Chuyên đề Phương trình và bất phương trình

PHẦN I: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH. I. Phương trình và bất phương trình bậc 2. Câu 1: Tìm m để phương trình: có hai nghiệm cùng lớn hơn – 1. Giải: Để pt đã cho có hai nghiệm cùng lớn hơn -1 thì m thỏa hệ sau: . Câu 2: Tìm a để BPT: (1) có nghiệm trong (-1;2). Giải: Xét 3 TH của a: TH1: a=1 (1) (thỏa) TH2: a<1 (vô nghiệm) TH3: a>1 Câu3: Tìm m để pt có 2 nghiệm không âm.(phần nguyên của x – số nguyên lớn nhất không vượt quá x). Giải: Đặt ta có:,trong đó y nguyên và Pt theo z có nghiệm với , do nên và ta có hay suy ra Gọi là hai nghiệm không âm của pt, ta có đều không âm, và Nếu thì và trừ vế theo vế ta được (trái với giả thiết) Vậy suy ra do số nguyên. Vì (*)nên ta có: do là số nguyên dương nên TH1: Thì nên (không thỏa) TH2: Thì nên hay Từ (*) suy ra: và nghiệm Câu 4: Tìm đk của a,b để pt: (1) và (2) có nghiệm chung. Khi đó tìm GTLN của . Giải: Gọi là nghiệm chung của hai phương trình trên, ta có: Thế vào (1) ta được: đk Vậy điều kiện của a,b là thì hai pt có nghiệm chung. Ta có thế vào điều kiện trên ta được: Ta có để pt luôn có nghiệm thì Vậy GTLN của P là . II. Phương trình và bất phương trình quy về bậc hai. VD1. Tìm m để PT: (1) có 3 nghiệm phân biệt . Giải Pt (1) đã có 1 nghiệm nên Pt phải có 2 nghiệm phân biệt thỏa 1 trong các TH sau: TH1: TH2: TH3: TH1: (hệ vô nghiệm) TH2: TH3: (hệ vô nghiệm) Vậy với thì Pt(1) có 3 nghiệm thỏa mãn . VD2. tìm m để Pt: có 3 nghiệm . Giải Xét hàm số . Ta có luôn có 2 nghiệm phân biệt nên hs luôn có CĐ, CT. Giả sử là 2 nghiệm của Pt , khi đó: , Suy ra PT đã cho luôn có 3 nghiệm Mặt khác nên PT đã cho có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm dương Do đó để PT có 3 nghiệm thì: Bài 1. Biện luận theo m số nghiệm của Pt: (1) Giải PT (1) Đặt , ĐK PT quy về: (2) , ta có TH1: PT (2) có 2 nghiệm phân biệt + Nếu thì PT (2) có 2 nghiệm phân biệt dẩn đến PT (1) có 4 nghiệm phân biệt + Nếu thì PT (2) có 1 nghiệm dẩn đến PT (1) có 2 nghiệm phân biệt TH2: PT (2) có nghiệm kép dẩn đến PT (1) có 2 nghiệm phân biệt TH3: PT (2) vô nghiệm dẩn đến PT (1) vô nghiệm Kết luận: Nếu thì PT (1) có 4 nghiệm phân biệt Nếu thì PT (1) có 2 nghiệm phân biệt Nếu thì PT (1) vô nghiệm Bài 2: Tìm a để PT: (1) có 4 nghiệm lập thành cấp số nhân. Giải Nhận thấy không phải là nghiệm của PT nên chia 2 vế của PT cho ta được Đặt PT mới là: (2) Để PT (1) có 4 nghiệm phân biệt thì PT (2) phải có 2 nghiệm phân biệt sao cho Gọi là 4 nghiệm lập thành CSN của PT (1) thì là 2 nghiệm của PT, là 2 nghiệm của PT, gọi là công bội, ta có ,,Suy ra ; . Vậy ;;; Theo Viet ta có: Đặt ta được suy ra PT này có các nghiệm do nên . Với Vậy với thì PT có 4 ngghiệm lập thành CSN. BÀI TẬP: Bài 1. Biết PT có 3 nghiệm phân biệt. Tính số nghiệm của PT: . Giải Đặt PT quy về: . Đặt . Gọi là 3 nghiệm của PT suy ra củng có 3 nghiệm nhân biệt nên HS đạt cực trị