M = b) M = Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức: A= với x= 4 Giải: Cách 1. Thay , ta có A = 4-5.4+5.4-5.4+5.4-1 = 4-(4+1).4+(4+1).4-(4+1)4+ (4+1).4-1 = 4-1 = 3 Cách 2: Thay 5 bởi , ta có: A = = + = = 3. Nhận xét: Khi tính giá trị của biểu thức, ta thường thay chữ bằng số.Nhưng ở ví dụ 1 và ở cách 2 của ví dụ 2, ta lại thay số bằng chữ. Bài toán 3: Chứng minh hằng đẳng thức biết rằng Giải: Biến đổi vế trái ta được: Thay bởi được vế trái bằng , bằng vế phải. bài tập: Bài tập 1: Rút gọn bểu thức Với . Bài tập 2: a)Chứng minh rằng chia hết cho 7 b) Viết 7.32 thành tổng của ba luỹ thừa cơ số 2 với các số mũ là ba số tự nhiên liên tiếp Bài tập 3: Tính Bài tập 4: Chứng minh hằng đẳng thức: ( Bài tập 5: Rút gọn biểu thức biểu rằng Tiết 5-6-7-8 Chuyên đề 2: các hằng đẳng thức đáng nhớ Ngoài bảy hằng đẳng thức quen thộc,h/s cần biết đến các hằng đẳng thức mở rộng. từ đẳng thức (1) ta suy ra: Mở rộng: Tổng quát: Các ví dụ : Ví dụ 1: Cho x+y=9 ; xy=14. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) x-y ; b) x+y; c)x+y. Giải a) (x-y)=x-2xy+y=x+2xy+y-4xy=(x+y)-4xy=9-4.14=25=5 suy ra x-y = 5 b) (x+y)=x+y+2xy suy ra x+y=(x+y)-2xy = 9-2.14 = 53 c) (x+y)= x+y+3xy+3xy= x+y+3xy(x+y) suy ra x+y=(x+y)-3xy(x+y) =9-3.14.9 = 351 Nhận xét: Hai số có bình phương bằng nhau thì chúng đối nhau hoặc bằng nhau.Ngược lại , hai số đối nhau hoặc bằng nhau có bình phương bằng nhau. ( A – B)= ( B – A ) Để tiện sử dụng ta còn viết: ( A + B) = A+ B+ 3AB(A+B) ( A – B) = A- B - 3AB(A-B ) Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = (x + 3y – 5)- 6xy + 26 Giải : A = x+ 9y+ 25 + 6xy – 10x -30y – 6xy + 26 = ( x- 10x + 25) + ( 9y - 30y + 25 ) + 1 = ( x -5)+ ( 3y-5)+ 1 Vì (x-5) 0 (dấu “ =” xảy ra x=5 ); (3y-5) 0 (dấu “=” xảy ra y= ) nên A 1.Do đó GTNN của a =1 (khi và chỉ khi x=5 ; y). Ta viết min A = 1. Nhận xét : Các hằng đẳng thức được vận dụng theo hai chiều ngược nhau. Chẳng hạn: (A – B )= A - 2AB + B hoặc ngược lại 2. Bình phương của mọi số đều không âm : ( A – B )0 (dấu “ =” xảy ra A = B). Ví dụ 4: Cho đa thức 2x- 5x +3.Viết đa thức trên dưới dạng một đa thức của biến y trong đó y =x+ 1. Giải: thay x bởi y-1, ta được : 1x- 5x +3 = 2( y – 1)- 5( y-1 ) + 3 = 2 ( y- 2y + 1) – 5y + 3 + 5 = 2y- 9y + 10 Ví dụ 5: Số nào lớn hơn trong hai số A và B ? A = (2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1) B = 2. Giải: Nhân hai vế của A với 2-1, ta được : A = (2-1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1). áp dụng hằng đẳng thức (a+b)(a-b) = a- b nhiều lần, ta được: A = 2-1. Vậy A < B. Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức : A = (a + b + c) + (a - b – c) -6a(b + c). Giải : A = [a + (b + c)] + [a – (b + c)]- 6a(b + c ) = a+ 3a(b + c) + 3a(b + c)+ (b + c) + a-3a(b + c) + + a- 3a(b + c) + 3a(b + c)- (b + c) - 6a(b + c)= 2a Bài tập vận dụng: A – Các hằng đẳng thức (1),(2),(3),(4) Bài 6: Tính nhamh kết quả các biểu thức sau: 127+146.127 + 73 ; 9.2 - (18 - 1)(18+ 1) ; 100 - 99+ 98- ..... + 2- 1 (20+18+...+4+2) – (19+17+...+3+1) ; Bài 7 : Tính giá trị của biểu thức bằng cách hợp lí : a) A = ; b) B = 263+ 74.263 + 37 ; C = 136-92.136 + 46; D = (50+ 48+..........+2) – (49+47+...........