Chuyên đề Phương pháp đồ thị

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC *Phương trình đường tròn : ( ) ( ) 222 Rbyax =−+− Hay : 0cby2ax2yx 22 =+−−+ Cótâm là: ( )b;aI và bán kính : cbaR 22 −+= ≥ 0 *Phương trình những điểm trong đường tròn và trên đường tròn là: ( ) ( ) 222 Rbyax ≤−+− ( là miền gạch hình 2) *Phương trình những điểm ngoài đường tròn và trên đường tròn là: ( ) ( ) 222 Rbyax ≥−+− (là miền gạch hình 3) *Đường thẳng : ax + by + c = 0 chia mặt phẳng tọa độ thành 2 phần ax + by + c ≥ 0 và ax + by + c ≤ 0 để biết phần nào lớn hơn 0 hay nhỏ hơn 0, thông thường ta lấy 1 điểm trên miền thế vào. Nếu không thoả ta lấy miền ngược lại . Xét đường thẳng : -x + y – 2 ≤ 0 (như hình vẽ).Ta lấy điểm (0;0) thế vào (-x + y – 2) ta được -2 ≤ 0 . Nên ta lấy miền chứa (0;0) đó chính là miền gạch như trên hình vẽ * cho hàm số : y = f(x) có mxđ là D , gtnn = m ,gtln = M ta nói: Hàm số y = f(x) có nghiệm khi : m ≤ y ≤ M trong mxđ f(x) α≥ có nghiệm khi M α≥ trong mxđ f(x) α≥ đúng ∀ x khi m α≥ trong mxđ f(x) ≤ α có nghiệm khi m α≤ trong mxđ 2 f(x) ≤ α đúng ∀ x khi M α≤ trong mxđ *Cho A(x0 , y0 ) và đường thẳng ( ∆ ) có phương trình : ax + by + c = 0 , khoảng cách từ A đến đường thẳng là : d(A; ∆ ) = 22 00 ba cbyax + ++ *Công thức đổi trục : [ gs I(a;b) ] Đổi trục oxy → IXY    += += bYy aXx phần1 GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm. ( )* my2cosx2cos 2 1ysinxsin     =+ =+ Giải : Đặt u = sinx , v = siny Bài toán trơ ûthành tìm m để hệ sau có nghiệm : (*) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )        ≤ ≤ − =+ =+ 41 31 2 2 2 1 2 1 22 v u m vu vu Các điểm thỏa (3)(4) là những điểm nằm trên và trong hình vuông ABCD như hình vẽ ,(2) là phương trình đường tròn tâm I(0,0) bán kính R = 2 m2 − , do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có nghiệm đường tròn phải cắt đường thẳng u + v = 2 1 nằm trong hình vuông. Dễ thấy M(1 ; - 2 1 ) và OM = ON OM = 4 5 , OH = 2 2 1 − = 8 1 , suy ra ycbt là 8 1 ≤ 2 m2 − ≤ 4 5 ⇔ - 2 1 ≤ m ≤ 4 7 3 Cho hệ phương trình.    =−+ =−+ 0xyx 0aayx 22 (*) a) Tìm tất cả các giá trị của a để hệ có 2 nghiệm phân biệt. b)Gọi (x1 ; y1) , (x2 ; y2 ) là 2 nghiệm của hệ ,chứng minh rằng . (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 ≤ 1 Giải : a) Hệ đã cho có thể viết lại : (*) ⇔     =+− =−+ )2( 4 1y) 2 1 x( )1(0)1y(ax 22 4 Ta nhận thấy (1) là phương trình đường thẳng ,luôn qua điểm cố định (0;1) . (2) là phương trình đường tròn có tâm I( 2 1 ;0) bán kính R = 2 1 . Do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm khi : D(I ;d) = 21 0. 2 1 a aa + −+ < 2 1 ⇔ 0 <a < 3 4 b) ta có AB = 212 2 12 )yy()xx( −+− ≤ 2R (x2 –x1)2 + (y2 – y1)2 ≤ 4R2 =1 (đpcm) Dấu (=) xảy ra khi đường thẳng qua tâm : Hay : 2 1 - a = 0 ⇔ a = 2 1 Cho hệ phương trình.     =−++++ <+− 02aax)1a2(x 04x5x 22 24 (*) Tìm a sao cho hệ sau đây có nghiệm. Giải : Hệ đã cho có thể viết lại : 5 ( ) ⇔*         −<<− << =++−+ )3(1x2 )2(2x1 )1(0)2ax)(1ax( Các điểm M(x;y) thỏa(1) là những điểm nằm trên 2 đường thẳng như hình vẽ Các điểm M(x;y) thỏa (2) là những điểm nằm trên 2 miền gạch Ta có A(-2;0) , B(-2;3) , C(-1;2) , D(1;0) , E(2;-1) , F(-1;-1) , K(1;-3) , M(2;-4) . Vậy từ đồ thị hệ có nghiệm khi : -4<a<-3 , -1<a<0 , 2<a<3. Cho hệ phưong trình.     =+ =++−+ 222 2 myx 02)yx(3)yx( (*) Tìm m sao cho hệ sau đây có 3 nghiệm . Giải : Hệ đã cho có thể viết lại : (*) ⇔    =+ =−+−+ )2(myx )1(0)1yx)(2yx( 222 Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên 2 đường thẳng như hình vẽ Các điểm M(x;y) thỏa (2) là những điểm nằm trên đường tròn tâm I(0;0) bán kính R = m , do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 3 nghiệm thì : R = ON , mà ON = 2 2 = 2 (áp dụng đktx) do đó : m = 2 ⇔     −= = 2m 2m 6 Biện luận theo a về số nghiệm của phương trình.    =−− =+ 0)ay)(a2x( 2y2x Giải : Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận: Đổi trục oxy → 0XY     = = 2 Yy Xx Hệ đã cho có thể viết lại : ( ) ( )  =−− =+ 20)a2Y)(a2X( 12YX Ta nhận thấy các điểm M(x;y) thoả mãn (1) là hình vuông A,B,C,D trong đó A(-2;0) , B(0;2) , C(2;0) , D(0;-2) .Các điểm thỏa mãn (2) nằm trên 2 đường: X = 2a ,Y= 2a , mà giao điểm I của chúng luôn luôn di động trên Y = X , dễ thấy điểm I/(1;1) như hình vẽ , do số giao điểm của 2 đường thẳng và hình vuông ABCD chính là số nghiệm . 7 nên ta có : Nếu    −< > 2a2 2a2 ⇔    −< > 1a 1a hệ vô nghiệm. Nếu    −= = 2a2 2a2 ⇔    −= = 1a 1a hệ có 2 nghiệm. Nếu      −≠ ≠ <<− 12 12 222 a a a ⇔         −≠ ≠ <<− 2 1 a 2 1 a 1a1 hệ có 4 nghiệm. Nếu    −= = 1a2 1a2 ⇔      −= = 2 1 a 2 1 a hệ có 3 nghiệm. Tìm a để phương trình sau có 2 nghiệm . xaxx 2 −=− (*) Giải : 8 Với điều kiện x – x2 ≥ 0 , đặt y = 2xx − ≥ 0 (*) trở thành ( ) ( ) ( )    ≥ =−+ =+ 30y 20xxy 1axy 22 ⇔ ( ) ( ) ( )    ≥ =+− =+ 30y 2 4 1y) 2 1 x( 1axy 22 (2) và (3) là phương trình nửa đường tròn lấy phần dương như hình vẽ , có tâm I( 2 1 ;0) bán kính R = 2 1 . (1) là phương trình đường thẳng x +y = a , do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm thì đường thẳng x +y = a phải lớn hơn hoặc bằng x + y = 1 và nhỏ hơn tiếp xúc trên , mà tiếp xúc trên bằng .        > = − 1a 2 1 2 a 2 1 ⇔       − = + = )l( 2 21 a )n( 2 21 a hay 1 ≤ a < 2 21+ định a để phương trình sau có 4 nghiệm . 2 ax5x4x5x 22 +−=+− (*) Giải : 9 Đặt 4 9 4 9 2 5 x4x5xt 2 2 −≥−      −=+−= (*) ⇔ tt24aa4tt2 −=−⇔+−= ( ) ( )  ≥=− <−=− ⇔ 0t,2t4a 0t,1t34a Nhận xét ∀ t 4 9 −> thì ta được 2 nghiệm x , theo ycbt ta cần có 2 nghiệm t 4 9 −> Dễ thấy A( 4 27 ; 4 9 − ) (1) là phương trình y = -3t để thoả bài toán thì ( 0t 4 9 <<− ) (2) là phương trình đường thẳng y = t , t∀ ≥ 0 Vậy đểâ phương trình có 4 nghiệm x hay có 2 nghiệm t thì: 4 274a0 <−< ⇔ 4 43 a4 << Cho hệ bất phưong trình. ( ) ( ) ( ) ( )    ≤++ ≤++ 2ay1x 1a1yx 22 22 (*) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất . Giải : Bất phương trình (1) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm O2(0;-1) bán kính R2 = a . (như hình vẽ) Bất phương trình (2) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm O1(-1;0) bán kính R1 = a . Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi : R1 + R2 = O1O2 Hay : 2 a = ( ) ( )22 0110 +−++ 2 1 =⇔ a 10 Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất. ( )    ≥−+− ≤+− * 0)6(6 023 2 2 aaxx xx Giải : Hệ (*) cho có thể viết lại . ( ) ( )( ) ( ) ( )  ≥−+− ≤≤ * 206 121 axax x 11 Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxa. Từ hình vẽ có thể thấy các điểm M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) là miền gạch chéo nằm trên và trong hình thang ABCD .Vậy hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất khi : a = 1 hoặc a = 5 Tìm m để hệ phương trình có 8 nghiệm.    =−+− =−+− 222 m)1y()1x( 11y1x Giải : Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận. Đổi trục oxy → 0XY Hệ đã cho có thể viết lại . ( ) ( )  =+ =+ 2mYX 11YX 222    += += 1Yy 1Xx 12 Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên hình vuông ABCD , như hình vẽ .Các điểm M(x;y) thỏa (2) là phương trình đường tròn tâm O(0;0) bán kímh R = m . Do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 8 nghiệm khi : OH < R < OB . Mà : OH = 2 1 ( áp dụng đktx) , OB = 1 . Vậy 2 1 < m < 1       −<<− << ⇔ 2 2 m1 1m 2 2 đó là ycbt Biện luận số nghiệm của phương trình . ( )*xm2x312 2 −=− Giải : Với điều kiện 12 – 3x2 ≥ 0 đặt y = 2x312 − . Phương trình có thể viết lại ⇔(*) ( ) ( ) ( )      =+ =+ ≥ 3m2yx 21 12 y 4 x 10y 22 13 Có thể thấy các điểm M(x;y) thỏa (1) và (2) là phương trình của nửa ellip lấy phần dương , như trên hình vẽ . Có thể thấy các điểm M(x;y) thỏa (3) là phương trình đường thẳng luôn di động và có hệ số góc là -1 . Xét các vị trí tới hạn của nó : qua A ứng với m = -1 Vị trí tiếp xúc trên 2 0 4124 2 =⇔    > =+ m m m Tại B ứng với m = 1 Vậy ta có : Nếu 1 ≤ m <2 phương trình có 2 nghiệm. Nếu m = 2 hoặc -1 ≤ m <1 phương trình có 1 ngiệm. Nếu m > 2 hoặc m<-1 phương trình vô nghiệm. Cho hệ : ( )* 0a6x4x 0ax2x 2 2    ≤−− ≤++ a) Tìm a để hệ có nghiệm. b) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất. Giải : Hệ đã cho có thể viết lai . ( ) ( ) ( )*2 6 x4x a 1x2xa 2 2     −≥ −−≤ 14 Các điểm M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) nằm trong miền gạch chéo ta có, S1(2; 2 3 − ) , S2(- 1;1) và xA = - 7 8 < -1 a) từ hình vẽ, hệ đã cho có nghiệm khi . 0 1≤≤ a b) hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi .    = = 0 1 a a Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất . ( )* 1yx 1mxy2yx     ≤+ ≥+++ Giải : Hệ đã cho có thể viết thành . ⇔ ( )     ≤+ −−≥+ ⇔     ≤+ −−≥+ 1yx yx1mxy2 1yx yx1mxy2 2 ( ) ( )  ≤+ +≤−+− ⇔    ≤+ −+−++≥+ ⇔ 21yx 11m)1y()1x( 1yx y2xy2x2yx1mxy2 22 22 15 Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxy Nhận xét : những điểm M(x;y) thỏa mãn (1) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm I(1;1) bán kính R = 1+m (như hình vẽ) , những điểm M(x;y) thỏa mãn (2) là miền gạch chéo và đường thẳng x +y =1 .Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi R = OH , Mà OH = 2 2 ( áp dụng đktx) vậy : 2 21m =+ 2 1 −=⇔ m là ycbt Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm. ( )* 0m18x8x6x 0m4x2x 24 2     ≤−+−− ≤+−− Giải : Hệ đã cho có thể viết thành . ( ) ( ) ( )*21886 142 24 2     ≤+−− ++−≤ mxxx xxm phương trình m = -x2 + 2x +4 là parabol có đỉnh S(1;5) như hình vẽ do đó các điểm M(x;y)thoả (1 ) là những điểm nằm trong parabol chứa miền thỏa (0;0) . Xét hàm số: m = x4 -6x2 -8x+18 mxđ: D = R Đạo hàm : m/ = 4x3 -12x-8 = 4(x+1)2(x-2) m/ = 0    = −= ⇔ 2 1 x x 16 bảng biến thiên . Hàm số đạt cực tiểu tại .    −= = 6 2 ct ct y x Điểm đặc biệt (1;5) ; (3;5) các điểm M(x;y) thoả mãn (*) là miền gạch chéo như hình vẽ . từ đồ thị ta thấy hệ có nghiệm khi đường thẳng y = m cắt miền gạch chéo, hay - 6 5≤≤ m Cho hệ : ( )* 4ax 0a2a4x)2a5(x 22 22    ≤+ ≤+++ a) Tìm a để hệ có nghiệm. b) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất. Giải : Hệ đã cho có thể viết lại . ( ) ⇔* ( )( ) ( )*24ax 10)2a4x)(ax( 22    ≤+ ≤+++ 17 Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxa . Dễ nhận thấy A(-2;0) , B(- 2 ; 2 ) O1( 3 2 ; 3 2 − ) , F(- 2 - 2 ) M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) là những điểm nằm trong miền gạch sọc như hình vẽ, như vậy để hệ phương trình có nghiệm đường thẳng y =a phải cắt miền gạch sọc . Vậy theo ycbt thì a) hệ có nghiệm khi - 2 2≤≤ a b) hệ có nghiệm duy nhất khi a = - 2 hoặc a = - 3 2 hoăc a = 2 Cho hệ : ( )* 0mx)1m(mx 02x3x2 32 2    ≤++− ≤−+ a) Tìm m để hệ có nghiệm. b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. Giải : Hệ đã cho có thể viết lại như sau . ( ) ⇔* ( ) ( )    ≤−− ≤≤− 20)mx)(mx( 1 2 1 x2 2 Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxm . Các điểm M(x;m) thỏa mãn (1) nằm trong giới hạn của 2 đường thẳng x =-2 và.x = 2 1 , các điểm M(x;m) thỏa mãn (2) nằm trong miền gạch sọc như hình vẽ .Dễ thấy 18 A( 2 2 ; 2 1 ) , vậy để phương trình có nghiệm thì đường thẳng m = α phải cắt miền gạch sọc trong giới hạn cho phép cũa (1) hay. a) hệ có nghiệm khi m 2 2≤ b) hệ có nghiệm duy nhất khi .      = = 0m 2 2 m Tìm m để hệ phương trình có nghiệm. ( )* myx 11y1x 222    =+ =−+− Giải : Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận: Đổi trục oxy → 0XY    += += 1Yy 1Xx Hệ đã cho có thể viết lại . ( ) ( ) ( )  =+++ =+ * 2m)1Y()1X( 11YX 222 Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên hình vuông ABCD , như hình vẽ .Các điểm M(x;y) thỏa (2) là phương trình đường tròn tâm O(-1;-1) bán kímh R = m . Do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có nghiệm khi : ON ≤ R ≤ OM . 19 Mà : ON = 2 1 ( áp dụng đktx) , OB = 5 . Vậy 2 1 ≤ m ≤ 5       −≤≤− ≤≤ ⇔ 2 2 m5 5m 2 2 đó là ycbt MỘT SỐ BÀI TẬP Tìm m để phương trình có nghiệm mxcos1xsin1 =+++ Cho phương trình . mx)x9(xx9 =−−+− a) Tìm gtln và gtnn )xx9( +− b) Tìm m để phương trình có nghiệm . Cho hệ ( )* 0ax 0a2a4x)2a5(x 22 22    =+ <+++ Tìm a để hệ có nghiệm. 20 Tìm m để bất phương trình sau đúng 6x4:x ≤≤−∀ mx2x)x6)(x4( 2 +−≤−+ Cho hệ ( )* 1x 0)2xm)(xm( 2 2    ≤ <−+− Tìm m để hệ vô nghiệm. Cho hệ ( )* my2x 1)yx(log 22 yx    =+ ≥++ Tìm m để hệ có nghiệm. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm. loga+x(x(a-x)) < loga+x x Cho hệ phưong trình.    =−+ =−−+ 0yyx 02a5yax 22 (*) a) Tìm tất cả các giá trị của a để hệ có 2 nghiệm phân biệt. b) gọi A(x1 ; y1) , B(x2 ; y2 ) là 2 nghiệm của hệ .Tìm a để độ dài dây cung AB đạt giá trị lớn nhất .