tại 3 điểm. Ta có Vậy có 2 nghiệm. III. Phương trình và bất phương trình chứa căn: Bài 2. Giải bpt: (1) ĐK: + Với (1) ( vì ) + Với (1) (Vô nghiệm) Vậy bpt có nghiệm là . Bài 1. Giải bpt (1) ĐK: (1) + là một nghiệm của + Khi , đúng Vậy tập nghiệm của bpt là ; 1]. Bài 2. Giải pt (1) ĐK: + Với thì Nên VT của (1) âm (1) vô nghiệm + Với, đặt , trở thành Vậy nghiệm của pt là . Bài 3. Giải pt (1) ĐK: Đặt (1) trở thành (vì ) Khi t = 2 Vậy nghiệm của (1) là . Bài 4. Giải pt (1) Đặt Ta có + Khi + Khi + Khi Vậy pt có 6 nghiệm ,,. Bài 5. Giải bpt (1) ĐK: Ta có (1) Tiếp tục rút gọn , ta có Vậy nghiệm của (1) là . Bài 6. Giải pt (1) Đặt , Ta có Ta có ( II ) ( I ) Hệ đã cho tương đương với ( I ) ( II ) , đặt (Đk: ) ( II ) viết lại Vì nên hệ ( II ) vô nghiệm Vậy pt (1) có 3 nghiệm là ; . Bài 7. Giải pt (1) ĐK: Đặt viết lại: ; loại Khi Vậy (1) có 2 nghiệm . Bài 8. Giải bpt (1) ĐK: (1) Đặt ; Khi đó Bình phương 2 vế, ta được : Thõa mãn khi Vậy (1) có nghiệm là . Bài 9. Giải bpt (1) ĐK: (1) Xét Ta có đồng biến Ta thấy khi thì Vậy (1) có nghiệm là . Bài10. Giải pt (1) Ta có (1) Đặt ; được viết lại ; loại Khi Vậy (1) có một nghiệm . Bài 11. Giải và biện luân : (1) ĐK : (1) Đặt , (1) trở thành (2) +) Với (2) + Nếu thì (2) có nghiệm là Nên (1) có nghiệm là + Nếu thì (2) vô nghiệm, nên (1) vô nghiệm. +) Với (2) + Nếu thì (2) vô số nghiệm, nên (1) vô số nghiệm. + Nếu thì (2) vô nghiệm, nên (1) vô nghiệm. +) Với (2) + Nếu thì (2) có 1 nghiệm là Nên (1) có nghiệm là + Nếu thì (2) vô nghiệm, nên (1) vô nghiệm. Bài 12. Giải pt (1) ĐK: ( 1 ) (1) ( 2 ) Đặt , khi đó ta có (1) - (2) : ( II ) ( I ) Hệ đã cho tương đương với ( I ) ( II ) Đặt (đk: ) Hệ ( II ) được viết lại Khi đó là nghiệm của pt Hệ ( II ) có nghiệm là Vậy pt (1) có 4 nghiệm ; . Bài 13. Giải pt (1) ĐK: Đặt trở thành + Với (Vô nghiệm) + Với Vậy (1) có 2 nghiệm . Bài 14. Giải pt (1) Đặt Khi đó ta có: Vậy pt (1) có 4 nghiệm ; . IV. phương trình và bất phương trình mũ, lôgarit. Bài 1. Giải PT: ĐK: (2) (1) PT (1) Xét (1) có nhiều nhất là 2 nghiệm, ta nhẩm được và là nghiệm của (1) (2) Đặt (2) Xét là hàm số nghịch biếncó duy nhất một nghiệm là là nghiệm của (2) KL: vậy pt đã cho có 2 nghiệm là và . Bài 2. Chứng minh rằng không tồn tại a để BPT sau có nghiệm duy nhất: ĐK: Đặt . BPT trở thành: (1) + Nếu (1) Xét là hàm đồng biến BPT có vô số nghiệm + Nếu (1) Tương tự trường hợp trên ta có Hay có nghiệm không tồn tại a để BPT đã cho có nghiệm duy nhất. Bài 3. Giải PT: với Chia 2 vế PT cho ta được: (1) Đặt khi đó: (1) (2) Vì và nên là hàm nghịch biến PT (1) có duy nhất một nghiệm, ta nhẩm được nghiệm KL: PT đã cho có duy nhất nghiệm là . V. phương trình và bất phương trình lượng giác. Bài 1: Giải PT: PT (3) (2) (1) (1) (loại) (2) (3) KL: Vậy PT đã cho có nghiệm là Bài 2: Giải PT: ĐK: PT Đặt ta được: (1) Đặt (1) (tmđk) KL: vậy PT đã cho có nghiệm là . Bài tập: Bài 1: Giải PT: ĐK: PT Đặt , ta được: (1) Ta xét , và Vì và là các hàm đồng biến nên là hàm đồng biến Mặt khác, là hàm nghịch biến (1) có nghiệm duy nhất Ta nhẩm được nghiệm là KL: vậy, PT đã cho có nghiệm là . Bài 2: Tìm sao cho : đúng với mọi Bằng phương pháp điều kiện cần và đủ ta chọn một số giá trị của Chọn khi đó PT. để là nghiệm của PT Khi đó thế vào PT ban đầu ta được: (1) +Vớithì (1) luôn đúng +Với Chọn (1) Để PT có nghiệm thì Chọn (1) Để PT có nghiệm thì Thử lại: + PT đã cho luôn có nghiệm + PT đã cho luôn có nghiệm + Không thỏa mãn YCBT KL: Vậy với hay thì PT đã cho đúng với mọi Bài 3: Giải BPT: . +) Đặt (1) TH1: Chứng minh tương tự ở trên ta cũng có: (2) Từ (1) và (2) ta có: TH2: Vì +) TH1: , chứng minh tương tự như trên ta có TH2: Khi thì Ta được điều phải chứng minh. Khi Thì ta luôn có điều phải chứng minh. CÁC BÀI TẬP Bài 1. Tìm nghiệm nguyên của hệ Giải: Nếu y = 0 từ (1) xx = 0 phương trình vô nghiệm ( Vì x 0) Nếu y= 1 từ (2) x3 = 1 x= 1 Nếu y = -1 từ (2) xx-1 = 1 x= 1 hoặc x = -1 Ta thấy (-1)-2 (-1)3 nên loại (-1 ; -1) Xét y 0 ; y 1 Từ (2) x = thế vào (1) ta được (x + y)2 = 36x + y = 6 TH1 x + y = 6 y6 = x3 y2 = x y2 + y - 6 = 0 TH2 x + y = -6 y-2 = x -2(y-2+ y) = 12 y-2+ y = -6 y3 + 6y2 + 1 = 0 phương trình này không có nghiệm nguyên. Kết luận nghiệm nguyên của phương trình là (1, 1) ; (1, -1) ; (4, 2) và (9, -3). Bài 2. Tìm m để hệ chỉ có một nghiệm Giải: Nhận thấy (x; y) là nghiệm của hệ thì (-x ; y) cũng là nghiệm của hệ Suy ra để hệ có nghiệm duy nhất thì x = 0. Với đúng. Với đúng. Vậy với m = 0 và m = 2 thì hệ có nghiệm duy nhất. Bài 3. Cho phương trình có 3 nghiệm x1, x2, x3. tìm hệ thức a,b,c để các số x13, x32 , x33 nghiệm đúng phương trình Giải: Vì x1, x2, x3 là 3 nghiệm của nên (x – x1 )(x – x2 )(x – x3 ) = x3 – (x1 + x2 + x3 )x2 + (x1x2 + x2x3+x3x1)x – x1x2x3 Tương tự x3 – Mặt khác = = = = = -a3 = -a3 + 3ab – 3c c = ab = 0 x = -a hoặc x2 = - b ( b ) Thử lại Với - a3 + a3 –ab + ab = 0 đúng Với - bx –ab +bx + ab = 0 đúng Vậy hệ thức cần tìm là . Bài 4. Giải hệ phương trình Giải: Đặt Từ (1); (2) Với Xét Xét Với Xét Xét Vậy các cặp nghiệm của hệ là: (2; -1; 3; -6); (2; 6; 3; 1); (3; -1; 2; -6); (3; 6; 2; 1); (-2; 1; -3; 6); (-2; 1; -3; 6); (-2; -6; -3; -1); (-3; 1; -2; 6); (-3; -6; -2; -1). Bài 5 . Tìm nghiệm nguyên của phương trình Giải: Phương trình ( Vì x < y < z nguyên) Mà lẻ nên ta có Từ (*) suy ra Mặt khác 1 + lẻ nên = 8 z – y = 3 Ta có hệ Vậy nghiệm nguyên của hệ là: ( 5; 8; 11). Bài 6. Cho đa thức Pn(x) n là số tự nhiên, thoả P0(x) 0, Pn+1(x) = Pn(x) + , n . Chứng minh rằng 0 Giải : Với n = 0 thì P1(x) = P0(x) + Với n = 1 thì P2(x) = P1(x) + Vậy 0 vói mọi n. Mặt khác 1- Pn+1(x)=1 – Pn(x) -=, Vậy ta có Pn+1(x) 1 Với mỗi x [0 ; 1] thì Pn(x) lập thành dãy số tăng, bị chặn nên có giới hạn. đặt . Từ công thức cho qua giới hạn ta được f2(x) = x suy ra f(x) = . Do đó dãy Pn(x) tăng nên Đặt un(x) = - Pn(x) 0 suy