. Tóm tắt giáo khoa .
1. Vectơ n
G
khác 0
G
vuông góc đường thẳng ∆gọi là vectơpháp tuyến(VTPT)
của ∆.
• Phương trình của đường thẳng qua M0( x0; y0) và có VTPT n
G
= (a ;
b) là : a(x – x0) + b(y – y0)
• Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng : ax
+ by + c = 0
trong đó n
G
= (a ; b) là một VTPT .
• ∆vuông góc Ox Ù ∆: ax + c = 0
∆vuông góc Oy Ù ∆: by + c = 0
∆qua gốc O Ù ∆: ax + by = 0
∆qua A(a ; 0) và B(0 ; b) Ù ∆:
xy1
ab+ = ( Phương
trình theo đọan chắn )
• Phương trình đường thẳng có hệsốgóc là k : y = kx +
m với k = tanφ, φlà góc hợp bởi tia Mt của ∆ ởphía trên Ox và tia
Mx
2. Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1= 0 và ∆2: a2x + b2y + c2= 0
Tính D = a1b2– a2b1, Dx= b1c2– b2c1, Dy= c1a2– c2a1
•
101 trang |
Chia sẻ: oanh_nt | Lượt xem: 1412 | Lượt tải: 2
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Chuyên đề Phương pháp tọa độtrong mặt phẳng, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
1
Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa
Phương Pháp Tọa Độ
Trong Mặt Phẳng
www. saosangsong.com.vn
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
2
§ 1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
A. Tóm tắt giáo khoa .
1. Vectơ n
G
khác 0
G
vuông góc đường thẳng ∆ gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT)
của ∆ .
• Phương trình của đường thẳng qua M0( x0 ; y0 ) và có VTPT n
G
= (a ;
b) là : a(x – x0) + b(y – y0)
• Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng : ax
+ by + c = 0
trong đó n
G
= (a ; b) là một VTPT .
• ∆ vuông góc Ox Ù ∆ : ax + c = 0
∆ vuông góc Oy Ù ∆ : by + c = 0
∆ qua gốc O Ù ∆ : ax + by = 0
∆ qua A(a ; 0) và B(0 ; b) Ù ∆ : x y 1
a b
+ = ( Phương
trình theo đọan chắn )
• Phương trình đường thẳng có hệ số góc là k : y = kx +
m với k = tanφ , φ là góc hợp bởi tia Mt của ∆ ở phía trên Ox và tia
Mx
2. Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2 : a2x + b2y + c 2 = 0
Tính D = a1 b 2 – a2 b1, Dx = b1 c 2 – b2 c1 , Dy = c 1 a 2 – c2 a1
• ∆1 , ∆2 cắt nhau Ù D ≠ 0 . Khi đó tọa độ giao điểm là :
x
y
Dx
D
D
y
D
⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
• ∆1 // ∆2 Ù x
y
D 0
D 0
D 0
=⎧⎪ ≠⎡⎨⎢⎪ ≠⎣⎩
• ∆1 , ∆2 trùng nhau Ù D = Dx = Dy = 0
Ghi chú : Nếu a2, b2 , c2 ≠ 0 thì :
• ∆1 , ∆2 cắt nhau Ù Ù
2
1
2
1
b
b
a
a ≠ .
n
G
a
G
∆
φ
M
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
3
• ∆1 // ∆2 Ù
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a ≠=
• ∆1 , ∆2 trùng nhau Ù
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a ==
B. Giải tóan .
Dạng tóan 1 : Lập phương trình tổng quát của đường thẳng : Cần nhớ :
• Phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) và vuông góc n
G
= (a;
b) là : a(x – x0 ) + b(y – y0) = 0
• Phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) và cùng phương
)a;a(a 21= là :
2
o
1
o
a
yy
a
xx −=−
• Phương trình đường thẳng song song đường thẳng : ax + by + c = 0 có
dạng : ax + by + m = 0 với m ≠ c .
• Phương trình đường thẳng qua M(x0 ; y0 ) :
a(x – x0 ) + b(y – y0) = 0 ( a2 + b2 ≠ 0 )
• Phương trình đường thẳng qua A(a ; 0) và B(0 ; b) là : x y 1
a b
+ =
Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có A(3 ; 2) , B(1 ; 1) và C(- 1; 4) . Viết phương
trình tổng quát của :
a) đường cao AH và đường thẳng BC .
b) trung trực của AB
c) đường trung bình ứng với AC
d) đuờng phân giác trong của góc A .
