Chuyên đề Phương trình tiếp tuyến với đường cong

PHầN A. Đặt vấn đề. Khái quát chung Để thực hiện tốt nhiệm vụ năm học mà bộ Giáo Dục và Đào Tạo đã phát động. Đối với người giáo viên đang trực tiếp làm công tác giảng dạy thì một nhiệm vụ quan trọng là phải nâng cao chất lượng giảng dạy. Trong các biện pháp nâng cao chất lượng chất lượng giảng dạy thì việc đi sâu nghiên cứu chương trình mà mình đang trực tiếp giảng dạy và các phương pháp truyền thụ sát đối tượng là rất cần thiết giúp giáo viên dạy tốt chương trình đại trà và chương trình nâng cao cho học sinh. Trong nhiều năm làm công tác giảng dạy, tôi đã đúc kết khá nhiều kinh nghiệm về phương pháp truyền thụ và đi sâu nghiên cứu kiến thức để nâng cao cho học sinh. Sau đây là kinh nghiệm của tôi sau khi ôn tập cho học sinh lớp 12 về phần : Phương trình tiếp tuyến với đường cong. II. Cơ sở khoa học của đề tài 1. Căn cứ lí luận Phương trình tiếp tuyến với đường cong là một phần ứng dụng của đạo hàm và các loại toán có liên quan đến khảo sát hàm số. Mà đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm lại là phần quan trọng của chương trình Giải Tích lớp 12. Vì vậy học sinh cần phải thành thạo dạng toán này và thông qua dạng toán này phát huy tính sáng tạo, tư duy lôgíc cho học sinh. 2. Căn cứ thực tiễn Khi dạy về phần phương trình tiếp tuyến với đường cong. Học sinh yếu: Không phân biệt được phương trình tiếp tuyến với đường cong tại một điểm và đi qua một điểm. Học sinh khá giỏi: Không giải quyết được các bài toán dựa vào điều kiện tiếp xúc của hai đường. 3. Mục đích yêu cầu. Kiến thức: Học sinh phải nắm được cách giải toán lập phương trình tiếp tuyến với đường cong và toán dựa vào điều kiện tiếp xúc của hai đường. Tư duy: Phân biệt các dạng toán lập phương trình tiếp tuyến với đường cong tại một điểm và đi qua một điểm và toán dựa vào điều kiện tiếp xúc của hai đường. Biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo khi sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đường. Kĩ năng: Thành thạo toán lập phương trình tiếp tuyến với đường cong tại một điểm và đi qua một điểm và toán dựa vào điều kiện tiếp xúc của hai đường. III. Cấu trúc của đề tài. 1. Nhận dạng phương trình tiếp tuyến với đường cong. 2. Phương trình tiếp tuyến với đường cong tại một điểm. 3. Phương trình tiếp tuyến với đường cong đi qua một điểm. 4. Điều kiện tiếp xúc của hai đường và các dạng toán áp dụng điều kiện phần B. Nội dung I. Những sáng kiến kinh nghiệm cụ thể đã được áp dụng trong quá trình dạy học. 1. Nhận dạng phương trình tiếp tuyến với đường cong. VD1: Cho đường cong (C) 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C). Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x + 10. 3. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C). Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x + 9. VD2: Cho hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (1). Biết tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox góc . VD3: Tìm a để đồ thị hàm số tiếp xúc với (P) : y = x2 + a. VD4: Cho hàm số y = x3 - 3x có đồ thị (C). Điểm M ẻ (C) có hoành độ x = . Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và là tiếp tuyến với (C). VD5: Cho hàm số y = x3 - x2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm A(3; 0). Trả lời: 1) Nếu cho biết đồ thị hàm số, toạ độ tiếp điểm hoặc hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong thì bài toán thuộc dạng: Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong tại 1 điểm như VD1, VD2. Tọa độ tiếp điểm: Có thể cho biết hoành độ hoặc tung độ. Hệ số góc của tiếp tuyến có thể cho dưới dạng: Tiếp tuyến song song với đường thẳng , tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng, tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox góc . T2 // đt att = ađt T2 đt att .ađt = -1 T2 tạo với chiều dương trục Ox góc att = tan . 