ra un+1(x) = - Pn+1(x) = un(x) - = un(x) -= un(x) Suy ra un(x) Xét hàm số y = ttrong đó t = t y’ = - t.. y’ = 0 x = Mặt khác y = ttrong đó t nên y Suy ra 0 . Bài 7. Giải hệ Giải: x, y, z là nghiệm của phương trình : Đặt t = cos u ( 0 ) cos3u = u = , u = , u = Vậy x = cos, y = cos , z = cos và các hoán vị của chúng. Bài 8. Tìm m để hệ Giải: Ta thấy hệ luôn có nghiệm x = y = 0 Ta tìm m để hệ có 4 nghiệm thoả x.y 0 hệ > 0 suy ra m > 0. Thế y = x3 – mx vào (2) ta được ( chia hai vế cho x0) Đặt t = x2 – m , t > - m Phương trình trở thành ( t 0 ) Đặt u = t - Phương trình : u2 + mu + 2 = 0 (3) Phương trình có 2 nghiệm =m2 – 8 > 0 m ( vì m > 0 ) Ta có u = t - t2 – ut – 1 = 0 (**) có hai nghiệm trái dấu thoả mãn -m < t1 < 0 < t2 suy ra ứng với mỗi t thì phương trình x2 = t + m có 2 nghiệm x. Để thoả có 4 nghiệm x thì phương trình (3) có nghiệm kép m . Bài 9. Giải hệ Giải: Lấy (1) – (2) ta được Ta thấy VT 0 và VP 0 nên dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Với thay vào hệ ban đầu, không thoả mãn. Với thay vào hệ ban đầu, thoả mãn. Vậy nghiệm của hệ là (1 ; -1). Bài 10. Cho . Chứng minh rằng hệcó nghiệm Giải: Giả sử hệ vô nghiệm thì Cho x = 1 suy ra x= suy ra x = 0 suy ra Xét A = a + b +c; B = ; A = c Khi đó ta có ++= ++++++++17 (Mâu thuẫn giả thiết : ++> 17 ) suy ra điều giả sử là sai. Vậy hệ có nghiệm. Bài 11. Giải và biện luận hệ phương trình: với và . Giải: + Giả sử và là 2 nghiệm phân biệt của hệ và . Từ (1): Từ (2): Từ (2): ( mâu thuẫn) Do đó hệ đã cho nếu có nghiệm phải là duy nhất. + Ta chỉ ra một nghiệm duy nhất: Xét tam giác đều cạnh k: Từ một điểm bất kì trong tam giác thì khoảng cách từ điểm đó đến các cạnh có tổng bằng đường cao. Nên ta tìm được điểm I: A B C I M N P và ( trong đó: ) Khi đó: ( thỏa (1) ) Tương tự cho các trường hợp còn lại. Bài 12. Giải hệ phương trình: Giải: + Nếu x = 0: ta có hệ PT Đặt ; khảo sát hàm ta thấy: là hàm nghịch biến Do đó có nghiệm duy nhất: Hệ có nghiệm: + Nếu . Khi đó ta quy hệ PT về hệ: Xét hàm đặc trưng: có là hàm đồng biến. Khi đó: nếu Do đó , thay vào hệ ( không thỏa) Vậy hệ có duy nhất nghiệm: . Bài 13. Giải hệ phương trình: Giải: + PT (1) biển đổi thành: Đặt là hàm đồng biến Mà + Thay vào (2) ta được: Đặt PT trên trở thành: Do Vậy hệ đã cho có nghiệm: Bài 14. Giải hệ phương trình: Giải: + Từ (3) ta có: (*) +Đặt thì (1) và (2) trở thành: Suy ra y, z là nghiệm của phương trình: PT có nghiệm kết hợp với (*) Thay vào phương trình trên ta được: Vậy nghiệm của hệ là: . Bài 15. Cho hệ phương trình: . Chứng minh rằng: thì hệ phương trình trên vô nghiệm. Giải: Cộng ba phương trình ta được: Đặt ; khi đó (*) trở thành: Từ giả thiết: vô nghiệm Suy ra (*) vô nghiệm hay hệ phương trình đã cho vô nghiệm (đpcm). Bài 16. Tìm a sao cho: có nghiệm. Giải: + Lấy (1) nhân 2 trừ cho (2) ta được bpt: + Khi đó, ta lấy a bất kì: thì . Lúc đó ta đi xét hệ: Lấy 2 nhân (3) trừ (4) ta được phương trình: Thay vào (3) ta được phương trình: Với thay hoặc vào hệ đã cho ( thỏa) Vậy thì hệ ban đầu luôn có nghiệm. Bài 17. Giải hệ phương trình: Giải: Đk: Đặt Ta quy về hệ phương trình sau: + Nếu m = 0 thì + Nếu thì: Mà ta lại có: Suy ra: TH1: TH2: TH3: Vậy hệ có nghiệm: ; và các hoán vị. Bài 18. Giải hệ: Giải: Từ Từ ; PT này có nghiệm Khi đó ta có: + Với + Với Vặy hệ có nghiệm: . Bài 19.Giải hệ phương trình: với Giải: Lấy (1).c + (2).a + (3).b ta đựơc: Quy đồng pt trong hệ ta được: ; cộng các phương trình trong hệ này ta được phương trình: Lấy (*) + (**) ta quy về phương trình sau: nhân các pt trong hệ trên ta suy ra: (Vì x, y,z cùngdấu) Vậy nghiệmcủa hệ là: . Bài 20. Giải hệ phương trình: Giải: Ta thấy: là một nghiệm của hệ. Mặt khác: không phải là nghiệm của hệ. Khi đó ta quy hệ đã cho về hệ: Đặt Thử lại ( thỏa) Vậy hệ phương trình có nghiệm: ; . PHẦN II: BẤT ĐẲNG THỨC. I. Bất đẳng thức cơ bản: A2≥0. Bài 1. Cho A,B,C là 3 góc của một tam giác bất kì. Tìm GTLN của biểu thức: F = 4cosA + 4cosB + 3cosC Khái quát: Cho 0 < M < 2N. Tìm GTLN của F=M.cosA+M.cosB+N.cosC. Giải: Vì A,B,C là 3 góc của một tam giác nên ta có: Dấu bằng xảy ra Vậy GTLN của F là khi . Khái quát tương tự như trên, ta có: Vậy GTLN của F là khi . Bài 2. Cho p2+q2-a2-b2-c2-d2 > 0. CMR: (p2-a2-c2)(q2-b2-d2)≤(pq-ab-cd)2 (1) Khái quát bài toán cho nhiều cặp số: Cho . CMR: Giải: + Nếu thì (1) đúng. + Nếu thì kết hợp điều kiện đề bài ta có: Xét tam thức bậc hai: f(x) có nghiệm. Suy ra: (đpcm) Khái quát tương tự ta xét tam thức có nghiệm để suy ra kết quả. Bài 3. Cho a < b < c. CMR: Giải: Xét tam thức bậc hai có 2 nghiệm: Mà ta có: Và II. Bất đẳng thức Cauchy. Bài 1. Tìm nghiệm x,y,z dương của hệ Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: Dấu bằng xảy ra Vậy là nghiệm của hệ để x,y,z > 0. Bất đẳng thức: F(A)+F(B)+F(C)≥G(A)+G(B)+G(C) 1. Chứng minh rằng với mọi xR, ta có: . Khi nào đẳng thức xảy ra? a. Cho a,b,c>0. CMR: b. Cho x,y,z >0 và xyz=1. CMR : Giải : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : Dấu bằng xảy ra a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với a,b,c > 0 : Dấu bằng xảy ra b) Có x,y,z > 0 và xyz=1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : Vậy Dấu bằng xảy ra Bài 2. Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng : . Khi nào đẳng thức xảy ra ? Giải : Áp dụng bất dẳng thức Cauchy: Vậy Dấu bằng xảy ra Bài 3. Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : a. b. Giải : b. Áp dụng bất đinh thức Cauchy, ta có : Dấu bằng xảy ra Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có : Dấu bằng xảy ra Luyện tập : Bài 1. Cho x,y,z > 0 và xy2z3=1. CMR : x+2y+3z≥6. Giải : Ta có : Dấu bằng xảy ra . Bài 2. Cho x,y,z>0 thỏa . Chứng minh : x+y+z≥9. Giải : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có : Dấu bằng xảy ra . Bài 3. Cho a,b,c là các số thực khác không. Chứng