Giải a) Đường cao AH qua A(3 ; 2) và vuông góc BC
JJJG
= (- 2 ; 3) có phương trình
là : - 2( x – 3) + 3(y – 2) = 0 Ù - 2x + 3y = 0
Đường thẳng BC là tập hợp những điểm M(x ; y) sao cho )1y;1x(BM −−=
cùng phương )3;2(BC −= nên có phương trình là : x 1 y 1
2 3
− −=− ( điều kiện cùng
phương của hai vectơ) Ù 3(x – 1) + 2(y – 1) = 0 Ù 3x + 2y – 5 = 0
b) Trung trực AB qua trung điểm I( 2 ; 3/2 ) của AB và vuông góc AB
JJJG
= (- 2 ; -
1) nên có phương trình tổng quát là : 2(x – 2) + 1.(y – 3/2) = 0 Ù 4x + 2y – 11 =
0
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
4
c) Đường trung bình ứng với AB qua trung điểm K( 0 ; 5/2) và cùng phương AB
JJJG
= (- 2 ; - 1) . Đường này là tập hợp những điểm M(x ; y) sao cho
)
2
5y;0x(KM −−= cùng phương )1;2(AB −−= nên có phương trình là :
x 0 y 5 / 2
2 1
− −= ( điều kiện cùng phương của hai vectơ)
Ù x – 2y + 5 = 0
d) Gọi D(x ; y) là tọa độ của chân đường phân giác trong . Theo tính chất của
phân giác : DB AB
ACDC
= −
JJJG
JJJG
Mà AB = 2 2 2 22 1 5,AC 4 2 2 5+ = = + = , do đó :
DB 1 2DC DC
2DC
= − = −
JJJG JJJJJG JJJGJJJG
Ù 2(1 x) x 1 x 1/ 3
2(1 y) y 4 y 2
− = + =⎧ ⎧⎨ ⎨− = − =⎩ ⎩
Vậy D = (1/3 ; 2) . Vì yA = yD = 2 nên phương trình AD là y = 2 .
Ví dụ 2 : Cho hình chữ nhật ABCD , phương trình của AB : 2x – y + 5 = 0 ,
đường thẳng AD qua gốc tọa độ O , và tâm hình chữ nhật là I( 4 ; 5 ) . Viết
phương trình các cạnh còn lại
Giải Vì AD vuông góc với AB nên VTPT n
G
= (2 ; - 1) của AB là VTCP của AD
Phương trình AD qua O là : x y
2 1
= − Ù x + 2y = 0
Tọa độ A là nghiệm của hệ :
2x y 5 0
x 2y 0
− + =⎧⎨ + =⎩
Giải hệ này ta được : x = - 2 ; y = 1 => A(- 2 ; 1)
I là trung điểm của AC , suy ra :
A C I C
A C I C
x x 2x 8 x 10
y y 2y 10 y 9
+ = = =⎧ ⎧⎨ ⎨+ = = =⎩ ⎩
: C(10 ; 9)
Đường thẳng CD song song với AB nên n
G
= (2 ; - 1)
cũng là VTPT của CD . CD qua C(10 ; 9) , do đó phương trình CD là :
2(x – 10) - (y – 9) = 0 Ù 2x – y – 11 = 0
Đường thẳng BC qua C và song song AD , do đó phương trình BC là :
A B
D C
I
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
5
Ù(x – 10) + 2(y – 9) = 0 Ù x – 2y – 28 = 0
Ví dụ 3 : Cho đường thẳng d : 3x – 4y – 12 = 0 .
a) Tính diện tích của tam giác mà d hợp với hai trục tọa độ .
b) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng của d qua trục Ox .
c) Viết phương trình đường thẳng d” đối xứng của d qua điểm I(- 1 ; 1) .
Giải : a) Cho x = 0 : - 4y – 12 = 0 Ù y = - 3 => d cắt Oy tai A(0 ; - 3)
Cho y = 0 : 3x – 12 = 0 Ù x = 4 => d cắt Ox tai B(4 ; 0)
Diện tích tam giác vuông OAB là : ½ .OA.OB = ½ . 3. 4 = 6 đvdt
b) Gọi A’(0 ; 3) là đối xứng của A
qua Ox . Ta có d’ qua A’ và B ,
cùng phương )3;4(B'A −= có
phương trình là :
3
3y
4
0x
−
−=− Ù
3x + 4y – 12 = 0
c) Gọi B1là đối xứng của B qua I
=> B1 (- 6 ; 2) . Đường thẳng d”
qua B1và song song với d , có phương trình :
3(x + 6) – 4(y - 2) = 0 Ù 3x – 4y + 26 = 0
*Ví dụ 4 : Viết phương trình đường thẳng qua M(3 ; 2) , cắt tia Ox tại A, tia
Oy tại B sao cho :
a) OA + OB = 12
b) hợp với hai trục một tam giác có diện tích là 12
Giải : Gọi A(a ; 0) và B(0 ; b) với a > 0 , b > 0 ,
phương trình đường thẳng cần tìm có dạng :
x y 1
a b
+ = . Vì đường thẳng qua M(3 ; 2) nên :
3 2 1
a b
+ = (1)
A
B
x
y
A
B
A’
B1
I
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
6
a) OA + OB = 12 Ù a + b = 12 Ù a = 12 – b (2)
Thế (2) vào (1) : 3 2 1
12 b b
+ =−
Ù 3b + 2(12 – b) = (12 – b)b
Ù b2 – 11b + 24 = 0
Ù b = 3 hay b = 8
• b = 3 : a = 9 , phương trình cần tìm : x y 1 x 3y 9 0
9 3
+ = + − =
• b = 8 : a = 4 , phương trình cần tìm : x y 1 2x y 8 0
4 8
+ = + − =
b) Diện tích tam giác OAB là ½ OA.OB = ½ ab = 12 Ù a = 24/b (3)
Thế (3) vào (1) : 3b 2 1
24 b
+ = Ù b2 + 16 = 8b
Ù (b – 4)2 = 0 Ù b = 4
Suy ra : a = 6 , phương trình cần tìm là : x y 1
6 4
+ = Ù 2x + 3y – 12 = 0
Dạng 3 : Tìm vị trí tương đối của hai đường thẳng .
