Chuyên đề Phương trình bậc hai một ẩn- Hệ thức vi-ét

Phòng GD & ĐT TP Tuy Hòa Trường THCS LÊ LỢI GV: TRẦN NHẬT. CHUYÊN ĐỀ DẠY TỰ CHỌN MÔN TOÁN 9 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN- HỆ THỨC VI-ÉT A) MỤC TIÊU: - Giúp đối tượng HS TB yếu nắm chắc cách giải các dạng phương trình bậc hai một ẩn và các dạng toán vận dụng hệ thức Vi-ét , gồm các vấn đề sau: 1) Phương pháp giải Phương trình bậc hai một ẩn: a) Giải theo Phương trình tích b) Giải theo công thức nghiệm c) Giải bằng phương pháp đồ thị d) Giải bằng cách đặt ẩn phụ (đưa về phương trình bậc hai ) e) Giải bằng cách dung hệ thực Vi-et để nhẩm nghiệm. 2) Giải và biện luận nghiệm phương trình bậc hai 3) Giải bài toán bằng cách lập phương trình . 4) Các dạng toán áp dụng hệ thức Vi-et. - Rèn luyện cho HS khả năng giải pt thành thạo và biết phân tích ; tổng hợp giải các pt một cách linh hoạt – nhanh – chính xác . Nắm vững phương pháp giải từng dạng pt. Biết tính nhẩm nghiệm pt theo Vi-et - Giáo dục HS tinh thần tự giác , ham học hỏi và yêu thích môn Toán. Biết vận dụng toán học vào các môn học khác và áp dụng vào đời sống KH kĩ thuật. - Tăng tính tự tin vào bản thân mình để học tốt môn toán . B) TÓM TẮT MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - HỆ THỨC VI-ET. I.CHUYÊN ĐỀ 1: Các phương pháp giải phương trình bậc hai một ẩn. 1) Giải theo phương trình tích: Có thể biến đổi tương đương để pt bậc hai thành pt tích. ( tích các thừa số bậc nhất). Ví dụ: Giải theo pt tích các pt sau: a) x - 5x + 6 = 0 x - 3x – 2x + 6 = 0 ( x- 3) ( x- 2) = O x = 3 hoặc x = 2 b ) x - 2x + 1 = 0 ó ( x – 1 )2 = 0 ó x = 1. 2) Phương pháp dùng công thức nghiệm: Bước 1: Lập biệt số: ∆ = b - 4ac. Bước 2: * Nếu ∆ > O : PT có hai nghiệm phân biệt : x = ; x= * Nếu PT có nghiệm kép x= x= -b/2a * Nếu < O : PT vô nghiệm Ví dụ: Dùng công thức nghiệm giải các phương trình sau: a) x - 5x + 6 = 0 ; b) x - 9x + 20 = 0 c) - = 2 . ; d) Các BT ở SGK và SBT toán 9 3) Phương pháp đồ thị : Tách pt bậc hai thành hai phần ở hai vế khác nhau. + Một vế có dạng hàm số : y= a.x + Một vế có dạng hàm số: y = ax + b Sau đó vẽ đồ thị của hai hàm số trên mặt phẳng tọa độ. Nếu đồ thị của ( D) y= a.x + b cắt đồ thị của (P): y = a.x2 thì hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình đã cho. Nếu đồ thì ( D) tiếp xúc với ( P) tại một điểm thì hoành độ tiếp điểm là nghiệm của pt đã cho. Nếu đồ thị ( D) nằm ngoài ( Không có điểm chung ) với ( P ) thì pt vô nghiệm Ví dụ: Giải các pt bậc hai sau bằng đồ thị: a) x2 – 3x + 2 = 0 ; b) –x2 + 4x – 4 = 0 . Tách bài a) thành hai hàm số có dạng : y = x2 ( P ) và y = 3x – 2 ( D) Bài b) : y = x2 ( P ) và y = 4x – 4 (D) Kết quả : a) (P) cắt (D) tại ( 1;1) và ( 2;4) nên pt có hai nghiệm là x= 1 hoặc x= 2 b) (P) cắt (D) tại 1 điểm ( 2 ; -4) nên pt có nghiệm kép là x= x= 2 . 