Chuyên đề Phương trình, bất phương trình vô tỉ, hệ phương trình và hệ bất phương trình qua các đề thi đại học

WWW.VNMATH.COM 1 Chuyên đề: ph−ơng trình, bất ph−ơng trình vô tỉ, hệ ph−ơng trình vμ hệ bất ph−ơng trình QUA CáC Đề THI ĐạI HọC Phần I: Ph−ơng trình vô tỉ Ph−ơng pháp 1:Ph−ơng pháp giải dạng cơ bản: 1/    f x g x      2 g x 0 f x g x   2/      f x g x h x  Bình ph−ơng hai vế 1-(ĐHQGHN KD-1997) 16x 17 8x 23   2-(ĐH Cảnh sát -1999) 2 2x x 11 31   3-(HVNHHCM-1999) 2x 4x 2 2x    4-(ĐH Th−ơng mại-1999) Giải vμ biện luận pt: 2m x 3x 2 x    5-(ĐHCĐ KB-2006) Tìm m để pt sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2x mx 2 2x 1    6-(ĐGKTQD-2000) 5x 1 3x 2 x 1 0      7-(ĐHSP 2 HN)     2x x 1 x x 2 2 x    8-(HVHCQ-1999) x 3 2x 1 3x 2     9-(HVNH-1998) 3x 4 2x 1 x 3     10-(ĐH Ngoại th−ơng-1999) 2 23 x x 2 x x 1      Ph−ơng pháp 2: ph−ơng pháp đặt ẩn phụ: I-Đặt ẩn phụ đ−a pt về pt theo ần phụ: Dạng 1: Pt dạng: 2 2ax bx c px qx r     trong đó a b p q  Cách giải: Đặt 2t px qx r   ĐK t 0 WWW.VNMATH.COM 2 1-(ĐH Ngoại th−ơng-2000)    2x 5 2 x 3 x 3x    2-(ĐH Ngoại ngữ -1998)    2x 4 x 1 3 x 5x 2 6      3-(ĐH Cần thơ-1999) 2(x 1)(2 x) 1 2x 2x     4- 2 24x 10x 9 5 2x 5x 3     5- 32 218x 18x 5 3 9x 9x 2     6- 2 23x 21x 18 2 x 7x 7 2      Dạng 2: Pt Dạng: P(x) Q(x) P(x).Q(x) 0      0  Cách giải: * Nếu  P x 0    P x 0 pt Q x 0     * Nếu  P x 0 chia hai vế cho  P x sau đó đặt    Q x t P x  t 0 1-(ĐHCĐ KA-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm: 4 23 x 1 m x 1 2 x 1     2-  2 32 x 3x 2 3 x 8    3-  2 32 x 2 5 x 1   Dạng 3: Pt Dạng :                2 2 P x Q x P x Q x 2 P x .Q x 0 0             Cách giải: Đặt            2t P x Q x t P x Q x 2 P x .Q x      1-(ĐHQGHN-2000) 2 21 x x x 1 x 3      2-(HVKTQS-1999) 23x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2        3-(Bộ quốc phòng-2002) 22x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 16        4- 24x 3 2x 1 6x 8x 10x 3 16        5-(CĐSPHN-2001) 2x 2 x 2 2 x 4 2x 2       WWW.VNMATH.COM 3 Dạng 4: Pt Dạng:   a cx b cx d a cx b cx n       Trong đó a,b,c,d,n lμ các hằng số ,c 0,d 0  Cách giải: Đặt  t a cx b cx( a b t 2 a b        1-(ĐH Mỏ-2001) 2 2x 4 x 2 3x 4 x     2-   3 x 6 x 3 x 6 x 3       3-(ĐHSP Vinh-2000) Cho pt:   x 1 3 x x 1 3 x m       a/ Giải pt khi m 2 b/Tìm các gt của m để pt có nghiệm 