minh rằng : a) b) c) Giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: Cộng từng vế (1) và (2), ta có: b) Áp dụng bất dẳng thức Cauchy: c) Áp dụng bất dẳng thức Cauchy, ta có: . Bài 4. Cho x,y thay đổi. Tìm GTNN của A=. Giải: Trong mặt phẳng Oxy, xét M(x-1;-y) và N(x+1;y). Do OM+ON≥MN nên: Do đó: + Với Do đó ta có bảng biến thiên: y -∞ 2 f’(y) - 0 + f(y) + Với Vậy A Khi x = 0 và y = thì A=. Nên giá trị nhỏ nhất của A là . Bài 5. Cho x,y,z > 0 và xyz=1. Tìm min. Giải : Ta có: với Tương tự, ta cũng có: Bây giờ bài toán chuyển thành: Cho a,b,c > 0 và abc=1. Tìm min Ta có: Mà: Từ (1) và (2) ta suy ra Do đó Vậy . Bài 6. Cho x,y,z >0 . Tìm min. Giải : Ta có: Áp dụng bất dẳng thức Cauchy: Từ (1) và (2), ta suy ra: . Bài 7. Cho x,y,z là ba số dương và x+y+x≤1. Chứng minh rằng : Giải : Với mọi ta có : (*) Đặt Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có : Đặt f(t) nghịch biến trên Vậy Dấu bằng xảy ra . Bài 8. Chứng minh : Giải : Với mọi ta có : Đặt Đặt Vậy . Bài 9. Cho a≥b>0. CMR : Giải : Ta có: Đặt Xét hàm số: Điều ta cần chứng minh được chuyển về: Cho . Ta có: f(t) nghịch biến Vậy với III. Bất đẳng thức hàm lồi. Bài 1. Chứng minh BĐT Cauchy bằng PP hàm lồi. Giải: Xét hàm số f(x) = - lnx với x > 0. Ta có . Vậy f(x) là hàm lồi khi x > 0. Theo bất đẳng thức Jenxen, ta có: Do tính đồng biến của hàm số y = lnx, suy ra: . Dấu bằng xảy ra . Xét n số . Chỉ có hai khả năng sau xảy ra: 1) Nếu . Thì theo trên ta có: (*) 2) Nếu tồn tại ak = 0, thì (*) hiển nhiên đúng. Vậy bất đẳng thức Cauchy được chứng minh. LUYỆN TẬP THÊM PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HỆ Bài 1. Cho α, β thay đổi thỏa . Tìm GTLN và GTNN của P = cos2α + cos2β. Xét hệ : (*) Đặt với ,. Khi đó: (*) Suy ra x, y là nghiệm của phương trình: (1) Phương trình (1)có nghiệm thỏa tức là: . Vậy MaxP = , MinP =. Bài 2. cho A, B, C là 3 góc của 1 tam giác thỏa: . CMR: . Chứng minh: Trong tam giác bất kì ta luôn có: CM: . Xét hệ: (*) Đặt: (*) (2) loại vì -2-m<4[1-m(x+y)] Giải (1): x,y là nghiệm của phương trình X2-(2-m)X+1-m(2-m)=0 X2-(2-m)X+m2-2m+1=0 Vì hệ có nghiệm x,y >0 nên phương trình trên phải có X1,X2 >0 Tức là: 0m. Do vai trò của x,y và m như nhau nên suy ra đfcm. Bài 3. Giải hệ phương trình: Giải: Lấy (1)-(2) ta được: * x=y: thay x=y vào phương trình ta được: * +TH1: x=-y +TH2: thế vào phương trình ta được: (vô nghiệm). KL: nghiệm của hệ là (-1;1),(0;0),(1;1),( ;-),(-;). Bài 4. tìm m để hệ phương trình (I) có ít nhất 1 nghiệm. Giải: Đk: Đặt: (I) (1)-(2): +TH1: (1): Xét hàm (u0) u. u0 thì =2 m2. +TH2: thế vào (2) ta được: Xét hàm (t0) Để hệ có nghiệm thì m. KL: với m2 thì hệ có nghiệm duy nhất. Bài 5. giải các hệ phương trình sau: a. Giải: x=0 không phải là nghiệm của (2) . Thay vào (1): . Vậy nghiệm của hệ là (1;1),(-1;-1),(2;-1),(-2;1). b. y=0 không phải là nghiệm của (2) nên. Thay vào (1): . Vậy nghiệm của hệ là (;),(-;-). Bài 