Chuyên đề Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG. Chuyên đề 1 : Véc tơ và tọa độ véc tơ. A. tóm tắt lí thuyết. I. Hệ Trục toạ độ II. Tọa độ véc tơ. 1. Định nghĩa. 2. Các tính chất. Trong mặt phẳng cho , ta có : a. b. . c. . d. e. f cùng phương g. . 3. Ví dụ. Ví dụ 1. Tìmm tọa độ của véc tơ sau : Ví dụ 2. Cho các véc tơ : . a. Tìm toạ độ của véc tơ b. Tìm toạ độ của véc tơ sao cho c. Tìm các số để . Ví dụ. Trong mặt phẳng toạ độ cho các véc tơ : . a. Tìm toạ độ của véc tơ sau ; b. Tìm các số sao cho c. Tính các tích vô hướng Ví dụ 4. Cho Tìm để cùng phương. III. Toạ độ của điểm. Định nghĩa . 2. Mối liên hệ giữa toạ độ điểm và toạ độ của véc tơ. Trong mặt phẳng toạ độ cho hai điểm . Khi đó: a. . b. Toạ độ trung điểm của đoạn là : . c. Toạ độ trọng tâm của là : . d. Ba điểm thẳng hàng cùng phương. 3. Ví dụ. Ví dụ 1. Cho ba điểm . a. Chứng minh ba điểm không thẳng hàng. b. Tính chu vi . c. Tìm tọa độ trực tâm . Ví dụ 2. Cho ba điểm . a. Chứng minh thẳng hàng. b. Tìm toạ độ sao cho là trung điểm của . c. Tìm toạ độ điểm trên sao cho thẳng hàng. Ví dụ 3. Cho ba điểm . Chứng minh ba điểm tạo thành tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm . Tìm toạ độ điểm sao cho là hình bình hành. đường thẳng. Chuyên đề 1: phương trình đường thẳng. A. kiến thức cơ bản. I. Véc tơ chỉ phương và véc tơ pháp tuyến của đường thẳng. 1) Véc tơ pháp tuyến: Véc tơ được gọi là véc tơ pháp tuyến ( vtpt ) của đường thẳng nếu nó có giá . 2) Véc tơ chỉ phương: Véc tơ được gọi là véc tơ chỉ phương( vtcp) của đường thẳng nếu nó có giá song song hoặc trùng với đường thẳng . * Chú ý: - Nếu là véc tơ pháp tuyến và chỉ phương của đường thẳng thì các véc tơ cũng tương ứng là các véc tơ pháp tuyến và chỉ phương của đường thẳng . - Nếu là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng thì véc tơ chỉ phương là hoặc . - Nếu là véc tơ chỉ phương của đường thẳng thì véc tơ pháp tuyến là hoặc . II. Phương trình tổng quát của đường thẳng. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng đi qua và có véc tơ pháp tuyến . Khi đó phương trình tổng quát của được xác định bởi phương trình : (1). ( ) III. Phương trình tham số của đường thẳng. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng đi qua và có véc tơ chỉ phương . Khi đó phương trình tham số của được xác định bởi phương trình : (2) . ( ) * Chú ý : Nếu đường thẳng có hệ số góc k thì có véc tơ chỉ phương là IV. Chuyển đổi giữa phương trình tổng quát và phương trình tham số. 1. Nếu đường thẳng có phương trình dạng (1) thì . Từ đó đường thẳng có vtcp là hoặc . Cho thay vào phương trình (2) Khi đó ptts của là : (). 2. Nếu đường thẳng có phương trình dạng (2) thì vtcp . Từ đó đường thẳng có vtpt là hoặc . Và phương trình tổng quát của được xác định bởi : . * Chú ý : - Nếu thì pttq của là : . - Nếu thì pttq của là : B. bài tập cơ bản. I. Viết phương trình đường thẳng đi qua và có một vtcp . Ví dụ 1 : Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau : Đi qua và có một vtcp . Đi qua hai điểm và ; và ; và . Đi qua và . Đi qua và . II. Viết phương trình đường thẳng đi qua và có một vtpt . Ví dụ 2 : Viết phương trình tổng quát của đường thẳng trong các trường hợp sau : Đi qua và có một vtpt . Đi qua và Đi qua và . III. Viết phương trình đường thẳng đi qua và có hệ số góc k cho trước. + Phương trình đường thẳng có dạng . + áp dụng điều kiện đi qua . Ví dụ 3 : Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau : Đi qua và có hệ số góc . Đi qua và tạo với chiều dương trục góc . III. Luyện tập. 1. Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau : a. Đi qua và ; và ; b. Đi qua và có vtcp , nếu : + và . + và . c. Đi qua và . d. Đi qua và . e. Đi qua và với : + Trục . + Trục f. Đi qua và có hệ số góc . g. Đi qua và tạo với chiều dương trục góc . 2. Viết phương trình các cạnh biết : a. b. Trung điểm các cạnh là : c. và hai đường cao . d. và hai đường cao . e. hai trung tuyến . f. đường cao trung tuyến Chuyên đề 2: vị trí tương đối của hai đường thẳng. A. tóm tắtlí thuyết. I. Bài toán: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng có phương trình Hỏi: Hai đường thẳng trên cắt nhau, song song hay rùng nhau ? Trả lời câu hỏi trên chính là bài toán xét vị trí tương đối của hai đường thẳng. II. Phương pháp. Cách 1: Nếu thì hai đường thẳng cắt nhau. Nếu thì hai đường thẳng song song nhau. Nếu thì hai đường thẳng trùng nhau. Cách 2: Xét hệ phương trình (1) Nếu hệ (1) có một nghiệm thì hai đường thẳng cắt nhau và toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ. Nếu hệ (1) vô nghiệm thì hai đường thẳng song song nhau. Nếu hệ (1) nghiệm đúng với mọi thì hai đường thẳng trùng nhau. * Chú ý: Nếu bài toán không quan tâm đến toạ độ giao điểm, ta nên dùng cách 1. b. bài tập cơ bản. I. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng. Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong trường hợp cắt nhau: a) . b) c) II. Biện luận theo tham số vị trí tương đối của hai đường thẳng. Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng Tìm để hai đường thẳng cắt nhau. Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng Biện luận theo vị trí tương đối của hai đường thẳng. III. Luyện tập. Bài 1: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong trường hợp cắt nhau: a) . b) c) Bài 2: Biện luận theo vị trí các cặp đường thẳng sau a) b) Chuyên đề 3: góc giữa hai đường thẳng. A. tóm tắt lí thuyết. I. Định nghĩa: Giả sử hai đường thẳng cắt nhau. Khi đó góc giữa là góc nhọn và được kí hiệu là: . * Đặc biệt: - Nếu thì . - Nếu thì hoặc . II. Công thức xác định góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ. Trong mặt phẳng toạ độ , giả sử đường thẳng có phương trình Khi đó góc giữa hai đường thẳng được xác định theo công thức: * Nhận xét: Để xác định góc giữa hai đường thẳng ta chỉ cần biết véc tơ chỉ phương của chúng. b. bài tập cơ bản. I. Xác định góc giữa hai đường thẳng. Ví dụ: Xác định góc giữa hai đường thẳng II. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và tạo với đường thẳng cho trước một góc cho trước. Ví dụ 1: Cho đường thẳng và . Viết phương trình đường thẳng đi qua và tạo với một góc . Ví dụ 2: Cho cân đỉnh . Biết . Viết phương trình cạnh biết nó đi qua . Ví dụ 3: Cho hình vuông biết và . Viết phương trình các cạnh và các đường chéo còn lại. III. Luyện tập. Bài 1: Xác định góc giữa các cặp đường thẳng sau a) b) c) Bài 2: Cho hai đường thẳng Tìm để . Bài 3: Cho đường thẳng và . Viết phương trình đường thẳng đi qua và tạo với một góc . Bài 4: Cho cân đỉnh , biết: Viết phương trình đi qua . Bài 5: Cho hình vuông tâm và . Viết phương trình các cạnh, các đường chéo còn lại . Bài 6: Cho cân đỉnh , biết: Viết phương trình đi qua . Bài 7: Cho đều, biết: và Viết phương trình các cạnh còn lại. Đường tròn. A. Tóm tắt lý thuyết. 