2) Nếu cho biết đồ thị hàm số, tọa độ của điểm mà tiếp tuyến đi qua (điểm tiếp tuyến đi qua có thể thuộc đồ thị hàm số , có thể không thuộc đồ thị hàm số) thì bài toán thuộc dạng : Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong đi qua 1 điểm như VD4, VD5. 3) Cho hai đường cong yêu cầu tìm điểm hay tham số để hai đường cong tiếp xúc nhau thì đó là bài toán dựa vào điều kiện tiếp xúc của hai đường. Lời bình : Trong nhiều năm giảng dạy, ôn thi cho học sinh tôi thấy nhiều em học sinh nhầm lẫn giữa hai dạng toán lập phương trình tiếp tuyến tại một điểm và đi qua một điểm. Vì vậy việc nhận ra các dạng toán này giúp các cho các em dễ dàng làm được bài. 2. Phương trình tiếp tuyến với đường cong tại một điểm. Công thức phương trình tiếp tuyến với đường cong tại một điểm: y - y0 = f’(x0)(x - x0) Trong công thức này có ba thành phần x0, y0, f’(x0). Nếu đầu bài chưa cho thì ta phải tìm và thay vào. VD2: Theo (gt) att = tan 1350 = - 1 = f’(x0) (1) (1) KL: Phương trình tiếp tuyến là: y = - x + và y = - x + . 3 Phương trình tiếp tuyến với đường cong đi qua 1 điểm. Bài toán: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) có phương trình: y = f(x) đi qua điểm M(x1, y1). Cách giải: Lập phương trình đường thẳng (∆) đi qua điểm M(x1, y1) : y = k(x - x1) + y1 Điều kiện (∆) là tiếp tuyến với (C) hệ có nghiệm. VD5: +) Lập phương trình đường thẳng (∆) đi qua A(3; 0): y = k(x - 3) +) (∆) là tếp tuyến với (C) Hệ có nghiệm. Thế (1) vào (2): 2x3 -12x2 + 18x = 0 +) Với x1 = 0 k1 = 0 PTT2: y = 0 +) Với x2 = 3 k2 = 3 PTT2: y = 3x - 9. 4. Điều kiện tiếp xúc của hai đường và các dạng toán áp dụng điều kiện này. 4.1. Điều kiện tiếp xúc của hai đường : y = f(x) và y = g(x) là Hệ có nghiệm. 4.2. Các dạng toán : Dạng 1: Hai đường cong tiếp xúc. VD3: Điều kiện tiếp xúc của đồ thị (1) với (P) Hệ có nghiệm Giải (1) x = 0 Thế vào (2) a = - 1 Trả lời: Với a = -1 đồ thị (1) tiếp xúc với (P). Dạng 2: Tìm điểm mà từ đó kẻ tiếp tuyến với đường cong. VD1: Cho đường cong (C) Tìm các điểm trên Ox từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với (C) mà hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau. Giải: Gọi M(a; 0) ẻ Ox; ∆ là đường thẳng qua M có hệ số góc k: y = k(x - a) (∆) là tiếp tuyến của (C) Hệ có nghiệm. (2) - (1) Kết hợp (3) và (1) ta có: (4) k2(1 - a)2 + 4k - 4 = 0 Từ M kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C) Hệ trên có hai nghiệm phân biệt k1, k2 và k1.k2 = -1. Kết luận: Các điểm đó là (-1; 0); (3; 0) Lời bình: Từ hệ (I) ta phải biến đổi thành hệ tương đương mà chỉ có a và k. Nhận thấy nếu tính được theo a và k thay vào phương trình (1) thì được một hệ mới tương đương trong đó có một phương trình chỉ chứa a và k từ lẽ đó ta có phép biến đổi như trên và cách giải này là ngắn gọn. Ta có thể áp dụng cách giải này cho ví dụ sau. VD2: Cho đường cong (C) Tìm các điểm trên mặt phẳng toạ độ mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến góc với (C), hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau. Giải: (∆) là đường thẳng đi qua M(a; b) và có hệ số góc k nên PT (∆): y = k(x - a) + b. (∆) là tiếp tuyến của (C) Hệ có nghiệm. Lấy (4) - (3) (5) Kết hợp (5) và (1) ta có hệ ( k 1 vì từ (1) nếu k = 1 thì x, hệ vô nghiệm.) Vì từ M kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C) hệ trên có hai nghiệm phân biệt k1, k2 và k1.k2 = - 1 Chú ý: Thế (10) vào (9): 2[(1 - a)b + 2] 0 (1 - a)b + 2 0 Từ (10) (1 - a)2 + b2 + 2(1 - a)b = 4 + 2(1 - a)b (1 - a + b)2 = 2(2 + (1 - a)b) Vì 2+ (1 - a)b 0 1 - a + b 0. Từ hệ (I) rút ra kết luận: Tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I(1; 0) bán kính R = 2, bỏ đi 4 điểm là giao các đường thẳng x = 1 và - x + y + 1 = 0 với đường tròn đó là các điểm (1; 2); (); (). Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong, biết góc tạo bởi hai tiếp tuyến là . VD: Cho đường cong: (C) Tìm tất cả các điểm trên đường thẳng y = 7 mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với đường cong (C) mà hai tiếp tuyến đó hợp với nhau góc = 450. Giải: Gọi M ẻ đt: y = 7 M(a; 7). Phương trình đường thẳng (∆) qua M có hệ số góc k: y = k(x - a) + 7. (∆) là tiếp tuyến của (C) Hệ có nghiệm. Lấy (4) - (3): (5) Kết hợp (5) và (1) Từ M kẻ hai tiếp tuyến hợp với nhau góc = 450. Không mất tính chất tổng quát Ta giả sử: k1 - k1.k2 = 1 + k2 (7) Vì (6) phải có hai nghiệm phân biệt mà có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm khác 0. Vậy từ (6) hoặc (8) Kết hợp (8) và (7) ta có: hoặc Nếu k1 = 1, từ (6) : . Nếu k2 = -1 , từ (8) : Kết luận : Vậy các điểm tìm được là : M1;2 ( ; 7); M3;4(; 7) Dạng 4 : Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong cho trước. VD: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai (P) sau : y = x2 - 3x + 2 (1) và y = - x2 + 7x - 11 (2) Giải: Gọi tiếp tuyến chung là : y = ax + b. Gọi M0(x0 ; y0) và là tiếp điểm của tiếp tuyến với Parabol (1) và (2) Theo điều kiện tiếp xúc của hai đường ta có hệ sau : Hệ có nghiệm. Từ (1) và (2) (5) Từ (3) và (4) Giải ra tìm được Kết luận: Tiếp tuyến chung là: y = 3x - 7 và y = x - 2 Lời bình: Nhiều học sinh lúng túng khi làm loại toán này. Vì các em không phân biệt tiếp điểm của tiếp tuyến với hai đường cong phải khác nhau. Vì vậy khi làm loại toán này, các em cần phải lưu ý tới điều đó. Dạng 5: Lập phương trình tiếp tuyến chung của nhiều đường cong (Họ đường cong). VD: Tìm tiếp tuyến cố định của họ đường cong có phương trình: Giải: Gọi đường thẳng: y = ax + b là tiếp tuyến cố định của họ đường cong Hệ phương trình sau có nghiệm "m ≠ 0 Lấy (3) - (4): Kết hợp (2) và (5) ta được: (a + 1)2m2 + 2(a - 1)(b + 1)m + (b + 1)2 = 0 Phương trình này thỏa mãn "m ≠ 0 Kết luận: Vậy họ đường cong có một tiếp tuyến cố định là: y = - x - 1 Kết quả đối chứng khi chưa áp dụng và sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này. Khi chưa áp dụng. 70% học sinh chưa nắm được cách lập phương trình tiếp tuyến với đường cong. Không phân biệt được phương trình tiếp tuyến với đường cong tại một điểm và phương trình tiếp tuyến với đường cong đi qua một điểm. Sau khi áp dụng 90% học sinh đã lập được phương trình tiếp tuyến với đường cong tại một điểm và đi qua một điểm. 40 % học sinh giải được các bài toán dựa vào điều kiện tiếp xúc giữa hai đường. phần C. Kết luận. Phương trình tiếp tuyến với đường cong có thể có nhiều cách giải khác, xong tôi chỉ quan tâm tới cách giải mà SGK Giải Tích 12 (Sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000) đã nêu thành chuẩn mực. Trong khuôn khổ một sáng kiến kinh nghiệm tôi cũng không thể nêu lên các phương pháp truyền thụ cho học sinh ở đây mà chỉ chú trọng tới các dạng toán để ôn tập cho các em. Nhận thức của con người thì có hạn còn kiến thức thì vô hạn, mong độc giả đóng góp ý kiến. Xin chân thành cảm ơn. Bắc Lý. Ngày 14/05/2008 Người viết Phan Đại Lâm