Chuyên đề Phương pháp tam giác đồng dạng trong giải Toán hình học phẳng lớp 8

Chuyên đề: Phương pháp tam giác đồng dạng trong giải toán hình học phẳng Lớp 8 ------ Nhóm tác giả: Nguyễn Quốc Huy - Chủ biên Giang Ngọc Diệp Nguyễn Thị Nga Hà Thị Sáu Phan Hải Hà Phạm Thị Phương Phạm Thị Nguyệt Cụm trường thị trấn Diêm Điền Thái Thụy, Tháng 11 năm 2006 Cấu trúc chuyên đề: I. Đặt vấn đề 1. Khái niệm chung về phương pháp tam giác đồng dạng 2. Tóm tắt kiến thức liên quan 3. Các dạng toán cụ thể 4. Tiết dạy minh họa Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng, tỷ số, diện tích Dạng 2: Chứng minh hệ thức Dạng 3: Chứng minh song song Dạng 4: Chứng minh đồng dạng Dạng 5: Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau Dạng 6: Toán ứng dục thực tế Phần thứ nhất: Đặt vấn đề Trong chương trình hình học phẳng THCS, đặc biệt là hình học 8, phương pháp “Tam giác đồng dạng” là một công cụ quan trọng nhằm giải quyết các bài toán hình học Phương pháp “ Tam giác đồng dạng” là phương pháp ứng dụng tính chất đồng dạng của tam giác, tỷ lệ các đoạn thẳng, trên cơ sở đó tìm ra hướng giải các dạng toán hình học. Trên thực tế, việc áp dụng phương pháp “Tam giác đồng dạng” trong giải toán có các thuận lợi và khó khăn chứng như sau: * Thuận lợi: + Một là: Phương pháp “ Tam giác đồng dạng” là công cụ chính giúp ta tính toán nhanh chóng các dạng toán đặc trưng về tính tỷ lệ, chứng minh hệ thức, các bài tập ứng dụng các định lý sau Thales.... + Hai là: Với một số dạng toán quen thuộc như chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, chứng minh song song, chứng minh thẳng hàng, phương pháp “ Tam giác đồng dạng” có thể cho ta những cách giải quyết gọn gàng, ngắn hơn các phương pháp truyền thống khác nhau sử dụng tính chất tam giác, tính chất tứ giác đặc biệt... + Ba là: Phương pháp “ Tam giác đồng dạng” giúp rèn luyện tốt khả năng tư duy logic của học sinh, rèn luyện tính sáng tạo, phát triển trí tuệ cho học sinh một cách hiệu quả. * Khó khăn: + Thứ nhất: Phương pháp “ Tam giác đồng dạng” còn lạ lẫm với học sinh. Các em chưa quen với việc sử dụng một phương pháp mới để giải toán thay cho các cách chứng minh truyền thống, đặc biệt là với các học sinh lớp 8 mới. + Thứ hai: Việc sử dụng các tỷ số cạnh rất phức tạp dễ dẫn đến nhầm lẫn trong tính toán, biến đổi vòng quanh luẩn quẩn, không rút ra ngay được các tỷ số cần thiết, không có kỹ năng chọn cặp tam giác cần thiết phục vụ cho hướng giải bài toán. Từ những nhận định trên, chuyên đề này giải quyết giúp cho giáo viên dạy lớp 8 và các em học sinh một số vấn đề cụ thể là : - Hệ thống lại các kiến thức thường áp dụng trong phương pháp. - Hệ thống các dạng toán hình học thường áp dụng phương pháp “ Tam giác đồng dạng”. - Định hướng giải quyết các dạng toán này bằng Phương pháp “ Tam giác đồng dạng” - Hệ thống một số bài tập luyện tập. - Minh họa một số tiết dạy luyện tập. Trong chuyên đề này tập thể tác giả đã có rất nhiều cố gắng nhằm làm rõ thêm một số phương pháp hình học đặc trưng, tuy nhiên do hạn chế về kiến thức về thực tế giảng dạy chắc chắn chuyên đề còn nhiều thiếu sót. Kính mong các thầy giáo, cô giáo có nhiều năm kinh nghiệm trong giảng dạy, các bạn đồng nghiệp tham gia góp ý bổ sung làm cho chuyên đề trở nên hoàn chỉnh hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn./. Thái Thụy, tháng 11 năm 2006 Tập thể tác giả Phần II Kiến thức cơ bản ---- 1. Đinh lý Talet trong tam giác. Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cnahj còn lại thì nó định ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ. A C M N MN // BC B 2. Khái niệm tam giác đồng dạng. Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu: + ; 3. Các trường hợp đồng dạng của tam giác: a) Trường hợp thứ nhất (ccc): Nếu 3 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 3 cạnh của tam giác kia thì 2 tam giác đó đồng dạng. b) Trường hợp thứ 2(cgc): Nếu 2 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 2 cạnh của tam giác kia và 2 góc tạo bởi tạo các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam đó giác đồng dạng. c) Trường hợp thứ 3(gg): Nếu 2 góc của tam giác này lần lượt bằng 2 góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. d) Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông. + Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng. + Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỷ lẹ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng. + Nếu cạnh huyền và một cạnh của tam giác vuông này tỷ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng. Phần III Các dạng toán cụ thể ---- Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng, tỷ số , diện tích Loại 1: Tính độ dài đoạn thẳng ----- + Ví dụ minh họa: Bài 36 – 79 – SGK (có hình vẽ sẵn) ABCD là h.thang (AB // CD) A 12,5 B GT AB = 12,5cm; CD = 28,5cm = x KL x = ? D C Giải DABD và DBDC có : = (gt) = ( so le trong do AB // CD) ị DABD P DBDC (g.g) ị = hay = ị x2 = 12,5 . 28,5 ị x = ằ 18,9(cm) Bài 35 – 72 – SBT: A DABC; AB = 12cm; AC = 15cm 10 8 GT BC = 18dm; AM = 10cm; AN = 8cm KL MN = ? M N B C Giải Xét DABC và DANM ta có : ị = = = = = Mặt khác, có chung Vậy DABC P DANM (c.g.c) Từ đó ta có : = hay ị = 12(cm) Bài tập 3: a) Tam giác ABC có = 2; AB = 4cm; BC = 5cm. Tính độ dài AC? b) Tính độ dài các cạnh của DABC có = 2 biết rằng số đo các cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp. A Giải a) Trên tia đối của tia BA lấy BD = BC B DACD và DABC có chung; = = à ị DACD P DABC (g.g) ị = ị AC2 = AB. AD D C = 4 . 9 = 36 ị AC = 6(cm) b) Gọi số đo của cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c. Theo câu (a) ta có. AC2 = AB. AD = AB(AB+BC) ị b2 = c(c+a) = c2 + ac (1) Ta có b > c (đối diện với góc lớn hơn) nên chỉ có 2 khả năng là: b = c + 1 hoặc b= c + 2 * Nếu b = c + 1 thì từ (1) ị (c + 1)2 = c2 + ac ị 2c + 1 = ac ị c(a-2) = 1 (loại) vì c= 1 ; a = 3; b = 2 không là các cạnh của 1 tam giác * Nếu b = c + 2 thì từ (1) ị (c + 2)2 = c2 + ac ị 4c + 4 = ac ị c(a – 4) = 4 Xét c = 1, 2, 4 chỉ có c = 4; a = 5; 5 = 6 thỏa mãn bài toán. Vậy AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm. Bài tập đề nghị: + Bài 1: Cho DABC vuông ở A, có AB = 24cm; AC = 18cm; đường trung trực của BC cắt BC , BA, CA lần lượt ở M, E, D. Tính độ dài các đoạn BC, BE, CD. + Bài 2: Hình thoi BEDF nội tiếp DABC (E ẻ AB; D ẻ AC; F ẻ AC) Tính cạnh hình thoi biết AB = 4cm; BC = 6cm. Tổng quát với BC = a, BC = c. Chứng minh rằng BD < với AB = c; BC = a. Tính độ dài AB, BC biết AD = m; DC = n. Cạnh hình thoi bằng d. Loại 2: Tính góc Ví dụ minh họa: + Bài 1: Cho DABH vuông tại H có AB = 20cm; BH = 12cm. Trên tia đối của HB lấy điểm C sao cho AC = AH. Tính . A DABH; = 900 ; AB = 20cm 20 GT BH = 12cm; AC = AH KL = ? B 12 H C Giải: Ta có ị Xét DABH và D CAH có : = = 900 (chứng minh trên) ị DABH P DCAH (CH cạnh gv) ị = Lại có + = 900 nên + = 900 Do đó : BAC = 900 Bài 2: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có A = 600. Một đường thẳng bất kỳ đi qua C cắt tia đối của các tia BA, DA tương ứng ở M, N. Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính BKD? M Hình thoi ABCD; = 600 ; B GT BN ầ DM tại K KL Tính = ? K C A D Giải: N Do BC // AN (vì N ẻ AD) nên ta có : (1) Do CD // AM (vì M ẻ AB) nên ta có : (2) Từ (1) và (2) ị DABD có AB = AD (đ/n hình thoi) và = 600 nên là D đều ị AB = BD = DA Từ (cm trên) ị Mặt khác : = = 1200 Xét 2DMBD và DBDN có : ; = ị DMBD P DBDN (c.g.c) ị = DMBD và DKBD có = ; chung ị = = 1200 Vậy = 1200 Bài tập đề nghị: DABC có AB: AC : CB = 2: 3: 5 và chu vi bằng 54cm; DDEF có DE = 3cm; DF = 4,5cm; EF = 6cm Chứng minh DAEF P DABC Biết A = 1050; D = 450. Tính các góc còn lại của mỗi D Loại 3: Tính tỷ số đoạn thẳng, tỷ số chu vi, tỷ số diện tích Ví dụ minh họa: + Bài 1: Cho DABC, D là điểm trên cạnh AC sao cho . Biết AD = 7cm; DC = 9cm. Tính tỷ số B DABC; D ẻ AC : ; GT AD = 7cm; DC = 9cm KL Tính . C B A Giải: DCAB và DCDB có C chung ; = (gt) ị DCAB P DCDB (g.g) ị do đó ta có : CB2 = CA.CD Theo gt CD = 9cm; DA = 7cm nên CA = CD + DA = 9 + 7 = 16 (cm) Do đó CB2 = 9.16 = 144 ị CB = 12(cm) Mặt khác lại có : + Bài 2: (Bài 29 – 74SGK) A 6 46 A’ DABC và DA’B’C’: AB =6 ; 6 9 GT AC = 9; A’C’ = 6; B’C’ = 8 KL a) DABC P DA’B’C’ B 12 C B’ 12 C’ b) Tính tỉ số chu vi của DA’B’C’ và DABC Giải: a) DA’B’C’ P DABC (c.c.c) Vì b) DA’B’C’ P DA+B+C+ (câu a) ị = = Vậy + Bài 3: Cho hình vuông ABCD, gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của Ab, BC, CE cắt DF ở M. Tính tỷ số ? D C Hình vuông ABCD; AE = EB ; M GT BF = CF; CE ầ DF tại M F KL Tính ? A E B Giải: Xét DDCF và DCBE có DC = BC (gt); = = 900; BE = CF DDCF = DCBE (c.g.c) ị 1 = 2 Mà 1 + 2 = 1v ị 1 + 1 = 1v ị DCMD vuông ở M DCMD P DFCD (vì 1 = 2 ; = ) ị = ị SCMD = . SFCD Mà SFCD = CF.CD = .BC.CD = CD2 Vậy SCMD = . CD2 = . (*) áp dụng định lý pitago vào tam giác vuông DFC, ta có: DF2 = CD2 + CF2 = CD2 + (BC)2 = CD2 + CD2 = CD2 Thay DF2 = CD2 ta có : SCMD = CD2 = SABCD ị = Bài tập đề nghị: Cho DABC, D là trung điểm của BC, M là trung điểm của AD. BM cắt AC ở P, P’ là điểm đối xứng củ P qua M. Chứng minh rằng PA = P’D. Tính tỷ số và Chứng minh AB cắt