Ví dụ 1 : Tìm vị trí tương đối của cac đường thẳng sau :
a) 9x – 6y – 1 = 0 , 6x + 4y – 5 = 0
b) 10x – 8y + 2/3 =0 ; 25x – 20y + 5/3 = 0
Giải a) Ta có : 9 6
6 4
−≠ nên hai đường thẳng cắt nhau .
b) Ta có : 10 8 2 / 3 2
25 20 5 / 3 5
−= = =− nên hai đường thẳng trùng nhau .
* Ví dụ 2 : Cho d : (m + 1)x – 2y + m + 1 = 0
d’ : mx - 3y + 1 = 0
a) Định m để hai đường thẳng cắt nhau . Tìm tọa độ giao điểm M.
b) Tìm m ∈ Z để tọa độ giao điểm là số nguyên .
Giải a) Tọa độ giao điểm M là nghiệm của hệ :
(m 1)x 2y m 1 0 (1)
mx 3y 1 0 (2)
+ − + + =⎧⎨ − + =⎩
Hai đường thẳng cắt nhau Ù D = 3mm2)1m(3
3m
21m −−=++−=−
−+
≠ 0
Ù m ≠ - 3
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
7
Ta có : Dx = 13
1m2
−
+−
= - 2.1 + 3(m + 1) = 3m +1
Dy = =++ m1
1m1m
m(m + 1) – 1.(m+1) = m2 - 1
Tọa độ giao điểm M :
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+
+=
+=
3m
1m-
D
D
=y
3m
1-3m- .
D
D =x
2
y
x
b) Ta có : x = 3(m 3) 8
m 3
− + +
+ = - 3 +
8
m 3+
y =
3m
83m +−+−
Để x và y ∈ Z thì 8 chia hết cho (m + 3)
Ù (m + 3) ∈ { ± 1 ; ± 2 ; ± 4 ; ± 8 }
Ù m ∈ {- 2 ; - 4 ; - 1 ; - 5 ; 1 ; - 7 ; 5 ; - 11 }
Ví dụ 3 : Cho đường thẳng d : 2x + y - 13 = 0 và điểm A (1 ; 1)
a) Viết phương trình đường thẳng d’ qua A và vuông góc d .
b) Tìm tọa độ hình chiếu của A lên d và tọa độ điểm A’ , đối xứng của A
qua A .
Giải a) Đường thẳng d’ vuông góc d nên VTPT n
G
= (2 ; 1) của d là VTCP của d’
. Suy ra phương trình của d’ là :
x 1 y 1
2 1
− −= Ù x – 2y + 1 = 0
b) Tọa độ giao điểm H của d và d ‘ thỏa hệ :
2x y 13 0
x 2y 1 0
+ − =⎧⎨ − + =⎩ Ù
x 5
y 3
=⎧⎨ =⎩ : H(5 ; 3) , là hình chiếu của
A lên d..
H là trung điểm của AA’ , suy ra :
)5;9('A:
5yy2y
9xx2x
AH'A
AH'A
⎩⎨
⎧
=−=
=−=
.
C. Bài tập rèn luyện
3.1. Cho đường thẳng d : y = 2x – 4
H
A
A’
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
8
a) Vẽ đường thẳng d . Xác định giao điểm A và B của d với Ox và Oy.Suy
ra diện tích tam giác OAB và khoảng cách từ O tới d.
b) Viết phương trình đường thẳng d’ song song với d , cắt Ox tại M , Oy
tại N sao cho MN = 3 5
3.2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d :
a) qua điểm A(1 ; - 2) và có hệ số góc là 3 .
b) qua B ( - 5; 2 ) và cùng phương a
G
= ( 2 ; - 5)
c) qua gốc O và vuông góc với đường thẳng : y = 2 3
4
x−
d) qua I(4 ; 5) và hợp với 2 trục tọa độ một tam giác cân .
e) qua A(3 ; 5) và cách xa điểm H(1 ; 2) nhất.
3.3 . Chứng minh các tập hợp sau là các đường thẳng :
a) Tập hợp những điểm M mà khoảng cách đến trục hoành gấp đôi khoảng
cách đến trục tung .
b) Tập hợp những điểm M thỏa 2 2 2MA MB 2MO+ = với A(2 ; 1 ) và B(
1 ; - 2)
3. 4 . Cho tam giác ABC có A(4 ; 1) , B(1 ; 7) và C(- 1; 0 ) . Viết phương trình
tổng quát của
a) Đường cao AH , đường thẳng BC .
b) Trung tuyến AM và trung trực của AB
c) Đường thẳng qua C và chia tam giác thành hai phần , phần chứa điểm A
có diện tích gấp đối phần chứa điểm B .