+3+ 1) Bài 8 : Cho a+ b+ c= ab + bc + ca . Chưng minh rằng a = b = c . Bài 9 : Tìm x và tìm n N biết x+ 2x + 4- 2+2 = 0. B – Các hằng đẳng thức (5), (6), (7) : Bài 10 : Rút gọn các biểu thức : x(x-1)(x+1) – (x+1)(x2-x+1) ; 3x2(x+1)(x-1) – (x2-1)(x4+x2+1)+(x2-1)3; (a+b+c)3+((a-b-c)3+(b-c-a)3+(c-a-b)3 ; Bài 11 : Tìm x biết : 6(x+1)2-2(x+1)3+2(x-1)(x2+x+1) = 0 Bài 12 : Chứng minh các hằng đẳng thức : (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a). Bài 13 : Cho a+b+c+d = 0 . Chứng minh rằng : a3+b3+c3+d3 = 3(ab – cd)(c +d) . Bài 14 : Cho a+b = 1 .Tính giá trị của M = 2(a3+b3) – 3(a2 +b2) . Tiết 9-10-11-12 Chuyên đề 3: Tứ Giác – hình Thang – Hình thang cân *) Khái niệm chung về tứ giác: +) Định nghĩa : Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. A, B, C, D là các đỉnh ; AB, BC, CD, DA là các cạnh. Ta chỉ xét tứ giác đơn trong đó các cạnh chỉ có thể cắt nhau tại các đỉnh. Trong tứ giác đơn ABCD, ta phân biệt : hai đỉnh kề nhau (cùng nằm trên một cạnh ) với hai đỉnh đối nhau(không kề nhau(xuất phat từ một đỉnh) với hai cạnh đối (không kề nhau). Đường chéo của tứ giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau. Trong tập hợp , các điểm của mặt phẳng chứa một tứ giác đơn, ta phân biệt điểm thuộc tứ giác, điẻm trong tứ giác, điểm ngoài tứ giác. b) ABCD là tứ giác lồi ABCD luôn thuộc nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của nó. Tứ giác (đơn) không lồi là tứ giác lõm. Trong hình, ABCD là tứ giác lồi Định lí: Tổng các gọc trong tứ giác bằng 3600 . *) Tìm hiểu sâu về tứ giác giác lồi: Định lí : Trong một tứ giác lồi , hai đường chéo cắt nhau. Đảo lại, nếu một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau thì đó là một tứ giác lồi. ABCD lồi ABCD có hai đường chéo cắt nhau. Để chứng minh định lí, cần nhớ lại mấy định lí sau đây: Tia Oz nằm trong gọc xOy tia Oz cắt đoạn thẳng MN, với MOz, NOy Néu tia Oz nằm trong xOy thì Oz và Oy nằm trong nửa mặt phẳng bờ chứa Oy; Oz và O x nằm trong nửa mặt phẳng bờ chứa Oy. Cho tam giác ABC Các trung tuyến xuất phát từ các điểm A và C cắt nhau tại điểm M. Tứ giác ABCM là lồi hay không lồi? Vì sao? M là một điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( không thẳng hàng với hai đỉnh nào của tam giác). Với vị trí nào của điểm M thì ABCM là tứ giác lồi? M và N là hai điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( và không thẳng hàng với đỉnh nào của tam giác). Chứng minh rằng trong năm điểm A, B, M, N, C bao giờ cũng chọn ra được bốn điểm là đỉnh của một tứ giác lồi. Giải a) ABCM không lồi (lõm), vì B và C nằm ở hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa AM (h .2a) b) Kết quả ở câu a/ cũng đúng khi M là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác ABC. Nếu M thuộc miền ngoài của ABC thì có hai trường hợp : - M ở trong góc đối đỉnh của một góc của tam giác. trong h .2b, M ở trong góc đối đỉnh của góc B . Dễ thấy rằng lúc đó đỉng B lại là điểm thuộc miền trong của tam giác MAC, do đó AMCB không lồi(lõm). - M ở trong một góc của tam giác. trong hình 2b, M’ nằm trong góc A. Do đó AM’ là tia trong của góc A, mà A và M’ nằm ở hai phía của cạnh BC, cho nên đoạn Am’ cắt đoạn thẳng BC và ABM’C là tứ giác lồi. Tóm lại, trong h .2b, các miền được gạch chéo là tập hợp các điểm M mà MABC là tứ giác lõm. Các miền khác (để trắng ) là tập hợp các điểm M mà M, A, B, C là các đỉnh của tứ giác lồi. c) Đường thẳng đi qua hai điểm M và N bao giờ cũng không cắt một cạnh của tam giác ABC. Trong h .2c, đường thẳng MN không cắt AC. Tứ giác MNCA là tứ giác lồi(điểm N thuộc miền ngoài của tam giác MAC và