Chuyên đề Rút gọn biểu thức chứa biến

Rút gọn biểu thức chứa biến NGuyễn bá phúc - GV: Trường THCS Mã thành Trong chương trình Toán lớp 9, việc rút gọn các biểu thức là vấn đề vô cùng quan trọng(chiếm khoảng từ 1,5 đến 3,5 điểm trong các kì thi), vì thế, mà tôi muốn giới thiệu bài Toán này tới bạn đọc. Mong các em hiểu sâu hơn và nắm vửng cách làm về dạng toán này. A. lí thuyết. Bài Toán quy đồng mẩu thức các phân thức. Trong chương trình lớp 8, SGK đã giới thiệu cho chúng ta phương pháp quy đồng mẩu thức các phân thức như sau. Bước 1. Tìm mẩu thức chung(MTC) Trong bước này các em cần làm các việc sau: Phân tích các mẩu thức thành nhân tử. Lập tích gồm các NTC có số mủ cao nhất và các NT riêng để có MTC. Bước 2. Tìm NTP của từng phân thức. (để tìm NTP các em cần lấy MTC vừa tìm được chia cho MT riêng của từng phân thức). Bước 3. Quy đồng. (Nhân cả tử và mẩu của từng phân thức với NTP tương ứng). Ví dụ 1: Quy đồng mẩu thức các phân thức sau: a) và b) và c) và Giải: Đầu tiên ta phải tìm MTC: Ta có: x2 – 1 = (x – 1)(x + 1) và: x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 khi phân tích xong ta thấy Nhân tử chung là (x – 1), còn nhân tử riêng là (x + 1) MTC là: (x – 1)2. (x + 1) Tìm được MTC rồi, ta tiến hành tìm nhân tử phụ(NTP) của từng phân thức: Để tìm NTP của phân thức ta lấy MTC là (x – 1)2. (x + 1) chia cho Mẩu thức riêng của nó là (x2 – 1) hay (x – 1)(x + 1) Vì (x – 1)2. (x + 1) (x – 1)(x + 1) = x – 1 NTP của phân thức là: (x – 1) Tương tự, để tìm NTP của phân thức ta lấy MTC là (x – 1)2. (x + 1) chia cho Mẩu thức riêng của nó là x2 – 2x + 1 hay (x – 1)2 Vì (x – 1)2. (x + 1)(x – 1)2 = x + 1 NTP của phân thức là: (x + 1) Công việc còn lại của chúng ta là quy đồng các phân thức đã cho. - Để quy đồng mẩu của phân thức ta lấy “tử” và “mẩu”cùng nhân với nhân tử phụ của nó là (x – 1). Tức là: Tương tự: b) Ta có: x – 4 = ()2- 22 = ( – 2)( + 2) và: x – 4 + 4 = ( – 2)2 MTC là: ( – 2)2. (x + 2) +) NTP của phân thức là: ( - 2) +) NTP của phân thức là: ( + 2) = = Và = = c) Tương tự. B. Các dạng toán liên quan. Dạng 1. Bài toán tìm x để biểu thức P = m (m là hằng số) Bước 1. Sử dụng tính chất để làm mất mẩu của phương trình. Bước 2. Giải phương trình vừa thu được để tìm được x. Bước 3. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí. Ví dụ: Cho A = (với x 0 và x 1). Tìm các giá trị của x để: a) A = 2. b) A = c) A = Giải: Ta có: a) A = 2 = 2 = 2( - 1) = 2 - 2 2 = 2 - = 2 x = 4 (TMĐK) Vậy với x = 4 thì A =2. A = = 3 = 2( - 1) 3 = 2 - 2 3 - 2 = - 2 = - 2 (VN) Vậy không có giá trị nào của x để A = . A = = 2 = - ( - 1) 2 = - + 1 2 + = 1 3 = 1 = x = (TMĐK) Vậy với x = thì A = . Dạng 2. Bài toán tìm x để biểu thức P m, hoặc P m, hoặc P m (m là hằng số) Bước 1. Chuyển m sang vế trái, quy đồng mẩu thức các phân thức rồi làm gọn vế trái. Bước 2. Xác định dấu của tử hoặc mẩu của vế trái, từ đó có được một bất phương trình đơn giản (không chứa mẩu). Bước 3. Giải bất phương trình trên để tìm được x. Bước 4. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí. Ví dụ: Cho A = (với x 0). Tìm các giá trị của x để: a) A > . b) A < c) A Giải: Ta có: a) A > > - > 0 - > 0 > 0 > 0 > 0 (*) Vì với điều kiện x 0 thì 3( + 1) > 0 (*) 2 - 4 > 0 2 > 4 > 2 x > 4 Vậy với x > 0 thì A > . b) A < < - < 0 - < 0 < 0 < 0 < 0 (**) Vì với điều kiện x 0 thì 5( + 1) > 0 (**) 3 - 7 < 0 3 < 7 < x < Kết hợp với điều kiện xác định ta được 0 x < . Vậy với 0 x < thì A < . c) A - 0 - 0 0 0 0 (***) Vì với điều kiện x 0 thì 2( + 1) > 0 (***) - 3 0 3 x 9 Kết hợp với điều kiện xác định ta được 0 x 9. Vậy với 0 x 9 thì A . Dạng 3. Bài toán so sánh biểu