6. giải các phương trình và bất phương trình: a. (1) Đk: +TH1: x>1 (1) -1 = 7 (vô lí) (1) vô nghiệm. +TH2: (1) . b. (2) (2) = 1 Vậy nghiệm của phương trình là x=. c. (3) Đk: Ta có: (1) (*) Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 hoặc x= . d. (4) Đk: Ta có: (4) = 0 Vậy nghiệm của (4) là . Bài 7. giải các phương trình và bất phương trình: a. Đk: Đặt t = u = Phương trình trở thành: (a): (b): Vậy nghiệm là x = 2. b. (2) Đk: (1) Kết hợp điều kiện: . c. (3) Đk: (1) Vậy nghiệm là x = 2. d. (4) Đk: (4) bất phương trình vô nghiệm. e. (5) Đk: (5) . g. (6) +Đk: TH1: (6) Phương trình vô nghiệm. +TH2: (6) Vô nghiệm KL: phương trình có nghiệm . k. (7) Đk: +TH1: (7) +TH2: (7) bất phương trình vô nghiệm. KL: vậy nghiệm của bất phương trình là . l. (8) Đk: (8) (1): x = 1 (2): Vậy nghiệm của phương trình là: x = 1 hoặc x = 0. Bài 8. giải các phương trình và bất phương trình sau: a. (1) Cách 1: Đặt t= (1) + t = 1 (vô lí) (1) vô nghiệm. + t = 2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: . Cách 2: (1) . b. (2) Đk: Đặt Khi đó: (2) + Đk: + Đk: Vậy phương trình có 2 nghiệm là . c. (3) Đk: Đặt Khi đó: (3) Khi Vậy phương trình có 1 nghiệm . d. (4) Đk: Nhận thấy không phải là nghiệm nên: (4) . e. (5) Đk: (5) Đặt (2’) Theo đề: (2’’) Lấy (2’’)-(2’): + + Vậy nghiệm của phương trình là : . f. Đk: Đặt Ta có hệ sau: Khi đó: . g. Đk: Đặt Ta có: + + + (Vô nghiệm) Vậy phương trình có 2 nghiệm là. h. (8) Đk: Đặt Khi đó (8) trở thành : Vậy phương trình có 1 nghiệm là: . Bài 9. giải cái phương trình và bất phương trình sau: a. (1) Đk: Ta có: = (1) +TH1: (1): đúng +TH2: (1): KL: vậy nghiệm của (1) là . b. (2) Đk: (2) c. (3) Đk: (3) (3’) Đặt khi đó: (3’) d. (4) Đk: (4) (4’) + Nếu : (4’) (vô nghiệm) + Nếu : (4’) (loại) +Nếu : (4’) Vậy nghiệm của bấy phương trình là: . f. (5) Đặt t > 0 (5) Khi đó . h. (6) Đk: (6) (6’) Đặt (6’) . k. (7) (7’) Đặt (7’) . l. (8) ĐK: (8’) Đặt (8’) Khi đó: . m. (9) . o. (10) Đặt (10) + + . Bài 11. giải phương trình : (1) Đk: (1) . Bài 12. (1) Đk: (1) (*) TH1: (*) . TH2: (*) luôn đúng Vậy nghiệm của phương trình là . Bài 14. giải các phương trình: a. (1) Đk: Đặt (1) Khi . b. (2) (2) (2’) Đặt (2’) (2’’) +Khi (2’’) +Khi (2’’) . c. (3) Đk: (3) . Bài 16. giải các hệ: b. (I) Đk: (I) (I’) Đặt (I’) Khi đó t , u là nghiệm phương trình : + + Vậy nghiệm của phương trình là: ,,,. c. (I) Đk: Đặt (I) Khi đó Nên x,y là nghiệm phương trình: Vậy nghiệm của hệ là . f. Đk: Phương trình g. Đk: (2) Đặt m. Giải (a) : + Nếu : thì (a) : So sánh với điều kiện thì (a) có nghiệm là + Nếu -1<x<0 thì (1) : vô nghiệm. (*) h. (2) (1) (1) x = 0 không phải là nghiệm (vô nghiệm) (2) Thế vào (*) ta được 2006-D. CMR: với a>0 hệ (I) có nghiệm duy nhất. Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi (2) có duy nhất một nghiệm trên Đặt Vì a>0 ta có f(x) đồng biến khi x>-1 (1) có nghiệm duy nhất trên . PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ CHỨA CĂN I. Biến đổi cơ bản. 2002-D. Giải bpt (1) Giải: (1) Vậy nghiệm của bpt là . 