nằm trong góc MAC). H .2a các ví dụ : Ví dụ 1: Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi tổng độ dài các cạnh(chu vi) lớn hơn tổng độ dài các đường chéo và nhỏ hơn hai lần tổng độ dài các đường chéo. *) Nhận xét : Đây là bài toán về chứng minh bất đẳng thức về các độ dài. nên kẻ thêm các đường phụ, xét các tam giác để áp dụng mệnh đề :” Trong một tam giác, toỏng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba”. Giải Cho tứ giác ABCD(h. 7). Ta phải chứng minh : AC + BD < AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) 1) Chứng minh AC + BD < AB + BC + CD + DA Ta có : AC < AB +BC (bất đẳng thức trong ABC) AC < AD + DC (bất đẳng thức trong ADC) BD < BC + CD (bất đẳng thức trongBCD) BD < BA + AD (bất đẳng thức trong BAD) Từ đó : 2( AC + BD) < 2(AB +BC + CD + DA) AC + BD < AB + BC + CD + DA 2) Chứng minh AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD). Trong tam giác ABO và CDO, ta có : AB < BO + OA (1) CD < CO + OD (2) Cộng (1) và (2) ta có : AB + CD < BO + OD + CO + OA AB + CD < BD + AC (3) Tương tự, trong tam giác BCO và ADO, ta có : AD + BC < BD + AC (4) Từ (3) và (4) ta được : AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD). (đpcm) *) Nhận xét: 1) Từ mỗi bất đẳng thức (3) và (4) ta thấy vế trái là tổng của hai cạnh của tứ giác, còn vế phải là tổng của hai đường chéo. Vậy có thể phát biểu mệnh đề : “ Trong một tứ giác giác lồi, tổng của hai cạnh đối nhỏ hơn tổng của hai đường chéo”. 2) Nếu tứ giác ABCD không lồi, thì hai bất đẳng thức trong bài 7 có còn đúng không ? vì sao? Ví dụ 2: Cho một tứ giác lồi ABCD, Tronh đó AB + BD không lớn hơn AC + CD. Chứng minh rằng : AB < AC. Giải Gọi giao điểm của AC và BD là O Trong tam giác AOB, ta có : AB < AO + OB (1) Trong tam giác COD, ta có : CD < CO + OD (2) Từ (1) và (2) ta có : AB + CD < BO + OD + CO + OA AB + CD < AC + BD (3) Theo giả thiết : AB + BD AC + CD (4) Từ (3) và (4) suy ra AB < AC.(đpcm) Ví dụ 3 : Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi P và Q là trung điểm của hai cạnh AD và BC. Chứng minh rằng : PQ Gợi ý : ở đây có bất đẳng thức giữa độ dài các đoạn thẳng , nên kẻ đường phụ để có các hình tam giác, lại có trung điểm của các cạnh, nên nhgĩ đến việc áp dụng định lí về đường trung bình trong tam giác. Giải GT Tứ giác ABCD PA = PD, QB = QC KL PQ Cm: Ta kẻ thêm đường chéo AC và lấy trung điểm F của AC. Trong tam giác ACD, PF là đường trung bình, do đó : PF = Trong tam giác ACD, PF là đường trung bình. do đó : QF = Nếu P,Q và F không thẳng hàng thì trong tam giác PQF ta có: PQ < PF + QF = Nếu P, Q, và F thẳng hàng thì F là điểm nằm giữa của hai đoạn thẳng PQ và ta có : PQ = PF + QF = Như vậy trong mọi trường hợp, ta có : PQ . ( đpcm) Nhận xét : Có thể thấy ngay rằng : P, Q, F thẳng hàng AB//CD. Do đó ta chứng minh được rằng : PQ . Trong đó dấu = xảy ra khi và chỉ khi AB//CD. Như vậy, qua việc giải bài toán trên, ta chứng minh cùng một lúc hai định lí: Nếu ABCD là hình thang (AB//CD) thì PQ = (2) Nếu ABCD không là hình thang (AB//CD) thì PQ và PQ < Các bài tập : Bài tập 1: Cho A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ giác lồi,E là một điểm thuộc miền trong của ttam giác OCD, với O là giao điểm của hai đoạn thẳng AC và BD. Chỉ ra tứ giác lồi nhận bốn trong năm điểm A, B, C, D, E. Bài tập 2: Chứng minh rằng từ năm điểm bất kì trong mặt phẳng(không có ba điểm nào thẳng hàng) Bao