thức P với m (m là hằng số) Bước 1. Tính P – m = ? Bước 2. Nhận xét dấu của hiệu P – m để có kết quả so sánh. +) Nếu P – m > 0 thì P > m. +) Nếu P – m < 0 thì P < m. +) Nếu P – m = 0 thì P = m. Ví dụ: Cho P = (với x > 0). Hãy so sánh P với 1. Giải: Ta có: P – 1 = - 1 = - = = Vì < 0 P – 1 < 0 P < 1. Dạng 4. Bài toán Chứng minh biểu thức P < m (m là hằng số) với mọi giá trị của x thuộc ĐKXĐ. Bước 1. Tính P – m = ? Bước 2. Nhận xét dấu của hiệu P – m để có điều phải chứng minh. +) Nếu P – m > 0 thì P > m. +) Nếu P – m < 0 thì P < m. +) Nếu P – m = 0 thì P = m. Ví dụ: Cho P = (với x > 0). Chứng minh rằng: P > 1 với mọi giá trị của x > 0. Giải: Ta có: P – 1 = - 1 = - = = Vì với x > 0 thì > 0 > 0 P – 1 > 0 P > 1. (đpcm) Dạng 5. Bài toán tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên (nguyên dương) Bước 1. Biến đổi biểu thức P về dạng: P = m + (m, n Z, A(x) là biểu thức chứa x) Bước 2. Biện luận: Vì m Z nên để P nguyên thì phải nguyên, mà nguyên thì “A(x) phải là ước của n”. Bước 3. Giải các phương trình: A(x) = Ư(n) để tìm được x. Bước 4. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí. Ví dụ 1: Cho P = (với x 0 và x 1). Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên. Giải: Ta có: P = = = + = 1 + Để P nhận giá trị nguyên thì phải nhận giá trị guyên, mà nguyên thì - 1 phải là ước của 3. Vậy với x = 0, x = 4 và x = 16 thì P nhận giá trị nguyên. Ví dụ 2: Cho M = (với x 0 và x 4). Tìm các giá trị của x để M nhận giá trị nguyên dương. Giải: Ta có: M = = = + = 1 + Để P nhận giá trị nguyên thì phải nhận giá trị guyên, mà nguyên thì - 2 phải là ước của 2. Với x = 16 thì M = = = 2 > 0 (TM) Với x = 0 thì M = = = 0 (loại) Với x = 9 thì M = = = 3 > 0 (TM) Với x = 1 thì M = = = - 1 < 0 (loại) Vậy với x = 16 và x = 9 thì M nhận giá trị nguyên dương. Dạng 6. Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. Khái niệm: +) Nếu P(x) m (m là hằng số) thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của P(x). +) Nếu P(x) k (k là hằng số) thì k gọi là giá trị lớn nhất của P(x). b) Cách giải: Bước 1. Biến đổi biểu thức P về dạng: P = m + (m, n Z, A(x) là biểu thức chứa x) Bước 2. Biện luận: Trường hợp 1. “n > 0”. +) P đạt giá trị lớn nhất khi A(x) đạt giá trị nhỏ nhất. +) P đạt giá trị nhỏ nhất khi A(x) đạt giá trị lớn nhất. (Vì: Để P đạt giá trị lớn nhất thì phải đạt giá trị lớn nhất tức là A(x) phải đạt giá trị nhỏ nhất. Còn để P đạt giá trị nhỏ nhất thì phải đạt giá trị nhỏ nhất tức là A(x) phải đạt giá trị lớn nhất). Trường hợp 2. “n < 0”. +) P đạt giá trị lớn nhất khi A(x) đạt giá trị lớn nhất. +) P đạt giá trị nhỏ nhất khi A(x) đạt giá trị nhỏ nhất. Bước 3. Tiến hành tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của A(x) để có được giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của P Bước 4. Tìm điều kiện để xảy ra dấu bằng. Bước 5. Kết luận. Ví dụ 1: Cho P = (với x 0). Tìm giá trị lớn nhất của P. Giải: Ta có: P = = = + = 1 + Ta thấy: Vì ở đây n = 2 > 0 nên: Để P đạt giá trị nhỏ nhất thì + 1 phải đạt giá trị lớn nhất. Vì: 0 + 1 1 Giá trị nhỏ nhất của + 1 là 1 Giá trị lớn nhất của P là: 1 + = 3 Mặt khác: + 1 = 1 = 0 x = 0. Vậy: Giá trị lớn nhất của P là 3, đạt được khi x = 0. Ví dụ 2: Cho M = (với x 0). Tìm giá trị nhỏ nhất của M. Giải: Ta có: M = = = - = 1 + Ta thấy: Vì ở đây n = - 2 < 0 nên: Để M đạt giá trị nhỏ nhất thì + 1 phải đạt giá trị nhỏ nhất. Vì: 0 + 1 1 Giá trị nhỏ nhất của + 1 là 1 Giá trị lớn nhất của M là: 1 + = - 1 Mặt khác: + 1 = 1 = 0 x = 0. Vậy: Giá trị nhỏ nhất của M là - 1, đạt được khi x = 0. Dạng 7. Phương trình dạng ax + b + c = 0 (1) (a, b, c là các số cho