1. Phương trình chính tắc. Trong mặt phẳng cho đường tròn tâm bán kính . Khi đó phương trình chính tắc của đường tròn là : 2. Phương trình tổng quát. Là phương trình có dạng : Với. Khi đó tâm , bán kính . 3. Bài toán viết phương trình đường tròn. Ví dụ 1. Viết phương trình đường tròn đường kính , với . Đáp số : hay . Ví dụ 2. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp , với . Đáp số : . Ví dụ 3. Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm và tiếp xúc với đường thẳng . Đáp số : . Ví dụ 4. Viết phương trình đường tròn qua và tiếp xúc với hai trục toạ độ. Đáp số : hoặc . 4. Bài toỏn tỡm tham số để phương trỡnh dạng là phương trỡnh của một đường trũn. Điều kiện : . Ví dụ 1. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của một đường tròn. Xác định tâm và tính bán kính. a. . c. . b. . d. Đáp số : c ) . d) Ví dụ 2. Cho phương trình : . Tìm điều kiện của để pt trên là đường tròn. Tìm quĩ tích tâm đường tròn. Ví dụ 3. Cho phương trình . a. Tìm điều kiện của để pt trên là đường tròn. b. Tìm quĩ tích tâm đường tròn. Ví dụ 4. Cho phương trình : . Tìm để là phương trình của một đường tròn. Tìm để là đường tròn tâm Viết phương trình đường tròn này. Tìm để là đường tròn có bán kính Viết phương trình đường tròn này. Tìm tập hợp tâm các đường tròn . II. BÀI TẬP. 1. Tìm phương trình đường tròn biết rằng : a. tiếp xúc với hai trục toạ độ và có bán kính . b. tiếp xúc với tại và có bán kính . c. Tiếp xúc với tại và đi qua . 2. Tìm phương trình đường tròn biết rằng : a. Tìm và qua gốc toạ độ. b. Tiếp xúc với trục tung và tại gốc và có . c. Ngoại tiếp với . d. Tiếp xúc với tại và qua . 3. Cho hai đi ểm . Lập phương trình đường tròn , biết : a. Đường kính . b. Tâm và đi qua ; T âm và đi qua . c. ngoại tiếp . 4. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm : a. . b. . B. Bài tập cơ bản. 1. Viết phương trình đường tròn có tâm là điểm và thoả mãn điều kiện sau : a. có bán kính b. tiếp xúc với . c. đi qua gốc toạ độ . d. tiếp xúc với . e. tiếp xúc với đường thẳng 2. Cho ba điểm . a. Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp . b. Tìm toạ độ tâm và tính bán kính. 3. Cho đường tròn đi qua điểm và có tâm ở trên đường thẳng . a. Tìm toạ độ tâm của đường tròn . b. Tính bán kính . c. Viết phương trình của . 4. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm và tiếp xúc với đường thẳng . 5. Lập phương trình đường tròn đường kính trong các trường hợp sau : a. . b. . 6. Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục toạ độ và đi qua điểm . 7. Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của các đường tròn sau : a. d. b. e. c. . f. 8. Viết phương trình đường tròn đường kính trong các trường hợp sau : a. b. 9. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp biết : 10. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục toạ độ và : a. Đi qua b. Có tâm thuộc đường thẳng . 11. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với trục hoành tại điểm và đi qua điểm 12. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm và tiếp xúc với đường thẳng .