Chuyên đề Phương trình căn thức

PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC I- Phương pháp 1: Biến đổi tương đương Dạng 1 : Phương trình Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của hay Dạng 2: Phương trình Dạng 3: Phương trình +) (chuyển về dạng 2) +) và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : Bài 1 : a)(ĐHXD) Giải pt b) (CĐSP MG 2004) c) (CĐSP NINH BÌNH) d) (CĐ hoá chất) e) (CĐ TP 2004) g) (CĐSP bến tre) h) (CĐ truyền hình 2007) ĐS: a) x=1. b) x=14/5 c) x=9. d)x=1 e) x=5 g) x=2 h) x=-1. Bài 2 : Giải pt . ĐK : x≤-3,x=-1,x≥1. -Với x=-1 Thoả mãn pt -Với x≤-3 thì VP<0 loại -Với x≥1 pt Tiếp tục bình phương 2 vế thu được x=1. Vậy pt có 2 nghiệm x=1 ; x=-1. Bài 3: Giải phương trình . ĐK: x≥2. pt KL: x=3; x= Bài 4 : a)(CĐSP 2004) Giải pt b) (ĐH-KD-2005) a) ĐK ; x≥1. Pt . Xét 1≤x≤2 : giải được nghiệm x=1 xét x>2 giải được x=5 b)x=3 II- Phương pháp 2 : Đặt ẩn phụ 1- Đặt ẩn phụ thông thường Bài 1: a)(ĐHNN-2001) Giải phương trình b) (CĐ Nha trang 2002) : Hdẫn: a) ĐK: -1≤x≤4. Đặt t=. Giải được t=-5 (loại), t=3. Giải t=3 được x=0. b) x= Bài 2 : (ĐH mỏ điạ chất) Giải pt ĐK : . Đặt t=. Giải được t=2 ; t=-4/3. +t=2 được x=0, x=2 +t=-4/3 được (loại) KL : Pt có 3 nghiệm. Bài 3: Giải phương trình ĐK: x≥2. Đặt . Thế vào phương trình giải được t=1; t=-2. từ đó giải được x=2. Bài 4: (Tham khảo 2002) giải phương trình ĐK:x≥4. Phương trình Đặt t=≥0. giải phương trình ẩn t được t=4; t=-3 (loại). Giải được x=5. 2- Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến : Chúng ta đã biết cách giải phương trình: (1) bằng cách Xét phương trình trở thành : thử trực tiếp Các trường hợp sau cũng đưa về được (1) Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này . a) Phương trình dạng : Bài 1. Giải phương trình: Điều kiện: Nhận xét. Đặt thì phương trình có dạng: Thay vào tìm được Bài 2. Giải phương trình: Giải Điều kiện: Đặt thì . Thay vào ta có phương trình sau: Ta tìm được bốn nghiệm là: Do nên chỉ nhận các gái trị Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: Bài 3. Giải phương trình sau: Điều kiện: Đặt thì phương trình trở thnh: ( với Từ đó ta tìm được các giá trị của Bài 4. (THTT 3-2005) Giải phương trình sau : Giải: đk Đặt pttt Bài 5. Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện: Chia cả hai vế cho x ta nhận được: Đặt , ta giải được. Bài 6. Giải phương trình : Giải: không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: Đặt t=, Ta có : Bài 7. Giải phương trình : Giải: Đặt Phương trình trở thành : Tìm được: Cách khác: Biến đổi phương trình Đặt ta có phương trình Bài 8: Đặt ta có phương trình ĐS: x=0;x=;x=4 Bài 9: giải phương trình sau : Giải: Đk: Nhận xt : Ta viết Đồng nhất thức ta được: Đặt , ta được: Ta được : Bài 10: Giải phương trình : Giải: Nhận xét : Đặt ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y : Pt có nghiệm : b).Phương trình dạng : Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên. Bài 1. giải phương trình : Giải: Ta đặt : khi đó phương trình trở thành : Bài 2.Giải phương trình sau : Giải Đk . Bình phương 2 vế ta có : Ta có thể đặt : khi đó ta có hệ : Do . Bài 3. giải phương trình : Giải: Đk . Chuyển vế bình phương ta được: Nhận xét : không tồn tại số để : vậy ta không thể đặt . Nhưng may mắn ta có : Ta viết lại phương trình: . Đến đây bài toán được giải quyết . 3- Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Từ những phương trình tích , Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát . Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau . Bài 1. Giải phương trình : Giải: , ta có : Với giải được Với vô nghiệm Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đặt : Khi đó phương trình trở thnh : Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn : Với giải được Với vô nghiệm Bài 3: Đặt ta có phương trình ĐS: 4- Đặt ẩn phụ đưa về hệ Bài 1) Giải phương trình ĐK:x-7. Đặt . Phương trình trở thành Giải được x=2; x= Cách khác: Biến đổi phương trình Bài 2) ĐK: Đặt ta được hệ phương trình Giải được Với với Cách khác: Biến đổi phương trình Bài 3: - Ph­¬ng tr×nh ®­îc chuyÓn thµnh hÖ VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 3 nghiÖm. Bài 4) ĐK: Đặt ta có hệ Bài 5) Đặt ta có hệ ĐS: x=4 Bài 6: Từ đó giải được x=1;x=-6 Bài 7: ĐK : x Từ đó giải được x=1;x=2;x=10 Bài 8: (KA-2009) Đặt , ta có hệ Từ đó giải được x=-2 III- Phương pháp 3: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Bài 1: a)(ĐHQG KD-2001) Giải phương trình . b) (CĐXD 2003) Hdẫn: a) ĐK: x≥1/2 Xét hàm số y= . HSĐB trên [1/2;+∞). Và f(1/2)=1. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=1/2. b)x=-1 là nghiệm . Các hàm số y=; y=; y=ĐB Bài 2: Giải phương trình : (1) Đk: ,Đặt f(x)= f’(x)= >0 x nên hàm số đồng biến trên . Mà f(1)=4 nên x=1 là nghiệm duy nhất.. Bài 3: Giải phương trình : LG: Đk: Đặt f(x) =, f’(x)=; f(x) liên tục trên [2;4] Nên hàm số đồng biến trên [2;4], f(1)= nên x=1 là nghiệm Bài 4: Giải phương trình LG: Đk: Viết lại phương trình dưới dạng như sau Nhận thấy >0 >5 hơn nữa hàm g(x)=, h(x) = dương đồng biến với x>5 mà f(7) =4 nên x=7 là nghiệm . Bài 5: Giải phương trình ( ĐH Ngoại thương 2000) Lg: Đặt f(x) =, ta có Vậy f(x) đồng biến với ,f(-1) =0 nên x=-1 là nghiệm duy nhất của phương trình Bài 6: Giải phương trình LG: Xét f(x)= -Nếu Vì vậy đều không là nghiệm Nếu Vậy f(x) đồng biến khi , f(1)=0 Nên x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình Bài 7: Giải phương trình: x -¥ 0 x0 1 +¥ f ¢ - 0 + f ¦(x0) Đặt với Þ Ta có: . Nhìn bảng biến thiên suy ra: Þ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 Bài 8: Giải phương trình Lg: Ta có (*) Xét hàm số f(t) = dễ thấy hàm số f(t) đồng biến trên nên (*) f(2x2)=f(x+1) 2x2=x+1x=1 hoặc x= IV_ Phương pháp 4: Phương pháp đánh giá Bài 1. Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): Giải: Đk Ta có : Dấu bằng Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đk: Biến đổi pt ta có : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Dấu bằng Bài 3. giải phương trình: Ta chứng minh : và Bài tập đề nghị . Giải các phương trình sau CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ Bài 1: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: . Gi¶i: XÐt hµm sè MiÒn x¸c ®Þnh D=. §¹o hµm y’(0)=1>0 nªn hµm sè §B Giíi h¹n BBT x -∞ +∞ y’ + y 1 -1 VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi -1<m<1. Bµi 2: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm thùc Gi¶i: - §Æt . Ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh: 2t=t2-1+m óm=-t2+2t+1 - XÐt hµm sè y=-t2+2t+1; t≥0; y’=-2t+2 x 0 1 +∞ y’ + 0 - y 2 1 -∞ - Theo yªu cÇu cña bµi to¸n ®­êng th¼ng y=m c¾t §THS khi m≤2. Bµi 3: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã ®óng 2 nghiÖm d­¬ng: . Gi¶i: - §Æt . XÐt x>0 ta cã BBT: x 0 2 +∞ f’(x) - 0 + f(x) +∞ 1 - Khi ®ã ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh m=t2+t-5 ót2+t-5-m=0 (1). - NÕu ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm t1; t2 th× t1+ t2 =-1. Do ®ã (1) cã nhiÒu nhÊt 1 nghiÖm t≥1. - VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã ®óng 2 nghiÖm d­¬ng khi vµ chØ khi ph­¬ng tr×nh (1) cã ®óng 1 nghiÖm t. - §Æt g(t)=t2+t-5. Ta ®i t×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh g(t)=m cã ®óng 1 nghiÖm t. f’(t)=2t+1>0 víi mäi t. Ta cã BBT sau: t 1 g’(t) + g(t) -3 Tõ BBT suy ra -3<m< lµ c¸c gi¸ trÞ cÇn t×m. Bµi 4 : KB-04-X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm . Gi¶i: - §iÒu kiÖn -1≤x≤1. §Æt . - Ta cã - TËp gi¸ trÞ cña t lµ (t liªn tôc trªn ®o¹n [-1;1]). Ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh: - XÐt Ta cã f(t) liªn tôc trªn ®o¹n . Ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x khi vµ chØ khi ph­¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm t thuéc . - Ta cã . - VËy Bài 5: Tìm m để phương trình có nghiệm. Giải: Đặt với thì x -3 3/2 6 +∞ f’(x) ║ + 0 - ║ f(x) | | 3 3 Vậy t. Phương trình (1) trở thành (2). Phương trình (1) có nghiệmó Phương trình (2) có nghiệm tó đường thẳng y=m có điểm chung với đồ thị y= với t. Ta có y’=-t+1 nên có t 1 3 y’ + 0 - | - | y 3 Bài 6: Cho phương trình (1). Tìm m để phương trình có nghiệm. Giải: Phương trình đã cho tương đương Đặt t=; t[-1;1]. Khi đó phương trình (1) trở thành 2t+t2=4m. (1) có nghiệm ó (2) có nghiệm t[-1;1] Xét hàm số y=f(t)=t2+2t với t[-1;1]. Ta có f’(t)=2t+2≥0 với mọi t[-1;1]. t -1 1 f’ 0 + | f 3 -1 Từ BBT -1≤4m≤3. Bài 7: ( ĐH KA-08) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt Lg: Đặt f(x) = , Nhận thấy hai số hạng của f’(x) cùng dấu với nhau nên f’(x) =0 khi 6-2x=2x hay x=2 Bảng biến thiên : x 0 2 6 f’(x) + 0 - f(x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai ghiệm thực phân biệt Khi Bài 8: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt dương =m Lg: Đặt y= ta có Lại có g(x) nghịch biến với x>0 ; g(3)=1 nên x=3 là nghiệm duy nhất mà vì vậy ta có bảng biến thiên sau x 0 3 + y’ - 0 + y + + Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có hai nghiệm dương phân biệt m> , Lại có theo bất đẳng thức Bunhiacopki Dấu = xảy ra khi Từ Theo bất đẳng thức cô si ta có Dấu bằng khi x=3 từ đó ta có Lập bảng biến thiên ta được kết quả như trên Bài 9: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm (*) Lg: Nhận xét 2=1+2 Đk: Đặt Lập bảng biến thiên ta có Bài toán quy về tìm m để phương trình g(t)= 2t3-t2=2m+1 trên g’(t)=6t2-2t =2t(3t-1) Bài 10:(CĐSP thể dục 2004) Cho phương trình a)Giải phương trình khi m=2 b) Tìm m để phương trình có nghiệm. Hdẫn: a) x=0 b) Đặt . Khi đó phương trình trở thành Xét hàm số f(t) trên [0 ;2], ta có f(t)=2t+1>0 với mọi t thuộc [0 ;2] nên f(t) tăng trên [0 ;2] ycbt Bài 11 : (KB-2006) Tìm m để pt sau có 2 nghiệm thực phân biệt Giải : Ycbt(2) có 2 nghiệm pb x1 ; x2 thoả mãn Bài 12 : (KA-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm thực : ĐK : x≥1. Pt Đặt t. Khi đó (1) trở thành -3t2+2t=m (2) Hàm số f(t)=-3t2+2t với 0≤t<1 có t 0 1/3 1 f’ + 0 - f 1/3 0 -1 Pt đã cho có nghiệm ó pt (2) có nghiệm Bài 13: (KB-2007) CMR: Với mọi m dương, phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt ĐK: x≥2 PT Ta đi c.m phương trình (1) có một nghiệm trong khoảng (2:+∞) Xét hàm số f(x)=x3+6x2-32 với x>2. Ta có f’(x)=3x2+12x>0 với mọi x>2 x 2 +∞ y’ + y +∞ 0 Vậy với m>0 pt (1) luôn có một nghiệm trong khoảng (2:+∞) => ĐPCM Bài 14: (CĐNN) Tìm m để phương trình sau có nghiệm ĐK: -1≤x≤3 Đặt YCBT ó tìm m để phương trình t2+t-3=3m có nghiệm t/ m 0≤t ≤2. Xét hàm f(t)=t2+t-3 với 0≤t ≤2 Ta có f’(t)=2t+1>0 với mọi 0≤t ≤2. x 0 2 f’ + f 3 -3 Vậy -3≤3m≤3 hay -1≤m≤1