Chuyên đề Phương trình lượng giác

Các phép biến đổi lượng giác I . Bảng lượng giác của các góc đặc biệt α 0 (00) (300) (450) (600) (900) (1200) (1350) (1500) (1800) sinα 0 1 0 cosα 1 0 - - - - 1 tanα 0 1 ùù - - 1 - 0 cotα ùù 1 0 - - 1 - ùù ã Ghi chú : Kí hiệu ùù là không xác định . II . Mối quan hệ giữa các góc có liên quan đặc biệt 1. Hai góc đối nhau : x và - x ã cos( - x ) = cosx ã tan(- x ) = - tanx ã sin( - x ) = - sinx ã cot(- x ) = - cotx ã Ghi chú : Cách nhớ : “ cos đối ” ( Tức là hai góc đối nhau thì cos bằng nhau còn các giá trị lượng giác khác thì đối nhau ) 2. Hai góc bù nhau : x và p - x ã sin(p - x) = sinx ã tan(p - x) = - tanx ã cos(p - x) = - cosx ã cot(p - x) = - cotx ã Ghi chú - Hai góc gọi là bù nhau nếu tổng của chúng là p ( hay 1800) . - Cách nhớ : “ sin bù ” ( Tức là hai góc bù nhau thì sin bằng nhau còn các giá trị lượng giác khác thì đối nhau ) 3. Hai góc phụ nhau : x và - x ã sin( - x) = cosx ã tan( - x) = cotx ã cos( - x) = sinx ã cot( - x) = tanx ã Ghi chú - Hai góc gọi là phụ nhau nếu tổng của chúng là ( hay 900) . - Cách nhớ : “ Phụ chéo ” ( Tức là hai góc phụ nhau thì sin bằng cos , cos bằng sin ; tan bằng cot và cot bằng tan ) 4. Hai góc hơn nhau một góc vuông : x và + x ã sin( + x) = cosx ã tan( + x) = - cotx ã cos( + x) = - sinx ã cot( + x) = - tanx ã Ghi chú Cách nhớ : “ Hơn một vuông thì sin bằng cos ” 5. Hai góc hơn nhau một p : x và p + x ã tan(p + x) = tanx ã sin(p + x) = - sinx ã cot(p + x) = cotx ã cos(p + x) = - cosx ã Ghi chú Cách nhớ : “ Hơn một p thì tan , cot ” ( Tức là hai góc hơn kém nhau một thì tan bằng nhau và cot bằng nhau còn sin và cos thì đối nhau ) ỉ Cách nhớ chung : “ cos đối ; sin bù ; phụ chéo ; hơn một vuông thì sin bằng cos ; hơn một pi thì tan , cot ” . 6. Chú ý quan trọng ã Chu kì của hàm y = sinx và y = cosx là 2p , do đó ta có : sin(x + k2p) = sinx hoặc sin(x0 + k.3600) = sinx0 ( Với k ẻ Z ) cos(x + k2p) = cosx hoặc cos(x0 + k.3600) = cosx0 ( Với k ẻ Z ) ã Chu kì của hàm y = tanx và y = cotx là p , do đó ta có : tan(x + kp) = tanx hoặc tan(x0 + k.1800) = tanx0 ( Với k ẻ Z ) cot(x + kp) = cotx hoặc cot(x0 + k.1800) = cotx0 ( Với k ẻ Z ) III . Các hằng đẳng thức lượng giác 1/ sin2x + cos2x = 1 4/ tanx.cotx = 1 ( sin2x ≠ 0 ) 2/ tanx = ( cosx ≠ 0 ) 5/ 1 + tan2x = ( cosx ≠ 0 ) 3/ cotx = ( sinx ≠ 0 ) 6/ 1 + cot2x = ( sinx ≠ 0 ) II . Các công thức lượng giác 1. Công thức cộng ã sin(x + y) = sinxcosy + cosxsiny ã sin(x - y) = sinxcosy - cosxsiny ã cos(x + y) = cosxcosy - sinxsiny ã cos(x - y) = cosxcosy + sinxsiny ỉ Ghi chú : Cách nhớ công thức biến đổi sin của tổng , hiệu và cos của tổng , hiệu . + sin thì sincos , cos sin + cos thì cos cos , sin sin đối trừ . 