4-(ĐHKTQD-1998) Cho pt 1 x 8 x (1 x)(8 x) a       a/Gpt khi a 3 b/Tìm các gt của a để pt có nghiệm 5-TT ĐT Y tế tphcm-1999) Tìm các gt của m để pt có nghiệm x 1 3 x (x 1)(3 x) m       6-(ĐH Ngoại ngữ-2001) x 1 4 x (x 1)(4 x) 5       Dạng 5: Pt dạng: 2 2x a b 2a x b x a b 2a x b cx m           Trong đó a,b,c,m lμ hằng số a 0 Cách giải : Đặt t x b  ĐK: t 0 đ−a pt về dạng: 2t a t a c(t b) m      1-(ĐHSP Vinh-2000) x 1 2 x 2 x 1 2 x 2 1        2-(HV BCVT-2000) x 2 x 1 x 2 x 1 2      3-(ĐHCĐ KD-2005) 2 x 2 2 x 1 x 1 4      4-(ĐH Thuỷ sản -2001) x 5x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 2         5- x 3x 2 x 1 x 2 x 1 2       WWW.VNMATH.COM 4 6- Xét pt: x mx 6 x 9 x 6 x 9 6       a/ Giải pt khi m 23 b/ Tìm các gt của m để pt có nghiệm II-Sử dụng ẩn phụ đ−a pt về ẩn phụ đó ,còn ẩn ban đầu coi lμ tham số: 1-  2 26x 10x 5 4x 1 6x 6x 5 0       2-(ĐH D−ợc-1999)   2 2x 3 10 x x x 12     3-(ĐH D−ợc-1997)   2 22 1 x x 2x 1 x 2x 1      4-   2 24x 1 x 1 2x 2x 1     5-   2 22 1 x x x 1 x 3x 1      6-(ĐHQG-HVNH KA-2001) 2 2x 3x 1 (x 3) x 1     III-Sử dụng ẩn phụ đ−a về hệ pt: Dạng 1: Pt Dạng: n nx a b bx a   Cách giải: Đặt ny bx a  khi đó ta có hệ: n n x by a 0 y bx a 0        1-(ĐHXD-DH Huế-1998) 2x 1 x 1   2- 2x x 5 5   3- 2x 2002 2002x 2001 2001 0    4- (ĐH D−ợc-1996) 3 3x 1 2 2x 1   Dạng 2: Pt Dạng:  2ax b r ux v dx e     trong đó a,u, r 0 Vμ u ar d, v br e    Cách giải: Đặt uy v ax b   khi đó ta có hệ:    2 2 uy v r ux v dx e ax b uy v          1-(ĐHCĐ KD-2006) 22x 1 x 3x 1 0     2- 22x 15 32x 32x 20    3- 23x 1 4x 13x 5     4- 2x 5 x 4x 3    5- 2x 2 x 2   6- 2x 1 3 x x    WWW.VNMATH.COM 5 Dạng 3: PT Dạng:    n ma f x b f x c    Cách giải: Đặt    n mu a f x , v b f x    khi đó ta có hệ: n mu v cu v a b      1-(ĐHTCKT-2000) 3 2 x 1 x 1    2- 3 3x 34 x 3 1    3- 3 x 2 x 1 3    4- 44 97 x x 5   5- 44 18 x x 1 3    Ph−ơng pháp 3: Nhân l−ợng liên hợp: Dạng 1: Pt Dạng:    f x a f x b   Cách giải: Nhân l−ợng liên hợp của vế trái khi đó ta có hệ:         f x a f x b f x a f x a b        1- 2 24x 5x 1 4x 5x 7 3      2- 2 23x 5x 1 3x 5x 7 2      3- 3- (ĐH Ngoại th−ơng-1999 ) 2 23 x x 2 x x 1      4-(ĐH Th−ơng mại-1998) 2 2x 3x 3 x 3x 6 3      5-(HVKTQS-2001) 1 1 1 x 4 x 2 x 2 x       Dạng 2: Pt Dạng:         f x g x m f x g x   1-(HVBCVT-2001) x 34x 1 3x 2 5     2-(HVKTQS-2001) 3(2 x 2) 2x x 6     