3. 5. Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB, BC và CA là :
AB : x – 3 = 0
BC : 4x – 7y + 23 = 0
AC : 3x + 7y + 5 = 0
a) Tìm tọa độ A, B, C và diện tích tam giác .
b) Viết phương trình đường cao vẽ từ A và C . Suy ra tọa độ của trực tâm H
3. 6.Cho hai đường thẳng d : mx – y + m + 1 = 0 và d’ : x – my + 2 = 0
a) Định m để hai đường thẳng cắt nhau . Tìm tọa độ giao điểm M , suy ra M di
động trên một đường thẳng cố định .
b) Định m để d và d’ và đường thẳng ∆ : x + 2y – 2 = 0 đồng quy.
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
9
3. 7. Cho hai điểm A(5 ; - 2) và B(3 ; 4) . Viết phương trình của đường thẳng d
qua điểm C(1 ; 1) sao cho A và B cách đều đường thẳng d .
3.8. Cho hình bình hành hai cạnh có phương trình 3x – y – 2 = 0 và x + y – 2 = 0 .
Viết phương trình hai cạnh còn lại biết tâm hình bình hành là I(3 ; 1) .
* 3. 9 . Cho tam giác ABC có trung điểm của AB là I(1 ; 3) , trung điểm AC là
J(- 3; 1) . Điểm A thuộc Oy và đường BC qua gốc tọa độ O . Tìm tọa độ điểm A ,
phương trình BC và đường cao vẽ từ B .
* 3.10. Cho điểm M(9 ; 4) . Viết phương trình đường thẳng qua M , cắt hai tia Ox
và tia Oy tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất .
* 3.11. Cho điểm M(3 ; 3) . Viết phương trình đường thẳng qua M , cắt Ox và Oy
tại A và B sao cho tam giác MAB vuông tại M và AB qua điểm I(2 ; 1) .
D. Hướng dẫn hay đáp số :
3.1. a) A(2 ; 0) , B(0 ; - 4) ; S = 4 đvdt .
Ta có :
5
4OH
16
5
16
1
4
1
OB
1
OA
1
OH
1
222 ==>=+=+=
b) Phương trình d’ có dạng : y = 2x + m , cắt Ox tại M(- m/2 ; 0) , cắt Oy
tại N(0 ; m) . Ta có MN =
2
5|m|ONOM 22 =+ = 3 5
Suy ra : m = ± 6 .
3.2 . a) y + 2 = 3(x – 1) Ù y = 3x – 5
b) 021y2x5
5
2y
2
5x =++−
−=+
c) y = x
3
4 ( hai đường thẳng vuông góc Ù tích hai hệ số góc là – 1)
d) Vì d hợp với Ox một góc 450 hay 1350 nên đường thẳng có hệ số góc là tan
450 = 1 hay tạn0 = - 1 , suy ra phương trình là : y = x + 1 ; y = - x + 9
e) Đường thẳng cần tìm qua A và vuông góc )3;2(AH −−= .
3.3 . a) Gọi (x ; y) là tọa độ của M : |y| = 2|x| Ù y = 2x hay y = - 2x
b) MO2 = x2 + y2 , MA2 = (x – 2)2 +(y – 1)2 , MB2 = (x – 1)2 + (y + 2)2 .
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
10
Suy ra : 3x – y – 5 = 0
3. 4 . c) Đường thẳng cần tìm qua điểm D sao cho : DA 2DB= −JJJG JJJGÙ D = (2 ; 5)
3. 5. a) A(3 ; - 2) ; B(3 ; 5) ; C(- 4 ; 1) , S = ½ .AB . CH = 47/ 2 đvdt
b) AH : y = 1 , AK : 7x + 4y – 13 = 0 , H(9/7 ; 1)
3. 6 . a) D = 1 – m2 ≠ 0 Ù m ≠ ± 1 , tọa độ giao điểm : 3
x
y
D m 2 1x 1
D m 1 m 1
D 1y
D m 1
+⎧ = = − = − −⎪⎪ + +⎨⎪ = =⎪⎩ +
=> x + y + 1 = 0 => M di động trên đường
thẳng : x + y + 1 = 0
b) Thế tọa độ của M vào đường thẳng x + 2y – 2 = 0 , ta được : m = - 2/3
3. 7. d là đường thẳng qua C :
• và qua trung điểm I(4 ; 1) của AB
• hay cùng phương )6;2(AB −=
3.8. Gọi AB : 3x – y – 2 = 0 và AD : x + y – 2 = 0 .
Giải hệ , ta đuợc A = (1 ; 1) . Suy ra C = (5 ; 1 ) .