2. Công thức nhân đôi ã sin2x = 2sinx.cosx ã cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1 = 1 – 2sin2x ã tan2x = 3. Công thức hạ bậc ã sin2x = ( 1 – cos2x) ã cos2x = ( 1 + cos2x) 4. Công thức nhân ba ã sin3x = 3sinx – 4sin3x ã cos3x = 4cos3x – 3cosx 5. Công thức biến đổi tổng thành tích ã sinx + siny = 2 ã sinx - siny = 2 ã cosx + cosy = 2 ã cosx - cosy = - 2 ỉ Ghi chú : Cách nhớ công thức biến đổi tổng thành tích + sin cộng sin bằng hai sin cos + sin trừ sin bằng hai cos sin + cos cộng cos bằng hai cos cos + cos trừ cos bằng trừ hai sin sin ( Với chú ý ta tính trung bình cộng trước ) 6. Công thức biến đổi tích thành tổng ã sinxcosy = [sin(x – y) + sin(x + y)] ã cosxcosy = [cos(x – y) + cos(x + y)] ã sinxsiny = - [cos(x – y) - cos(x + y)] ỉ Ghi chú : Cách nhớ công thức biến đổi tích thành tổng + sin nhân cos bằng một phần hai sin hiệu cộng sin tổng + cos nhân cos bằng một phần hai cos hiệu cộng cos tổng + sin nhân sin bằng trừ một phần hai cos hiệu trừ cos tổng . 7. Một số công thức biến đổi đặc biệt ã sinx + cosx = sin(x + ) = cos(x + ) ã sinx – cosx = sin(x - ) = - cos(x + ) ã cosx – sinx = - (sinx - cosx) = - sin(x - ) = cos(x + ) ã 1 + sin2x = sin2x + 2sinxcosx + cos2x = (sinx + cosx)2 ã 1 - sin2x = sin2x - 2sinxcosx + cos2x = (sinx - cosx)2 ã sin4x + cos4x = 1 - sin22x ã sin6x + cos6x = 1 - Phương trình lượng giác I . Bốn phương trình lượng giác cơ bản 1/ Dạng 1 : sinx = m (1) ă Nếu : ỗmỗ ≥ 1 thì pt (1) vô nghiệm . ă Nếu : ỗmỗ ≤ 1 : (1) Û sinx = sina Û (k ẻ Z) (với sina = m) 2/ Dạng 2 : cosx = m (2) ă Nếu : ỗmỗ ≥ 1 thì pt (2) vô nghiệm . ă Nếu : ỗmỗ ≤ 1 : (2) Û cosx = cosa Û (k ẻ Z) (với cosa = m) 3/ Dạng 3 : tanx = m (3) ă Với mọi m thì pt (3) luôn có nghiệm . ă Pt (3) Û tanx = tana Û x = a + kp (k ẻ Z) (Với tana = m) 4/ Dạng 4 : cotx = m (3) ă Với mọi m thì pt (3) luôn có nghiệm . ă Pt (3) Û cotx = cota Û x = a + kp (k ẻ Z) (Với cota = m) 5/ Một số phương trình đặc biệt ã sinx = 0 Û x = kp (k ẻ Z) ã cosx = 0 Û x = + kp (k ẻ Z) ã sinx = 1 Û x = + k2p (k ẻ Z) ã cosx = 1 Û x = k2p (k ẻ Z) ã sinx = - 1 Û x = - + k2p (k ẻ Z) ã cosx = - 1 Û x = p + k2p (k ẻ Z) ã tanx = 0 Û sinx = 0 ã cotx = 0 Û cosx = 0 II . Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác 1/ Dạng : At + B = 0 (*) (A ≠ 0) với t = sinx , t = cosx , t = tanx , t = cotx . 2/ Cách giải : Đưa về pt lượng giác cơ bản : (*) Û t = - III . Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 1/ Dạng : At2 + Bt + C = 0 (*) (A ≠ 0) với t = sinx , t = cosx , t = tanx , t = cotx. 2/ Cách giải : Giải pt bậc hai (*) tìm được t ị Tìm được x ã Chú ý : Nếu đặt t = sinx , t = cosx thì điều kiện của t là : ùtù ≤ 1 IV . Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx 1/ Dạng : A.sin2x + B.sinx.cosx + C.cos2x = D (*) ( hoặc A.sin2x + B’.sin2x + C.cos2x = D ) 2/ Cách giải ã Thử x = + kp (tức cosx = 0) có phải là nghiệm của pt (*) hay không ? ã Với x ≠ + kp (tức cosx ≠ 0) . Chia cả hai vế của (*) cho cos2x , ta được pt : A.tan2x+ B.tanx + C = D.(1 + tan2x) (2*) ( Đây là phương trình bậc hai đối với tanx hoàn toàn giải được ) V. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx a/ Dạng : A.sinx + B.cosx = C (1) b/ Cách giải ă Nếu : A2 + B2 < C2 thì pt (1) vô nghiệm . ă Nếu A2 + B2 ≥ C2 thì (1) có nghiệm . Ta biến đổi như sau + Chia cả hai vế của (1) cho , ta được : (2) + Đặt : và . Ta được pt : sinx.cosa + cosx.sina = Û sin(x + a) = (*) Phương trình (*) là phương trình lượng giác cơ bản ăChú ý */ Nếu pt có dạng : A.sinx - B.cosx = C (2) thì bằng cách làm tương tự ta đi đến phương trình : sin(x - a) = (pt này giải được) . */ Nếu pt có dạng : A.cosx - B.sinx + C = 0 thì nhân hai vế với – 1 đưa về dạng B.sinx - A.cosx - C = 0 và làm bình thường . Vi. Phương trình Đối xứng , nửa đối xứng đối với sinx và cosx 1. Dạng : A(sinx ± cosx) + B.sinx.cosx + C = 0 (1) ( hoặc A(sinx ± cosx) + B’.sin2x + C = 0 ) 2. Cách giải ã Đặt t = sinx + cosx ( ùtù≤ ) ị t2 = 1 + 2sinx.cosx ị sinx.cosx = ã Thay vào (1) , ta được phương trình : A.t + + C = 0 (2) ã Pt (2) là pt bậc hai ẩn t , giải và chú ý điều kiện của t . ã Sau khi tìm được t thoả mãn điều kiện ta quay lại giải pt ẩn x Bài tập áp dụng Bài 1 ( Phương trình lượng giác cơ bản ) Giải các phương trình sau : 1/ 2sinx – 1 = 0 4/ 3tan(2x- ) - = 0 2/ 5/ cot(3x) + 1 = 0 3/ sinx - cosx = 0 6/ sin3x + cos3x = 0 Giải 1/ 2sinx – 1 = 0 (1) ã Pt (1) Û sinx = Û sinx = Û (k ẻ Z) 2/ (2) ã Pt (2) Û cos2x = - Û cos2x = cos Û Û (k ẻ Z) 3/ 3tan(2x - ) - = 0 (3) ã Pt (3) Û tan(2x- ) = Û tan(2x- ) = tan Û 2x- = + kp Û 2x = + kp Û x = (k ẻ Z) 4/ cot(3x) + 1 = 0 (4) ã Pt (4) Û cot3x = - 1 Û cot3x = cot Û 3x = + k Û x = (k ẻ Z) Bài 2 ( Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác) Giải các phương trình sau 1/ 2sin2x + 3cosx – 2 = 0 5/ cos2x + 2cosx – 3 = 0 2/ 6cos2x + 5sinx – 2 = 0 6/ 3/ 3cos22x – 5cos2x + 2 = 0 7/ cos2x – sinx = 1 Giải 1/ 2sin2x + 3cosx – 2 = 0 (1) ã Pt (1) Û 2(1 – cos2x) + 3cosx – 2 = 0 Û 2cos2x – 3cosx = 0 (*) ã Đặt t = cosx (ùtù ≤ 1) ã Pt (*) trở thành : 2t2 – 3t = 0 Û . Đối chiếu đk của t ta lấy nghiệm t = 0 ã Với t = 0 ị cosx = 0 Û x = k2p (k ẻ Z) Vậy nghiệm của phương trình là : x = k2p (k ẻ Z) 5/ cos2x = 2cos2x - 1 6/ cotx = . Đưa pt về pt bậc hai ẩn là tanx Bài 3 : ( Phương trình bậc nhất đối với sin và cos ) 1/ sinx + cosx = 1 5/ 2cosx – sinx = 2 