Chuyên đề Phương trình lượng giác

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHẦN 0: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Bảng giá trị của các góc đặc biệt Gĩc GTLG 00 (0) 300 450 600 900 Sin 0 1 Cos 1 0 2. Các hệ thức lượng giác cơ bản Hệ quả: 3. Giá trị các cung, góc liên quan đặc biệt “Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, Tan Cot lệch p” 3. Công thức lượng giác Cơng thức cộng: cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb tan(a – b) = tan(a + b) = Cơng thức nhân đơi: sin2a = 2sina.cosa Þ cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2 sin2a tan2a = Cơng thức nhân ba: sin3a = 3sina – 4sin3a cos3a = 4cos3a – 3cosa Cơng thức hạ bậc: cos2a = sin2a = tg2a = Cơng thức tính sinx, cosx, tanx, cotx theo : sinx = cosx = tanx = cotx = Cơng thức biến đổi tổng thành tích: Cơng thức biến đổi tích thành tổng: PHẦN 1: CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Hàm số y = sinx Tập xác định . Tập giá trị là [–1; 1]. Là hàm lẻ, tuần hồn với chu kỳ . Đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng . Đồ thị là một đường hình sin, đối xứng qua gốc tọa độ O. 2. Hàm số y = cosx Tập xác định . Tập giá trị là [–1; 1]. Là hàm số chẵn, tuần hồn với chu kỳ . Đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng . Đồ thị là một đường hình sin, đối xứng qua trục tung Oy. 3. Hàm số y = tanx Tập xác định . Tập giá trị là . Là hàm lẻ, tuần hồn với chu kỳ . Đồng biến trên mỗi khoảng . Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O và nhận mỗi đường thẳng làm một đường tiệm cận. 4. Hàm số y = cotx Miền xác định . Tập giá trị là . Là hàm lẻ, tuần hồn với chu kỳ . Nghịch biến trên mỗi khoảng . Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O và nhận mỗi đường thẳng làm một đường tiệm cận. 5. Chu kì của hàm số lượng giác 5.1. Định nghĩa: Ta nĩi hàm số y = f(x) cĩ chu kỳ T > 0 nếu T là số dương nhỏ nhất và thỏa f(x + T) = f(x). Ví dụ 1: Hàm số y = sin5x cĩ chu kỳ vì: . Hơn nữa, là số nhỏ nhất do hàm số y = sint, t = 5x cĩ chu kỳ . 5.2. Chú ý: Hàm số và đều là những hàm số tuần hồn với cùng chu kì . Hàm số và đều là những hàm số tuần hồn với cùng chu kì . Ví dụ 2: Hàm số y = cos7x cĩ chu kỳ . Hàm số cĩ chu kỳ . Hàm số y = cotg6x cĩ chu kỳ . Hàm số cĩ chu kỳ . PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. BIỂU DIỄN CUNG – GÓC LƯỢNG GIÁC TRÊN ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC Nếu cung (hoặc gĩc) lượng giác cĩ số đo là (hoặc ) với , thì cĩ n điểm M trên đường trịn lượng giác cách đều nhau. Ví dụ 1. Nếu sđ thì cĩ 1 điểm M tại vị trí (ta chọn k = 0). Ví dụ 2. Nếu sđ thì cĩ 2 điểm M tại các vị trí và (ta chọn k = 0, k = 1). Ví dụ 3. Nếu sđ thì cĩ 3 điểm M tại các vị trí , và (ta chọn k = 0, k = 1 và k = 2). Ví dụ 4. Tổng hợp hai cung và . Giải Biểu diễn 2 cung và trên đường trịn lượng giác ta được 4 điểm , , và cách đều nhau. Vậy cung tổng hợp là: . B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Œ Phương trình lượng giác cơ bản: 1) 2) 3) 4) Phương trình cơ bản đặc biệt cần nhớ: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Ví dụ. Giải phương trình: (2). Giải Điều kiện: . Ta cĩ: . So với điều kiện và tổng hợp nghiệm (hình vẽ), phương trình (2) cĩ họ nghiệm là: . Chú ý: Các họ nghiệm và cũng là các họ nghiệm của (2).  