CD : 3x – y – 14 = 0 ; BC : x + y – 6 = 0
* 3. 9 . A = (0 ; a) => B(2 ; 6 – a) và C(- 6 ; 2 – a)
BC qua gốc O nên OB và OC cùng phương Ù 2(2 – a) = (6 – a) ( - 6)
Ù a = 5 .
3. 10. Đặt A(a ; 0) và B(0 ; b) ,với a , b > 0 .Phương trình đường thẳng cần tìm
có dạng : 1=+
b
y
a
x . Đường này qua I Ù 149 =+
ba
Áp dụng bđt Côsi cho hai số : 1 =
abbaba
124.9249 =≥+
=> 72
2
112 ≥==>≥ abSab OAB
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
11
Vậy tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất là 72 khi ==== ba
ba
;18
2
149 8
và PT đường thẳng cần tìm là : 072941
818
=−+=+ yxyx
3.11. Đặt A(a ; 0) , B(0 ; b) , ta có : 0)3)(3()3)(3(. =−−+−−= baMBMA
Ù a + b = 6 (1)
Mặt khác phương trình đường thẳng AB : 1=+
b
y
a
x .
(AB) qua I(2 ; 1) Ù 112 =+
ba
Ù 2b + a = ab (2)
Thế (1) vào (2) : 2b + (6 – b) = (6 – b)b Ù b2 – 5b + 6 = 0
Ù b = 2 hay b = 3 .
Suy ra : (a = 4 ; b = 2) hay (a = 3 ; b = 3)
§ 2. Phương trình tham số của đường thẳng
A. Tóm tắt giáo khoa
1. a
G
khác 0
G
cùng phương với đường thẳng ∆ gọi là vectơ chỉ phương (VTCP)
của ∆ .
• Phương trình tham số của đường thẳng qua M0 (x0 ; y0)
và có VTCP a
G
= (a1 ; a2 ) là : o 1
o 2
x x ta
y y ta
= +⎧⎨ = +⎩
• Phương trình chính tắc của đường thẳng qua M0 (x0 ; y0) và
có VTCP a
G
= (a1 ; a2 ) là : o o
1 2
x x y y
a a
− −= ( a1 ≠ 0 và a2 ≠
0)
2. Nếu n
G
= (a; b) là VTPT của ∆ thì a
G
= (b ; - a) hay ( - b ; a)
là một VTCP của ∆ .
B. Giải toán.
Dạng toán 1 : Lập PT tham số . . . của đường thẳng
n
G
a
G
∆
M
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
12
• Tìm một điểm M(x0 ; y0 ) và một VTCP (a 1 ; a2) :
¾ phương trình tham số là :
⎩⎨
⎧
+=
+=
tayy
taxx
o
o
2
1
¾ phương trình chính tắc là : o 0
1 2
x x y y
a a
− −= − (a1, 2 ≠ 0)
¾ phương trình tổng quát là : a2(x – x0) – a1( y – y0) = 0
• Tìm một điểm M(x0 ; y0 ) và một VTPT (a ; b) => VTCP (b ; - a) .
Áp dụng như trên .
Ví dụ : Cho A( 1 ; 2) , B(3 ; - 4) , C(0 ; 6) . Viết PT tham số , chính tặc và tổng
quát của :
a) đường thẳng BC .
b) đường cao BH
c) đường thẳng qua trọng tâm G của tam giác ABC và song song với d
: 3x -7y = 0
Giải a) BC qua B(3 ; - 4) và có VTCP )10;3(−=BC nên có PTTS là :
⎩⎨
⎧
+−=
−=
ty
tx
104
33
=> PTCT là :
10
4
3
3 +=−
− yx
và PTTQ là : 0)4(3)3(10 =++− yx Ù 10x + 3y -18 = 0
b) Đường cao BH qua B(3 ; - 4) và vuông góc )4;1(−AC nên có VTCP là (4 ; 1) .
Suy ra PTTS :
⎩⎨
⎧
+−=
+=
ty
tx
4
43
PTCT :
1
4
4
3 +=− yx
PTTQ : 1(x – 3) – 4(y + 4) = 0 Ù x – 4y – 19 = 0
c) Đường thẳng song song với d : 3x – 7y = 0 nên vuông góc VTPT dn (3 ; - 7)
, suy ra VTCP là (7 ; 3) . Tọa độ trọng tâm G là : (4/3 ; 4/3 ) .
PTTS của đường thẳng cần tìm : ⎩⎨
⎧
−=
+=
ty
tx
33/4
73/4
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
13
PTCT :
3
3
4
7
3
4 −
=
− yx
PTTQ : 3(x – 4/3) – 7(y – 4/3) = 0 Ù 3x – 7y +
3
16 = 0
Dạng toán 2 : Tìm điểm của đường thẳng
Tọa độ điểm M của đường thẳng cho bởi PTTS . Ứng với mỗi t , ta được một
điểm của đường thẳng.
Bài toán thường đưa về việc giải một phương trình hay hệ phương trình mô tả tính
chất của điểm ấy.