trước và a0) Cách giải: Bước 1. Đặt = y (*) (ĐK: y 0) Để đưa phương trình (1) về dạng phương trình bậc hai có ẩn là y. a.y2 + b.y + c = 0 (2) Bước 2. Giải phương trình (2) để tìm được y. Bước 3. Thay y vừa tìm được vào hệ thức (*) để tìm được x. b) Chú ý: +) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt không âm. Tức là: Phương trình (2) phải có: +) Để phương trình (1) có 1 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu, hoặc phải có một nghiệm âm và một nghiệm bằng không, hoặc phải có nghiệm kép không âm. Tức là: Phương trình (2) phải có (3 trường hợp): Trường hợp 1. Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu: a.c < 0 Trường hợp 2. Phương trình (2) có một nghiệm âm và một nghiệm bằng không: Trường hợp 3. Phương trình (2) có nghiệm kép không âm: Ví dụ: Cho phương trình: x – 2(m – 1) + 1 – 2m = 0 (1) (với m là tham số) Giải phương trình khi m = . Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có: 1) Hai nghiệm. 2) Một nghiệm. Giải: Đặt = y (*) (ĐK: y 0) Khi đó phương trình (1) trở thành: y2 – 2(m – 1)y + 1 – 2m = 0 (2) Khi m = thì phương trình (2) trở thành: y2 + y = 0 y(y + 1) = 0 Với y = 0 thì = 0 x = 0 Vậy khi m = thì phương trình có nghiệm là x = 0. b/1) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có: (VN) Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có hai nghiệm. b/2) Để phương trình (1) có một nghiệm thì phương trình (2) phải có: Trường hợp 1. Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu: a.c < 0 1 – 2m < 0 m > Trường hợp 2. Phương trình (2) có một nghiệm âm và một nghiệm bằng không: Trường hợp 3. Phương trình (2) có nghiệm kép không âm: (VN) Kết hợp cả 3 trường hợp trên ta được với m 0 thì phương trình (1) sẽ có một nghiệm. C. Bài tập. Bài 1. Cho biểu thức : A = a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 - 2. c) Tìm các giá trị của x để x.A = . Bài 2. Cho biểu thức : B = a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn B. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 + 2. c) Tìm các giá trị của x để B = 1. Bài 3. ( 2 điểm ) Cho biểu thức : P = a) Rút gọn P . b) Tính giá trị của P với a = 9 Bài 4. Cho biểu thức : Q = , a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn Q. b) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị nguyên. Bài 5. ( 3 điểm ) Cho biểu thức : Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . Rút gọn biểu thức A . Giải phương trình theo x khi A = 2 . Bài 6. Cho biểu thức: C = a) Rút gọn C. b) Tìm giá trị của x để: c) Tìm giá trị của x để: C2 = 40C. Bài 7. Cho biểu thức: a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để P > 0 c) Tính giá trị nhỏ nhất của d) Tìm giá trị của m để có giá trị x > 1 thoả mãn: m(- 3).P = 12m - 4 Bài 8. ( 3 điểm ) Cho biểu thức : Rút gọn biểu thức . b) Tính giá trị của khi Bài 9. ( 3 điểm ) Cho biểu thức : Rút gọn biểu thức A . Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A . Bài 10. ( 2,5 điểm ) Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức A . b) Tính giá trị của A khi x = c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất . Bài 11. ( 2,5 điểm ) Cho biểu thức : A = a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức A . b) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên . Bài 12. ( 2 điểm ) Cho biểu thức : A = a) Rút gọn biểu thức A . b) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dương với mọi a . Bài 13. Cho biểu thức a) Rút gọn P. b) Cho . Hãy tính giá trị của P. Bài 14. Xét biểu thức a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị x để A = . Bài 15. Cho biểu thức . a) Rút gọn P. b) Chứng minh rằng P < 1 với mọi giá trị của x ạ ±1. Bài 16. Cho biểu thức a) Rỳt gọn P. b) Tỡm a để Bài 17. Cho biểu thức a) Tỡm điều kiện để P cú nghĩa và rỳt gọn P. b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để biểu thức nhận giỏ trị nguyờn. Bài 18. Cho biểu thức: P = a) Rỳt gọn P. b) Tỡm a biết P > . c) Tỡm a biết P = . Bài 19. Cho biểu thức a) Rỳt gọn B. b) Tớnh giỏ trị của B khi . c) Chứng minh rằng với mọi giỏ trị của x thỏa món . Bài 20. Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P b) Tìm x để P < 1 c) Tìm x để đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 21. (2 điểm) Cho biểu thức: (với a, b là hai số dương khác nhau). a) Rút gọn biểu thức N. b) Tính giá trị của N khi: . Bài 22. (2 điểm) Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức M. b) Tìm x để M ≥ 2. Bài 23. : Cho biểu thức M = a) Rút gọn M. b) Tìm giá trị của a để M < 1 c) Tìm giá trị lớn nhất của M. Bài 24. Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) So sánh P với biểu thức Q = Bài 25. Cho biểu thức A = a) Rút gọn A. b) So sánh A với 1. Bài 26. : Cho biểu thức A = a) Rút gọn A. b) Tìm x để A = c) Chứng tỏ A là bất đẳng thức sai Bài 27. Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) Chứng minh rằng P > 1 c) Tính giá trị của P, biết d) Tìm các giá trị của x để : Bài 28. : Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) Xác định giá trị của x để (x + 1)P = x -1 c) Biết Q = Tìm x để Q max. Bài 29. Cho biểu thức P = a) Rút gọn P b) Tìm m để phương trình P = m – 1 có nghiệm x, y thoả mãn Bài 30. Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị lớn nhất của A = c) Tìm các giá trị của m để mọi x > 2 ta có: Bài 31. Cho biểu thức a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P < 1 ; c/ Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất Bài 32. Cho biểu thức: P = a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P < 1 ; c/ Tìm x để đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 33. Cho biểu thức a/ Rút gọn P. b/ Tìm x để Bài 34. Cho biểu thức: a/ Rút gọn P b/ Tìm x để Bài 35. Cho biểu thức: a/ Rút gọn P ; b/ Tìm x để c/ Tìm các giá trị của a để có x thoả mãn : Bài 36. Cho biểu thức: a/ Rút gọn P b/ Tìm các giá trị x nguyên để P nguyên ; c/ Tìm các giá trị của x để Bài 37. Cho a. Rút gọn P. b. Tìm các giá trị của x để P<1. c. Tìm để . Bài 38. Cho biểu thức a) Rỳt gọn P. b) Tỡm a để Bài 39. Cho biểu thức a) Tỡm điều kiện để P cú nghĩa và rỳt gọn P. b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để biểu thức nhận giỏ trị nguyờn. Bài 40. Cho biểu thức P = a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P. b) Tìm a biết P > - . c) Tìm a biết P > . Bài 41. 1) Cho biểu thức: a) Tỡm tập xỏc định của M. b) Rỳt gọn biểu thức M. c) Tớnh giỏ trị của M tại a = . 2) Tớnh Bài 42. Cho biểu thức: N = a) Rút gọn biểu thức N. b) Tìm giá trị của a để N = - 2004. Bài 43. Cho biểu thức: A = a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P. b) So sánh A với 1. c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên dương. d) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình A.x = m có một nghiệm. Bài 44. Cho biểu thức: M = a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn M. b) Chứng minh rằng M > 4 với mọi giá trị của x thuộc tập xác định. c) Tìm các giá trị của x để: M. < 2. d) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình M = 2m có hai nghiệm. Bài 45. Cho biểu thức: P = a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P. b) Chứng minh rằng P < với mọi giá trị của x thuộc tập xác định. c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình m.P = 1 có nghiệm.