Ph−ơng pháp 4:Ph−ơng pháp đánh giá: 1- 2x 2 4 x x 6x 11      2- 2 2 2x x 1 x x 1 x x 2        3-(ĐHQGHN-Ngân hμng KD-2000) 24x 1 4x 1 1    4-(ĐH Nông nghiệp-1999) 2x 2x 5 x 1 2     WWW.VNMATH.COM 6 Ph−ơng pháp 5:Ph−ơng pháp đk cần vμ đủ: 1-Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất: x 2 x m   2- Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất x 5 9 x m    3- Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất 4 4x 1 x x 1 x m      Ph−ơng pháp 6: Ph−ơng pháp hμm số (Sử dụng đạo hμm) 1-(ĐHCĐ KB-2004) - Tìm m để pt sau có nghiệm :  2 2 4 2 2m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x          2- - Tìm m để các pt sau có nghiệm : 1*/ 24 x mx m 2    2*/ x 1 x 1 5 x 18 3x 2m 1         3--(ĐHCĐ KA-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm: 4 23 x 1 m x 1 2 x 1     4-(ĐHCĐKB-2007) CMR m 0  pt sau có 2nghiệm pb: 2x 2x 8 m(x 2)    5- 1*/ x x 5 x 7 x 16 14       2*/ 3x 1 x 4x 5     3*/ 22x 1 x 3 4 x     6-(HVAn ninh KA-1997)Tìm m để pt sau có nghiệm: 2 2x 2x 4 x 2x 4 m      WWW.VNMATH.COM 7 Phần II: BấT Ph−ơng trình vô tỉ Ph−ơng pháp 1: Ph−ơng pháp giải dạng cơ bản: 1/ 2 g(x) 0 f (x) 0 f (x) g(x) g(x) 0 f (x) g (x)       2/ 2 g(x) 0 f (x) g(x) f (x) 0 f (x) g (x)      3/ f (x) g(x) h(x)  Bình ph−ơng hai vế bpt 1-(ĐHQG-1997) 2x 6x 5 8 2x     2-(ĐHTCKT Tphcm-1999) 2x 1 8 x   3-(ĐH Luật 1998) 2x 2x 1 1 x    4-(ĐH Mỏ-2000) (x 1)(4 x) x 2    5-(ĐH Ngoại ngữ) x 5 x 4 x 3     6-(ĐHCĐKA-2005) 5x 1 x 1 2x 4     7-(ĐH Ngoai th−ơng-2000) x 3 2x 8 7 x     8-(ĐH Thuỷ lợi -2000) x 2 3 x 5 2x     9-(ĐH An ninh -1999) 5x 1 4x 1 3 x    10-(ĐHBK -1999) x 1 3 x 4    11-(ĐHCĐ KA-2004) 22(x 16) 7 xx 3 x 3 x 3      Ph−ơng pháp 2: Sử dụng các phép biến đổi t−ơng đ−ơng 1/ f (x) 0f (x) 0 g(x) 0g(x)     hoặc f (x) 0 g(x) 0   2/ f (x) 0f (x) 0 g(x) 0g(x)     hoặc f (x) 0 g(x) 0   WWW.VNMATH.COM 8 L−u ý: 1*/ 2 B 0A 1 B A B     2*/ B 0A 1 A 0B     hay 2 B 0 A 0 A B     1-(ĐHTCKT-1998) 251 2x x 1 1 x    2-(ĐHXD) 23x x 4 2 2 x      3-(ĐH Ngoại ngữ -1998) 21 1 4x 3 x    4-(ĐHSP) 2 x 4x 3 2 x     Ph−ơng pháp 2:Nhân biểu thức liên hợp: 1-(ĐHSP Vinh-2001)   2 2 x x 4 1 1 x     2-(ĐH Mỏ-1999)   22x x 21 3 9 2x 2    3- 2 24(x 1) (2x 10)(1 3 2x)     Ph−ơng pháp 3:Xác định nhân tử chung của hai vế: 1-(ĐH An ninh -1998) 2 2 2x x 2 x 2x 3 x 4x 5        2-(ĐHBK-2000) 2 2 2x 3x 2 x 6x 5 2x 9x 7        3-(ĐH D−ợc -2000) 2 2 2x 8x 15 x 2x 15 4x 18x 18        4-(ĐH Kiến trúc -2001) 2 2x 4x 3 2x 3x 1 x 1       Ph−ơng pháp 4: Đặt ẩn phụ: 1-(ĐH Văn hoá) 2 25x 10x 1 7 x 2x     2-(ĐH Dân lập ph−ơng đông -2000) 2 22x 4x 3 3 2x x 1     3-(HV Quan hệ qt-2000) 2(x 1)(x 4) 5 x 5x 28     4-(ĐH Y-2001) 2 22x x 5x 6 10x 15     5-(HVNH HCM-1999) 2 2x(x 4) x 4x (x 2) 2      6-ĐH Thái nguyên -2000) 3 13 x 2x 7 2x2 x     WWW.VNMATH.COM 9 7-(ĐH Thuỷ lợi) 2 14 x 2x 2 2xx     8-(HV Ngân hμng 1999) x 2 x 1 x 2 x 1 3 2      9- Cho bpt: 24 (4 x)(2 x) x 2x a 18       a/ Giải bpt khi a 6 b/Tìm a để bpt nghiệm đúng  x 2;4   10-Xác định m để bpt sau thoả mãn trên đoạn đã chỉ ra : 2(4 x)(6 x) x 2x m     trên 4;6 Ph−ơng pháp 5: Ph−ơng pháp hμm số: 1-(ĐH An ninh-2000) 27x 7 7x 6 2 49x 7x 42 181 14x        2- 2x x 7 2 x 7x 35 2x      3- 2x 2 x 5 2 x 7x 10 5 2x        4- Xác định m để bpt sau có nghiệm: a/ 4x 2 16 4x m    b/ 22x 1 m x   WWW.VNMATH.COM 10 Phần III: Hệ Ph−ơng trình A- một số hệ pt bậc hai cơ bản I-hệ pt đối xứng loại 1 1*/ Định nghĩa: f (x; y) 0 g(x; y) 0   Trong đó f (x; y) f (y;x),g(x; y) g(y;x)  2*/ Cách giải: Đặt S x y,P xy   ĐK: 2S 4P Dạng 1: Giải ph−ơng trình 1-(ĐHQG-2000) 2 2 x y xy 11 x y 3(x y) 28        2- x y y x 30 x x y y 35      3-(ĐHGTVT-2000) 2 2 x y xy 11 x y y x 30      4-(ĐHSP-2000) 2 2 4 4 2 2 x y xy 7 x y x y 21        5- (ĐH Ngoại th−ơng-1997) 2 2 2 2 1 1x y 5 x y 1 1x y 9 x y          6-(ĐH Ngoại th−ơng -1998) 2 2 4 2 2 4 x y 5 x x y y 13       7-(ĐHCĐKA-2006) x y xy 3 x 1 y 1 4         Dạng 2: Tìm ĐK để hệ có nghiệm: 1-(ĐHCĐKD-2004) Tìm m để hệ sau có nghiệm: x y 1 x x y y 1 3m       2- Tìm a để hệ sau có nghiệm: 2 2 x y xy a x y a      3-Cho hệ pt: 2 2x y x y 8 xy(x 1)(y 1) m         a/ Giải hệ khi m 12 b/ Tìm m để hệ có nghiệm WWW.VNMATH.COM 11 4-Cho hệ pt: 2 2 x xy y m 1 x y y x m       a/ Giải hệ khi m=-2 b/ Tìm m để hệ có ít nhất một nghiệm  x; y thoả mãn x 0, y 0  5- Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm:   2 2 2 x y 2(1 m) x y 4       6-(ĐHCĐKD-2007) Tìm m để hệ sau có nghiệm: 3 3 3 3 1 1x y 5 x y 1 1x y 15m 10 x y           Dạng 3: Tìm ĐK để hệ có nghiệm duy nhất. 1-(HHVKTQS-2000) Tìm mđể hệ sau có nghiệm duy nhất 2 2 x y xy m 2 x y y x m 1        2-(ĐHQGHN-1999) Tìm mđể hệ sau có nghiệm duy nhất: 2 x xy y 2m 1 xy(x y) m m        