Ví dụ : Cho đường thẳng d : ⎩⎨
⎧
+=
−=
ty
tx
31
23
a) Tìm trên d điểm M cách điểm A(4 ; 0) một khoảng là 5 .
b) Biện luận theo m vị trí tương đối của d và d’: (m + 1)x + my – 3m – 5 = 0
Giải : a) Tọa độ điểm M thuộc d cho bởi phương trình tham số của d : M =
(3 – 2t ; 1 + 3t) . Ta có : AM = (-1 – 2t ; 1 + 3t ) => AM2 = (1 + 2t)2 + (1 + 3t)2 =
13t2 + 10t + 2.
Ta có : AM2 = 25 Ù 13t2 + 10t + 2 = 25
Ù 13t2 + 10t – 23 = 0 Ù t = 1 hay t = - 23/13
Ù M = (1 ; 4) hay M = ( 85/13; - 56/13)
b) Thế phương trình tham số của d vào phương trình của d’ , ta được phương
trình tính tham số t của giao điểm , nếu có :
(m + 1)(3 – 2t) + m(1 + 3t) – 3m – 5 = 0
Ù (m – 2)t + m – 2 = 0 (1)
• m – 2 = 0 Ù m = 2 : (1) thỏa với mọi m Ù d và d’ có vô số điểm
chung Ù d , d’ trùng nhau.
• m – 2 ≠ 0 Ù m ≠ 2 : (1) có ngh duy nhất Ù d và d’ cắt nhau .
Ghi chú : Có thể biến đổi d về dạng tổng quát : 3x + 2y – 11 = 0 và biện luận
theo hệ phương trình 2 ẩn .
C. Bài tập rèn luyện .
3.12 : Cho đường thẳng d có hương trình tham số : x = 3 + 2
3
t ; y = 2 - 5
6
t (1)
a) Tìm một VTCP của d có tọa độ nguyên và một điểm của d . Viết một
phương trình tham số khác của d
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
14
b) Tìm trên d một điểm A có hoành độ gấp đôi tung độ .
c) Tìm trên d một điểm B cách gốc O một khoảng là 58 .
3. 13 . Cho tam giác ABC có A(1 ; - 2) , B(0 ; 4) và C(6; 3) . Tìm một VTCP, suy
ra phương trình tham số và chính tắc của các đường thẳng sau :
a) Đường thẳng d qua A và có một VTCP là (3 ; - 2 )
b) Đường trung trực của BC .
c) Đường thẳng AB
d) Đường trung bình của tam giác ABC ứng với cạnh BC .
e) Đường phân giác ngoài của của góc B
3.14 . Cho tam giác ABC với BC : 2x – y – 4 = 0 , đường cao BH : x + y - 2 = 0 ,
đường cao CK : x + 3 y + 5 = 0 . Viết phương trình các cạnh tam giác .
3.15. Cho hình chữ nhật ABCD có AB : 2x – y – 1 = 0 , AD qua M(3 ; 1) và tâm I
có tọa độ là ( - 1 ; ½ ) . Viết phương trình các cạnh AD , BC và CD .
*3. 16. Cho tam giác ABC có trung điểm M của AB có tọa độ (- ½ ; 0) , đường
cao CH với H(- 1; 1) , đường cao BK với K(1 ; 3) và biết B có hoành độ dương .
a) Viết phương trình AB .
b) Tìm tọa độ B, A và C
3.17 . Chọn câu đúng : Phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của
đường trung trực của AB với A(3 ; - 5) và B(5 ; 9) :
4 1
) )
2 7 7 7
4 7 4 7
) )
2 2
x t x t
a b
y t y t
x t x t
c d
y t y t
= + = +⎧ ⎧⎨ ⎨= + = +⎩ ⎩
= + = +⎧ ⎧⎨ ⎨= + = −⎩ ⎩
3.18 . Chọn câu đúng : Phương trình nào dưới đây là phương trình tổng quát của
đường thẳng qua A(4 ; - 5) và vuông góc với đường thẳng d :
4 3
1 2
x t
y t
= +⎧⎨ = − +⎩ là :
a) 3x + 2y – 2 = 0 b) 3x - 2y – 12 = 0
c) 2x – 3y – 23 = 0 d) 4x + 5y – 22 = 0
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
15
3.19 . Chọn câu đúng : Đường thẳng d : 3 2
5 2
x y+ −= xác định với hai trục tọa
độ một tam giác có diện tích là :
a) 64/5 b) 128/5 c) 16/ 5 d) đáp số khác
3.20 . Chọn câu đúng : Gọi d là đường thẳng qua M(4 ; - 3) và song song với
đường thẳng y = 2x – 4 .
a) d qua điểm ( 10 ; 10) b) trên d không có điểm nào có tọa độ là số nguyên
chẵn .
c) Cả (a) và (b) đều sai d) Cả (a) và (b) đều đúng .