4) Giải phương trình đưa về pt bậc hai ( bằng cách đặt ẩn phụ) a) Phương trình bậc cao: Giải bằng cách : * Đưa về pt tích * Dùng ẩn phụ Ví dụ: Giải các pt sau: 1) x4 + x3 + x + 1 = 0 Û x3 ( x + 1 ) + ( x + 1 ) = 0 Û ( x + 1 ) ( x3 + 1 ) = 0 Û ( x + 1 )2 ( x2 – x + 1 ) = 0 Û ( x + 1 ) = 0 hoặc x2 – x + 1 = 0 . Kq: pt có 1 nghiệm x = -1. b) Phương trình trùng phương: Là pt có dạng ax4 + bx2 + c = 0 ( a ≠ 0 ) * Cách giải: Đặt ẩn phụ X = x2 ≥ 0 . Ta được pt bậc hai: ax2 +bx + c = 0 . Ứng với mỗi pt trung gian ẩn X được hai nghiệm có giá trị đối nhau của pt đã cho Ví dụ: Giải pt trùng phương sau: 1) x4 – 29x2 + 100 = 0 ; 2) 4x4 – x2 – 5 = 0 ; 3) x4 – 8x2 + 16 = 0 4) 2x4 – x2 + 3 = 0 ; 5) 2x4 + 5x2 + 2 = 0. c) Phương trình có ẩn ở mẫu thức: Đối với pt có thể đưa về dạng ( P ; Q là các đa thức chứa ẩn số ) ta có thể dung thuật giải : Û P = 0 và Q ¹ 0 Ví dụ : giải các pt sau: 1) ; 2) d) Dùng các ẩn phụ để giải các pt: Ví dụ: 1) ( 1- ) 2 - 3( 1- ) – 4 = 0 ; Đặt ( 1- ) = t Ta được pt: t2 -3t – 4 = 0 2) . Đặt . Thì .Ta được pt: e) Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối: * Cách giải: Dạng : 1) ½f(x) ½ = k Û f(x) = ± k với k > 0 . Nếu k < 0 thì pt vô nghiệm 2) ½f(x) ½ = g(x) với g(x) < 0 : Pt vô nghiệm Với g(x) >0 thì pt Û f(x) = ± g(x) 3) ½f(x) ½ = ½ g(x)½ Û f(x) = ± g(x) Ví dụ: Giải các pt sau: 1) ½x2 – 4x + 3 ½ = ½ 2x - 6½ ; 2) ½2x2 – 3x +1 ½ = ½ x2 – 5x + 4½ 3) ½x2 - 1 ½ = x + 3 ; 4) ½x2 – 3x +2 ½ = x2 – 2x . 5) Phương trình bậc hai có chứa tham số m: a) Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện của đề bài là pt có hai nghiệm p/b hay pt có nghiệm kép hay pt vô nghiệm. PHƯƠNG PHÁP: + Lập biệt số ∆ ( hoặc ∆’ ) của pt bậc hai theo m . + Nếu pt có hai nghiệm p/b : ∆ > 0 hoặc ∆’ > 0 Pt có nghiệm kép thì: ∆ = 0 hoặc ∆’ = 0 Pt vô nghiệm thì : ∆ < 0 hoặc ∆’ < 0 + Từ một trong các điều kiện đã nêu trên giải tìm giá trị của tham số m. Ví dụ: 1/ Tìm giá trị của tham số m để pt : x2 – 3mx + m2 – 1 = 0 có 2 nghiệm p /b? 2/ Tìm giá trị của tham số m để pt ( m +7) x2 – 2 ( m – 9 ) x – 7m + 15 = 0 có ngh.kép 3/ Tìm giá trị của tham số m để pt ( m – 3)x2 – 2(3m+1)x + 9m – 2 = 0 vô nghiệm. Kết quả: 1/ m ∊ R ; 2/ m = 1 hoặc m = -3 ; 3/ m < 1/7. b) Giải và biện luận về số nghiệm của pt bậc hai: PHƯƠNG PHÁP: B1: Lập biệt số ∆ hoặc ∆’. B2: Biện luận trong ba trường hợp của ∆ hoặc ∆’: + Nếu: ∆ > 0 hoặc ∆’ > 0 . Suy ra m để pt có 2 nghiệm p/b .Tính ngh. P/b đó. + Nếu: ∆ = 0 hoặc ∆’ = 0 . Suy ra m để pt có nghiệm kép . Tính ngh. Kép đó + Nếu: ∆ < 0 hoặc ∆’ < 0 . Suy ra m để pt vô nghiệm. Ví dụ: Giải và biện luận nghiệm của các pt bậc hai sau: x2 – 2(m + 1) x + m2 – 3 = 0 x2 – ( m + 3 ) x + 3m + 4 = 0 . Đáp số: m < 2 : Pt có 2 ngh. p/b. m = 2: PT có nghiệm kép ; m > 2: Pt vô nghiệm. 