2004-A. Giải bpt (1) Giải: Đk Kết hợp với đk ban đầu ta có: Vậy nghiệm của bpt là . 2005-A. Giải bpt (1) Giải: Đk Kết hợp với đk ban đầu ta có nghiệm của bpt là . 2006- B. Tìm m để pt (1) có hai nghiệm phân biệt. Giải: Đk: Để (1) có hai nghiệm phân biệt thì (2) phải thỏa mãn : Kết hợp đk ban đầu ta được giá trị m cần tìm là. Bài tập tương tự Giải các pt và bpt sau : (1) đk Vậy nghiệm của pt là . 2005- D. Giải pt Giải: 2004-B. Xác định m để pt sau có nghiệm Giải: Pt (1) có nghiệm (*) có nghiệm Vậy. 2006-D. Giải pt Vậy nghiệm của pt là . Bài tập tương tự Bài 1.Giải các pt và bpt sau: Vậy nghiệm của (1) là . Vậy nghiệm của bpt là . Vậy nghiệm của pt là . Bài 3. Giải các phương trình: Vậy nghiệm của pt là Vậy nghiệm của pt là . PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ MŨ, LOGA I. Biến đổi cơ bản. 2002-B: giải bất phương trình : 2006-D: giải phương trình: vậy nghiệm của phương trình là x=0; x=1. 2006-A. giải phương trình: Đặt t=,t>0 t=-1 loại t=. Bài tập tương tự Giải phương trình: Điều kiện: Đặt t= thì so sánh với điều kiện,suy ra nghiệm của phương trình là . II. Đặt ẩn phụ: 2003-D. Giải phương trình: (1) Đặt t=>0 (1) loại nghiệm t=-1, nhận nghiệm t=4 T=-1=4 x2-x=2 2002-A. Cho phương trình : (2) 1) Giải phương trình khi m=2 Khi m=2 , (2) : đặt t=, t0 phương trình trở thành t2-1+t-5=0 t2+t-6=0 Khi t=2 thì +1=4 =3 = x= 2) Tìm m để phương trình (2) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1;] Đặt t=, t0 (2) t2-1+t-2m-1=0 (3) t2+t-2m-2=0 x[1;] để (2) có nghiệm trong [1;] thì (3) có nghiệm trong [1;2] đặt f(x)=t2+t f(t) là hàm tăng trên [1;2] ta có f(1)=2 ; f(2)=6. phương trình t2-1+t-2m-1=0 có ít nhất một nghiệm thuộc [1;] 2006-B Giải bất phương trình: (1) Bài Tập Tương Tự 1. Giải các phương trình a) (1) Điều kiện: (1) b) (1) Điều kiện: (1) 2. Giải các phương trình và bất phương trình a) (1) Đặt t=,t>0 (2): * t=2 * b ) (1) Đặt c) (1) Đặt Vậy d) (1) Điều kiện: Đặt t= Khi đó e) Đặt t= g) Đặt t= Bài 3. Giải các phương trình và bất phương trình: a) Đặt t=,t>0 b) (1) Điều kiện Đặt t= So sánh với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là . c) d) Đặt t= f) Đặt t=, t>0 loại h) (1) Điều kiện: Đặt t=,t>0 loại ----------------------------------------- III. Phương trình và phương trình mũ loga: Bài 1. Giải các phương trình và bất phương trình: a) TH1: x >0. ta có 0 < 3 <4 .kết luận phương trình vô nghiệm TH2: x <0 Ta có : 0 < 1 <3 mà . kết luận phương trình vô nghiệm. TH3: x = 0. ta có :phương trình vô nghiệm. kết luận: phương trình vô nghiệm. b) Điều kiện: Đặt t= Bpt: nếu x>1 thì t=>0. khi đó (1) tương đương với bất phương trình: t2+2cosa.t+10 (2) c) Điều kiện: x>0 Đặt t= Nhận thấy t=1 là một nghiệm Mặt khác hàm số y=3t+2 đồng biến ; hàm số y= nghịch biến nên t=1 là nghiệm duy n