Một số dạng phương trình lượng giác: 1. Dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác: 1) acos2x + bcosx + c = 0 2) asin2x + bsinx + c = 0 3) atg2x + btgx + c = 0 4) acotg2x + bcotgx + c = 0 Phương pháp giải tốn: Bước 1. Đặt ẩn phụ t = cosx (hoặc t = sinx, t = tgx, t = cotgx) và điều kiện của t (nếu cĩ). Bước 2. Đưa phương trình về dạng at2 + bt + c = 0. Ví dụ 1. Giải phương trình (1). Giải Đặt t = sinx, ta cĩ: (loại) . Vậy (1) cĩ các họ nghiệm . Ví dụ 2. Giải phương trình (2) Giải Đặt t = cot3x, ta cĩ phương trình : Vậy (2) cĩ các họ nghiệm là và , . Ví dụ 3. Giải phương trình (3). Giải Điều kiện , ta cĩ: . Đặt t = tgx, ta được: (thỏa điều kiện). Biểu diễn 2 họ nghiệm trên đường trịn lượng giác ta thu được 4 điểm cách đều nhau. Vậy (3) cĩ họ nghiệm là . 2. Dạng bậc nhất theo sinx và cosx : asinx + bcosx + c = 0 (*) (a và b khác 0) Phương pháp giải tốn: Cách 1: Bước 1. Chia hai vế (*) cho a và đặt . Bước 2. Biến đổi (*) . Cách 2: Bước 1. Chia hai vế (*) cho và đặt: . Bước 2. Biến đổi (*) . Chú ý: Điều kiện để phương trình cĩ nghiệm là: a2 + b2 c2 Ví dụ 1. Giải phương trình (1). Giải Cách 1 . Cách 2 . Vậy (1) cĩ họ nghiệm . Ví dụ 2. Giải phương trình (2). Cách 1 . Cách 2 . Vậy (2) cĩ các họ nghiệm . 3. Dạng đẳng cấp (thuần nhất) theo sinx và cosx : 3.1. Đẳng cấp bậc hai: asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (*) Phương pháp giải tốn: Cách 1: Bước 1. Kiểm tra cĩ là nghiệm của (*) khơng. Bước 2. Với , chia hai vế của (*) cho cos2x ta được: (*) atg2x + btgx + c = 0. Cách 2: Dùng cơng thức hạ bậc và nhân đơi, ta đưa (*) về phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x. Ví dụ 1. Giải phương trình: (1). Giải Nhận thấy khơng thỏa (1). Với , chia hai vế của (1) cho cos2x ta được: . Vậy các họ nghiệm của (1) là . Ví dụ 2. Giải phương trình sin2x + 2sinxcosx + 1 = cos2x (2). Giải Cách khác: . Vậy (2) cĩ các họ nghiệm là . Chú ý: Đối với mỗi cách giải khác nhau, ta cĩ thể thu được nghiệm ở các dạng khác nhau nhưng sau khi tổng hợp nghiệm thì chúng giống nhau. 3.2. Đẳng cấp bậc cao: Phương pháp giải tốn: Cách 1: Bước 1. Kiểm tra cĩ là nghiệm của phương trình khơng. Bước 2. Với , chia hai vế cho cosnx (n là bậc cao nhất của cosx) ta đưa về phương trình bậc n theo tgx. Cách 2: Dùng cơng thức hạ bậc và nhân đơi, ta đưa về phương trình bậc cao theo sin2x hoặc cos2x hoặc phương trình tích. Ví dụ 3. Giải phương trình 2(cos5x + sin5x) = cos3x + sin3x (3). Giải Cách 1 Nhận thấy khơng thỏa (3). Với , chia hai vế của (3) cho cos5x ta được: . Cách 2 . Vậy (3) cĩ họ nghiệm là . Chú ý: (đẳng cấp). 4. Dạng đối xứng đối với sinx và cosx: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (*) Phương pháp giải tốn: Bước 1. Đặt t = sinx + cosx = và . Bước 2. Thay vào (*) rồi ta giải phương trình bậc hai theo t. Chú ý: Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 cũng cĩ cách giải tương tự bằng cách đặt t = sinx – cosx. Ví dụ 1. Giải phương trình: ( + 1)(sinx + cosx) + sin2x + + 1 = 0 (1). Giải Đặt t = sinx + cosx và sin2x = t2 – 1. Thay vào (1) ta được: . . Vậy (1) cĩ các họ nghiệm: , , . Ví dụ 2. Giải phương trình sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) (2) Giải Đặt t = sinx – cosx và . Thay vào (2) ta được: Vậy (2) cĩ các họ nghiệm , . 5. Dạng phương trình khác: Khơng cĩ cách giải tổng quát, tùy từng bài tốn cụ thể ta dùng cơng thức biến đổi để đưa về các dạng đã biết cách giải. Ví dụ 1. Giải phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1). Giải . Vậy (1) cĩ họ nghiệm là . Ví dụ 2. Giải phương trình sin2x + sin4x = sin6x (2). Giải . Vậy (2) cĩ họ nghiệm là , . Ví dụ 3. Giải phương trình (3) Giải c¸C D¹NG PH¦¥NG TR×NH l­ỵng gi¸c š&› I. Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi mét hµm sè l­ỵng gi¸c: Bµi 1. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a) b) c) d) e) f) h) i) j) II. Ph­¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi mét hµm sè l­ỵng gi¸c: Bµi 2. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i) k) l) m) n) p) q) Bµi 3. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a) b) c) d) e) f) III. Ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc nhÊt ®èi víi sinx vµ cosx: Bµi 4. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) Bµi 5. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cđa biĨu thøc sau: a) b) Bµi 6. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a) b) c) d) IV. Ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc Hai ®èi víi sinx vµ cosx: Bµi 7. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i) V. Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng vµ nưa ®èi xøng ®èi víi sinx vµ cosx: Bµi 8. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a) b) c) d) e) f) g) Bµi 9. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a) b) c) d) e) f) g) Bµi 10. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i) Ph­¬ng tr×nh l­ỵng gi¸c š&› Bµi 1: T×m c¸c nghiƯm xỴ(0;2p) cđa ph­¬ng tr×nh: Bµi 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh Bµi 3: T×m c¸c nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh: Bµi 4: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh a. b. c. d. e. Bµi 5: T×m tỉng c¸c nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh sau: Bµi 6: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh a. b. c. d. e. Bµi 7: T×m mäi nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh: tho¶ m·n bÊt ph­¬ng tr×nh Bµi 8: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh a. b. c. d. e. f. Bµi 9: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh a. b. c. d. e. f. Bµi 10: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh a. b. Bµi 11: T×m tỉng c¸c nghiƯm x cđa ph­¬ng tr×nh: Bµi 12: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh a. b. c. d. e. f. g. h. i. Bµi 13: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh a. b. c. d. Bµi 14: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh a. b. c. d. Bµi 15: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau a. b. c. d. e. f. Bµi 16: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau a. b. c. d. e. f. Bµi 17: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau a. b. c. Ph­¬ng tr×nh l­ỵng gi¸c trong c¸c ®Ị thi ®¹i häc (TrÝch trong ®Ị thi tuyĨn sinh vµo c¸c tr­êng §¹i häc tõ 1996 tíi nay) š&› Bµi 1: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau a. §HBK97: b. §HBK98: c. §HBK 2000: Bµi 2: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau a. PVBC 98: b. §HCS 99: T×m tÊt c¶ c¸c nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh: tho¶ m·n Bµi 3: §HCS 2001 T×m tÊt c¶ c¸c nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh: tho¶ m·n hƯ bÊt ph­¬ng tr×nh Bµi 4: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh a. BCVT 98: b.CVT 99: c. BCVT 01: d. D­ỵc 98: e. D­ỵc 99: f. D­ỵc 01: g. §µ N½ng 97: h. §H §µ N½ng 2001: ; Bµi 5: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh §HGT 97: ; §HGT 98: §HGT 99: §HGT 2000: §HGT 2001: Bµi 6: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh a. HVHC 2001: b. §H HuÕ 98: c. §H HuÕ 2000: Bµi 7: §H HuÕ 2001 – Cho ph­¬ng tr×nh l­ỵng gi¸c a. Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 1. b. Chøng minh r»ng víi mäi tham sè m tho¶ m·n ®iỊu kiƯn th× ph­¬ng tr×nh trªn lu«n cã nghiƯm. Bµi 8: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: a. §HKTQD 97: b. §HKTQD 98: c. §HKTQD 99: d.KTQ00: e. §HKTQD 2001: Bµi 9: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: §HKT 97: §HKT 99: §HKT 2000: Bµi 10: §HKT 97 – Cho ph­¬ng tr×nh Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi . Víi gi¸ trÞ nµo cđa k th× ph­¬ng tr×nh cã nghiƯm? Bµi 11: §HKT 2001-Gi¶i vµ biƯn luËn theo m ph­¬ng tr×nh: Bµi 12: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: HVKTQS 98: HVKTQS 99: HVKTQS 2000: Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 1. T×m m ®Ĩ ph­¬ng tr×nh cã nghiƯm trong ®o¹n HVKTQS 2001: Bµi 13: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: §H LuËt 98: §H LuËt 99: Bµi 14: §H LuËt TPHCM 2001: Cho ph­¬ng tr×nh: - Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 2. - T×m m ®Ĩ ph­¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiƯm thuéc . Bµi 15: §H Má §C: a.97: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: b.98: Cho ph­¬ng tr×nh + Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi . +T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ mäi nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh trªn ®Ịu lµ nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh . c.99: Gi¶i ph­¬ng tr×nh d.00: Gi¶i ph­¬ng tr×nh e.01: e.1)Gi¶i ph­¬ng tr×nh e.2)Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i tam gi¸c mµ c¶ ba gãc cđa nã ®Ịu lµ nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh: Bµi 17: HVNHTPHCM.Gi¶i ph­¬ng tr×nh Bµi 18: N.Th­¬ng a. 1998: GPT b. 1999: GPT c. 2000: GPT Bµi 19 §HNN a. 1997: Cho ph­¬ng tr×nh . X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cđa tham sè m ®Ĩ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiƯm vµ t×m nghiƯm cđa nã khi m=-1. b. 1998: GPT c. 2000: Bµi 20. §HNL©mHCM 2001: GPT Bµi 21. HVQHQT a.97: GPT b.98: c. 00: Cho hµm sè . TÝnh ®¹o hµm f'(x) vµ gi¶i PT f'(x)=0 Bµi 22.HVQY2000 GPT Bµi 23.§HQG a.97 GPT b.98 GPT c.99: d.00. e. 01: Bµi 24.§HQGHCM a. 97: Cho PT +BiÕt lµ mét nghiƯm cđa pt trªn. H·y gi¶i ph­¬ng tr×nh trong tr­êng hỵp ®ã. +Cho biÕt lµ mét nghiƯm cđa pt trªn. H·y t×m tÊt c¶ c¸c nghiƯm cđa pt trªn tháa m·n: b.99: Cho +GPT f(x)=0 víi m=-3. + TÝnh theo m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cđa f(x). Tõ ®ã t×m m sao cho c.00: Cho pt + Gpt khi m=-1. +T×m m sao cho pt trªn cã ®ĩng hai nghiƯm . Bµi 25. §HSPHN a.00: T×m nghiƯm cđa pt tháa m·n b.01: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cđa Bµi 26. §HSP2 a.99: Gpt b.00. T×m cđa pt Bµi 27. SPHCM 00: Gpt Bµi 28. SPVinh a.97. Gi¶i hƯ b.98. c.99: d.00: Bµi 29.TCKT a.97. b.99. c.00. Bµi 30. TNguyªn a.97. b.00. +Gi¶i pt + T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ph­¬ng tr×nh trªn t­¬ng ®­¬ng víi ph­¬n tr×nh Bµi 31. §HT.M¹i. a.97: b.99. c.00. d.01. Bµi 32. Thđy Lỵi a.97. Cho + TÝnh + Gi¶i ph­¬ng tr×nh + T×m ®iỊu kiƯn ®Ĩ pt cã nghiƯm. b.98. c.99. d.00. e.01. Bµi 33.X©y dùng a. 97. b.98. Gi¶i vµ BL c.99. Bµi 34: §Ị chung cđa Bé GD-§T a.2002A: T×m nghiƯm thuéc kho¶ng cđa pt: b.2002B: Gpt c.2002D: T×m nghiƯm cđa pt: d.2003A. Gpt e.2003B. Gpt f.2003D. Gpt g. 2004B. Gpt h.2004D. Gpt