2/ 6/ 4sin3x – 3cos3x + 5 = 0 3/ cos9x – sin9x = 1 7/ sin7x + cos7x = - 1 4/ 8/ sinx - cosx = - 1 Giải 2/ ã Û Û Û Û Û Û Û 5x Û Û (k ẻ Z) Vậy nghiệm của phương trình là : (k ẻ Z) Bài 4 ( Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và cos ) 1/ 5sin2x + 2sinxcosx + cos2x = 2 3/ 3cos2x – 2sin2x + sin2x = 1 2/6sin2x + sinxcosx - cos2x = 2 4/ 4sin22x - 3sin4x + 2cos22x = 4 5/ 6/ sin4x - cos4x = 2sinx.cosx + 1 Giải 2/ ã Với cosx = 0 Û x = (k ẻ Z) thì sin2x = 1 , vế trái của phương trình bằng 6 ≠ 2 ị x = không là nghiệm của phương trình . ã Với cosx ≠ 0 . Chia cả hai vế của pt cho cos2x , ta được phương trình : 6tan2x + tanx - 1 = Û 6tan2x + tanx - 1 = 2(1 + tan2x) Û 4tan2x + tanx - 3 = 0 Û Û (k ẻ Z) Bài 5 : (Phương trình đối xứng , nửa đối xứng đối với sin và cos ) 1/ sinx + cosx + sinxcosx = 0 3/ sinx - cosx = sin2x 2/ sinx + cosx + sin2x + 1 = 0 4/ sinx - cosx - sinx.cosx + 1 = 0 5/ 2(sinx + cosx) + sinxcosx + 2 = 0 6/ sin2x + Giải 5/ ã Đặt t = sinx + cosx = sin với điều kiện ỳ tỳ Ê ị t2 = 1 + 2sinxcosx ị sinxcosx = (t2 - 1) ã Pt đã cho trở thành : 2t + (t2 - 1) + 2 = 0 Û t2 + 4t + 3 = 0 Û t = - 1 hoặc t = - 3(loại) ã Với t = - 1 ị sinx + cosx = - 1 Û sin = - 1 Û sin = - Û sin = sin Û Û (k ẻ Z) V. Các phương trình lượng giác khác Khi giải các phương trình lượng giác mà chưa phải là các phương trình đã biết cách giải thì ta dùng các công thức biến đổi đưa về dạng đã biết . Dạng 1 : Biến đổi làm xuất hiện nhân tử chung đưa về phương trình tích 1/ cos6x - sin6x = cos22x 7/ cos3x + sin3x = cos2x 2/ sinxcos4x - sin22x = 4 Với ỳ x -1ỳ < 3 8/ 4sinx.cosx.cos2x = sin8x 3/ 4cos3x + 3sin2x = 8cosx 9/ sin2x + sin22x + sin23x = 4/ 10/ sin8x + cos8x = = 2(sin10x + cos10x) +cos2x 5/ 2cos2x + 2cos22x + 2cos23x - 3 = cos4x(2sin2x + 1) 11/ sin3x + cos2x = 1 + 2sinx.cos2x 6/ 1 + cos3x - sin3x = sin2x 12/ cos3x - sin3x = sinx + cosx 14/ sin6x + cos6x = 1 + sin4x 13/ (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx - 4) + 4cos2x = 3 Hướng dẫn và đáp số 1/ ã Nhân tử chung : cos2x ã Đáp số : + x = ( k ẻ Z) + x = ± ( k ẻ Z) 7/ ã Nhân tử chung : sinx + cosx ã Đáp số : + x = ( k ẻ Z) + x = ( k ẻ Z) + x = ( k ẻ Z) 2/ ã Nhân tử chung : 2sinx + 1 ã Đáp số : + x = - + x = 8/ ã Nhân tử chung : sin4x ã Đáp số : + x = ( k ẻ Z) + x = ± ( k ẻ Z) 3/ ã Nhân tử chung : cosx ã Đáp số : + x = ( k ẻ Z) + x = ( k ẻ Z) + x = ( k ẻ Z) 9/ ã Nhân tử chung : cos4x ã Đáp số : + x = ( k ẻ Z) + x = ± ( k ẻ Z) 4/ ã Nhân tử chung : sinx ã Đáp số : + x = ( k ẻ Z) + x = ( k ẻ Z) 10/ ã Nhóm : sin8x - 2sin10x ã Nhân tử chung : cos2x ã Đáp số : + x = ( k ẻ Z) 5/ ã Nhân tử chung : cos4x ã Đáp số : + x = ( k ẻ Z) 11/ ã Nhân tử chung : sinx ã Đáp