3) x2 – 3(m + 4 )x – ( m + 3 )2 = 0 . ĐS: Pt luôn có hai nghiệm p/b với mọi m mx2 – 2(m+1)x + m – 5 = 0 . Đáp số: m = 0 : Pt có 1 ngh.: x = -5/2 m > -1/7 : PT có hai ngh. p/b ; m < -1/7. 6) Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn: a) Các bước giải : B1: Lập pt: * Chọn ẩn cho đại lượng cần tìm ( Đặt đ/k & đơn vị của ẩn nếu có) * Biểu thị các đại lượng còn lại theo ẩn * Biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng để lập phương trình B2: Giải phương trình B3: Kiểm nghiệm và trả lời kết quả. b) Các dạng toán: Chọn lọc ba loại cơ bản theo SGK và SBT để cho HS rèn luyện giải toán + Lọai tìm hai số - phân chia đồng đều – toán liên quan đến các môn học khác như vật lí – hóa học..v.v + Loại toán chuyển động + Loại toán năng suất. II. CHUYÊN ĐỀ 2: VẬN DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT: I.Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai. PHƯƠNG PHÁP: Vận dụng một trong ba điều sau: a) Biết được : S = x + x = -b/a ; P = x . x = c/a . Suy ra x và x b) Biết được : a + b + c = 0 . Suy ra : x = 1 ; x = c/a c) Biết được : a – b + c = 0 . Suy ra : x = -1 ; x = - c/a. Ví dụ: Tính nhẩm nghiệm của các pt sau: 1) x2 – 9x + 14 = 0 ; 2) 2x2 – 11x + 9 = 0 ; 3) 3x2 + 7x + 4 = 0 II. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x và x : PHƯƠNG PHÂP: B1: Lập tổng S và tích P. B2: Lập phương trình có dạng là: X2 – SX + P = 0 Ví dụ: Lập pt bậc hai biết 2 nghiệm; 1) 5 và -3 ; 2) 2 và 2 ; 3) và 1 - III. Tìm hai số thỏa điều kiện đề bài cho biết: PHƯƠNG PHÁP: Vận dụng định lí Vi-ét về tổng , tích hai nghiệm của pt bậc hai. Ví dụ: Tìm hai số: a) a+b = 5 và a2 + b2 = 13. b) a – b = 2 và ab = 80 c) a2 + b2 = 29 và ab = 10 Giải: a) Tìm tích ab: Ta có ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 Û 25 = 13 + 2ab Û ab = 6 .Ta có P= 6 và S = a + b = 5 . Vậy a ; b là nghiệm của pt: x2 - 5x +6 = 0 . giải pt này ta được : x= 3 ; x= 2. Nếu a = 3 thì b = 2 . nếu a = 2 thì b = 3. Đáp số bài b) Ta được pt: : x2 - 2x – 80 = 0 . giải pt này ta được : x= 10 ; x= -8. Nếu a = 10 thì b = -8 . nếu a = -8 thì b = 10. c) TH: a + b = 7 .Ta được pt: : x2 - 7x + 10 = 0 . giải pt này ta được : x= 5 ; x= 2. Nếu a = 5 thì b = 2 . nếu a = 2 thì b = 5 TH: a + b = -7 . Ta được pt: : x2 + 7x + 10 = 0 . giải pt này ta được : x=- 5 ; x=- 2. Nếu a = -5 thì b =- 2 . nếu a = -2 thì b = -5. IV. Tính giá trị của biểu thức theo nghiệm phương trình bậc hai bằng cách không giải phương trình: PHƯƠNG PHÁP: B1: Xét biệt số ∆ = b2 - 4ac > 0 thì pt có hai nghiệm phân biệt : x ; x ( hoặc ∆’ ) B2: Tìm tổng S và tích P B3: Biến đổi biểu thức đã cho thành một biểu thức mới chỉ chứa S và P B4: Thay giá trị của S và P ( tìm được ở bước 2 ) vào biểu thức mới đó rồi tính ra kết quả cần tìm. Ví dụ1: Cho pt: x2 - 6x + 8 = 