3.21 . Chọn câu đúng : Cho tam giác ABC cân tại A(1 ; - 2) , trọng tâm là G(5 ;
6) . Phương trình đường thẳng BC là :
a) x + 2y + 27 = 0 b) x + 2y – 27 = 0
c) x – 2y – 27 = 0 d) 2x – y – 4 = 0
C. Hướng dẫn hay đáp Số.
3.12. a) a
G
= ( 4 ; - 5) , x = 3 + 4t , y = 2 – 5t b) Giải
xA = 2yA Ù t = 1/14
c) Dùng phương trình tham số của d : (3 + 4t)2 + (2 –
5t)2 = 58
3.13. a) x = 1 + 3t , y = - 2 – 2t b) x = 3 + 8t , y = 7/2 + 3t
c) Trung trực vuông góc )1;6( −=BC nên cùng phương vectơ (1 ; 6) . Suy ra
phương trình tham số là : ⎩⎨
⎧
+=
=
ty
tx
64
3.14 . BC và BH cắt nhau tại B(2 ; 0) . BC và CK cắt nhau tại C(1 ; - 2) . Phương
trình AB qua B và vuông góc CK là : 3(x – 2) – 1(y – 0) = 0 . . .
3.15. AD qua M và vuông góc AB có phương trình : 1.(x – 3) + 2(y – 1) = 0
Ù x + 2y – 5 = 0 .
Suy ra tọa độ A = AB ∩ AD = (7/5 ; 9/5) . Suy ra tọa độ C , đối xứng của A qua I
B C
A
G
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
16
. . .
*3. 16. a) Phương trình AB qua H và M : 2x + y + 1 = 0
b) B thuộc AB Ù B = (b ; - 2b – 1)
A đối xứng của B qua M Ù A = (- 1 – b ; 2b + 1) .
Mặt khác 0=BKAK Ù 5b2 + 5b – 10 = 0 Ù b = 1 .
Vậy B = (1 ; - 3) , A = (- 2 ; 3) , C = (3 ; 3)
3.17 . (d) 3.18. (a) 3.19. (a) 3.20. (b) 3.21. (b)
§ 3. Khoảng cách và góc
A. Tóm tắt giáo khoa .
I. 1. Khỏang cách từ M (x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 là :
d(M, ∆) =
22
0 ||
ba
cbyax o
+
++
*2. Gọi M’ là hình chiếu của M lên ∆ , thế thì :
22.' ba
cbyaxnkMM MM +
++== . Suy ra :
• M, N nằm cùng phía đối với ∆
Ù (axM + byM + c)( (axN+ byN + c) > 0
• M, N nằm khác phía đối với ∆
Ù (axM + byM + c)( (axN+ byN + c) < 0
* 3. Phương trình hai đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng :
a1x + b1 y + c1 = 0 và a2x + b2 y + c2 = 0 là :
0
2
2
2
2
22
2
1
2
1
111 =
+
++±
+
++
ba
cybxa
ba
cybxa
II. Góc ( không tù ) tạo ∆1: a1x+ b1y + c1 = 0 và ∆2 : a2x + b2y + c 2 = 0 là :
cos(∆1 ; ∆2 ) =
2
2
2
2
2
1
2
1
2121 ||
baba
bbaa
++
+
∆1 ┴ ∆2 Ù a1a2 + b1b2 = 0
B. Giải toán .
M
∆
M’
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
17
Dạng 1 : Tính khỏang cách và lập phương trình đường thẳng liên quan
đến khỏang cách
Ví dụ 1 :
a) Tính khoảng cách từ điểm A(1 ; 3) đến đường thẳng d : 3x – 4y + 4 = 0
b) Tình bán kính đường tròn tâm O tiếp xúc đường thẳng d : 2x +y + 8 = 0
c) Tính khoảng cách từ điểm P(3 ; 12) đến đường thẳng :
2
5 3
x t
y t
= +⎧⎨ = −⎩
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song : d : 5x + 3y – 5 = 0 và
d’ : 5x + 3y + 8 = 0
Giải a) d(A, d) =
2 2
3 4 4 3.1 4.3 4 5 1
5 53 4
A Ax y− + − += = =
+
b) Bán kính đường tròn là khoảng cách từ O đến đường thẳng
d :R = d(O , d) =
2 2
2.0 0 8 8
52 1
+ + =
+
c) Ta viết phương trình dưới dạng tổng quát :
2 5 3( 2) 5
1 3
x y x y− −= − − = −−
Ù 3x + y - 11 = 0
d(P, ∆ ) =
2 2
3.3 12 11 10 10
103 1
+ − = =
+
d) Chọn trên d : 5x + 3y - 5 = 0 điểm M ( 1; 0 ) , thế thì :
d(d , d’ ) = d(M, d) =
2 2
5.1 .0 8 13 13
2265 1
+ + = =
+
Ví dụ 2 :
a) Tìm trên trục hoành điểm cách đường thẳng : 2x + y – 7 = 0 một khoảng là
2 5
d
d'
M
d
O
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
18
b) Tìm trên đường thẳng d : x + y + 5 = 0 điểm cách đường thẳng d ‘ : 3x – 4y +
4 = 0 một khoảng là 2 .
c) Cho điểm M ( m – 2 ; 2m + 5 ) di động và điểm A (2 ; 1) cố định . Tìm giá trị
nhỏ nhất của khoảng cách AM khi m thay đổi .