Q, chứng minh rằng PQ // BC. Tính tỷ số và Chứng minh rằng diện tích 4 tam giác BAM, BMD, CAM, CMD bằng nhau. Tính tỷ số diện tích DMAP và DABC. Loại 4: Tính chu vi các hình + Bài 1(bài 33 – 72 – SBT) DABC; O nằm trong DABC; GT P, Q, R là trung điểm của OA, OB, OC KL a) DPQR P DABC b) Tính chu vi PQR. Biết chu vi DABC 543cm Giải: a) PQ, QR và RP lần lượt là đường trung bình của DOAB , DACB và DOCA. Do đó ta có : PQ = AB; QR = BC ; RP = CA Từ đó ta có : A ị DPQR P DABC (c.c.c) với tỷ số đồng dạng K = P b) Gọi P là chu vi của DPQR ta có : O P’ là chu vi của DPQR ta có : Q R ị P’ = P = .543 = 271,5(cm) B C Vậy chu vi của DPQR = 271,5(cm). + Bài 2: Cho DABC, D là một điểm trên cạnh AB, E là 1 điểm trên cạnh AC sao cho DE // BC. Xác định vị trí của điểm D sao cho chu vi DABE = chu vi DABC. Tính chu vi của 2 tam giác đó, biết tổng 2 chu vi = 63cm A DABC; DE//BC; C.viDADE=C.vi DABC GT C.vi DADE + C.viDADE = 63cm D E KL Tính C.vi DABC và C.vi DADE B C Giải: Do DE // BC nên DADE PDABC theo tỷ số đồng dạng. K = = . Ta có . ị = = 9 Do đó: Chu vi DABC = 5.9 = 45 (cm) Chu vi DADE = 2.9 = 18 (cm) Bài tập đề nghị: + Bài 1: DA’B’C’ P DABC theo tỷ số đồng dạng K = . Tính chu vi của mỗi tam giác, biết hiệu chu vi của 2 tamgiasc đó là 51dm. + Bài 2: Tính chu vi DABC vuông ở A biết rằng đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác thành 2 tam giác có chu vi bằng 18cm và 24cm. Loại 5: Tính diện tích các hình + Bài 1(Bài 10 – 63 – SGK): A DABC; đường cao AH, d// BC, d cắt AB, AC, AH GT theo thứ tự tại B’, C’, H’ B’ H’ C’ KL a) b) Biết AH’ = AH; SDABC = 67,5cm2 B H C Tính SDA’B’C’ Giải: a) Vì d // BC ị = = = = (đpcm) b) Từ ị ()2 = = = Mà AH’ = AH ị = ị ()2 = ()2 = Vậy = và ị SDABC = 67,5cm2 Nên ta có : = ị = ị SDAB’C’ = = 7,5(cm2) + Bài 2(bài 50 – 75 – SBT) DABC( = 900); AH ^ BC GT BM = CM; BH = 4cm; CH = 9cm KL Tính SDAMH Giải: A Xét 2D vuông HBA và D vuông HAC có : + = 1v (1) + = 1v (2) Từ (1) và (2) ị = Vậy DHBA P D HAC (g.g) B 4 H M C ị ị HA2 = HB.HC = 4.9 = 36 9 ị HA = 6cm Lại có BC = BH + HC = 4cm + 9cm = 13cm SDABM = SDABC = . = 19,5(cm2) SDAHM = SDBAH = 19,5 - .4.6 = 7,5(cm2) Vậy SDAMH = 7,5(cm2) + Bài 3: Cho DABC và hình bình hành AEDF có E ẻ AB; D ẻ BC, F ẻ AC. Tính diện tích hình bình hành biết rằng : SEBD = 3cm2; SFDC = 12cm2; DABC hình bình hành AEDF GT SEBD = 3cm2; SFDC = 12cm2 KL Tính SAEDF Giải: Xét DEBD và DFDC có = 1 (đồng vị do DF // AB) (1) ị 1 = 1 (2) E1 = D2 ( so le trong do AB // DF) D2 = E1 ( so le trong do DE // AC) Từ (1) và (2) ị DEBD P DFDC (g.g) Mà SEBD : SFDC = 3 : 12 = 1 : 4 = ()2 Do đó : ị FD = 2EB và ED = FC A ị AE = DF = 2BE ( vì AE = DF) F AF = ED = EC ( vì AF = ED) E 1 Vậy SADE = 2SBED = 2.3 = 6(cm2) 1 2 SADF = SFDC = . 12 = 6(cm2) B D C ị SAEDF = SADE + SADF = 6 + 6 = 12(cm2) Bài tập đề nghị: + Bài 1:Cho hình vuông ABCD có độ dài = 2cm. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, DC. Gọi I, H theo thứ tự là giao điểm của AF với BE, BD. Tính diện tích tứ giác EIHD +Bài 2: Cho tứ giác ABCD có diện tích 36cm2, trong đó diện tích DABC là 11cm2. Qua B kẻ đường thẳng // với AC cắt AD ở M, cắt CD ở N. Tính diện tích DMND. + Bài 3: Cho DABC có các B và C nhọn, BC = a, đường cao AH = h. Xét hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M ẻ AB; N ẻ AC; PQ ẻ BC. Tính diện tích hình chữ nhật nếu nó là hình vuông. Tính chu vi hình chữ nhật a = h Hình chữ nhật MNPQ có vị trí nào thì diện tích của nó có giá trị lớn nhất. Dạng II: Chứng minh hệ thức, đẳng thức nhờ tam giác đồng dạng I. Các ví dụ và định hướng giải: 1. Ví dụ 1: Bài 29(SGK – T79) – (H8 – Tập 2) Cho hình thang ABCD(AB // CD). Gọi O là giao điểm của 2đường chéo AC và BD Chứng minh rằng: OA. OD = OB. OC. Đường thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K. CMR: = * Tìm hiểu bài toán : Cho gì? Chứng minh gì? * Xác định dạng toán: ? Để chứng minh hệ thức trên ta cần chứng minh điều gì? TL: = ? Để có đoạn thẳng trên ta vận dụng kiến thức nào. TL: Chứng minh tam giác đồng dạng a) OA. OD = OB.OC Sơ đồ : D K C B H O A + 1 = 1 (SLT l AB // CD) + = ( Đối đỉnh) ò DOAB P DOCD (g.g) ò = ò OA.OD = OC.OC b) = Tỷ số bằng tỷ số nào? TL : = ? Vậy để chứng minh = ta cần chứng minh điều gì. TL: = Sơ đồ : + = = 900 + 1 = 1.(SLT; AB // CD) Câu a ò ò DOAH P DOCK(gg) DOAB P DOCD ò ò = = = 2. Ví dụ 2: Cho hai tam gíac vuông ABC và ABD có đỉnh góc vuông C và D nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi P là giao điểm của các cạnh AC và BD. Đường thẳng qua P vuông góc với AB tại I. CMR : AB2 = AC. AP + BP.PD P6 O C A I B Định hướng: - Cho HS nhận xét đoạn thẳng AB (AB = AI + IB) ị AB2 = ? (AB.(AI + IB) = AB . AI + AB. IB) - Việc chứng minh bài toán trên đưa về việc chứng minh các hệ thức AB.AI = AC.AP AB.IB = BP.PD - HS xác định kiến thức vận dụng để chứng minh hệ thức (D P) Sơ đồ : + = = 900 + = = 900 + chung + chung ò ò DADB P DPIB DACB P DAIP (gg) ò ò = = ò ò AB.AI = PB.DB AB . AI = AC . AP AB . IB + AB . AI = BP . PD + AC . AP ò AB (IB + IA) = BP . PD + AC . AP ò AB2 = BP . PD + AC . AP 3. Ví dụ 3: Trên cơ sở ví dụ 2 đưa ra bài toán sau: Cho D nhọn ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. A CMR: BC2 = BH . BD + CH.CE D Định hướng: Trên cơ sở bài tập 2 E Học sinh đưa ra hướng giải quyết bài tập này. H ị Vẽ hình phụ (kẻ KH ^ BC; K ẻ BC). Sử dụng DP chứng minh tương tự ví dụ 2 B C 4. Ví dụ 4: Cho D ABC, I là giao điểm của 3 đường phân giác, đường thẳng vuông góc với CI tại I cắt AC và BC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng. I a) AM . BI = AI. IM A b) BN . IA = BI . NI M c) = * Định hướng: a) ? Để chứng minh hệ thức AM. BI = AI. B N C IM ta cần chứng minh điều gì. b) Để chứng minh đẳng thức trên ta cần chứng minh điều gì. (D AMI P DAIB) Sơ đồ: = (gt) = * CM: = Dv MIC: = 900 - DAMI P DAIB (gg) DABC: + + = 1800(t/c tổng...) ò ị + + = 900 = Do đó: = + (1) ò Mặt khác: = + (t/c góc ngoài D) AM. BI = AI . IM hay = + (2) Từ 91) và (2) ị = hay = DAMI P DAIB ( = ; = ) ị = ị AM . BI = AI. IM b) Tương tự ý a. Chứng minh DBNI P DBIA (gg) ị = ị BN . IA = BI. IN c) (Câu a) (Câu b) ò ò - HS nhận xét = DAMI P DAIB DBNI P DBIA ò ò Tính AI2 ; BI2 ị = = ò ò (Tính AI2 ; BI2 nhờ DP) AI2 = AM . AB BI2 = BN . AB = ò = II. Bài tập đề nghị: + Bài 1: Cho hình thanh ABCD (AB // CD), gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với 2 đáy cắt BC ở I cắt AD ở J. CMR : a) = + b) = + + Bài 2: Cho DABC, phân giác AD (AB < AC). trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho = . CMR: a) AD . DI = BD . DC b) AD2 = AB . AC - BD . DC Dạng 3: Chứng minh quan hệ song song I. Mục tiêu chung : - Học sinh vận dụng định nghĩa tam giác đồng dạng, các trường hợp đồng dạng của tam giác, định lý Ta – lét đảo, để giải quyết các bài toán về chứng minh quan hệ song song. - Thông bao các bài tập khắc sâu các kiến thức về tam giác đồng dạng, định lý Ta – lét đảo. - Rèn kỹ năng tư duy, suy luận lô gic, sáng tạo khi giải bài tập. II. Kiến thức áp dụng. - Định nghĩa tam giác đồng dạng. - Các trường hợp đồng dạng của tam giác. - Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song. * Ví dụ minh họa: + Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M là trung điểm của CD, E là giao điểm của MA và BD; F là giao điểm của MB và AC. Chứng minh rằng EF / / AB A B ABCD (AB // CD) DM = MC E F gt MA ầ DB = MB ầ AC = KL EF // AB D M C Định hướng giải: - Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giác - Định nghĩa hai tam giác đồng dạng - Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (định lý Ta lét đảo) Sơ đồ phân tích: AB // CD (gt) AB // CD (gt) ò ò AB // DM AB // MC ò ò DMED P D AEB GT DMFC P DBFA ò ò ò = ; MD = MC = ò = ò EF // AB (Định lý Ta lét đảo) + Ví dụ 2: Cho D ABC có các góc nhọn, kẻ BE, CF là hai đường cao. Kẻ EM, FN là hai đường cao của DAEF. Chứng minh MN // BC Sơ đồ phân tích DAMF P DAFC (g.g); DAFN P DABE ò ò = = A ò M N . = . F E ò = B C ò MN // BC (định lý Ta – lét đảo) + Ví dụ 3: Cho DABC, các điểm D, E, F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo tỷ số 1 : 2, các điểm I, K theo thứ tự chia trong các đoạn thẳng ED, FE theo tỉ số 1 : 2. Chứng minh rằng IK // BC. Gọi M là trung điểm của AF Gọi N là giao điểm của DM và EF A I K F Xét D ADM và D ABC có : D M N = = Góc A chung ịDADM P DABC (c.gc) B E C ị = mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên DM // BC ị MN // EC mà MF = FC nên EF = FN Ta có : = . = . = (1) mà = (gt) (2) Từ 91) và (2) ị = Suy ra IK // DN (định lý Ta – lét đảo) Vậy IK // BC. * Bài tập đề nghị: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng đi qua A song song với BC cắt BD. Đường thẳng đi qua B và song song với AD cắt AC ở G. Chứng mi9nh rằng EG // DC Dạng 4 : Chứng minh tam giác đồng dạng I. Các ví dụ và định hướng giải: + Ví dụ: B F D A E 3,6 C 2,4 Cho DABC; AB = 4,8cn; AC = 6,4cm; BC = 3,6cm Trên AB lấy điểm D sao cho AD = 3,2cm, trên AC lấy điểm E sao cho AE = 2,4cm, kéo dài ED cắt CB ở F. CMR : D ABC P DAED DFBD P DFEC Tính ED ; FB? Bài toán cho gì? Dạng toán gì? Để chứng minh 2 D đồng dạng có những phương pháp nào? Bài này sử dụng trường hợp đồng dạng thứ mấy? Sơ đồ chứng minh: a) GT ò chung = = 2 ò DABC P DAED (c.g.c) DABC P D AED (câu a) b) ò = ; = ò = chung ò DFBD P DFEC (g.g) c) Từ câu a, b hướng dẫn học sinh thay vào tỷ số đồng dạng để tính ED và FB. A E C M B D 1 1 + Ví dụ 2: Cho DABC cân tại A; BC = 2a; M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D và E trên AB; AC sao cho = . a) CMR : DBDM P DCME b) DMDE P DDBM c) BD . CE không đổi ? Để chứng minh DBDM P DCME ta cần chứng minh điều gì. ? Từ gt đ nghĩ đến 2D có thể P theo trường hợp nào (g.g) ? Gt đã cho yếu tố nào về góc. ( = ) ? Cần chứng minh thêm yếu tố nào ( = ) Hướng dẫn sơ đồ gt góc ngoài DDBM ò ò = ; = + ; = + DABC cân ò ò = ; = ò DBDM P DCME (gg) Câu a gt ò ò b) = ; CM = BM ò = ò = (gt) ; ò DDME P DDBM (c.g.c) c) Từ câu a : DBDM P DCME (gg) ị ị BD . CE = Cm . BM Mà CM = BM = = a ị BD . CE = (không đổi) Lưu ý: Gắn tích BD . CB bằng độ dài không đổi Bài đã cho BC = 2a không đổi A Q F B M D N C P E Nên phải hướng cho học sinh tính tích BD. CE theo a + Ví dụ 3: Cho DABC có các trung điểm của BC, CA, AB theo thứ tự là D, E, F. Trên cạnh BC lấy điểm M và N sao cho BM = MN = NC. Gọi P là giao điểm của AM và BE; Q là giao điểm của CF và AN. CMR: a) F, P, D thẳng hàng; D, Q, E thẳng hàng. b) DABC P DDQP * Hướng dẫn a) Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh 3 điểm thẳng hàng có nhiều phương pháp. Bài này chọn phương pháp nào? - Lưu ý cho học sinh bài cho các trung điểm đ nghĩ tới đường trung bình D. đ Từ đó nghĩ đến chọn phương pháp: CM cho 2 đường thẳng PD và FP cùng // AC ịF, P, D thẳng hàng PD là đường trung bình DBEC đ PD // AC FP là đường trng bình DABE đ FP // AC Tương tự cho 3 điểm D, Q, E PD = . EC = . = (Đơn vị EF // AB) (so le trong PD // AC) = 4 = 4 ò ò ; ò DABC P DDQP (c.g.c) Dạng chứng minh tam giác đồng dạng. II. Bài tập đề nghị + Bài 1: Cho DABC, AD là phân giác ; AB < AC. Trên tia đối của DA lấy điểm I sao cho . Chứng minh rằng. DADB P DACI; DADB P DCDI AD2 = AB. AC - BD . DC + Bài 2: Cho DABC; H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm 3 đường trung trực của D. Gọi E, D theo thứ tự là trung điểm của AB và AC. Chứng minh : D OED P D HCB D GOD P D GBH Ba điểm O, G, H thẳng hàng và GH = 2OG + Bài 3: Cho DABC có Ab = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm. Gọi M là trung điểm BC. Qua M kẻ đường vuông góc với BC cắt AC, AB lần lượt ở D, E. CMR : DABC P DMDC Tính các cạnh DMDC Tính độ dài BE, EC + Bài 4: Cho DABC; O là trung điểm cạnh BC. Góc = 600; cạnh ox cắt AB ở M; oy cắt AC ở N. Chứng minh: DOBM P DNCO Chứng minh : DOBM P DNOM Chứng minh : MO và NO là phân giác của và Chứng minh : BM. CN = OB2 Dạng 5: Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau Ví dụ 1: Bài 20 T 68 – SGK Cho hình thang ABCD (AB// CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng : OE = Oì D E A B F C Định hướng H:Bài cho đường thẳng EF // AB (và CD) TL: Các tam giác đồng dạng và các đoạn thẳng tỷ lệ H: EO và đoạn nào trên hình vẽ sẽ thường lập được tỷ số? TL: . H: Vậy OF trên đoạn nào? (gợi ý) TL: Sơ đồ giải OE = OF í = í = ; = ; = í í í DAEC DBOF DAOB P P P DADC DBDC DCOD í í EF // DC AB // CD í gt H: Vậy để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau (OE = OF) ta sẽ đưa về chứng minh điều gì? TL : = (1) H: OE; DC là cạnh của những tam giác nào? (DAEO; DADC, các tam giác này đã đồng dạng chưa? Vì dao? H: Đặt câu hỏi tương tự cho OF , DC. H: lập tỷ số bằng = TL: = ; = H: Vậy để chứng minh (1) ta cần chứng minh điều gì? TL: = H: Đây là tỷ số có được từ cặp tam giác đồng dạng nào? TL: D AOB; D COD H: Hãy chứng minh điều đó. Ví dụ 2: Bào 10 – T67 – SGK: Cho hình thang ABCD (AB // CD) đường thẳng song song với đáy Ab cắt các cạnh bên và các đường chéo AD, BD, AC và BC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q. CMR: MN = PQ Định hướng giải: Đây là bài tập mở rộng hơn so với ví dụ 1. Từ hệ quả của định lý Talet cho ta các tam giác đồng dạng và ta chứng minh được: D M A B Q C P N O E = = = (kéo dài AD cắt BC tại E rồi chứng minh ị = ị MN = PQ Ví dụ 3: Bài 32 – T77 – SGK Trên một cạnh của góc xoy ( ạ 1800), đặt các đoạn thẳng OA = 5cm, OB = 16cm. Trên cạnh thứ nhất của góc đó, đặt các đoạn thẳng OC = 8cm, OD = 10cm. a) Chứng minh hai tam giác OCB và OAD đồng dạng. x y D I C A B b) Gọi giao điểm các cạnh AB và BC là I, CMR: Hai tam giác IAB và IBC có các góc bằng nhau từng đôi một. 5 O 8 10 ị = ị DOBC P D ODA Góc O chung DIAB và DICD ta dễ nhìn thấy không bằng nhau. Do đó để chứng minh chúng có các góc bằng nhau từng đôi một ta đi chứng minh đồng dạng. Vì DOBC P DODA nên = (1) Mặt khác ta có (đối đỉnh) ị DBAI P DDCI (g.g) ị Ví dụ 4: Bài 36 – T72 – SGK Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 4cm, CD = 16cm và BD = 8cm Chứng minh : Ta chỉ xét chứng minh Xét DBAD và DDBC có AB // CD do đó : (so le trong ) D A B C ị ( cùng bằng ) ị DBAD P DDBC (c.g.c) ị Ví dụ 4: Bài 60 – T77 – SBT Tam giác ABC có hai trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ một điểm P bất kỳ trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL ( E thuộc BC, F thuộc AB) các trung tuyến Ak, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N Chứng minh rằng các đoạn thẳng FM, MN, NE bằng nhau. L B K E C P A M N O Định hướng giải: Từ giả thiết cho song song ta suy ra các tỷ lệ thức và tam giác đồng dạng Ta có : = (1) = (cùng ) ị = (2) ( ta có trung tuyến ) Từ (1) và (2) suy ra : = ị FM = FE Tương tự ta cũng có EN = EF và do đó suy ra MN = EF Vậy FM = MN = NE Tóm lại: Tam giác đồng dạng có nhiều ứng dụng trong giải toán. Khi ứng dụng để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau thì các phương pháp thường dùng ở đây là : * Đưa 2 đoạn thẳng cần quy bằng nhau về là tử của 2 tỷ số có cùng mẫu. * Chứng minh các đoạn thẳng cùng bằng một độ dài nào đó. * Đưa 2 góc cần chứng minh bằng nhau về là 2 góc tương ứng của 2 tam giác đồng dạng. * Chứng minh 2 tỷ số bằng nhau sau đó chứng minh tử bằng nhau suy ra 2 đoạn thẳng ở mẫu bằng nhau. Dạng 6 : toán ứng dụng thực tế I. Mục tiêu chung: - Học sinh biết vận dụng kiến thức về tam giá