giờ cũng chọn được bốn điểm là các đỉnh của một tứ giác lồi. Bài tập 3: Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi có các góc không bằng nhau thì có ít nhất một góc tù. Bài tập 4: Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài gặp nhau tại E, hai cạnh AB và CD kéo dài gặp nhau tại M. Kẻ hai phân giác của hai góc CED và BMC cắt nhau tại K. tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác ABCD. *) hình thang – hình thang cân: Hình thang: -) Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song. AB//CD ABCD là hình thang hoặc (AB//CD,AD//BC) AD//BC Trong hình thang, hai cạnh song song là hai cạnh đáy; hai cạnh kia là hai cạnh bên, đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên gọi là đường trung bình 2. Định lí (về đường trung bình) AB//CD PQ//AB và PQ = hình thang cân Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai gọc ở đáy bằng nhau. Tính chất: Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau. Hình thang ABCD (AB//CD) : BC= AD Định lí 2 : Trong hình thang cân hai đường chéo bằng nhau. Hình thang ABCD(AB//CD) : AC = BD Định lí 3 :(đảo của định lí 2) Nếu hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân: Để chứng minh hình thang là cân, ta có thể chứng minh hình thang đó có một trong các tính chất sau : Hai gọc ở đáy bằng nhau(định nghĩa). Hai đường chéo bằng nhau. Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Lấy các điểm E, K lần lượt trên các tia AB và AC sao cho : AE + AK = AB + AC Chứng minh rằng : BC < EK. Giải : Lấy trên AB một điểm L sao cho AL = AK Lấy trên AC một điểm D sao cho AD = AE Rõ ràng các tam giác ALK và AED là những tam giác cân có chung góc ở đỉnh A nên các góc đáy của chúng bằng nhau. Suy ra LK// ED, do đó DELK là hình thang cân, có các đường chéo bằng nhau. DL = EK (1) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo DL và EK, ta xét tổng : EK + DL = (EO + OK) + (DO + OL) = (EO + OD) + (OK + OL) Từ (1) và đẳng thức cuối cùng này, ta có : 2 EK = (EO + OD) + (OK + OL) (2) Nhưng trong tam giác OKL, ta có : OK + OL > LK (3) Trong DEO : EO + OD > ED (4) Từ (2), (3) và (4) : 2EK > LK + ED (5) Từ giả thiết AE + AK = AB + AC Suy ra BE = CK Mặt khác dễ thấy BCDE là hình thang cân nên BE = CK Vậy DC = CK. Tương tự, ta cũng chứng minh được B là trung điểm của EL. Từ đó, BC ;là đường trung bình của hình thang DELK, suy ra : LK + ED = 2BC (6) Từ (5) và (6), ta có : EK > BC ( đ p c m). Ví dụ 5 : Cho hình thang ABCD (AB//CD) có hai đường chéo vuông góc. Biết đường cao AH = h, Tính tổng hai đáy. Giải : Vẽ AE// BD (ECD). Vì AC BD (gt) nên ACAE (quan hệ giữa tính song song và vuông góc). Ta có AE = BD ; AB = DE (tính chất đoạn chắn) AC = BD (tính chất đường chéo hình thang cân)Suy ra AC = AE ; AEC vuông cân tại A ; đường cao AH cũng là trung tuyến, do đó AH = hay AB + CD =2h. Nhận xét: Khi giải toán về hình thang, đặc biệt là hình thang cân, nếu cần vẽ đường phụ ta có thể : Từ một đỉng vẽ đường thẳng song song với một đường chéo (như ví dụ trên). Từ một đỉnh vẽ một đường thẳng song song với một cạnh bên. Từ một đỉnh vẽ thêm một đường cao. Ví dụ 6 : Cho tứ giác ABCD có AD = AB = BC và . Chứng minh rằng a) Tia DB là tia phân giác của góc D. Tứ giác ABCD là hình thang cân. Giải : Vẽ BHCD, BKAD. Ta có (cùng bù với ) do đó BHC = BKA(cạnh huyền, góc nhọn), suy ra BH = BK. Vậy DB là tia phân giác của góc D. Góc