3- Tìm mđể hệ sau có nghiệm duy nhất: 2 2x y y x 2(m 1) 2xy x y 2(m 2)         Dạng 4: Hệ pt đối xứng ba ẩn số : Nếu ba số x, y,z thoả mãn x y z p,xy yz zx q,xyz r       thì chúng lμ nghiệm của pt: 3 2t pt qt r 0    1-Giải các hệ pt sau : a/ 3 3 3 x y z 1 xy yz zx 4 x y z 1            b/ 2 2 2 3 3 3 x y z 1 x y z 1 x y z 1          c/ x y z 9 xy yz zx 27 1 1 1 1 x y z           WWW.VNMATH.COM 12 2- Cho hệ pt: 2 2 2x y z 8 xy yz zx 4        Giả sử hệ có nghiệm duy nhất CMR: 8 8x, y,z 3 3    II-Hệ ph−ơng trình đối xứng loại 2 1*/ Định nghĩa f (x; y) 0 g(x; y) 0   trong đó :f (x; y) g(y;x),f (y;x) g(x; y)  2*/ Cách giải: Hệ pt f (x; y) g(x; y) 0 (x y)h(x; y) 0 f (x; y) 0 f (x; y) 0          x y 0 f (x; y) 0     hay h(x; y) 0 f (x; y) 0   Dạng 1: Giải ph−ơng trình: 1-(ĐHQGHN-1997) yx 3y 4 x xy 3x 4 y      2-(ĐHQGHN-1998) 3 3 x 3x 8y y 3y 8x      3-(ĐHQGHN-1999) 1 32x y x 1 32y x y      4-(ĐH Thái nguyên-2001) 3 3 x 1 2y y 1 2x      5-(ĐH Văn hoá-2001) x 1 7 y 4 y 1 7 x 4          6-(ĐH Huế-1997) 2 2 87x y 0 x 87y x 0 y        Dạng 2:Tìm đk để hệ có nghiệm: 1-(ĐHSP Tphcm-2001) Tìm m để hệ có nghiệm: x 1 y 2 m y 1 x 2 m          WWW.VNMATH.COM 13 2- Tìm m để hệ có nghiệm: 2x y 3 m 2y x 3 m        Dạng 3: Tìm đk để hệ có nghiệm duy nhất 1-(ĐHSP-Tphcm-2001) Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:  2 2 x 1 y a (y 1) x a        2- Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: 2 2 xy x m(y 1) xy y m(x 1)        3- Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất: 2 2 x y axy 1 y x axy 1        III - Hệ ph−ơng trình đẳng cấp: */ Hệ pt đ−ợc gọi lμ đẳng cấp nếu mỗi pt trong hệ có dạng 2 2ax bxy cy d   */ Cách giải: Đặt x ty */ L−u ý: Nếu (a;b) lμ nghiệm của hệ thì (b;a) cũng lμ nghiệm của pt. Dạng 1: Giải ph−ơng trình: 1-(ĐHPĐ-2000) 2 2 2 2 2x 3xy y 12 x xy 3y 11        2-(ĐHSP Tphcm-2000) 2 2 2 2 x 2xy 3y 9 2x 2xy y 2        3-(ĐH Mỏ-1998) 2 2 3 3 x y xy 30 x y 35      Dạng 2: Tìm đk để hệ có nghiệm, có nghiệm duy nhất 1-(ĐHQG HCM-1998) Tìm m để hệ sau có nghiệm : 2 2 2 2 3x 2xy y 11 x 2xy 3y 17 m         2-(ĐHAnninh2000)Tìm ađể hệ có nghiệm: 2 2 2 2 4 3 2 x 2xy 3y 8 2x 4xy 5y a 4a 4a 12 105            3-Tìm mđể hệ sau có nghệm diuy nhất: 2 2 2 2 2 2 x mxy y m 3m 2 x 2xy my m 4m 3            B- Một số ph−ơng pháp giải hệ pt : WWW.VNMATH.COM 14 Ph−ơng pháp 1:Ph−ơng pháp