Giải a) Gọi M(x , 0 ) là điểm cần tìm , ta có :
d(M , d) = 2 2 Ù 2 7 2 5 2 7 10
5
x
x
− = = − =
Ù 2x – 7 = 10 hay 2x – 7 = - 10 Ù x = 17/2 hay x = - 3/2
Vậy ta tìm được hai điểm M(17/2 ; 0 ) và M(- 3/2 ; 0 )
b) Gọi x là hoành độ của điểm M cần tìm , tung đô của M là : y = - x – 5 . Ta có
phương trình : d(M, d’ ) = 1
Ù − + =3 4 6 2
5
M Mx y
Ù − − − + =3 4( 5) 4 10x x
Ù | 7x +24 | = 10 Ù 7x + 24 = 10 hay 7x + 24 = -10
Ù x = - 2 hay x = - 34/ 7
Vậy ta tìm được hai điểm M(- 2; 0 ) và M(- 34/7 ; 0 )
c) Ta có :
2
2 5
x m
y m
= −⎧⎨ = +⎩ Ù
2 5 2 9 0
1 2
x y x y+ −= − + =
Vậy M di động trên đường thẳng d : 2x – y + 9 = 0 . Suy ra khoảng cách nhỏ
nhất của AM chính là : d(A, d) =
2.2 1 9 12
5 5
− + =
Ví dụ 3 :
a) Viết phương trình đường thẳng song song và cách đều hai đường thẳng song
song d : x – 3y – 1 = 0 và d’ : x – 3y + 7 = 0
b) Viết phương trình đường thẳng d :song song với đường thẳng d’ : 3x + 2y - 1 =
0 và cách d’ một khoảng là 13 và nằm trong nữa mặt phẳng bờ d’ và chứa
điểm gốc O.
d M
A
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
19
c) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A( 6 ; 4) và cách điểm B( 1 ; 2)
một khoảng là 5 .
GIẢI a) Đường thẳng cần tìm là tập hợp những điểm M(x ; y) sao cho :
d(M, d) = d(M, d’) Ù
2222 31
|73|
31
|13|
+
+−=
+
−− yxyx
Ù ⎢⎣
⎡
−+−=−−
+−=−−
7y3x1y3x
)VN(7y3x1y3x
Ù 2x – 6y + 6 = 0
Ù x – 3y + 3 = 0
b) Phương trình đường thẳng d song song
với d’ có dạng : 3x + 2y + m = 0 . Ta định
m để d(d , d’ ) = 13 .
Chọn trên d điểm A(0 ; ½) , ta có : d(d, d’)
= d(A ,d’ ) = 13 Ù
13.0 2.
2 13 1 13
13
m
m
+ +
= + =
Ù m + 1 = 13 hay m + 1 = - 13
Ù m = 12 hay m = - 14
Ù d’ : 3x + 2y + 12 = 0 hay d’ : 3x + 2y – 14 = 0
• Xét d’ : 3x + 2y + 12 = 0 . Chọn điểm M’ (0 ; - 6) thuộc d’
Thế tọa độ M’ vào d : 0.3 + 2( - 6) – 1 = - 13 > 0
Thế tọa độ O(0 ; 0) vào d : 0.3 + 0(2) – 1 = - 1 < 0
Vậy O và M’ cùng một phía đối với d tức d’ : 3x + 2y + 12 = 0 là đường thẳng
cần tìm .
Cách khác : Gọi M(x ; y) là điểm bất kì , ta có :
M(x ; y) ∈ d’ Ù d(M, d) 13 và O và M nằm cùng phía đối với d
O
5
d
d’
A
d’
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
20
Ù 13
13
1y2x3
0)10.20.3)(1y2x3(
13
13
|1y2x3|
−=−−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−−−−
=−−
Ù 3x – 2y + 12 = 0
c) Phương trình d là đường thẳng qua A (6 ; 4) có dạng :
a(x – 6) + b(y – 4) = 0 với a2 + b2 ≠ 0 .
Ù ax + by – 6a – 4b = 0 (1)
Ta có : d(B, d) = 5 Ù 5|462.1|
22
=
+
−−+
ba
baba Ù )(25)25( 222 baba +=+
Ù 20ab – 21b2 = 0 Ùb(20a – 21b) = 0
Ù b = 0 hay a =
20
21b
* Với b = 0 : (1) thành ax – 6a = 0 Ù x – 6 = 0 (chia hai vế choa a ≠ 0 , coi như
chọn a = 1)
* Với a =
20
21b : (1) thành 0
20
41
20
21 =−+ bbybx
Ù 21x + 20y – 41 = 0 ( Chia hai vế cho b/20 , coi như chọn b = 20 => a = 21 )
Vậy có hai đường thẳng thỏa
File đính kèm:
- PhuongphapToadophang.pdf