số : + x = ( k ẻ Z) + x = ( k ẻ Z) + x = ( k ẻ Z) 6/ ã Nhân tử chung : sinx - cosx ã Đáp số : + x = ( k ẻ Z) + x = ( k ẻ Z) + x = ( k ẻ Z) 12/ ã Nhóm cos3x - cosx ã Đáp số : + x = ( k ẻ Z) 14/ ã Nhân tử chung : sin2x ã Đáp số : + x = ( k ẻ Z) + x = ( k ẻ Z) với tana = - 13/ ã Nhân tử chung : 2sinx + 1 ã Đáp số : + x = ( k ẻ Z) + x = ( k ẻ Z) + x = ( k ẻ Z) Dạng 2 : Biến đổi đưa về phương trình bậc Ba đối với một hàm số lượng giác 1/ 2cos22x + cos2x = 4sin22xcos2x 3/ cos3x - 2cos2x = 2 2/ cos3x + sin3x = sin2x + sinx + cosx 4/ cos6x - sin6x = cos32x Hướng dẫn và đáp số 1/ + Đưa về pt bậc ba ẩn là cos2x + Đáp số : x = ( k ẻ Z) 3/ + Đưa về pt bậc ba ẩn là cosx + Đáp số : x = ; x = ± ( k ẻ Z) 2/ + Pt Û sinxcosx(cosx + sinx + 2) = 0 + Đáp số : x = k ( k ẻ Z) 4/ + Đưa về pt bậc ba ẩn là cos2x Dạng 3 : Phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu số A . Một số chú ý - Pt chứa sin , cos , tan , cot - Pt chứa sin , cos ở dưới mẫu B. Cách giải - Đưa pt về dạng chỉ chứa sin và cos - Đặt đk cho mẫu ≠ 0 - Quy đồng khử mẫu , đưa về các dạng đã biết cách giải - Đối chiếu nghiệm với điều kiện ban đầu và lấy nghiệm thoả mãn . C. Bài tập 1/ 2sinx + cotx = 2sin2x + 1 5/ sin2x(cotx + tan2x) = 4cos2x 2/ 6/ cotx - tanx = sinx + cosx 3/ tanx - 3cotx = 4(sinx + cosx) 7/ 2sinx + cotx = 2sin2x + 1 4/ 2cos2x - 8cosx + 7 = 8/ tan2x = 9/ 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 12/ tanx - sin2x - cos2x + 2 10/ 13/ 1 + cot2x = 11/ 2sin 14/ tan2x + sin2x = cotx Hướng dẫn 1/ + Đk : sinx ≠ 0 + Pt Û sinx = 1/2 hoặc sinx - cosx - 2sinxcosx = 0 5/ + Đk : sinx ≠ 0 ; cos2x ≠ 0 + Đáp số : cos2x = - 1 ; cos2x = 1/2 2/ + Đk : sin2x ≠ 0 + Đáp số : Vô nghiệm 6/ + Đk : sinx ≠ 0 ; cosx ≠ 0 + Nhân tử chung : sinx + cosx 3/ + Đk : sin2x ≠ 0 + Nhân tử chung : sinx + cosx\ + Đáp số : x = ; x = ; x = ( k ẻ Z) . 7/ + Đk : sinx ≠ 0 + Nhân tử chung : 2sinx - 1 4/ + Đk : cosx ≠ 0 + Đáp số : cosx = 1 ; cosx = 1/2 8/ + Đk : sinx ≠ 1 ; cosx ≠ 0 + Bpt Û cosx = - 1 ; sinx + cosx = 0 9/ +Đk : cosx ≠ 0 + Nhân tử chung : cosx - 1 12/ + Đk : cosx ≠ 0 + Nhân tử chung : cos2x 10/ +Đk : sinx ≠ 1 +cosx = 0 ; cosx = 1 13/ + Đk : sin2x ≠ 0 + Nhân tử chung : cos2x 11/ + Đk : sinx ≠ 0 ; cosx ≠ 0 + Nhân tử chung : sinx + cosx 14/ + Đk : sinx ≠ 0 ; cos2x ≠ 0 + Nhân tử chung : cosx Dạng 4 : Một số phương trình đặc biệt của Dạng Asinx + Bcosx = C 1/ sin5x = 2cos2x - cos5x 2/ sin7x - cos2x = (sin2x - cos7x) 3/ 4/ cos5x - 2sin3xcos2x - sinx = 0 5/ sinx + cosxsin2x + cos3x = 2(cos4x + sin3x) Hướng dẫn 3/ Nhân chéo và đưa về dạng cosx - sinx = sin2x + cos2x 5/ + Nhóm sinx - 2sin3x = sinx.cos2x + Xuất hiện sin3x 4/ + Biến đổi 2sin3xcos2x thành tổng