là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác cân ADB nên (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau). Vậy tứ giác ABCD là hình thang. Hình thang này có (vì cùng bằng) nên là hình thang cân. Nhận xét : Để chứng minh tứ giác là hình thang cân, trước tiên phải chứng minh tứ giác đó là hình thang, sau đó chứng minh hai góc kề một đáy bằng nhau(theo định nghĩa) hoặc hai đường chéo bằng nhau. Trong ví dụ trên, sau khi chứng minh được AB//CD cần tránh sai lầm cho rằng vì AD = BC (gt) nên ABCD là hình thang cân, sai lầm ở chỗ hình thang có hai cạnh bằng nhau chưa chắc đã là hình thang cân. Các bài tập vận dụnG Bài tập 5: Cho tứ giác lồi ABCD trong đó AD = DC và đường chéo AC là phân giác của góc DAB. Chứng minh rằng ABCD là hình thang. Bài tập 6 : Chứng minh rằng trong một hình thang đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên kia. Bài tập 7: Cho tứ giác ABCD trong đó CD> AB . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BD và AC . Chứng minh rằng nếu E F = thì tứ giác ABCD là hình thang. Bài tập 8: Cho tam giác ABC trong đó AB > AC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A và M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. Chứng minh rằng tứ giác MNHP là hình thang cân. Bài tập 9: Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Lấy các điểm E, K lần lượt trên các tia AB và AC sao cho : AE + AK = AB +AC Chứng minh rằng : BC < EK . Tiết 13 =>18 Chuyên đề 5 (6tiết): Đường trung bình của tam giác, của hình thang *) Kiến thức cơ bản : 1. a) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. b) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai. 2. a) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. (h.8) b) Đường trung bình của hình thang là đoạn nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.(h.9) h.8 h.9 3.a) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đấy. b) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy. Bổ sung : Trong hình thang có hai cạnh bên không song song, đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo thì song song với hai đáy và bằng nửa hiệu hai đáy. Trong h.10 : MN // AB // CD . Các ví dụ minh họa *) Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng nếu thì tứ giác ABCD là hình thang. Giải : Gọi O là trung điểm của BD. Các đoạn thẳng OM, ON lần lượt là đường trung bình của và nên và OM // AB ; (1) ON = và ON // CD ; (2) Suy ra O nằm giữa M và N. Vậy ba điểm M, O, N thẳng hàng (3). Từ (1), (2), (3) suy ra AB // CD do đó tứ giác ABCD là hình thang. +) Nhận xét : Trong giả thiết của bài toán có trung điểm hai cạnh đối của tứ giác, nối hai điểm này ta chưa được đường trung bình của tam giác nào cả. Vì thế ta đã vẽ thêm trung điểm của đường chéo BD ( hoặc AC ) và vận dụng được định lí đường trung bình của tam giác để chứng minh. Việc vẽ thêm trung điểm của một đoạn thẳng để vận dụng đường trung bình của tam giác là việc vẽ đường phụ thường gặp khi giải bài toán hình học. *) Ví dụ 2 : Cho hình thang ABCD ( đáy AB nhỏ hơn đáy CD ). Tìm điều kiện của hình thang này để hai đường chéo của nó chia đường trung bình thành ba phần bằng nhau. Giải : Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC ; MN cắt BD tại P, cắt AC tại Q ; MN là đường trung bình của hình thang nên MN // AB // CD. Xét có MA = MD ; MP // AB nên PB = PD Xét có MA = MD ; MQ // CD nên QA = QC. MP và NQ lần lượt là đường trung bình