0 . Không giải pt hãy tính: a) A = x2 + x2 ; b) B = + ; c) C = x2 - x2 Giải: a) Ta có : ∆’ = b’2 – ac = 9 – 8 = 1 > 0 . PT có 2 nghiệm x ; x Tổng : S = x+ x= -b/a = 6 và tích: P = x. x=c/a = 8 Do đó: A = x2 + x2 = ( x+ x)2 - 2 x . x = S2 – 2P = 36 – 16 = 20 Đáp số bài : B = 3/4; C = } 12 V. LẬP MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ NGHIỆM THỎA MÃN BIỂU THỨC CHỨA HAI NGHIỆM CỦA MỘT PT CHO BIẾT: PHƯƠNG PHÁP: B1: Tìm tổng S và Tích P của hai nghiệm Pt muốn lập. B2: Lập Pt theo dạng X2 – SX + P = 0 * Chú ý: Dấu các nghiệm số một p/t bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) ∆ = b2 – 4ac P = xx = c/a S = x + x = -b/a P < 0 Hai nghiệm trái dấu P > 0 và ∆ ³ 0 S > 0 Hai nghiệm dương S < 0 Hai nghiệm âm Ví dụ 1: Lập p/t bậc hai biết hai nghiệm: a/ 1/3 và 1/ 2 ; b/ 1/3 và -1/4 ; c/ 3 và 2 ; d/ (2 + 3): 3 và (2 – 3):3 Ví dụ 2: Cho p/t : 3x2 – 10x + m = 0 . Hãy xác định giá trị của m để p/t có: a/ Một nghiệm bằng 0 ; b/ Hai nghiệm trái dấu ; c/ Hai nghiệm dương. Gợi ý: ∆’ = 25 – 3m ; P = xx = c/a = m/3 ; S = x + x = -b/a = 10/3 > 0 a/ P/t có một nghiệm bằng 0 khi m = 0 b/ P/t có 2 nghiệm trái dấu khi: m < 0 c/ P/t có hai nghiệm dương khi : 0 < m < 25/3 VI/ Tính giá trị của tham số có trong p/t bậc hai một ẩn thỏa mãn theo hệ thức cho trước: PHƯƠNG PHÁP: B1: Xét biệt số ∆ = b2 - 4ac > 0 thì pt có hai nghiệm phân biệt : x ; x ( hoặc ∆’ ). Tìm đ/k của tham số ( nếu có để p/t có nghiệm) B2: Tìm tổng S và tích P của pt B3: Biến đổi hệ thức hay biểu thức đã cho thành một biểu thức mới chỉ chứa tổng và tích của hệ thức Vi-et B4: Thay tổng S và tích P đã tính vào biểu thức ( hệ thức) mới để tìm giá trị tham số B5: Nhận xét , so với đ/k và trả lời . Ví dụ: 1/ Cho p/t: x2 + 4x + m + 1 = 0 . Tìm giá trị tham số m để 2 nghiệm x ; x của p/t thỏa hệ thức: x2 + x2 = 10. Gợi ý: - Đ/k của m để p/t có nghiệm khi: ∆’ = 22 – 1( m + 1 ) = - m + 3 ³ 0 ⇔ m ≤ 3 - Ta có: x + x = -b/a = -4 ; xx = c/a = m + 1 - Nên: x2 + x2 = 10 ⇔ ( x + x ) 2 - 2 xx= 10 ⇔ m = 2 ( thỏa mãn) Vậy khi m = 2 thì x ; x của p/t thỏa hệ thức: x2 + x2 = 10. 2/ Cho p/t bậc hai: x2 – ( 2m + 1 ) x + m2 + 2 = 0 . Tìm gía trị của tham số m để hai nghiệm x ; x của p/t thỏa hệ thức : 3 xx- 5 (x + x) + 7 = 0 . Gợi ý: - Đ/k: m ≥ 7/4 Tìm được : m = 2 và m = 4/3 Giá trị m = 2 thỏa mãn đ/k nên nhận. 3/ Cho p/t bậc hai: x2 – 8x + m = 0 . Tìm gía trị của tham số m để hai nghiệm x ; x của p/t thỏa hệ thức : 2x + 3x= 26. 4/ Cho p/t : 3x2 – mx + 2 = 0 . Tìm gía trị của tham số m để hai nghiệm x ; x của p/t thỏa hệ thức : 3xx= 2 x - 2. *********** 0 ********* Chúc các em học sinh tự rèn luyện nắm bắt tóm tắt được một số cách giải các dạng toán cơ bản trên trong giờ học tự chọn và tự học ở nhà và tăng niềm tin vào chính bản thân mình để học tốt hơn môn toán.