thế: 1-(ĐHSP Quy nhơn -1999) Cho hệ pt: 2 2 2 x y m 1 x y y x 2m m 3        1/ Giải hệ khi m 3 2/Tìm m để hệ trên có nghiệm 2-(ĐHCĐKB-2002) 3x y x y x y x y 2         3-(HVQY-2001) 2 2 2 2 x y x y 2 x y x y 4          4-(ĐH Huế-1997) Tìm k để hệ sau có nghiệm: 2 2x y 1 x y k      5-(ĐH Th−ơng mại-2000) Cho hệ pt: 2 2 x my m x y x 0      a. GiảI hệ khi m 1 b. Biện luận số nghiệm của pt c.Khi hệ có hai nghiệm phân biệt 1 1 2 2(x ; y );(x ; y ) tìm m để : 2 22 1 2 1A (x x ) (y y )    đạt giá tri lớn nhất 6-(SP TPHCM-1999) Tìm m để hệ sau có 3 nghiệm phân biệt: 3 3 x y 1 x y m(x y)      Ph−ơng pháp 2: ph−ơng pháp biến đổi t−ơng đ−ơng: 1-(ĐHGTVT TPHCM-1999) 2 2 xy 3x 2y 16 x y 2x 4y 33        HD:nhân pt đầu với 2 vμcộng với pt sau 2-(ĐHTh−ơng mại-1997) x xy y 1 y yz z 4 z zx x 9          3-(ĐHBKHN-1995) 2 2 2 2 x y z 7 x y z 21 xz y        4-(ĐHSPHN-2000) 2 2 2 2 2 y xy 6x 1 x y 5x      HD:chia cả hai vế của2pt cho 2x Ph−ơng pháp 3: Ph−ơng pháp đặt ẩn phụ: WWW.VNMATH.COM 15 1-(ĐH Ngoại ngữ-1999) x 16xy y 3 y 9xy x 2      2-(ĐH Công đoμn-2000) 2 3 2 x x( ) ( ) 12 y y (xy) xy 6      3-(ĐH Hμng hải-1999) x y 7 1 y x xy x xy y xy 78       (x 0, y 0)  4-(ĐH Thuỷ sản-2000) x 1 y 1 3 x y 1 y x 1 y 1 x 1 6              WWW.VNMATH.COM 16 Phần:IV Hệ Bất Ph−ơng trình A- Hệ bpt một ẩn số: Cho hệ:  1 2 f x 0(1) f (x) 0(2)   (I) Gọi 1 2S ,S Lần l−ợt lμ tập nghiệm của (1)&(2) S lμ tập nghiệm của (I) 1 2S S S   Tìm m để hệ sau có nghiệm: 1-(HVQH Quốc tế-1997) 2 2 x (m 2)x 2m 0 x (m 7)x 7m 0          2-(ĐH Th−ơng mại-1997) 2 2 2 x 2x 1 m 0 x (2m 1)x m m 0           3- 2 2 x (m 2)x 2m 0 x (m 3)x 3m 0          4-(ĐH Thuỷ lợi-1998) 2x 2mx 0 x 1 m 2m       5-(ĐH Th−ơng mại-1998) 2 3 2 x 3x 4 0 x 3x x m 15m 0         Tìm m để hệ sau vô nghiệm: 1- 2 2 x 1 0 (m x )(x m) 0       2- 2 2 2 x 6x 5 0 x 2(m 1)x m 1 0          3- 2 2 x 7x 8 0 m x 1 3 (3m 2)x         Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: 1- 2 2 x 3x 2 0 x 6x m(6 m) 0         2- 2 2 x 2x a 0 x 4x 6a 0        3- 2 2 4 2 x (2m 1)x m m 2 0 x 5x 4 0           B- Hệ bpt hai ẩn số: Tìm a để hệ sau có nghiệm: WWW.VNMATH.COM 17 1-(ĐHGTVT-2001) x y 2 x y 2x(y 1) a 2        2- 2 2x y 2x 2 x y a 0        3- 2 2 4x 3y 2 0 x y a      Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất: 1- 2 2x y 2x 1 x y a 0        2- x y 2xy m 1 x y 1       