của và nên . PQ là đoạn nối trung điểm hai đường chéo của hình thang ABCD nên . Ta có : MP = +Q = QN +) Nhận xét : Nếu không có điều kiện đáy AB nhỏ hơn đáy CD thì khi AB = 2.CD , chứng minh tương tự như trên ta vẫn có hai đường chéo chia đường trung bình thành ba phần bằng nhau. Tóm lại, nếu hình thang có một đáy gấp đôi đáy kia thì hai đường chéo của nó chia đường trung bình làm ba phần bằng nhau. *) Ví dụ 3 : Từ ba đỉnh của một tam giác, hạ các đường vuông góc xuống một đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác đó. Chứng minh rằng tổng độ dài ba đường vuông góc đó gấp ba lần độ dài đoạn thẳng vuông góc hạ từ trọng tâm tam giác xuống đường thẳng d. Giải : Giả sử có ba đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại O; các đoạn thẳng AG, BH, OI, CK đều vuông góc với đường thẳng d. Ta phải chứng minh: AG + BH + CK = 3OI Từ trung điểm M của BO và từ E, ta hạ MN và EP vuông góc với d. Ta có BH // MN // OI // AG // EP //CK ( chúng cùng vuông góc với d). Vì O là tọng tâm của tam giác ABC nên BM = MO = OE. Ta lại có HN = IN = IP (đường thẳng song song cách đều). Như vậy ta được ba hình thang vuông BOIH, MEPN, ACKG lần lượt có MN, OI, EP là các đường trung bình. Từ đó suy ra MN + EP = 2.OI hay 2MN + 2EP = 4.OI (1) Nhưng 2MN = BH + OI, 2EP = AG + CK, thay vào (1) ta được BH + OI + AG + CK = 4.OI suy ra AG + BH + CK = 3.OI. Ví dụ 4 : Cho một điểm C ở ngoài một đoạn thẳng AB. Dựng các tam giác vuông cân ACA’, BCB’ ra ngoài tam giác ABC (). Chứng minh rằng vị trí của điểm M ( trung điểm của A’B’) không phụ thuộc vào vị trí chọn điểm C. Giải : Hạ A’H, C E và B’F cùng vuông góc với đường thẳng AB. Ta dễ dàng chứng minh được các cặp tam giác vuông sau đây bằng nhau : Suy ra AH = BF = CE. Gọi N là trung điểm của HF thì N cũng là trung điểm của AB. MN cũng là đường trung bình của hình thang vuông A’HFB’ nên . Nhưng từ (1) và (2) ta có A’H = AE ; B’F = BE nên . Vậy MN vuông góc với AB tại trung điểm N của AB và , nghĩa là vị trí điểm M được hoàn toàn xác định không phụ thuộc vào việc chọn điểm C ( C là điểm bất kì, C và M cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). các bài tập vận dụng Bài 1: Cho tam giác ABC có . Trên cạnh CA lấy điểm D sao cho CD = AB. Kẻ đường thẳng xy qua trung điểm của AD và BC. tính góc do đường thẳng xy tạo với AB. Bài 2 : Trên hai cạnh của góc nhọn xOy, ta đặt các đoạn thẳng AB và CD bằng nhau ( A nằm giữa O và B, C nằm giữa O và D). Các điẻm I và E lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh rằng đường thẳng IE song song với tia phân giác của góc xOy. Cho tam giác ABC. Dựng tam giác vuông cân ABD( vuông ở A, D và C cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB), dựng tam giác vuông cân AEC ( vuông ở A, E và B cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AC). Gọi K, I, M lần lượt là trung điểm của EC, BD và BC. Chứng minh rằng tam giác KMI vuông cân. Bài 4: Cho hai điểm A và B ở ngoài đường thẳng xy. tìm hệ thức giữa khoảng cách từ trung điểm O của đoạn thẳng AB đến xy và các khoảng cách từ A và B đến xy. Bài5 : Cho tam giác ABC. Đường thẳng xy đi qua đỉnh A. Gọi B’ và C’ là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống xy. Hãy xác định vị trí của đường thẳng xy để tổng BB’ + CC’ đặt giá trị lớn nhất. Tiết 19 => 24 Chuyên đề 4: ( 6tiết) phân tích đa thức thành nhân tử *) Kiến thức cơ bản: 1. Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức . 2. Các phương pháp thông thường : +) Phương pháp đặt nhân tử chung AB + AC – AD = A(B+C-D). +) Phương pháp dùng hằng đẳng thức : A2 2AB + B2 = (AB)2 A3 3A2B + 3AB2 B3= (A B)3 A2 – B2 = (A-B)(A+B) A3- B3 = (A-B)( A2+ AB + B2) A3 + B3 = (A+ B)( A2 –AB + B2) +) Phương pháp nhóm các hạng tử : AC –AD + BC – BD = (C –D )(A + B) *) Nâng cao : 1. Dạng tổng quát của các hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, hiệu hai lập phương là : An – Bn = (A – B)(An-1 + An-2B +....+ ABn-2 + Bn-1). Dạng tổng quát của hằng đẳng thức tổng hai lập phương là : An + Bn = (A + B)(An-1 – An-2B +An-3B2 - ..... – AB2 + Bn-1). áp dụng vào tính chất chia hết : An – Bn A – B với n N và A B ; An + Bn A + B với n lẻ và A-B : A2k – B2k A2 – B2 với kN và AB . các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử : x2 – 6x + 8 ; 9x2 + 6x -8 ; Giải : Ba hạng tử của đa thức không có nhân tử chung , cũng không lập thành bình phương của một nhị thức. Do đó ta nghĩ đến việc tách một hạng tử thành hai hạng tử để tạo thành đa thức có bốn hoặc năm hạng tử. Cách 1. x2 -6x + 8 = x2 – 2x – 4x + 8 = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x- 4) Cách 2. x2 – 6x + 8 = x2 – 6x + 9 – 1 = (x -3)2- 1 = (x – 2)(x – 4) Cách 3. x2 – 6x +8 = x2 - 4 - 6x+12 = (x+ 2)(x – 2)–6(x-2) =(x- 2)(x- 4) Cách 4. x2– 6x+8 = x2- 16 – 6x+24 = (x+4)(x– 4) -6 (x- 4) = (x – 4)(x – 2) Có nhiều cách tách một hạng tử thành hai hạng tử khác, trong đó hai cách sau là thông dụng nhất : Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới. 9x2 +6x – 8 = 9x2 -6x + 12x – 8 = 3x(3x – 2) + 4(3x – 2) = (3x -2)(3x + 4) Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu của hai bình phương. 9x2 + 6x – 8 = 9x2+6x+1-9 = (3x + 1)2- 32= (3x +4)(3x -2). *) Chú ý : Cách tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào hằng đẳng thức : mpx2 + (mp +nq)x +nq = (mx +n)(px + q). Như vậy trong tam thức bậc hai : ã2 =bx + c, hệ số b được tách thành b1 + b2 sao cho b1b2 =ac . Trong thực hành ta làm như sau : Tìm tích ac . Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách. Chọn hai thừa số mà tổng bằng b. Trong đa thức 9x2 + 6x -8 thì a=9, b=6, c = -8. Bước 1 : Tích ac = 9 (- 8) = -72. Bước 2 : Phân tích -72 ra tích hai thừa số trái dấu, trong đó thừa số dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ( để tổng hai thừa số đó bằng 6). -72 = (-1).72 = (-2).36 =(-3).24 =(-4) .18 = (-6).12 =(-8).9 Bước 3 : Chọn hai thừa số mà tổng bằng 6. Đó là -6 và 12. Trong trường hợp tam thức x2 + bx +c có b là số lẻ, hoặc a không là bình phương của một số nguyên thì giải theo cách 1 gọn hơn cách 2. Ví dụ 2 : Phân tích thành nhân tử :(x2 +x)2 +4x2 +4x -12. Giải : Ta nhận thấy nếu đặt x2 +x =y thì đa thức có dạng y2 + 4y -12 là tam thức bậc hai đối với y. Ta có : y2 +4y -12 = y2 +6y -2y -12 = y(y +6) – 2(y +6) =(y + 6)(y -2)= (x2 +x +6)(x2 +x – 2)= (x2 + x +6)(x+2)(x – 1) Cách làm như trên gọi là đổi biến. Chú ý : Tam thức bậc hai x2 +bx +c sẽ không phân tích tiếp được nhân tử trong phạm vi số hữu tỉ nếu : Theo cách 1, khi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách, không có hai thừa số nào có tổng bằng b, hoặc Theo cách 2, sau khi đưa tam thức về dạng x2 – k thì k không là bình phương của số hữu tỉ. Tam thức x2 +x +6 không phân tích thành nhân tử được nữa(trong phạm vi số hữu tỉ) vì : Theo cách 1, tích ac =6 =1